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Derivadas (Parte 1)

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Derivadas 
(Parte 1) 
Prof. Me. André Breve 
 
andre.breve@estacio.br 
• Nesta aula: 
 
– Revisão de Limites de funções contínuas e descontínuas; 
– Conceituação de Derivada baseada no problema da reta 
tangente; 
– Regras de Derivação; 
– Regra da Cadeia; 
– Derivadas de Ordem Superior. 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Limite 
• Limites 
 
– O limite de uma função num determinado valor de x, isto é 
lim f(x) é definido como aquele valor que a função 
assume nas vizinhanças de x = x0 . 
 
– O limite está relacionado com os valores que a função 
assume nas vizinhanças de x0, mas não necessariamente 
em x0. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve 
x x0 
• Limites 
 
– Dois casos principais de cálculos de limites: 
 
• Funções Contínuas 
 
• Funções Descontínuas 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve 
Limite 
• Funções Contínuas 
 
– O valor do limite de uma função, quando x tende para um 
valor x0 confunde-se com o valor da função f(x0) no ponto 
 x = x0 
 
– Desta forma, se f(x) é contínua em x0: 
 lim f(x0) 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve 
x x0 
Limite 
• Funções Contínuas 
 
Ex: Encontrar o lim (3x-1) 
 
Vamos calcular os valores que f(x) = 3x – 1 assume nas 
vizinhanças de x = 2: 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve 
Limite 
x 2 
X=0 f(0) = -4 
X=1 f(1) = -1 
X=1,5 f(1,5) = 3,5 
X=1,9 f(1,9) = 4,7 
X=1,99 f(1,99) = 4,97 
X=1,999 f(1,999) = 4,997 
X=1,9999 f(1,9999) = 4,9997 
 
X=4 f(4) = 11 
X=3 f(3) = 8 
X=2,5 f(2,5) = 6,5 
X=2,1 f(2,1) = 5,3 
X=2,01 f(2,01) = 5,03 
X=2,001 f(2,001) = 5,003 
X=2,0001 f(2,0001) = 5,0003 
 
• Funções Contínuas 
 
 Exemplo (continuação): Observe que a função 
assume valores muito próximos de 5,0 nas vizinhanças à 
esquerda e à direita de x = 2 
 
 Conclui-se que o limite de f(x) quando x tende a 2 é 5, 
isto é, lim (3x-1) = f(2) = 5 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve 
x x0 
Limite 
•
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve 
x 1 
x -2 
x -4 
x 0 
x 10 
x 0 
x 2 
Limite 
-1 
-10 
-4 
10 
0 
4 
? A função não é contínua no ponto! 
• Funções Descontínuas 
 
– O limite é definido pela tendência da função em torno do 
ponto (nas suas vizinhanças), mas não nele exatamente. 
 
– É preciso descobrir o comportamento da função em torno 
do ponto, mas não nele 
 
– Nestes casos, devemos utilizar a fatoração para encontrar 
outra função que seja contínua em x0 e que tenha o 
mesmo comportamento da função original 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve 
Limite 
•
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve 
x 2 
X=0 f(0) = 2 
X=1 f(1) = 3 
X=1,5 f(1,5) = 3,5 
X=1,9 f(1,9) = 3,9 
X=1,99 f(1,99) = 3,99 
X=1,999 f(1,999) = 3,999 
X=1,9999 f(1,9999) = 3,9999 
 
X=4 f(4) = 6 
X=3 f(3) = 5 
X=2,5 f(2,5) = 4,5 
X=2,1 f(2,1) = 4,1 
X=2,01 f(2,01) = 4,01 
X=2,001 f(2,001) = 4,001 
X=2,0001 f(2,0001) = 4,0001 
 
Limite 
•
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve 
x 2 
Limite 
•
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve 
x 2 x 2 
Limite 
• Derivadas 
 
– A Reta Tangente 
 
• Vamos definir a inclinação de uma curva y=f(x) para, em 
seguida, encontrar a equação da reta tangente à curva num 
dado ponto 
 
• As ideias que usaremos foram introduzidas no século XVIII 
por Newton e Leibnitz 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
• A Reta Tangente 
 
– Seja y=f(x) uma curva definida no intervalo (a, b) 
– Sejam P0(x0, y0) e P(x, y) dois pontos distintos da curva 
– Seja r a reta secante que passa pelos pontos P0 e P 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
• A Reta Tangente 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Coeficiente angular da reta r: 
Derivadas 
• A Derivada de uma Função num ponto 
 
– A derivada de uma função f(x) no ponto x1, denotada por 
f’(x1), (lê-se f linha de x, no ponto x1) é definida pelo limite: 
 
 , quando este limite existe 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
•
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
•
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
• Derivadas 
 
– Exemplo: Dada f(x) = 5x2 + 6x – 1, encontre f’(x) 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
• Derivadas 
 
– Exercícios: 
 
1) Dada f(x) = x2 + 1, encontre f’(x) 
 
 
2) Dada f(x) = x3 + x, encontre f’(x) 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
• Regras Básicas de Derivação 
 
– A derivada de uma função f(x) é definida como o limite da 
taxa de variação de f em relação a x para intervalos 
infinitesimamente pequenos de x. 
 
