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UFJF - Universidade Federal de Juiz de Fora ICE - Departamento de Matema´tica Lista de Exerc´ıcios - MAT 156 - Ca´lculo II 1a Questa˜o: Escreva a equac¸a˜o e identifique a sec¸a˜o de cada superf´ıcie qua´drica no plano indicado. a) 2x2 + 3y2 + z2 = 6, x = 1. b) x2 9 − y 2 4 + z2 25 = 1, z = 4. c) z2 − y 2 9 − x 2 16 = 0, y = 0. d) 3x2 + 4y2 = z, x = 2. 2a Questa˜o: Determine os trac¸os, as sec¸o˜es e identifique a superf´ıcie qua´drica, em seguida esboce seu gra´fico. a) x2 + y2 + z2 = 1, y ≤ 0. b) 9x2 + 9y2 + z2 = 36. c) 4x2 − 9y2 + 9z2 = 36. d) 4x2 − 9y2 − z2 = 36. e) x2 + 5y2 = 8z2. f) z = 4− 2x2 − 3y2. g) x2 + z2 = 1, 0 ≤ y ≤ 1. h) y − x2 = 1, −2 ≤ x ≤ 2. i) z2 = 1− 2y + y2. j) x2 + y2 + z2 − 2y − 2x+ 1 = 0. k) x2 + y2 − z2 − 4y = 0. l) x2 − y2 + z2 + 2y + 3 = 0. 3a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o da superf´ıcie de pontos P = (x, y, z) cuja distaˆncia ao eixo y e´ 2 3 da distaˆncia de P ao plano xz. Identifique a superf´ıcie. 4a Questa˜o: Escreva a equac¸a˜o da superf´ıcie de pontos P = (x, y, z) tais que a distaˆncia de P ao ponto (0, 0, 1) e´ a mesma do que a de P ao plano y = −1. Identifique a superf´ıcie. 5a Questa˜o: Obtenha a projec¸a˜o sobre o plano xy da curva de intersec¸a˜o das superf´ıcies z = 1− x2 e z = x2 + y2. 6a Questa˜o: Dadas as equac¸o˜es abaixo identifique a qua´drica que ela representa e fac¸a um esboc¸o do seu gra´fico: 1 a) 4x2 − 2y2 + z2 = 1. b) x2 + y + z2 = 0. c) x2 − 9y2 = 9. d) 4x2 − 9y2 − 36z = 0. 7a Questa˜o: Obtenha a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos pontos equidistantes do plano pi : x = 2 e do ponto P = (−2, 0, 0) e identifique a superf´ıcie. 8a Questa˜o: Obtenha a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos pontos equidistantes das retas r : (x, y, z) = (0,−1, 0) + t(1, 0, 0) e s : (x, y, z) = (0, 1, 0) + t(0, 0, 1). Identifique a superf´ıcie. 9a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos pontos P = (x, y, z) tais que a soma das distaˆncias de P aos pontos (2, 0, 0) e (−2, 0, 0) e´ igual a 6. Identifique a superf´ıcie. 10a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos pontos P = (x, y, z) tais que o mo´dulo da diferenc¸a entre as distaˆncias de P aos dois pontos (2, 0, 0) e (−2, 0, 0) e´ igual a 3. Identifique a superf´ıcie. 11a Questa˜o: Esboce o gra´fico das superf´ıcies abaixo: a) x = −2. b) y = 3. c) z = 4. d) x+ 2y − 6 = 0. e) 3x− 2z − 12 = 0. f) 2z − 5y − 10 = 0. g) 2x+ y + 5z − 10 = 0. h) x2 + (y − 2)2 = 4. i) y2 + z2 = 16. j) 4x2 + 9z2 = 36. k) x2 = 9z. l) y = |z|. m) x2 − 4y = 0. n) y2 − x2 = 16. o) z2 = 4y2. p) yz = 1. 2 q) z = lnx. r) |y|+ |z| = 1. 12a Questa˜o: Determine uma equac¸a˜o da superf´ıcie de revoluc¸a˜o gerada pela rotac¸a˜o da curva plana dada em torno do eixo indicado. Esboce a superf´ıcie. a) x2 = 4y, em torno do eixo y. b) z = 4 + y2, em torno do eixo z. c) x2 + z2 = 16, em torno do eixo x. d) z = e−x 2 , em torno do eixo x. e) y2z = 1, em torno do eixo z. f) y = sin y, em torno do eixo y. 13a Questa˜o: Obtenha a curva geratriz e o eixo da superf´ıcie de revoluc¸a˜o dada. Fac¸a um esboc¸o da superf´ıcie. a) x2 + z2 − y2 = 0, com x2 + z2 ≤ 4. b) x2 + y2 + 4z2 = 16. c) z4 − 16x2 = 16y2. d) x2 + z2 = |y|. e) x2 + y2 = − ln z. 3
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