Derivadas (Parte 1)
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Derivadas (Parte 1)


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Derivadas 
(Parte 1) 
Prof. Me. André Breve 
 
andre.breve@estacio.br 
\u2022 Nesta aula: 
 
\u2013 Revisão de Limites de funções contínuas e descontínuas; 
\u2013 Conceituação de Derivada baseada no problema da reta 
tangente; 
\u2013 Regras de Derivação; 
\u2013 Regra da Cadeia; 
\u2013 Derivadas de Ordem Superior. 
Cálculo Diferencial e Integral I \u2013 Prof. Me. André Breve 
Limite 
\u2022 Limites 
 
\u2013 O limite de uma função num determinado valor de x, isto é 
lim f(x) é definido como aquele valor que a função 
assume nas vizinhanças de x = x0 . 
 
\u2013 O limite está relacionado com os valores que a função 
assume nas vizinhanças de x0, mas não necessariamente 
em x0. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I \u2013 Prof. Msc. André Breve 
x x0 
\u2022 Limites 
 
\u2013 Dois casos principais de cálculos de limites: 
 
\u2022 Funções Contínuas 
 
\u2022 Funções Descontínuas 
Cálculo Diferencial e Integral I \u2013 Prof. Msc. André Breve 
Limite 
\u2022 Funções Contínuas 
 
\u2013 O valor do limite de uma função, quando x tende para um 
valor x0 confunde-se com o valor da função f(x0) no ponto 
 x = x0 
 
\u2013 Desta forma, se f(x) é contínua em x0: 
 lim f(x0) 
 
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x x0 
Limite 
\u2022 Funções Contínuas 
 
Ex: Encontrar o lim (3x-1) 
 
Vamos calcular os valores que f(x) = 3x \u2013 1 assume nas 
vizinhanças de x = 2: 
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Limite 
x 2 
X=0 f(0) = -4 
X=1 f(1) = -1 
X=1,5 f(1,5) = 3,5 
X=1,9 f(1,9) = 4,7 
X=1,99 f(1,99) = 4,97 
X=1,999 f(1,999) = 4,997 
X=1,9999 f(1,9999) = 4,9997 
 
X=4 f(4) = 11 
X=3 f(3) = 8 
X=2,5 f(2,5) = 6,5 
X=2,1 f(2,1) = 5,3 
X=2,01 f(2,01) = 5,03 
X=2,001 f(2,001) = 5,003 
X=2,0001 f(2,0001) = 5,0003 
 
\u2022 Funções Contínuas 
 
 Exemplo (continuação): Observe que a função 
assume valores muito próximos de 5,0 nas vizinhanças à 
esquerda e à direita de x = 2 
 
 Conclui-se que o limite de f(x) quando x tende a 2 é 5, 
isto é, lim (3x-1) = f(2) = 5 
 
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x x0 
Limite 
\u2022
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x 1 
x -2 
x -4 
x 0 
x 10 
x 0 
x 2 
Limite 
-1 
-10 
-4 
10 
0 
4 
? A função não é contínua no ponto! 
\u2022 Funções Descontínuas 
 
\u2013 O limite é definido pela tendência da função em torno do 
ponto (nas suas vizinhanças), mas não nele exatamente. 
 
\u2013 É preciso descobrir o comportamento da função em torno 
do ponto, mas não nele 
 
\u2013 Nestes casos, devemos utilizar a fatoração para encontrar 
outra função que seja contínua em x0 e que tenha o 
mesmo comportamento da função original 
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Limite 
\u2022
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x 2 
X=0 f(0) = 2 
X=1 f(1) = 3 
X=1,5 f(1,5) = 3,5 
X=1,9 f(1,9) = 3,9 
X=1,99 f(1,99) = 3,99 
X=1,999 f(1,999) = 3,999 
X=1,9999 f(1,9999) = 3,9999 
 
X=4 f(4) = 6 
X=3 f(3) = 5 
X=2,5 f(2,5) = 4,5 
X=2,1 f(2,1) = 4,1 
X=2,01 f(2,01) = 4,01 
X=2,001 f(2,001) = 4,001 
X=2,0001 f(2,0001) = 4,0001 
 
Limite 
\u2022
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x 2 
Limite 
\u2022
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x 2 x 2 
Limite 
\u2022 Derivadas 
 
\u2013 A Reta Tangente 
 
\u2022 Vamos definir a inclinação de uma curva y=f(x) para, em 
seguida, encontrar a equação da reta tangente à curva num 
dado ponto 
 