– Obter a derivada através do cálculo de limites nem 
sempre é tarefa fácil. Dependendo da expressão que 
define tal função, o cálculo desse tipo de limite pode se 
transformar em uma tarefa árdua e penosa. 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
• Regras Básicas de Derivação 
 
– É possível obter derivadas de funções de diversos tipos 
sem ter que calcular limites? Sim! 
 
– O processo de obtenção das derivadas será realizado 
através de aplicações de algumas regras (fórmulas). 
 
– Não nos preocuparemos em demonstrar como tais regras 
foram obtidas, não é o foco no momento. 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
• Regras Básicas de Derivação 
 
 
 
 
– Como a derivada de uma função representa a sua taxa de 
variação, então, se a função não varia (é constante), sua 
derivada deve ser igual a zero. 
 
– Ex: f(x) = 5 => f ’(x) = 0 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Regra 1: Derivada de uma Função y = k (Derivada de uma constante) 
Seja uma função do tipo y = k, em que k é uma constante, então sua 
derivada é: y’ = 0 
Derivadas 
• Regras Básicas de Derivação 
 
 
 
– A função derivada y’ acima não pode ser calculada 
quando se tem x = 0 e n = 0. 
 
– Ex: f(x) = x4 
 Tomando n = 4, na regra 1, temos: 
 f’(x) = 4.x4-1 => f’(x) = 4x3 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Regra 2: Derivada da Função y = xn (Derivada de uma potência) 
Seja uma função do tipo y = xn, então sua derivada é: y’ = n.xn-1 
Derivadas 
• Regras Básicas de Derivação 
 
 
 
 
– A regra 3 nos indica que a derivada de uma soma ou subtração 
de funções é igual à soma ou subtração, respectivamente, de 
suas derivadas. Isso nos permite, numa função em que os 
termos aparecem na forma de adição e/ou subtração, derivar 
cada termo separadamente. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Regra 3: Derivada da Função y = f(x) ± g(x) (Derivada da soma ou da 
diferença de funções) 
Seja uma função do tipo y = f(x) ± g(x), então sua derivada é: y’ = f’(x) ± g’(x) 
Derivadas 
• Regras Básicas de Derivação 
 
– Exemplo da Regra 3: f(x)=x3+x2-x+7 
 
 f’(x) = (x3)’+ (x2)’ - (x)’ + (7)’ 
 f’(x) = 3.x3-1 + 2.x2-1 – 1 
 f’(x) = 3x2 + 2x – 1 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
• Regras Básicas de Derivação 
 
 
 
 
– Exemplo: f’(x) = 5x3 
 
 f’(x) = 5.3x3-1 
 f’(x) = 15x2 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Regra 4: Derivada da Função y = k.f(x) 
Seja uma função do tipo y = k.f(x), em que k é uma constante, então sua 
derivada é: y’ = k.f’(x) 
Derivadas 
• Regras Básicas de Derivação 
 
– Ainda sobre a Regra 4, quando uma função é representada por 
uma constante k multiplicada por outra função ou por outra 
função dividida pela constante, então, para derivá-la, 
precisamos apenas trabalhar com a parte funcional (parte que 
representa a variável independente x), mantendo a constante da 
forma como se apresenta na função original, antes de começar 
o processo de derivação. 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
• Regras Básicas de Derivação 
 
 
 
 
– Exemplo: y = (x2-5x)(3x+1) 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Regra 5: Derivada da Função y = f(x).g(x) (Derivada do produto) 
Seja uma função do tipo y = f(x).g(x), então sua derivada é: 
y’=f’(x).g(x)+g’(x).f(x) 
f(x) = x2-5x 
g(x) = 3x+1 
 
f’(x) = 2x-5 
g’(x) = 3 
y’ = f’(x).g(x)+g’(x).f(x) 
y’ = (2x-5).(3x+1)+3(x2-5x) 
y’ = 9x2-28x-5 
Derivadas 
• Regras Básicas de Derivação 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
•
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
f(x) = x2-3x 
g(x) = 2x+1 
 
