Aula 02 Conjuntos

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Professor Lucas Moura – 03/10/2017 
Aula 2 – Conjuntos 
 
1 
 
Introdução a Teoria dos Conjuntos 
 
A noção de conjunto, em Matemática, é a mesma utilizada na linguagem 
cotidiana: agrupamento, classe, coleção. 
 
Elementos do conjunto: Cada membro ou objeto que faz parte do conjunto 
é chamado de elemento do conjunto. 
 
Representação de conjuntos 
 
Podemos representar um conjunto de três maneiras: 
 
• Por extensão – escrever dentro de duas chaves todos os elementos do 
conjunto separando – os por vírgulas. 
 
Ex.: 
.A = {2, 3, 5, 7, 11} 
.B = {2, 4, 6, 8} 
 
• Por compreensão – escrever dentro de duas chaves uma propriedade que 
caracterize todos os elementos do conjunto. 
 
Ex.: 
.A = {x/ x é um número primo} 
.B = {x/ x é um número par} 
 
• Pelo diagrama de Venn – os conjuntos são mostrados graficamente. 
 
Ex.: 
 
Obs.: Definimos conjuntos com letras maiúsculas e elementos com 
minúsculas. 
 
Alguns conjuntos importantes 
 
• Conjunto Unitário e Conjunto Vazio 
Embora o conceito intuitivo de conjunto nos dê a ideia de coleção de 
objetos, devemos considerar a existência de conjuntos com apenas um 
elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer 
elemento, chamado de conjunto vazio. 
 
Ex1.: 
.Conjunto dos números primos pares: {2}. 
 
Ex2.: 
.Conjunto dos meses com mais de 31 dias. 
O conjunto vazio tem duas representações: { } ou . 
 
Atenção! 
- Nunca represente o conjunto vazio dessa forma {}, pois assim estamos 
representando o conjunto unitário que possui o elemento vazio. 
- Existem conjuntos cujos elementos também são conjuntos. Por exemplo, 
no conjunto A = {, {0}, {1}, {2}}, os elementos são os conjunto , {0}, 
{1}, {2}. 
 
• Conjunto Universo 
É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um 
determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U. 
 
Ex.: Para construir o conjunto das vogais, podemos usar o conjunto do 
alfabeto como conjunto universo. 
 
• Conjunto finito 
Um conjunto é finito quando a contagem de todos os seus elementos tem 
fim. 
Ex.: A = {dias da semana} 
 B = {primavera, verão, outono, inverno} 
 
• Conjunto infinito 
Um conjunto é infinito quando a quantidade de elementos desse conjunto 
não tem fim. 
 
Ex.: 
A = {0,1,2,3,4,5...} 
 C = {números ímpares} 
 
Obs.: Quando colocamos as reticências no final de uma sequência, 
queremos dizer que ela não acaba, que sempre podemos colocar mais um 
elemento. 
 
• Subconjuntos:. Subconjunto é um conjunto interno a outro conjunto. 
 
• Relação de pertinência 
 
 
 A relação de pertinência é utilizada quando comparamos conjunto com 
elementos. Quando queremos dizer que um elemento qualquer está ou 
não dentro de um conjunto, dizemos que ele pertence ou não pertence a 
esse determinado conjunto. 
 
Ex.: 
Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3}, podemos dizer que 0A e que 6A. 
 
• Relação de inclusão 
 
A relação de inclusão é utilizada quando comparamos conjunto com 
conjunto. 
Pensemos num banheiro e em uma cozinha de uma casa, como dois 
conjuntos, e distintos. Quando comparamos os conjuntos banheiro e 
cozinha com o conjunto casa, podemos dizer que os dois primeiros são 
subconjuntos do terceiro. Já que banheiro e cozinha estão dentro 
(contidos) do conjunto casa. 
Chamando o conjunto cozinha de A, o conjunto banheiro de B e o conjunto 
casa de C, temos: 
 
A  C  A está contido em C 
B  C  B está contido em C 
 
Ao comparamos dois conjuntos, perceberemos que eles nem sempre serão 
iguais, mas em alguns casos alguns elementos sim. 
 
Observe os exemplos: 
 
1) Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e o conjunto B = {2, 3, 4, 5} , 
podemos notar que eles são diferentes, mas possuem algo em comum. 
Todos os elementos do conjunto B estão dentro do conjunto A, sendo 
assim, B é subconjunto de A, ou seja, o conjunto B está contido no 
conjunto A (B  A). Ou podemos dizer ainda que A  B (a contém B). 
 
2) Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3} e B = {7, 8, 9}, nesses dois conjuntos 
não é possível aplicar a relação de inclusão, então dizemos que B⊄A (B 
não está contido em A), assim como B⊅A (B não contêm A). 
 
Um conjunto A é um subconjunto de B (está contido) se, e somente se, 
todos os elementos pertencentes a A também pertencerem a B: 
 
Exemplos: 
- {0,1, 2, 3}  {0,1, 2, 3, 4, 5}; 
- {a,o}  {a,e,i,o,u}; 
- {b, c}  {a,e,i,o,u}. 
 
Obs: Usam,os,  ou ? 
 
 União de conjuntos: Temos como união (U) de conjuntos a junção dos 
elementos comuns e não comuns de dois ou mais conjuntos. 
Ex.: A = {a, b, c, d} B = {a, c, f, h} 
 
 
 A U B = {a, b, c, d, f,h} 
 Interseção: È dito como interseção ( ∩ ) de dois ou mais conjuntos os 
elementos que pertencem a ambos. 
Ex.: {1, 2, 3, 4,6} ∩ {1, 6, 8} = {1, 6} 
Propriedades: 
a) A ∩ A = A b) A ∩ U = A 
c) A ∩ B = B ∩ A d) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 
Obs.: n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 
Onde n(X) significa o número de elementos do conjunto X. 
Subtração:. Formado pelos elementos que pertencem a um conjunto e não 
pertencem a outro. 
Ex.: {2, 3 ,5, 6, 7, 9} – {5, 6, 9, } = {2, 3,5,7} 
Complemento:. Dado dois conjuntos sendo 𝐵 ⊂ 𝐴, chama-se 
complementar de B em relação A o conjunto A – B, no qual 
representamos por 𝐴 ou 𝐶 𝐴
𝐵 
Ex.: Seja A = {a, b, c, f} e B= {b, c}, então 𝐶 𝐴
𝐵 = {𝑎, 𝑓} 
Como calcular o número de subconjuntos 
O número de subconjuntos é dado pela operação 
2n
, onde n é o número 
de elementos do conjunto. 
Ex.: A = {1, 2, 3}, tem três elementos, logo 
32 8
, o conjunto A tem 8 
subconjuntos.Que são: 
S = {{ }; {1}; {2}; {3}; {1, 2}; {1,3}; {2, 3}; {1, 2, 3}} 
OBS.: LEMBRE QUE EM GERAL, EM QUESTÕES DE CONJUNTOS, 
“OU” INDICA UNIÃO E “E” INDICA INTERSEÇÃO. 
 
