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AULA 11: Cálculo de volumes: fatiamento

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CCE0044 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Aula 11: Cálculo de volumes: fatiamento 
Unidade IV: Aplicações de integrais definidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 11: CÁLCULO DE VOLUMES - FATIAMENTO 
CÁLCULO DE VOLUMES: 
FATIAMENTO 
1 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
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Cálculo Diferencial e Integral I 
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Exemplo: cálculo do volume do cilindro 
O volume do cilindro pode ser calculado 
multiplicando-se a área da base, circular, pela 
altura. 
 
𝑽 = 𝝅𝒓²𝒉 
 
Onde r é o raio da base e h é a sua altura. 
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Horizontalizando o cilindro, podemos dizer que sua 
altura vai de a até b, ou seja, vale b – a 
 
 
Percebe-se também que todas as seções são iguais 
(cilindro). 
a b x1 x2 
x 
Exemplo: cálculo do volume do cilindro 
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Pode-se imaginar que o cilindro poderia ser 
representado por vários cilindros de mesma seção 
com alturas pequenas. Para isso bastaria que 
dividíssemos o trecho a até b em uma determinada 
quantidade de fatias (fatiamento). 
 
A soma dos volumes dos cilindros pequenos seria 
igual ao volume do cilindro grande. 
Exemplo: cálculo do volume do cilindro 
a b x1 x2 
x 
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Considerando uma largura de fatia tão pequena a 
ponto de imaginarmos ser de um tamanho 
infinitesimal, podemos chamá-la de de dx. 
 
Dessa forma, o volume de uma fatia seria calculado 
por: 
A(x) . dx 
 
Exemplo: cálculo do volume do cilindro 
a b x1 x2 
x 
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Como o que interessa é a soma do volume de 
todos as fatias, pode-se dizer que o volume do 
cilindro pode ser calculado desta forma: 
Exemplo: cálculo do volume do cilindro 
𝑽 = 𝑨(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
a b x1 x2 
x 
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Exemplo: cálculo do volume do cilindro 
𝑉 = 𝐴(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
= 𝜋𝑟2𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
= 𝜋𝑟2𝑥]𝑎
𝑏 
= 𝜋𝑟2𝑏 − 𝜋𝑟2𝑎 
= 𝜋𝑟2(𝑏 − 𝑎) 
𝑽 = 𝝅𝒓²𝒉 
a b x1 x2 
x 
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Pensando em volumes genéricos... 
Considere o sólido S, que se estende ao 
longo do eixo x e que é limitado à esquerda 
e à direita, respectivamente, pelos planos 
perpendiculares ao eixo x em a e b. 
 
Como calcular seu volume? 
Por fatiamento, seguindo a ideia 
da soma de Riemann 
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Vamos fatiar o sólido, calcular o volume de cada 
fatia e somar os volumes! 
 
Como pode-se ver ao lado, se forem geradas 
poucas fatias o resultado não será bom. 
 
Mas e se fatiarmos em infinitos 
pedaços? 
Pensando em volumes genéricos... 
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Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm 
x1 x2 0 9 
x 
Horizontalizando a pirâmide percebe-se que, tal 
qual o cilindro, a altura vai de 0 até 9, ou seja, vale 
9 - 0 = 9 
 
Diferentemente do cilindro, as duas seções 
demarcadas nos planos de corte são diferentes. 
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x1 x2 0 9 
x 
Seguindo o mesmo raciocínio, vamos proceder o 
fatiamento da pirâmide, gerando fatias muito 
finas. Vamos considerar as alturas de cada fatia 
tão pequenas (infinitesimais), que podemos 
assumi-las como de valor igual a dx. 
Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm 
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x1 x2 0 9 
x 
A ideia agora é calcular o volume de cada fatia e 
somar. 
Raciocínio: 
• Se as fatias forem grossas, as áreas de cada face 
da fatia serão bem diferentes; 
• Se as fatias forem finas, as áreas de cada face da 
fatia serão quase iguais; 
• Se as fatias forem infinitesimais, as áreas serão 
iguais. 
Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm 
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x1 x2 0 9 
x 
Se as fatias forem infinitesimais, as áreas serão iguais 
 
Portanto, o volume de cada fatia será: 
 
A(x) . dx 
 
e o volume poderá ser calculado por: 
Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm 
𝑽 = 𝑨(𝒙)𝒅𝒙
𝟗
𝟎
 
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x1 x2 0 9 
x 
No cilindro, A(x) era constante, mas na pirâmide não é. 
 
Determinação de A(x). 
Em 0, o lado da seção quadrada 0. 
Em 9, o lado da seção quadrada é 5. 
Como a variação é linear, em 9 cm o lado da seção foi de 0 
até 5 cm, o lado cresce 5/9 cm a cada cm. 
 
𝐴 𝑥 =
5𝑥
9
2
ou 
25
81
𝑥² 
Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm 
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x1 x2 0 9 
x 
Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm 
𝑉 = 
25𝑥²
81
9
0
𝑑𝑥 
=
25𝑥3
244
 
0
9
 
25 93
243
−
25 03
243
= 75 − 0 = 75cm³ 
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x1 x2 0 9 
x 
O volume da pirâmide pode ser calculado pela expressão: 
 
𝑉 =
1
3
𝑥2ℎ 
 
Substituindo os valores: 
 
𝑉 =
1
3
. 52. 9 = 75 
 
Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm 
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DIRETRIZES PARA APLICAR O MÉTODO DE FATIAMENTO 
 
 Para calcular o volume de um sólido pelo Método de Fatiamento, recomenda-se: 
 
(I) Esboçar o sólido e uma seção transversal que o tipifica para, em seguida, encontrar uma função 
A(x) que expresse a área desta seção no intervalo desejado; 
(II) Posicionar o sólido sobre o eixo x e encontrar os limites de integração a e b; 
(III) Determinar o volume do sólido através do cálculo da integral definida. 
 
 
 
 𝑽 = 𝑨(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
Assuntos da próxima aula: 
1. Cálculo de volumes: revolução.

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