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Derivadas (Parte 1) Prof. Me. André Breve andre.breve@estacio.br • Nesta aula: – Revisão de Limites de funções contínuas e descontínuas; – Conceituação de Derivada baseada no problema da reta tangente; – Regras de Derivação; – Regra da Cadeia; – Derivadas de Ordem Superior. Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Limite • Limites – O limite de uma função num determinado valor de x, isto é lim f(x) é definido como aquele valor que a função assume nas vizinhanças de x = x0 . – O limite está relacionado com os valores que a função assume nas vizinhanças de x0, mas não necessariamente em x0. Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve x x0 • Limites – Dois casos principais de cálculos de limites: • Funções Contínuas • Funções Descontínuas Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve Limite • Funções Contínuas – O valor do limite de uma função, quando x tende para um valor x0 confunde-se com o valor da função f(x0) no ponto x = x0 – Desta forma, se f(x) é contínua em x0: lim f(x0) Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve x x0 Limite • Funções Contínuas Ex: Encontrar o lim (3x-1) Vamos calcular os valores que f(x) = 3x – 1 assume nas vizinhanças de x = 2: Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve Limite x 2 X=0 f(0) = -4 X=1 f(1) = -1 X=1,5 f(1,5) = 3,5 X=1,9 f(1,9) = 4,7 X=1,99 f(1,99) = 4,97 X=1,999 f(1,999) = 4,997 X=1,9999 f(1,9999) = 4,9997 X=4 f(4) = 11 X=3 f(3) = 8 X=2,5 f(2,5) = 6,5 X=2,1 f(2,1) = 5,3 X=2,01 f(2,01) = 5,03 X=2,001 f(2,001) = 5,003 X=2,0001 f(2,0001) = 5,0003 • Funções Contínuas Exemplo (continuação): Observe que a função assume valores muito próximos de 5,0 nas vizinhanças à esquerda e à direita de x = 2 Conclui-se que o limite de f(x) quando x tende a 2 é 5, isto é, lim (3x-1) = f(2) = 5 Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve x x0 Limite • Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve x 1 x -2 x -4 x 0 x 10 x 0 x 2 Limite -1 -10 -4 10 0 4 ? A função não é contínua no ponto! • Funções Descontínuas – O limite é definido pela tendência da função em torno do ponto (nas suas vizinhanças), mas não nele exatamente. – É preciso descobrir o comportamento da função em torno do ponto, mas não nele – Nestes casos, devemos utilizar a fatoração para encontrar outra função que seja contínua em x0 e que tenha o mesmo comportamento da função original Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve Limite • Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve x 2 X=0 f(0) = 2 X=1 f(1) = 3 X=1,5 f(1,5) = 3,5 X=1,9 f(1,9) = 3,9 X=1,99 f(1,99) = 3,99 X=1,999 f(1,999) = 3,999 X=1,9999 f(1,9999) = 3,9999 X=4 f(4) = 6 X=3 f(3) = 5 X=2,5 f(2,5) = 4,5 X=2,1 f(2,1) = 4,1 X=2,01 f(2,01) = 4,01 X=2,001 f(2,001) = 4,001 X=2,0001 f(2,0001) = 4,0001 Limite • Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve x 2 Limite • Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve x 2 x 2 Limite • Derivadas – A Reta Tangente • Vamos definir a inclinação de uma curva y=f(x) para, em seguida, encontrar a equação da reta tangente à curva num dado ponto • As ideias que usaremos foram introduzidas no século XVIII por Newton e Leibnitz Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas • A Reta Tangente – Seja y=f(x) uma curva definida no intervalo (a, b) – Sejam P0(x0, y0) e P(x, y) dois pontos distintos da curva – Seja r a reta secante que passa pelos pontos P0 e P Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas • A Reta Tangente Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Coeficiente angular da reta r: Derivadas • A Derivada de uma Função num ponto – A derivada de uma função f(x) no ponto x1, denotada por f’(x1), (lê-se f linha de x, no ponto x1) é definida pelo limite: , quando este limite existe Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas • Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas • Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas • Derivadas – Exemplo: Dada f(x) = 5x2 + 6x – 1, encontre f’(x) Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas • Derivadas – Exercícios: 1) Dada f(x) = x2 + 1, encontre f’(x) 2) Dada f(x) = x3 + x, encontre f’(x) Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas • Regras Básicas de Derivação – A derivada de uma função f(x) é definida como o limite da taxa de variação de f em relação a x para intervalos infinitesimamente pequenos de x. – Obter a derivada através do cálculo de limites nem sempre é tarefa fácil. Dependendo da expressão que define tal função, o cálculo desse tipo de limite pode se transformar em uma tarefa árdua e penosa. Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas • Regras Básicas de Derivação – É possível obter derivadas de funções de diversos tipos sem ter que calcular limites? Sim! – O processo de obtenção das derivadas será realizado através de aplicações de algumas regras (fórmulas). – Não nos preocuparemos em demonstrar como tais regras foram obtidas, não é o foco no momento. Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas • Regras Básicas de Derivação – Como a derivada de uma função representa a sua taxa de variação, então, se a função não varia (é constante), sua derivada deve ser igual a zero. – Ex: f(x) = 5 => f ’(x) = 0 Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Regra 1: Derivada de uma Função y = k (Derivada de uma constante) Seja uma função do tipo y = k, em que k é uma constante, então sua derivada é: y’ = 0 Derivadas • Regras Básicas de Derivação – A função derivada y’ acima não pode ser calculada quando se tem x = 0 e n = 0. – Ex: f(x) = x4 Tomando n = 4, na regra 1, temos: f’(x) = 4.x4-1 => f’(x) = 4x3 Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Regra 2: Derivada da Função y = xn (Derivada de uma potência) Seja uma função do tipo y = xn, então sua derivada é: y’ = n.xn-1 Derivadas • Regras Básicas de Derivação – A regra 3 nos indica que a derivada de uma soma ou subtração de funções é igual à soma ou subtração, respectivamente, de suas derivadas. Isso nos permite, numa função em que os termos aparecem na forma de adição e/ou subtração, derivar cada termo separadamente. Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Regra 3: Derivada da Função y = f(x) ± g(x) (Derivada da soma ou da diferença de funções) Seja uma função do tipo y = f(x) ± g(x), então sua derivada é: y’ = f’(x) ± g’(x) Derivadas • Regras Básicas de Derivação – Exemplo da Regra 3: f(x)=x3+x2-x+7 f’(x) = (x3)’+ (x2)’ - (x)’ + (7)’ f’(x) = 3.x3-1 + 2.x2-1 – 1 f’(x) = 3x2 + 2x – 1 Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas • Regras Básicas de Derivação – Exemplo: f’(x) = 5x3 f’(x) = 5.3x3-1 f’(x) = 15x2 Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Regra 4: Derivada da Função y = k.f(x) Seja uma função do tipo y = k.f(x), em que k é uma constante, então sua derivada é: y’ = k.f’(x) Derivadas • Regras Básicas de Derivação – Ainda sobre a Regra 4, quando uma função é representada por uma constante k multiplicada por outra função ou por outra função dividida pela constante, então, para derivá-la, precisamos apenas trabalhar com a parte funcional (parte que representa a variável independente x), mantendo a constante da forma como se apresenta na função original, antes de começar o processo de derivação. Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas • Regras Básicas de Derivação – Exemplo: y = (x2-5x)(3x+1) Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Regra 5: Derivada da Função y = f(x).g(x) (Derivada do produto) Seja uma função do tipo y = f(x).g(x), então sua derivada é: y’=f’(x).g(x)+g’(x).f(x) f(x) = x2-5x g(x) = 3x+1 f’(x) = 2x-5 g’(x) = 3 y’ = f’(x).g(x)+g’(x).f(x) y’ = (2x-5).(3x+1)+3(x2-5x) y’ = 9x2-28x-5 Derivadas • Regras Básicas de Derivação Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas • Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve f(x) = x2-3x g(x) = 2x+1 f’(x) = 2x-3 g’(x) = 2 Derivadas • Regras Básicas de Derivação – Exercícios: Encontre a derivada das funções abaixo: a) f(x) = 3x2 + 6x – 10 b) f(w) = aw2 + b c) f(x) = 14 - 1 2 x-3 d) y = (2x + 1)(3x2 + 6) e) f(x) = 7(ax2 + bx + c) f) f(x) = 𝑥 g) y = 2𝑥+4 3𝑥 −1 Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas • Exercício: Considerando y = (3x + 1)3, determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥 . Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve y = (3x + 1)2.(3x + 1) y = (9x2 + 6x + 1).(3x + 1) y = 27x3 + 18x2 + 3x + 9x2 + 6x + 1 y = 27x3 + 27x2 + 9x + 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 27.3x3-1 + 27.2x2-1 + 9 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 81x2 + 54x + 9 Derivadas • Derivada de Função Composta Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Regra da Cadeia: Se y é uma função diferenciável de t e se t é uma função diferenciável de x, então y é uma função diferenciável de x e 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 . 𝑑𝑡 𝑑𝑥 Derivadas • Regra da Cadeia – Retomando o exercício anterior e aplicando a regra da cadeia: Considerando y = (3x + 1)3, determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥 . Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 . 𝑑𝑡 𝑑𝑥 y = (3x + 1)3 y = t3 u = 3x + 1 t 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑡2.3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3(3𝑥 + 1)2.3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 9(9𝑥2 + 6𝑥 + 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 81𝑥2 + 54𝑥 + 9 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 3𝑡3−1 = 3𝑡2 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 1.3𝑥1−1 + 0 = 3 Derivadas • Regra da Cadeia Exercícios: 1) Dada a função y = (3x2 – 5x + 2)6. Calcule 𝑑𝑦 𝑑𝑥 . Resposta: 2) Calcule g’(x) se g(x) = 2𝑥+3 3𝑥 5 . Resposta: Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 36𝑥 − 30 3𝑥2 − 5𝑥 + 2 5 𝑑𝑔 𝑑𝑥 = −5 𝑥2 . 2𝑥 + 3 3𝑥 4 • Regra da Cadeia – Proposição: Se y = f(x) é uma função derivável e n é um número racional não nulo, então 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝑛 = 𝑛. 𝑓 𝑥 𝑛 −1. 𝑓′(𝑥) Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas • Regra da Cadeia – Considerando a proposição anterior, encontre a derivada de y = (3x + 1)3. Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3. 3𝑥 + 1 3−1. 3𝑥1−1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3 3𝑥 + 1 2. 3𝑥0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 9(9𝑥2 + 6𝑥 + 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 81𝑥2 + 54𝑥 + 9 • Regra da Cadeia Exercício: Se 𝑥 = 3𝑥3 − 2𝑥 5, determine h’(x) Resposta: Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas ′ 𝑥 = 45𝑥2 − 10 3𝑥3 − 2𝑥 4 • Derivadas de Ordem Superior (Derivadas Sucessivas) – Definição: Seja f uma função derivável. Se f’ também for derivável, então a sua derivada é chamada derivada segunda de f e é representada por f’’(x) (lê-se f duas linhas de x) ou 𝑑2𝑓 𝑑𝑥2 (lê-se derivada segunda de f em relação a x) – Consiste em derivar mais de uma vez. Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas • Derivadas de Ordem Superior – De forma geral, dada uma função y = f(x), as suas derivadas de ordens superiores podem ser representadas como a seguir: • Derivada de segunda ordem: y’’, f’’(x) ou 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 • Derivada de terceira ordem: y’’’, f’’’(x) ou 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 • Derivada de quarta ordem: y(4), f(4)(x) ou 𝑑4𝑦 𝑑𝑥4 • Derivada de n-ésima ordem: y(n), f(n)(x) ou 𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑥𝑛 Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas • Derivadas de Ordem Superior (Derivadas Sucessivas) Exemplos: 1) Se f(x) = 3x2 + 8x + 1, então: 2) Se f(x) = 3x5 + 8x2, então: Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas f’(x) = 6x + 8 f’’(x) = 6 f’(x) = 15x4 + 16x f’’(x) = 60x3 + 16 f’’’(x) = 180x2 f(4)(x) = 360x f(5)(x) = 360 f(6)(x) = 0 • Derivadas de Ordem Superior – Exercícios: Calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada: a) y = 3x4 – 2x; n=5 b) y = 3 – 2x2 + 4x5; n = 10 c) y = ax3 + bx2 + cx + d; n = 3 d) y = 1 𝑥−1 ; n = 4 Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve Derivadas
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