 
Exercícios 
 
• Nível 1 
 
1) Sabendo que 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, 𝐵 = {𝑎, 𝑑, 𝑒, 𝑓} , 𝐶 = {𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑔} e 𝐷 =
{𝑎, 𝑑} , determine: 
 
a) 𝐴 ∪ 𝐵 b) 𝐴 ∪ 𝐶 c)𝐵 ∪ 𝐶 
b) 𝐴 ∩ 𝐵 d) 𝐴 ∩ 𝐶 e)𝐵 ∩ 𝐶 
f) (𝐴 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) g) (𝐵 ∩ 𝐴 ∩ 𝐶) ∩ 𝐷 
h) 𝐶𝐴
𝐷 i) 𝐵 − 𝐶 
 
2) Utilize os símbolos ∈, ∉, ⊂, ou ⊃ de forma correta para cada alternativa 
abaixo. 
a) 4___{1, 2, 3, 4} b) 5___{1, 2, 3, 4} 
c) {1,2}___{ 2, {1, 2}} d){1,6}___{1,5,6} 
e) ∅___{3, 7} f){}___{𝑎, 𝑏, 𝑐} 
g)𝑑___{𝑎, 𝑏, 𝑐} h){∅}___{{∅}, 10, 12, } 
i)∅___{∅, 10, 12, } j){𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}___{𝑏, 𝑐} 
k){𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝}___{𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠} 
 
 
3) Sabendo que 𝐴 = {{∅}, 3, 1, {3}}, 𝐵 = {3, 1} e 𝐶 = {{∅}, 1, 2, 4, {1}}, 
marque (V) para verdadeiro e (F ) para falso. 
 
a) {∅} ∈ 𝐴 ( ) b)∅ ∈ 𝐴 ( ) 
c) 3 ∈ 𝐴 ( ) d)3 ∈ 𝐵 ( ) 
e){3} ∈ 𝐴 ( ) f){3} ⊂ 𝐴 ( ) 
g){4} ⊂ 𝐵 ( ) h){4} ⊃ 𝐵 ( ) 
i) ∅ ∈ 𝐶 ( ) j){∅} ⊂ 𝐶 ( ) 
k) 𝐵 ⊂ 𝐴 ( ) l)𝐶 ⊂ 𝐴 ( ) 
m){1} ⊂ 𝐶 ( ) n)𝐴 ⊃ 𝐶 ( ) 
o)𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ( ) p){1,4} ∈ 𝐶 ( ) 
q)1 ∈ 𝐶 ( ) 
 
4) Determine a quantidade de subconjuntos dos conjuntos que têm: 
 
a) 2 elementos b)3 elementos 
c) 5 elementos d) 7 elementos 
 
5) Sabendo que 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, 𝑌 = {𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦} e 𝑍 = {𝑎, 𝑥, 𝑤}, represente 
esses conjuntos no diagrama de Venn . 
 
• Nível 2 
 
 6) (CMR). O conjunto unitário é o: 
a) conjuntodos números naturais menores que 30 e maiores que 27. 
b) conjunto dos meses do ano, cujos nomes têm 5 letras. 
c) conjunto dos números naturais maiores que 6 e menores que 8. 
d) conjunto dos estados do Brasil, cujos nomes têm 5 letras. 
 
7)(CMS). O número de subconjuntos do conjunto X formado pelas letras 
da palavra CASA é: 
a) 6 b) 7 c) 8 d) 15 e) 16 
 
8)(CMS). Seja o conjunto M = {2, 3, 4, 5, 6, 11,13, 16, 17, 18, 23}. O 
conjunto G é subconjunto de M formado apenas pelos números pares de 
M. O conjunto P é subconjunto de M formado apenas pelos números 
primos de M e o conjunto L também é subconjunto de M, porém, 
formado apenas pelos divisores de 120 de M. A soma do número de 
elementos dos conjuntos G,P, L é: 
a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19 
 
9)(CMRJ). Observando o diagrama abaixo, onde 
“P” é o conjunto dos poetas e “D” é o conjunto dos 
distraídos, pode-se afirmar que: 
 
a) Todo poeta é distraído. b) Nenhum poeta é distraído. 
c) Todo distraído é poeta. d) Alguns poetas são distraídos 
 
10) (PUC) Se 𝐴 = ∅ 𝑒 𝐵 = {∅}, então: 
 
a) 𝐴 ∈ 𝐵 b) 𝐴 ∪ 𝐵 = ∅ c) 𝐴 = 𝐵 d) 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 e) 𝐵 ⊂ 𝐴 
 
11) (UFES) Se 𝐴 = {−2,3, 𝑚, 8,15} e 𝐵 = {3,5, 𝑛, 10,13} são subconjuntos 
de ℤ (números inteiros), e 𝐴 ∩ 𝐵 = {3,8,10}, então 
 
a) 𝑛 − 𝑚 ∈ 𝐴 b) 𝑛 + 𝑚 ∈ 𝐵 c) 𝑚 − 𝑛 ∈ 𝐴 𝑈 𝐵 
d) 𝑚. 𝑛 ∈ 𝐵 e) {𝑚 + 𝑛, 𝑚. 𝑛} ∈ 𝐴 
 
12) (CMB). Sejam A e C conjuntos de números tais que A = {1, 6, 8} e C = 
{2, 4, 9}. Observe as afirmações seguintes e associe V quando for 
verdadeira e F quando for falsa. 
I. A e C são conjuntos disjuntos, isto é, 𝐴 ∩ 𝐶 = ∅ 
II. 1 ∉ 𝐶 
III. 𝐴 ∪ 𝐶 = { } 
IV. 𝐴 ⊄ 𝑁, sendo N o conjunto dos números naturais. 
A sequência correta é: 
a) FVFF b) FVVF c) VVVF 
d) VFVF e) VVFF 
 
13) (PUCRJ/2010) Sejam x e y números tais que os conjuntos {0,7,1} e 
{𝑥, 𝑦, 1} são iguais. Então, podemos afirmar que: 
a) x = 0 e y = 5 b) x + y = 7 c) x = 0 e y = 1 
d) x + 2y = 7 e) x = y 
 
14)(CMB). Observe as afirmativas abaixo. 
 
