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Lista de Exercícios Quádricas - Calculo II - UFJF

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UFJF - Universidade Federal de Juiz de Fora
ICE - Departamento de Matema´tica
Lista de Exerc´ıcios - MAT 156 - Ca´lculo II
1a Questa˜o: Escreva a equac¸a˜o e identifique a sec¸a˜o de cada superf´ıcie qua´drica no plano indicado.
a) 2x2 + 3y2 + z2 = 6, x = 1.
b)
x2
9
− y
2
4
+
z2
25
= 1, z = 4.
c) z2 − y
2
9
− x
2
16
= 0, y = 0.
d) 3x2 + 4y2 = z, x = 2.
2a Questa˜o: Determine os trac¸os, as sec¸o˜es e identifique a superf´ıcie qua´drica, em seguida esboce seu gra´fico.
a) x2 + y2 + z2 = 1, y ≤ 0.
b) 9x2 + 9y2 + z2 = 36.
c) 4x2 − 9y2 + 9z2 = 36.
d) 4x2 − 9y2 − z2 = 36.
e) x2 + 5y2 = 8z2.
f) z = 4− 2x2 − 3y2.
g) x2 + z2 = 1, 0 ≤ y ≤ 1.
h) y − x2 = 1, −2 ≤ x ≤ 2.
i) z2 = 1− 2y + y2.
j) x2 + y2 + z2 − 2y − 2x+ 1 = 0.
k) x2 + y2 − z2 − 4y = 0.
l) x2 − y2 + z2 + 2y + 3 = 0.
3a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o da superf´ıcie de pontos P = (x, y, z) cuja distaˆncia ao eixo y e´
2
3
da distaˆncia
de P ao plano xz. Identifique a superf´ıcie.
4a Questa˜o: Escreva a equac¸a˜o da superf´ıcie de pontos P = (x, y, z) tais que a distaˆncia de P ao ponto (0, 0, 1) e´
a mesma do que a de P ao plano y = −1. Identifique a superf´ıcie.
5a Questa˜o: Obtenha a projec¸a˜o sobre o plano xy da curva de intersec¸a˜o das superf´ıcies z = 1− x2 e z = x2 + y2.
6a Questa˜o: Dadas as equac¸o˜es abaixo identifique a qua´drica que ela representa e fac¸a um esboc¸o do seu gra´fico:
1
a) 4x2 − 2y2 + z2 = 1.
b) x2 + y + z2 = 0.
c) x2 − 9y2 = 9.
d) 4x2 − 9y2 − 36z = 0.
7a Questa˜o: Obtenha a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos pontos equidistantes do plano pi : x = 2 e do ponto
P = (−2, 0, 0) e identifique a superf´ıcie.
8a Questa˜o: Obtenha a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos pontos equidistantes das retas
r : (x, y, z) = (0,−1, 0) + t(1, 0, 0) e s : (x, y, z) = (0, 1, 0) + t(0, 0, 1).
Identifique a superf´ıcie.
9a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos pontos P = (x, y, z) tais que a soma das distaˆncias de
P aos pontos (2, 0, 0) e (−2, 0, 0) e´ igual a 6. Identifique a superf´ıcie.
10a Questa˜o: Determine a equac¸a˜o do lugar geome´trico dos pontos P = (x, y, z) tais que o mo´dulo da diferenc¸a
entre as distaˆncias de P aos dois pontos (2, 0, 0) e (−2, 0, 0) e´ igual a 3. Identifique a superf´ıcie.
11a Questa˜o: Esboce o gra´fico das superf´ıcies abaixo:
a) x = −2.
b) y = 3.
c) z = 4.
d) x+ 2y − 6 = 0.
e) 3x− 2z − 12 = 0.
f) 2z − 5y − 10 = 0.
g) 2x+ y + 5z − 10 = 0.
h) x2 + (y − 2)2 = 4.
i) y2 + z2 = 16.
j) 4x2 + 9z2 = 36.
k) x2 = 9z.
l) y = |z|.
m) x2 − 4y = 0.
n) y2 − x2 = 16.
o) z2 = 4y2.
p) yz = 1.
2
q) z = lnx.
r) |y|+ |z| = 1.
12a Questa˜o: Determine uma equac¸a˜o da superf´ıcie de revoluc¸a˜o gerada pela rotac¸a˜o da curva plana dada em
torno do eixo indicado. Esboce a superf´ıcie.
a) x2 = 4y, em torno do eixo y.
b) z = 4 + y2, em torno do eixo z.
c) x2 + z2 = 16, em torno do eixo x.
d) z = e−x
2
, em torno do eixo x.
e) y2z = 1, em torno do eixo z.
f) y = sin y, em torno do eixo y.
13a Questa˜o: Obtenha a curva geratriz e o eixo da superf´ıcie de revoluc¸a˜o dada. Fac¸a um esboc¸o da superf´ıcie.
a) x2 + z2 − y2 = 0, com x2 + z2 ≤ 4.
b) x2 + y2 + 4z2 = 16.
c) z4 − 16x2 = 16y2.
d) x2 + z2 = |y|.
e) x2 + y2 = − ln z.
3

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