\u2022 As ideias que usaremos foram introduzidas no século XVIII 
por Newton e Leibnitz 
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Derivadas 
\u2022 A Reta Tangente 
 
\u2013 Seja y=f(x) uma curva definida no intervalo (a, b) 
\u2013 Sejam P0(x0, y0) e P(x, y) dois pontos distintos da curva 
\u2013 Seja r a reta secante que passa pelos pontos P0 e P 
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Derivadas 
\u2022 A Reta Tangente 
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Coeficiente angular da reta r: 
Derivadas 
\u2022 A Derivada de uma Função num ponto 
 
\u2013 A derivada de uma função f(x) no ponto x1, denotada por 
f\u2019(x1), (lê-se f linha de x, no ponto x1) é definida pelo limite: 
 
 , quando este limite existe 
 
 
 
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Derivadas 
\u2022
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Derivadas 
\u2022
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Derivadas 
\u2022 Derivadas 
 
\u2013 Exemplo: Dada f(x) = 5x2 + 6x \u2013 1, encontre f\u2019(x) 
 
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Derivadas 
\u2022 Derivadas 
 
\u2013 Exercícios: 
 
1) Dada f(x) = x2 + 1, encontre f\u2019(x) 
 
 
2) Dada f(x) = x3 + x, encontre f\u2019(x) 
 
 
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Derivadas 
\u2022 Regras Básicas de Derivação 
 
\u2013 A derivada de uma função f(x) é definida como o limite da 
taxa de variação de f em relação a x para intervalos 
infinitesimamente pequenos de x. 
 
\u2013 Obter a derivada através do cálculo de limites nem 
sempre é tarefa fácil. Dependendo da expressão que 
define tal função, o cálculo desse tipo de limite pode se 
transformar em uma tarefa árdua e penosa. 
Cálculo Diferencial e Integral I \u2013 Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
\u2022 Regras Básicas de Derivação 
 
\u2013 É possível obter derivadas de funções de diversos tipos 
sem ter que calcular limites? Sim! 
 
\u2013 O processo de obtenção das derivadas será realizado 
através de aplicações de algumas regras (fórmulas). 
 
\u2013 Não nos preocuparemos em demonstrar como tais regras 
foram obtidas, não é o foco no momento. 
Cálculo Diferencial e Integral I \u2013 Prof. Me. André Breve 
Derivadas 
\u2022 Regras Básicas de Derivação 
 
 
 
 
\u2013 Como a derivada de uma função representa a sua taxa de 
variação, então, se a função não varia (é constante), sua 
derivada deve ser igual a zero. 
 
\u2013 Ex: f(x) = 5 => f \u2019(x) = 0 
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Regra 1: Derivada de uma Função y = k (Derivada de uma constante) 
Seja uma função do tipo y = k, em que k é uma constante, então sua 
derivada é: y\u2019 = 0 
Derivadas 
\u2022 Regras Básicas de Derivação 
 
 
 
\u2013 A função derivada y\u2019 acima não pode ser calculada 
quando se tem x = 0 e n = 0. 
 
\u2013 Ex: f(x) = x4 
 Tomando n = 4, na regra 1, temos: 
 f\u2019(x) = 4.x4-1 => f\u2019(x) = 4x3 
 
Cálculo Diferencial e Integral I \u2013 Prof. Me. André Breve 
Regra 2: Derivada da Função y = xn (Derivada de uma potência) 
Seja uma função do tipo y = xn, então sua derivada é: y\u2019 = n.xn-1 
Derivadas 
\u2022 Regras Básicas de Derivação 
 
 
 
 
\u2013 A regra 3 nos indica que a derivada de uma soma ou subtração 
de funções é igual à soma ou subtração, respectivamente, de 
suas derivadas. Isso nos permite, numa função em que os 
termos aparecem na forma de adição e/ou subtração, derivar 
cada termo separadamente. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I \u2013 Prof. Me. André Breve 
Regra 3: Derivada da Função y = f(x) ± g(x) (Derivada da soma ou da 
diferença de funções) 
Seja uma função do tipo y = f(x) ± g(x), então sua derivada é: y\u2019 = f\u2019(x) ± g\u2019(x) 
Derivadas 
\u2022 Regras Básicas de Derivação 
 
\u2013 Exemplo da Regra 3: f(x)=x3+x2-x+7 
 
 f\u2019(x) = (x3)\u2019