f’(x) = 2x-3 
g’(x) = 2 
Derivadas 
• Regras Básicas de Derivação 
 
– Exercícios: Encontre a derivada das funções abaixo: 
a) f(x) = 3x2 + 6x – 10 
b) f(w) = aw2 + b 
c) f(x) = 14 - 
1
2
 x-3 
d) y = (2x + 1)(3x2 + 6) 
e) f(x) = 7(ax2 + bx + c) 
f) f(x) = 𝑥 
g) y = 
2𝑥+4
3𝑥 −1
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
• Exercício: Considerando y = (3x + 1)3, determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
y = (3x + 1)2.(3x + 1) 
y = (9x2 + 6x + 1).(3x + 1) 
y = 27x3 + 18x2 + 3x + 9x2 + 6x + 1 
y = 27x3 + 27x2 + 9x + 1 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 27.3x3-1 + 27.2x2-1 + 9 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 81x2 + 54x + 9 
Derivadas 
• Derivada de Função Composta 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Regra da Cadeia: Se y é uma função diferenciável de t e se t é uma 
função diferenciável de x, então y é uma função diferenciável de x e 
 
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
.
𝑑𝑡
𝑑𝑥
 
Derivadas 
• Regra da Cadeia 
 
– Retomando o exercício anterior e aplicando a regra da 
cadeia: Considerando y = (3x + 1)3, determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
.
𝑑𝑡
𝑑𝑥
 
y = (3x + 1)3 
 
 
y = t3 
u = 3x + 1 
t 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑡2.3 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3(3𝑥 + 1)2.3 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 9(9𝑥2 + 6𝑥 + 1) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 81𝑥2 + 54𝑥 + 9 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 3𝑡3−1 = 3𝑡2 
𝑑𝑡
𝑑𝑥
= 1.3𝑥1−1 + 0 = 3 
Derivadas 
• Regra da Cadeia 
 
Exercícios: 
1) Dada a função y = (3x2 – 5x + 2)6. Calcule 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
 Resposta: 
2) Calcule g’(x) se g(x) = 
2𝑥+3
3𝑥
5
. 
 Resposta: 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 36𝑥 − 30 3𝑥2 − 5𝑥 + 2 5 
𝑑𝑔
𝑑𝑥
=
−5
𝑥2
.
2𝑥 + 3
3𝑥
4
 
• Regra da Cadeia 
 
– Proposição: Se y = f(x) é uma função derivável e n é um 
número racional não nulo, então 
 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑓(𝑥) 𝑛 = 𝑛. 𝑓 𝑥 𝑛 −1. 𝑓′(𝑥) 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
• Regra da Cadeia 
 
– Considerando a proposição anterior, encontre a derivada 
de y = (3x + 1)3. 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3. 3𝑥 + 1 3−1. 3𝑥1−1 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3 3𝑥 + 1 2. 3𝑥0 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 9(9𝑥2 + 6𝑥 + 1) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 81𝑥2 + 54𝑥 + 9 
• Regra da Cadeia 
 
Exercício: Se 𝑕 𝑥 = 3𝑥3 − 2𝑥 5, determine h’(x) 
 
 Resposta: 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
𝑕′ 𝑥 = 45𝑥2 − 10 3𝑥3 − 2𝑥 4 
• Derivadas de Ordem Superior (Derivadas Sucessivas) 
 
– Definição: Seja f uma função derivável. Se f’ também for 
derivável, então a sua derivada é chamada derivada 
segunda de f e é representada por f’’(x) (lê-se f duas 
linhas de x) ou 
𝑑2𝑓
𝑑𝑥2
 (lê-se derivada segunda de f em 
relação a x) 
 
– Consiste em derivar mais de uma vez. 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
• Derivadas de Ordem Superior 
 
– De forma geral, dada uma função y = f(x), as suas 
derivadas de ordens superiores podem ser representadas 
como a seguir: 
 
• Derivada de segunda ordem: y’’, f’’(x) ou 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
 
• Derivada de terceira ordem: y’’’, f’’’(x) ou 
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
 
• Derivada de quarta ordem: y(4), f(4)(x) ou 
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
 
• Derivada de n-ésima ordem: y(n), f(n)(x) ou 
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
• Derivadas de Ordem Superior (Derivadas Sucessivas) 
 
Exemplos: 
1) Se f(x) = 3x2 + 8x + 1, então: 
 
 
2) Se f(x) = 3x5 + 8x2, então: 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
f’(x) = 6x + 8 
f’’(x) = 6 
f’(x) = 15x4 + 16x 
f’’(x) = 60x3 + 16 
f’’’(x) = 180x2 
f(4)(x) = 360x 
f(5)(x) = 360 
f(6)(x) = 0 
• Derivadas de Ordem Superior 
 
– Exercícios: Calcular as derivadas sucessivas até a ordem 
n indicada: 
a) y = 3x4 – 2x; n=5 
b) y = 3 – 2x2 + 4x5; n = 10 
c) y = ax3 + bx2 + cx + d; n = 3 
d) y = 
1
𝑥−1
; n = 4 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivadas

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