I. Se 𝐴 = {∅} e 𝐵 = {1}, então 𝐴 ∪ 𝐵 possui 1 (um) elemento. 
II. Se C = {1, 2, 3} e D = {2, 3} então D ∈ C. 
III. Se E = {1, 2, 3, 4}, então 4 ⊂ E. 
IV. Todo número natural possui um antecessor e um sucessor naturais. 
V. Na reta numerada, se o número natural x está à esquerda do número 
natural y então x > y. 
Agora, marque a alternativa correta. 
a) Quatro afirmativas estão corretas. 
b) Três afirmativas estão corretas. 
c) Duas afirmativas estão corretas. 
d) Uma afirmativa está correta. 
e) Todas as afirmativas estão incorretas. 
 
15)(CMB). Sejam os conjuntos numéricos A = {1, 2, 3, ..., 9, 10} e B = {0, 
1, 2, 3}. Marque alternativa correta. 
a) O conjunto A é infinito. 
b) A ∩ B = {0, 1, 2, 3} 
c) A ∪ B = A 
d) A ∪ B possui 11 elementos distintos. 
e) A ⊃ B 
 
16) (CEFET). Se A e B são dois conjuntos não vazios, de maneira que: A 
∪ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A- B = {3, 5, 8, 9} e B-A = {6, 10}. Então 
A ∩ B é o conjunto: 
 
 
a) {6, 10}; b) {3, 5, 8, 9}; c) 0; 
d) {9}. e) {4, 7} 
 
17) (UFF) Dado o conjunto P = {{0}, 0, ∅, {∅}}, considere as afirmativas: 
 
I - {0} ∈ P 
II - {0} ⊂ P 
III - ∅ ∈ P 
Com relação a estas afirmativas conclui-se que: 
a) Todas são verdadeiras. 
b) Apenas a I é verdadeira. 
c) Apenas a II é verdadeira. 
d) Apenas a III é verdadeira. 
e) Todas são falsas. 
 
18) (EFOMM/2006) Sejam os conjuntos 𝑈 = {1,2,3,4} e 𝐴 = {1,2}. O 
conjunto 𝐵 tal que 𝐵 ∩ 𝐴 = {1} e 𝐴𝑈𝐵 = 𝑈 é 
 
a) 0 b) {1} c) {1,2} d) {1,3,4} e) U 
 
 
Problemas envolvendo Conjuntos 
 
Trata-se da aplicação da teoria dos conjuntos em problemas do cotidiano: 
 
• Exemplo 1 
Em uma empresa, 60 funcionários leem a revista A, 80 leem a revista B, e 
todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O número de 
funcionários que leem as duas revistas , sabendo-se que na empresa há 
100 funcionários: 
Solução: 
Se x é o valor desejado. Desenha-se um diagrama de Venn. 
 
Como a soma dos funcionários igual a 100 temos a equação: 
60 - x + x + 80 - x = 100 
x = 140 - 100 = 40. 
Então, o número de funcionários que leem as duas revista é 40. 
 
• Exemplo 2 
 
Em uma prova de Matemática com apenas duas questões, 300 alunos 
acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo 
que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira 
questão. Quantos alunos fizeram a prova? 
 
Solução: 
Temos que 100 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, 
então, 260 - 100 = 160 acertaram apenas a segunda questão. Se 300 
acertaram somente uma das questões e 160 acertaram apenas a segunda, 
segue que, 300 - 160 = 140 acertaram somente a primeira. Como 210 
erraram a primeira, incluindo os 160 que também erraram a primeira, 
temos que, 210 - 160 = 50 erraram as duas. Assim podemos montar o 
diagrama de Venn, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira 
questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o conjunto 
dos que erraram as duas. Observe a interseção 𝑃1 ∩ 𝑃2 é o conjunto dos 
que acertaram as duas questões. 
 
 
 
Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 
450. 
 
• Exemplo 3 
 
As marcas de refrigerantes mais consumidas em um bar, num certo dia, 
foram A, B e S. Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo 
com a tabela a seguir: 
 
a) Quantos beberam refrigerante, nesse dia? 
b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam apenas duas 
dessas marcas? 
c) Quantos não consumiram o refrigerante S? 
d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca S? 
 
Resposta: a) 315, b) 75, c) 235, d) 155 
 
Exercícios 
 
1) Um médico disse: “De 100 crianças que eu examino, 65 têm gripe e 45 
têm gripe e outras doenças”. Quantas dessas 100 crianças examinadas 
pelo médico têm outras doenças? 
 
2) Dos meus 26 colegas de turma, 18 fizeram exames para Escola Técnica e 
12 para o Colégio Naval. Só um deles não fez nenhum exame. Quantos 
fizeram exames só para a Escola Técnica? 
 
3) O serviço de Orientação Educacional de uma escola verificou, num 
questionário apresentado a 800 rapazes, que 500 gostam de futebol, 200 
de cinema e 130 dos dois. Portanto, o total daqueles que não gostam de 
futebol nem de cinema é: 
 
a) 670 b) 230 c) 100 d) 30 
 
 
4) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV. 
Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 
pessoas assistem o canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e 
B e 80 assistem outros canais distintos de A e B. O número de pessoas 
consultadas foi: 
 
5)(EAM/2004) Em uma viagem foram colocados dois tipos de revistas para 
que os tripulantes de uma fragata desfrutassem de uma boa leitura. Ao 
final da viagem foi feita uma pesquisa com todos os tripulantes para 
saber das preferências com relação às revistas “saúde à bordo” ou “vida 
marinha”, verificou-se que: 
• 20 tripulantes leram “saúde à bordo” 
• 30 tripulantes leram “vida marinha” 
• 8 tripulantes leram as duas revistas 
• 14 tripulantes não leram nenhuma dessas revistas 
Qual o número de tripulantes da fragata nesta viagem? 
a) 56 b) 58 c) 64 d) 68 e) 72 
 
6) (FAETEC) Num Grupo de 75 pessoas, há 35 que falam inglês, 28 que 
falam Francês e 17 que falam inglês e francês. Quantas pessoas não falam 
nenhum dos dois idiomas? 
a) 12 b)23 c) 29 d)30e)40 
 
7) (PUCRJ/2007) Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de 
quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a 
primeira e 20acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as 
duas questões? 
 
a) 40 b) 10 c) Nenhum d) 8 e) 5 
 
 
8) (UFAL) Em uma escola foi feita uma pesquisa entre 320 alunos para 
verificar quantos falam inglês ou espanhol. O resultado foi o seguinte: 
45 não falam esses idiomas 
250 falam inglês 
 
 
180 falam espanhol 
Quantos dos alunos entrevistados falam esses dois idiomas? 
 
