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CCE0044 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Aula 11: Cálculo de volumes: fatiamento Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 11: CÁLCULO DE VOLUMES - FATIAMENTO CÁLCULO DE VOLUMES: FATIAMENTO 1 PRÓXIMOS PASSOS Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 11: CÁLCULO DE VOLUMES - FATIAMENTO Exemplo: cálculo do volume do cilindro O volume do cilindro pode ser calculado multiplicando-se a área da base, circular, pela altura. 𝑽 = 𝝅𝒓²𝒉 Onde r é o raio da base e h é a sua altura. Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 11: CÁLCULO DE VOLUMES - FATIAMENTO Horizontalizando o cilindro, podemos dizer que sua altura vai de a até b, ou seja, vale b – a Percebe-se também que todas as seções são iguais (cilindro). a b x1 x2 x Exemplo: cálculo do volume do cilindro Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 11: CÁLCULO DE VOLUMES - FATIAMENTO Pode-se imaginar que o cilindro poderia ser representado por vários cilindros de mesma seção com alturas pequenas. Para isso bastaria que dividíssemos o trecho a até b em uma determinada quantidade de fatias (fatiamento). A soma dos volumes dos cilindros pequenos seria igual ao volume do cilindro grande. Exemplo: cálculo do volume do cilindro a b x1 x2 x Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 11: CÁLCULO DE VOLUMES - FATIAMENTO Considerando uma largura de fatia tão pequena a ponto de imaginarmos ser de um tamanho infinitesimal, podemos chamá-la de de dx. Dessa forma, o volume de uma fatia seria calculado por: A(x) . dx Exemplo: cálculo do volume do cilindro a b x1 x2 x Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 11: CÁLCULO DE VOLUMES - FATIAMENTO Como o que interessa é a soma do volume de todos as fatias, pode-se dizer que o volume do cilindro pode ser calculado desta forma: Exemplo: cálculo do volume do cilindro 𝑽 = 𝑨(𝒙)𝒅𝒙 𝒃 𝒂 a b x1 x2 x Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 11: CÁLCULO DE VOLUMES - FATIAMENTO Exemplo: cálculo do volume do cilindro 𝑉 = 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝜋𝑟2𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝜋𝑟2𝑥]𝑎 𝑏 = 𝜋𝑟2𝑏 − 𝜋𝑟2𝑎 = 𝜋𝑟2(𝑏 − 𝑎) 𝑽 = 𝝅𝒓²𝒉 a b x1 x2 x Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 11: CÁLCULO DE VOLUMES - FATIAMENTO Pensando em volumes genéricos... Considere o sólido S, que se estende ao longo do eixo x e que é limitado à esquerda e à direita, respectivamente, pelos planos perpendiculares ao eixo x em a e b. Como calcular seu volume? Por fatiamento, seguindo a ideia da soma de Riemann Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 11: CÁLCULO DE VOLUMES - FATIAMENTO Vamos fatiar o sólido, calcular o volume de cada fatia e somar os volumes! Como pode-se ver ao lado, se forem geradas poucas fatias o resultado não será bom. Mas e se fatiarmos em infinitos pedaços? Pensando em volumes genéricos... Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 11: CÁLCULO DE VOLUMES - FATIAMENTO Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm x1 x2 0 9 x Horizontalizando a pirâmide percebe-se que, tal qual o cilindro, a altura vai de 0 até 9, ou seja, vale 9 - 0 = 9 Diferentemente do cilindro, as duas seções demarcadas nos planos de corte são diferentes. Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 11: CÁLCULO DE VOLUMES - FATIAMENTO x1 x2 0 9 x Seguindo o mesmo raciocínio, vamos proceder o fatiamento da pirâmide, gerando fatias muito finas. Vamos considerar as alturas de cada fatia tão pequenas (infinitesimais), que podemos assumi-las como de valor igual a dx. Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 11: CÁLCULO DE VOLUMES - FATIAMENTO x1 x2 0 9 x A ideia agora é calcular o volume de cada fatia e somar. Raciocínio: • Se as fatias forem grossas, as áreas de cada face da fatia serão bem diferentes; • Se as fatias forem finas, as áreas de cada face da fatia serão quase iguais; • Se as fatias forem infinitesimais, as áreas serão iguais. Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 11: CÁLCULO DE VOLUMES - FATIAMENTO x1 x2 0 9 x Se as fatias forem infinitesimais, as áreas serão iguais Portanto, o volume de cada fatia será: A(x) . dx e o volume poderá ser calculado por: Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm 𝑽 = 𝑨(𝒙)𝒅𝒙 𝟗 𝟎 Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 11: CÁLCULO DE VOLUMES - FATIAMENTO x1 x2 0 9 x No cilindro, A(x) era constante, mas na pirâmide não é. Determinação de A(x). Em 0, o lado da seção quadrada 0. Em 9, o lado da seção quadrada é 5. Como a variação é linear, em 9 cm o lado da seção foi de 0 até 5 cm, o lado cresce 5/9 cm a cada cm. 𝐴 𝑥 = 5𝑥 9 2 ou 25 81 𝑥² Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 11: CÁLCULO DE VOLUMES - FATIAMENTO x1 x2 0 9 x Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm 𝑉 = 25𝑥² 81 9 0 𝑑𝑥 = 25𝑥3 244 0 9 25 93 243 − 25 03 243 = 75 − 0 = 75cm³ Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 11: CÁLCULO DE VOLUMES - FATIAMENTO x1 x2 0 9 x O volume da pirâmide pode ser calculado pela expressão: 𝑉 = 1 3 𝑥2ℎ Substituindo os valores: 𝑉 = 1 3 . 52. 9 = 75 Exemplo: cálculo do volume de pirâmide com base quadrada (5cm) e altura de 9cm Unidade IV: Aplicações de integrais definidas Cálculo Diferencial e Integral I AULA 11: CÁLCULO DE VOLUMES - FATIAMENTO DIRETRIZES PARA APLICAR O MÉTODO DE FATIAMENTO Para calcular o volume de um sólido pelo Método de Fatiamento, recomenda-se: (I) Esboçar o sólido e uma seção transversal que o tipifica para, em seguida, encontrar uma função A(x) que expresse a área desta seção no intervalo desejado; (II) Posicionar o sólido sobre o eixo x e encontrar os limites de integração a e b; (III) Determinar o volume do sólido através do cálculo da integral definida. 𝑽 = 𝑨(𝒙)𝒅𝒙 𝒃 𝒂 Assuntos da próxima aula: 1. Cálculo de volumes: revolução.
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