9) (IME) Em uma pesquisa realizada entre 500 pessoas foram obtidos os 
seguintes dados: 
- 200 pessoas gostam de música clássica; 
- 400 pessoas gostam de música popular; 
- 75 pessoas gostam de música clássica e de música popular. 
 
Verifique a consistência ou inconsistência dos dados dessa pesquisa. 
 
 
10) (FGV) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas 
acerca de suas preferências em relação a 3 produtos: A, B e C. Os 
resultados da pesquisa indicaram que: 
210 pessoas compram o produto A 
210 pessoas compram o produto B 
20 pessoas compram os 3 produtos 
100 pessoas não compram nenhum dos 3 produtos 
60 pessoas compram os produtos A e B 
70 pessoas compram os produtos A e C 
50 pessoas compram os produtos B e C 
Quantas pessoas foram entrevistadas 
 
a) 670 b) 970 c) 870 d) 610 e) 510 
 
11) (FGV) Numa Universidade com N alunos, 80 estudam Física, 90 
Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 
Biologia e Química e 8 estudam os três cursos. Sabendo-se que esta 
Universidade somente mantém os três cursos, quantos alunos estão 
matriculados na Universidade? 
a) 304 b) 162 c) 146 d) 154 e) n.d.a 
 
12) (PUC) Em um exame vestibular, 30% dos candidatos eram da área de 
Humanas. Dentre esses candidatos, 20% optaram pelo curso de Direito. 
Do total dos candidatos, qual a porcentagem que optaram por Direito? 
a) 50% b) 20% c) 10% d) 6% e) 5% 
 
13) (UNIRIO) Um engenheiro, ao fazer o levantamento do quadro de 
pessoal de uma fabrica, obteve os seguintes dados: 
-28% dos funcionários são mulheres 
-1/6 dos homens são menores de idade 
- 85% dos funcionários são maiores de idade 
Qual a porcentagem dos menores de idade que são mulheres? 
 
 
 
14) (UNESP) Numa cidade com 30000 domicílios, 10000 
domicílios recebem regularmente o jornal da loja de 
eletrodomésticos X, 8000 recebem regularmente o jornal do 
supermercado Y e metade do número de domicílios não recebe 
nenhum dos dois jornais. Determine: 
a) o número de domicílios que recebem os dois jornais, 
 
 
15) (UFPE) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados 
consumidores sobre suas preferências em relação aos produtos A e 
B. Os resultados da pesquisa indicaram que: 
- 310 pessoas compram o produto A; 
- 220 pessoas compram o produto B; 
- 110 pessoas compram os produtos A e B; 
- 510 pessoas não compram nenhum dos dois produtos. 
Indique o número de consumidores entrevistados, dividido por 10. 
 
16) (Unirio) Numa pesquisa para se avaliar a leitura de três revistas "A", 
"B" e "C", descobriu-se que 81 pessoas leem, pelo menos, uma das 
revistas; 61 pessoas leem somente uma delas e 17 pessoas leem duas das 
três revistas. 
Assim sendo, o número de pessoas mais bem informadas dentre as 81 é: 
 
a) 3 b) 5 c) 12 d) 29 e) 37 
 
17) (UERJ/2015) Em uma escola circulam dois jornais: Correio do Grêmio 
e O Estudante. Em relação à leitura desses jornais, por parte dos 840 
alunos da escola, sabe-se que: 
 
• 10% não leem esses jornais; 
• 520 leem o jornal O Estudante; 
• 440 leem o jornal Correio do Grêmio. 
Calcule o número total de alunos do colégio que leem os dois jornais. 
 
18) (UERJ) Três candidatos, A, B e C, concorrem a um mesmo cargo 
público de uma determinada comunidade. A tabela a seguir resume o 
resultado de um levantamento sobre a intenção de voto dos eleitores 
dessa comunidade. 
 
 
 
Pode-se concluir, pelos dados da tabela, que a percentagem de eleitores 
consultados que não votariam no candidato B é: 
 
a) 66,0% b) 70,0% c) 94,5% d) 97,2% 
19) (ENEM) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes 
catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns 
produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página 
inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com 
originais de impressão. Os catálogos C1, C2‚ e C3 terão, 
respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada 
catálogo, ele verifica que C1 e C2‚ terão 10 páginas em comum; C1 e C3 
terão 6 páginas em comum; C2‚ e C3 terão 5 páginas em comum, das 
quais 4 também estarão em C1.Efetuando os cálculos correspondentes, o 
fabricante concluiu que, para a montagem dos três catálogos, 
necessitará de um total de originais de impressão igual a: 
 
a) 135. b) 126. c) 118. d) 114. e) 110. 
 
20) (PUC-PR) Em uma pesquisa feita com 120 empregados de uma firma, 
verificou-se o seguinte: 
- têm casa própria: 38 
- têm curso superior: 42 
- têm plano de saúde: 70 
- têm casa própria e plano de saúde: 34 
- têm casa própria e curso superior: 17 
- têm curso superior e plano de saúde: 24 
- têm casa própria, plano de saúde e curso superior: 15 
Qual a porcentagem dos empregados que não se enquadram em nenhuma 
das situações anteriores? 
 
a) 25% b) 30% c) 35% d) 40% e) 45% 
 
21) (UFBA) Em uma academia de ginástica que oferece várias opções de 
atividades físicas, foi feita uma pesquisa para saber o número de pessoas 
matriculadas em alongamento, hidroginástica e musculação, chegando-se 
ao resultado expresso a seguir: 
 
Alongamento: 109 
 Hidroginástica: 203 
Musculação: 162 
 Alongamento e hidroginástica: 25 
 Alongamento e musculação: 28 
 Hidroginástica e musculação: 41 
 As três atividades: 5 
 Outras atividades: 115 
 
Com base nessas informações, pode-se concluir: 
 
(01) A pesquisa envolveu 500 pessoas. 
 
(02) 61 pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento. 
 
 
(03) 259 pessoas estavam matriculadas em alongamento ou musculação. 
(04) 89 pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades 
indicadas na tabela. 
 
(05) O número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica 
corresponde a 28,4% do total de pessoas envolvidas na pesquisa. 
 
 
 
22)(IFRJ/2012) Numa pesquisa realizada com 100 pessoas, verificou-se 
que o número de usuários de Internet banda larga sem fio é 47; o de 
usuários de Internet banda larga com fio é 32 e o de usuários de Internet 
discada é 21. O número de pessoas que usam Internet banda larga sem fio 
e banda larga com fio é 7 e 5 usam tanto Internet banda larga sem 
fio quanto Internet discada. Além disso, 6 pessoas utilizam tanto a 
Internet discada quanto a banda larga com fio. E 2 pessoas usam os 
três tipos de Internet. O número de pessoas que NÃO utilizam nenhum 
dos três tipos de Internet citados é igual a: 
a) 16 b) 20 c) 22 d) 34 
23)(CMRJ-2010) Uma pesquisa realizada com 300 alunos do Prevest do 
CMRJ revelou que 135,153, e 61 desses alunos pretendem fazer concurso 
para o IME, o ITA e a Escola Naval, respectivamente. Ela mostrou, 
também, que nenhum dos entrevistados pretende prestar vestibular para 
as três instituições; que vários deles farão dois desses concursos e que 
todos farão pelo menos um deles. Sabendo que a quantidade de 
estudantes que farão as provaspara o IME e o ITA é igual ao dobro da 
quantidade dos que realizarão as provas para o IME e a Escola Naval que, 
por sua vez, é igual ao dobro dos que prestarão concurso para o ITA e a 
Escola Naval, a quantidade de entrevistados que farão apenas as provas 
para a Escola Naval é igual a: 
a) 48 b) 45 c) 40 d) 36 e) 30 
 
24)(CMRJ-2009) Em um grupo de 900 entrevistados que assinam, pelo 
menos, uma de três revistas A, B ou C, verificou-se que 
3
5
 dos 
entrevistados assinam a revista A e 
2
3
 assinam a revista B. Se metade dos 
entrevistados assina pelo menos duas dessas revistas e se todos os que 
assinam a revista C assinam também a revista A, mas não assinam a 
revista B, quantos entrevistados assinam a revista C? 
a) 180 b) 210 c) 240 d) 360 e) 540 
 
 
25) (CN-1988) Num grupo de 142 pessoas foi feita uma pesquisa sobre três 
programas de televisão A, B e C constatou-se que: 
I - 40 não assistem a nenhum os três programas; 
II - 103 não assistem o programa C; 
III - 25 só assistem ao programa B; 
IV - 13 assistem aos programas A e B; 
V - O número de pessoas que assistem somente aos programas B e C é a 
metade dos que assistem somente A e B. 
VI - 25 só assistem a 2 programas; 
 VII - 72 só assistem a um dos programas. 
Pode-se concluir que o número de pessoas que assistem: 
 
a) ao programa A é 30. 
b) ao programa C é 39. 
c) aos 3 programas é 6. 
d) aos programas A e C é 13. 
e) aos programas A ou B é 63. 
 
26) (EPCAR-2003) Numa turma de 31 alunos da EPCAR, foi aplicada uma 
prova de matemática valendo 10 pontos no dia em que 2 alunos estavam 
ausentes. Na prova, constavam questões subjetivas: a primeira, sobre 
conjuntos; a segunda sobre funções e a terceira, sobre geometria plana. 
Sabe-se que dos alunos presentes: Nenhum aluno tirou, 11 acertaram a 
segunda e a terceira questões,15 acertaram a questão sobre conjuntos, 1 
aluno acertou somente a parte de geometria plana e 7 alunos acertaram 
apenas a questão sobre funções. É correto afirmar que o número de 
alunos com grau máximo igual a 10 foi 
a) 4 b)5 c)6 d)7 
 
27) (CN-1985) Num colégio verificou-se que 120 alunos não tem pai 
professor, 130 alunos não têm mãe professora e 5 têm pai e mãe 
professores. Qual o número de alunos do colégio, sabendo-se que 55 
alunos possuem pelo menos um dos pais professores e que não existem 
alunos irmãos? 
a) 125 b)135 c)145 d)155 e)165 
 
28) (AFA) Em um grupo de 𝒏 cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam 
basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e 
jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três 
esportes. Qual o valor de , sabendo-se que todos os cadetes desse 
grupo praticam pelo menos um esporte? 
a) 31 b) 37 c) 47 d) 51 
 
29) (E.N) Os 36 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma 
prova de 3 questões para estabelecer a antiguidade militar. Sabendo que, 
dentre estes alunos, 5 só acertaram a primeira questão, 6 só acertaram a 
segunda, 7 só acertaram a terceira, 9 acertaram a primeira e a segunda, 10 
acertaram a primeira e a terceira 7 acertaram a segunda e a terceira e, 4 
erraram todas as questões, podemos afirmar que o número de alunos que 
não acertaram todas as 
3 questões é igual a: 
 
a) 6 b) 8 c) 26 d) 30 
 
 
30) (AFA) Entrevistando 100 oficiais da AFA, descobriu-se que 20 deles 
pilotam a aeronave TUCANO, 40 pilotam o helicóptero ESQUILO e 50 
não são pilotos. Dos oficiais entrevistados, quantos pilotam o TUCANO 
e o ESQUILO? 
 
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 
 
 
Conjunto dos números naturais 
 
Os números naturais são formados pelos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 
0, sendo representados pela letra ℕ. 
ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, … } 
 
PROPRIEDADES: 
Sejam a e b dois números naturais quaisquer temos que: 
1. Comutatividade: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 ou 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎 
2. Associatividade: 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 ou 𝑎. (𝑏. 𝑐) = (𝑎. 𝑏). 𝑐 
3. Distributividade: 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 
4. Elemento neutro: 𝑎 + 0 = 𝑎 ou 𝑎 × 1 = 𝑎 
 
Conjunto dos números inteiros 
 
É representado pela letra ℤ e formado pelos seguintes números: 
ℤ = {… , −3, −2, −1,0,1,2,3, … } 
Desse conjunto destacamos três subconjuntos: 
 
* Conjunto dos inteiros não nulos 
ℤ∗ = {… , −3, −2, −1,1,2,3, … } 
* Conjunto dos inteiros não positivos 
ℤ− = {0, −1, −2, −3, … } 
* Conjunto dos inteiros não negativos 
ℤ+ = {0,1,2,3,4, … } = ℕ 
Observe que ℕ ⊂ ℤ. 
 
PROPRIEDADES 
São bem definidas todas as anteriores e a seguinte: 
 
5. Existência de um elemento simétrico ou inverso aditivo: 
Existe um inteiro 𝑎′ tal que 𝑎 + 𝑎′ = 0 
Podemos concluir que subtrair é somar ao inverso aditivo, ou seja, 𝑎 − 𝑏 =
𝑎 + (−𝑏) 
 
Obs: Considerando x um número inteiro, chamamos de antecessor o 
número que está a uma unidade a esquerda de x e sucessor o que está a 
uma unidade a direita de x. 
Ex: 
Antecessor de 3 é 2. 
Sucessor de 3 é 4. 
 
Conjunto dos números racionais 
 
Representado pela letra ℚ e definido por 
ℚ = {
𝑝
𝑞
, 𝑝 ∈ ℤ 𝑒 𝑞 ∈ ℤ∗}, 
ou seja, todos os números que podem ser escritos na forma do quociente de 
dois números. 
Ex.: 
1
3
,
2
5
,
100
9
 
 
Principais subconjuntos dos racionais: 
* Conjunto dos racionais não nulos = ℚ∗ 
* Conjunto dos racionais não positivos = ℚ− 
* Conjunto dos racionais não negativos = ℚ+ 
 
 
 
Então podemos concluir que toda fração irredutível é racional e se 𝑞 = 1 o 
número será inteiro, então todo número inteiro é um número racional, ou 
seja, ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ 
 
PROPRIEDADES 
São bem definidas todas as propriedades e a seguinte: 
 
6. Existência de um elemento inverso ou inverso multiplicativo: 
Existe um racional 𝑟′ tal que 𝑟. 𝑟′ = 1. Algebricamente 𝑟′ também pode se 
representado por 𝑟−1 ou também por 
1
𝑟
. 
 
Os números decimais podem ser classificados em periódicos ou não 
periódicos: 
* dízimas não periódicas: são os decimais que não apresentam uma 
sequência repetitiva. 
Ex.: 
5,1235467. .. 
𝜋 = 3,14159265 … 
 
* dízimas periódicas: quando o numero decimal possui em seu fim uma 
sequência repetitiva. 
Ex.: 
12,333. . . = 12, 3 
0,999. . . = 0, 9 
Conjunto dos números reais 
 
É formado pela união dos números racionais com os irracionais (números 
decimais não exatos e dízimas não periódicas). Logo podemos concluir 
que ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. 
Aqui estão exemplos de números irracionais: 
√3 = 1,7320508 … 
𝜋 = 3,14159265 … 
OBS: Qualquer operação entre racionais e irracionais sempre tem resultado 
irracional. 
 
PROPRIEDADES 
Nos números reais podem ser utilizadas todas as propriedades anteriores a 
subtração e a divisão (exceto por zero). 
 
Os principais subconjuntos dos reais são: 
* Conjunto dos reais não nulos = ℝ∗ 
* Conjunto dos reais não positivos = ℝ− 
* Conjunto dos reais não negativos = ℝ+ 
 
Reta numérica 
 
Também chamada de reta real, é a reta onde os números estão ordenados 
em ordem crescente tal que: 
 
qualquer número a direita de a é maior que a e qualquer número a esquerda 
de a é menor que a. 
Ex.: 
 
Podemos dizer que: 3/2 > 0 > −1/2 > −1 
 
Tipos de intervalos 
 
Considere x e y dois números reais, tal que x<y 
 
- intervalo fechado: 
 
 {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} = [𝑎; 𝑏] 
 
 
- aberto a direita e fechado a esquerda: 
 
 {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} = [𝑎; 𝑏[ 
 
 
- aberto a esquerda e fechado a direita: 
 
 {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} =]𝑎; 𝑏] 
 
 
- intervalo aberto: 
 
 {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} =]𝑎; 𝑏[-intervalo infinito: 
 
{𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 > 𝑎} =]𝑎; +∞[ 
 
 
{𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 < 𝑎} =] − ∞; 𝑎[ 
 
 
{𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 ≥ 𝑎} = [𝑎; +∞[ 
 
 
{𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 ≤ 𝑎} =] − ∞; 𝑎] 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Calcule a fração geratriz das dízimas abaixo: 
 
a) 0,222... 
b) 0,666... 
c) 0,111…
 
 
d) 0,171717... 
e) 1,7222... 
f) 5,222... 
g) 12,333... 
h) 0,333... 
i) 3,212121... 
j) 7,636363... 
k) 3,545454... 
l) 5,42111... 
m) 6,32242424.. 
n) 0,143143143... 
o)0,56787878... 
p)13,14111... 
q)101,101̅̅ ̅̅ ̅ 
r) 0,2313131... 
s) 19,33464646 … 
 
 
2) Coloque F(falsa) ou V(verdadeira) para as afirmações abaixo: 
a) 2 ∈ ℕ 
b) −2 ∉ ℤ 
c) √7 ∈ ℚ 
d) 1, 67 ∈ ℚ 
e) 0,999 … ∈ ℤ 
f) √6 ∈ ℝ 
g) √5 − √1 ∉ ℝ 
h) 3,14159265 ∈ ℚ 
 
3) Complete as proposições utilizando as relações de pertinência e inclusão: 
 
a) 2___ ℕ 
b) (3 − 5)____ℕ 
c) 
8
4
____ℤ 
d) ℤ∗____ℕ 
e) ℤ− ____{2} 
f) {√2 − √4}____ℝ− 
g) 
2
3
____ℚ 
h) 38, 3____ℚ+ 
i) 𝜋____(ℝ − ℚ) 
a) −2___ℕ 
b) ℤ___ℤ 
c) −3___ℤ 
d) )ℕ___ℝ 
e) ℤ___ℚ 
f) 0___ℕ∗ 
g)13,2187141516141516141516 … ___ℚ∗ 
h)𝜋___ℝ 
i) 
7
2
 ___ℚ 
j)ℝ___ℚ 
k)2,718281 … ___ℚ 
 
 
l) ℚ+___ℤ 
 
 
4) Calcule as operações abaixo: 
 
a) ℕ ∪ ℤ 
b) ℕ − ℤ 
c) ℚ ∩ ℕ 
d) ℤ − ℕ 
e) 𝕀 ∩ ℚ 
f) ℚ ∪ 𝕀 
g) ℤ ∩ ℚ 
h) ℤ+ ∩ ℤ− 
i) 𝐶ℝ
𝕀 
j) ℕ ∩ ℤ ∩ ℚ 
k) ℕ ∪ ℤ ∪ ℚ 
l) ℤ+ ∩ ℕ 
m) ℤ− ∩ ℕ 
 
5) Dados os conjuntos 𝐴 = [2; 5], 𝐵 =]3; 6] 𝑒 𝐶 =]1; 4[, calcule os 
conjuntos: 
 
a) 𝐴 ∪ 𝐵 b) 𝐴 ∩ 𝐵 c) 𝐴 ∪ 𝐶 d) 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 
e) 𝐴 − 𝐵 f) 𝐵 − 𝐴 g) 𝐵 ∩ 𝐶 
 
6)Represente na reta real os intervalos: 
 
a) [6, 8] 
b) ] – 3, 5] 
c) ] – 2, 6] 
d) [ –1, 5] 
e) ] – ∞, 1] 
f) [2, 6] 
g) [ –1, 3] 
 
7)Determine os conjuntos utilizando a interseção, união e subtração: 
 
a) [1, 3] ___ [2, 5] 
b) ] – 1, 4] ___[3, 7] 
c) ] 2, 4] ___ [1, 3[ 
d) [ –5, 5] ___ [0, 3[ 
e) ] −∞, 1] ___[1, 3] 
f) [ − 1, 3]___ ]0, +∞[ 
 
 
8) Dados os conjuntos A = [1, 3[ e B = ]2, 9], os conjuntos (A  B), (A 
 B) e (A – B) são, respectivamente: 
 a) [1, 9], ]2, 3[, [1, 2] 
 b) ]1, 9], ]2, 3[, ]1, 2] 
 c) ]1, 9[, ]2, 3[, ]1, 2] 
 d) [1, 9], ]2, 3], [1, 2] 
 e) [1, 9], [2, 3], [1, 2] 
9) Calcule as expressões: 
 
a) 
0,222…+0,777…
5
 
b) 
12,333…+√576
17,111…
 
c) 
32,545454…+√17,111…
4
 
 
 
10) (EsSA/1976) O número + √2 é: 
a) racional positivo 
b) irracional positivo 
c) inteiro negativo 
d) irracional negativo 
 
11) (EsSA/1993) O valor de √0,11111 … é: 
 
a) racional inteiro 
b) 0,1 
c) 0,333... 
d) 0,111... 
e) 0,222... 
 
 
12) (EsPCEx/2001) Dados os conjuntos: 
 
 𝑅 = {𝑥|𝑥 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙} 
 𝑄 = {𝑥|𝑥 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙} 
 𝑁 = {𝑥|𝑥 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙} 
 𝑃 = {𝑥|𝑥 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜} 
 
e considerando as afirmações: 
(I) P  Q 
(II) R  Q 
(III) P  Q 
(IV) 6  (R  Q  N  P) 
(V) 5  (Q  P) 
estão corretas as afirmações: 
a) I e III. 
b) II e V. 
c) III e IV. 
d) IV e V. 
e) I e V. 
13) (ESSA/1887). Calculando o valor da expressão
0,272727…+
1
3
4−0.222…
, obtemos: 
a) 
30
187
 
b) 
3
20
 
c) 
15
17
 
d) 
4
15
 
e) 
19
200
 
 
14) (EsPCEX/2003). Quaisquer que sejam o número irracional a e o 
número racional b, pode-se afirmar que, sempre, 
a) 𝑎. 𝑎 é irracional 
b) 𝑎2 + 𝑏 é racional 
c)𝑎. 𝑏 é racional 
d) 𝑏 − 𝑎 + √2 é irracional 
e) 𝑏 + 2𝑎 é irracional 
 
15) (EsPCEx/1996) Sendo: 
• 𝑅+, o conjunto dos números reais não negativos, 
• 𝑄 , o conjunto dos números racionais, 
• 𝑍, o conjuntos dos números inteiros, 
• 𝑁, o conjunto dos números naturais, 
A interseção dos conjuntos 𝑅+, 𝑄 ∪ (𝑁 ∩ 𝑍) 𝑒 (𝑍 ∩ 𝑄) ∪ 𝑁 é igual a: 
a) ∅ 
b) 𝑅+
∗ 
c) 𝑄∗ 
d) 𝑁 
e) 𝑍+ 
 
16) (EsPCEx/2000) É correto afirmar que: 
 
a) A soma e a diferença de dois números naturais é sempre um número 
natural; 
b) O produto e o quociente de dois números inteiros é sempre um número 
inteiro; 
c) A soma de dois números racionais é sempre um número racional; 
d) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional; 
e) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
 
17) (EsPCEx/1998) Considerando-se que: 
 
 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = {𝑛 ∈ ℕ|1 ≤ 𝑛 ≤ 10} 
 𝐴 ∩ 𝐵 = {2, 3, 8} 
 𝐴 ∩ 𝐶 = {2, 7} 
 𝐵 ∩ 𝐶 = {2, 5, 6} 
 𝐴 ∪ 𝐵 = { 𝑛 ∈ ℕ|1 ≤ 𝑛 ≤ 8} 
Podemos afirmar que o conjunto C é: 
a) {9, 10} 
b) {5, 6, 9, 10} 
c) {2, 5, 6, 7, 9, 10} 
d) {2, 5, 6, 7} 
e) 𝐴 ∪ 𝐵 
 
 
 
18) (EPCAR/2000). Assinale a alternativa FALSA. 
 
a) ℤ − ℕ = conjuntos dos números inteiros negativos 
b) ℚ − ℤ =conjunto dos números naturais não-inteiros 
c) ℤ+ ∩ ℤ− = ∅ 
d) ℤ∗ = conjunto dos números inteiros não nulos 
 
19) (UFF) Sejam M , N e P, Q conjuntos M = {x ∈ R | - 9 < x < 25, N { x 
∈ R | x > - 10}; P = x ∈ R | - 8 < x < 30; Q = { x ∈ R | x < 20}; O 
conjunto M ∩ N ∪ P ∩ Q é: 
a) {x ∈ R | - 9 < x < 20} 
b) {x ∈ R | - 10 < x < 20} 
c) {x ∈ R | - 8 < x < 25} 
d) {x ∈ R | - 8 < x < 20} 
e) {x ∈ R | - 8 < x < 20} 
 
20) (CEFET) Sabendo que A B = [-1,6], A B = ( x IR / 2 x 
< 5), A C = [-1,2] e B-A = (x IR / 5 x 6) C - B = (-1,2), 
podemos concluir que: 
a) A = [- 1,5] e B = [2, 6], 
b) A = [-1,5] e B = [2. 6]: 
c) C = [-1,2] e A = 0; 
d) A = [-1,5] e C = [-1,2]; 
e) A = [-1,5] e B = [2, 6], 
 
21) (FAETEC-2010) Considere os números m = 2,5, n = 0,666..., p = 0 e 
q=√3 . Dentre esses números, os racionais são: 
a) m, n e p 
b) m, n e q 
c) m, p e q 
d) n, p e q 
e) m, n, p e q 
 
22) (FIOCRUZ-2010) No intuito de realizar o último Conselho de Classe 
em um único dia, uma determinada escola de Ensino Fundamental, que 
possui 16 turmas, sendo 4 para cada ano do segundo ciclo, propôs uma 
dinâmica para garantir o máximo de participação dos professores. A 
numeração de cada turma possui 3 algarismos: o primeiro indica o ano da 
turma, o segundo é zero e o terceiro varia entre um e quatro. Assim, por 
exemplo, as turmas do 6° ano são 601, 602, 603 e 604. A proposta exigiu, 
portanto, que o Conselho ocorresse em quatro salas simultaneamente, 
obedecendo os seguintes critérios: 
 
. em cada sala, foram discutidas quatro turmas, que foram divididas do 
seguinte modo: as turmas que terminam com algarismo 1 ficaram na sala 1, 
as turmas que terminam com algarismo 2 ficaram na sala 2 e assim 
sucessivamente; 
 
. em cada sala, o COC foi dividido em quatro momentos; 
 
. em cada momento, uma turma de cada ano foi discutida simultaneamente. 
 
A tabela abaixo representa, de forma incompleta, a distribuição realizada. 
 
Tabela 1: Distribuição das turmas por salas e momentos 
 
 
 
 
Sabendo que Jairo e Mônica são professores de quatro turmas cada e que 
conseguiram participar do Conselho de todas as suas turmas. Considere 
as seguintes informações: (a) Jairo é professor de todas as turmas do 7º 
ano; 
(b) Mônica tem uma turma de cada ano; 
(c) Mônica percorreu três das salas, permanecendo em uma mesma durante 
os dois primeiros momentos e 
(d) Jairo e Mônica se encontraram somente no último momento. A 
interpretação da dinâmica proposta para o último COC indica que 
Mônica é professora das turmas: 
a) 601, 804, 904 
b) 601, 801, 902 
c) 604, 801, 904 
d) 603, 804, 904 
e) 602, 802, 901 
 
23) (FIOCRUZ-2008) Na inauguração de um novo supermercado, havia um 
desafio, que consistia em descobrir em qualdas cinco embalagens 
dispostas em uma prateleira estaria uma premiação surpresa. Quem 
resolvesse o desafio corretamente levaria o prêmio. Em cada uma das 
embalagens, havia uma informação, porém somente uma estava correta. 
Eis as afirmações: 
 
Embalagem 1: O prêmio não está aqui. 
Embalagem 2: O prêmio está na embalagem1. 
Embalagem 3: A segunda afirmação é falsa. 
Embalagem 4: A primeira afirmação é verdadeira. 
Embalagem 5: O prêmio está aqui. 
 
É correto afirmar que o prêmio está na embalagem: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
24) (EPCAR - 2º ano/98) Seja 𝑥 um número racional qualquer e 𝑦 um 
irracional qualquer. Analise as proposições abaixo e marque a alternativa 
correta. 
 
I. √2. 𝑥 pode ser racional. 
II. 𝑦2 é sempre irracional. 
III. 𝑦3 nem sempre é irracional. 
IV. √𝑥 é sempre um número real. 
 
São verdadeiras somente as proposições 
 
a) I e IV c) I e III 
b) II e III d) II e IV 
 
 
25) Quais das proposições abaixo são verdadeiras? 
 
𝑎) 0 ∈ ℕ 𝑏) 0 ∉ ℤ 𝑐) − 10 ∉ ℤ 𝑑) ℤ+ ⊃ ℕ 
𝑒) (2 − 3) ∈ ℤ 𝑓) ℕ ⊂ ℤ 
 
26) As figuras a seguir representam quatro cartões A, B, C, D, que foram 
colocados sobre a mesa. 
 
 
 
 
 
 
Quem os colocou assim, afirmou: 
 
"Todo cartão que tiver um número racional em uma face terá um polígono 
na outra." 
Uma pessoa deseja verificar se essa afirmação é verdadeira. Para cada 
cartão indique se a pessoa será obrigada a olhar a outra face desse mesmo 
cartão. Justifique. 
 
 
27) (CEFET 2008) Sobre o comprimento de uma circunferência e seu 
respectivo raio, podemos afirmar que: 
 
a) O comprimento e o raio são expressos sempre por números irracionais. 
b) Se o comprimento for expresso por um número inteiro, o raio deverá ser 
expresso por um número irracional. 
c) Se o raio for expresso por um número racional, o comprimento deverá 
ser expresso por um número inteiro. 
d) Se o raio for expresso por um número irracional, o comprimento deverá 
ser expresso por um número inteiro 
 
0,666... √5 
 
 
30) (FAETEC/2016) A figura a seguir representa um trecho de uma 
rodovia, na qual uma pessoa está localizada na seta indicada. 
 
O número que melhor representa a localização dessa pessoa é 
 
(A) 19,2 (B) 19,3 (C) 19,4 (D) 19,5 (E) 19,6 
 
 
31) (FAETEC/2015) Observe o segmento de reta abaixo, dividido em 5 
segmentos congruentes: Nele estão representados seis números reais. 
 
 
A quantidade de elementos do conjunto {A, B, C, D} que representa 
números inteiros é: 
 
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 
 
32) (FAETEC/2015) Considere os seguintes números reais: 
A = 12% 
B = 0,105 
C = 0,11 
D = 0,1222... 
E = (0,2)² 
O maior e o menor desses números são, respectivamente: 
 
A) D e E B) E e B C) A e E D) D e C E) E e C