Derivada (parte 3)

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Derivadas 
(Parte 3) 
Prof. Me. André Breve 
 
andre.breve@estacio.br 
• Nesta aula: 
 
– Derivação Implícita; 
– Equação da Reta Tangente e Normal. 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Derivação Implícita 
• Derivação Implícita 
 
– Derivação implícita: derivar sem isolar o y 
 
• Função na forma explícita: função expressa onde o y está 
isolado de um lado da igualdade: 
– Exemplos: y = 2x4 y = x3 + 3x + 1 
 y = sen x y = ln x 
• Função na forma implícita: o y não se encontra sozinho de 
um lado da igualdade 
– Exemplos: 2x + y = 0 2x – xy – 1 = 0 
 x2 + y2 = 9 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve 
• Derivação Implícita 
 
– Uma das formas de se derivar uma função na forma 
implícita é passá-la para a forma explícita e derivar 
normalmente utilizando as regras de derivação. 
 
– Forma implícita para forma explícita: 
 
 2x + y = 0 2x – xy +1 = 0 
 
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Derivação Implícita 
y = 0 – 2x 
y = 2x 
-xy = -1 – 2x (-1) 
 xy = 2x + 1 
 y =
2x+1
x
 
• Derivação Implícita 
 
– Um problema que surge com frequência é que há diversas 
funções que são escritas na forma implícita e não há 
como isolar a variável dependente y (ou, algumas vezes, o 
processo para isso é extremamente complicado). 
 
– Exemplo: x2 + y2 = 9 
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Derivação Implícita 
• Derivação Implícita – Como fazer? 
 
(1) Derive os termos x e constantes: diferencie os termos com x e 
constantes dos dois lados da equação seguindo as regras da diferenciação 
regular (explicita). Por ora, ignore o termo y. 
(2) Derive os termos com y e coloque 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 ao lado de cada um: Por 
exemplo, se você diferenciasse y2, ele se tornaria 2y.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 . Por ora, ignore os 
termos que tenham x e y. 
(3) Utilize a regra do produto ou a regra do quociente para derivar 
termos que tenham tanto x como y. 
(4) Isole 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 de um lado da igualdade e o resultado estará do outro lado. 
 
 
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Derivação Implícita 
• Derivação Implícita 
 
– Exemplo: Encontre 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 para x2 + y2 = 9 
 
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Derivação Implícita 
 x2 + y2 = 9 
 
(1) 2x + y2 = 0 
 
(2) 2x + 2y . 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 0 
 
(4) 2y . 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = - 2x 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
− 2𝑥
2𝑦
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
−𝑥
𝑦
 
• Derivação Implícita 
 
– Exemplo: Encontre 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 para x2 + xy + 3y2 = 7 
 
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Derivação Implícita 
 x2 - xy + 3y2 = 7 
 
(1) 2x - xy + 3y2 = 0 
 
(2) 2x - xy + 6y . 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 0 
 
(3) 2x – (y + x . 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) + 6y . 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 0 2x – y - x . 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 + 6y . 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 0 
 
(4) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 . (-x + 6y) = - 2x + y 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
− 2𝑥+𝑦
−𝑥+6𝑦
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
2𝑥−𝑦
𝑥−6𝑦
 
• Derivação Implícita 
 
– Exercício: Para cada uma das equações, encontre 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 por 
derivação implícita. 
 
a) x3 + y3 = 8 
b) 4x2 – 9y2 = 17 
c) 5y2 + sen (y) = x2 
d) x2y + 3xy3 – x = 3 
e) x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19 
 
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Derivação Implícita 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
−𝑥2
𝑦2
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
4𝑥
9𝑦
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
2𝑥
10𝑦+cos (𝑦)
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
1−2𝑥𝑦−3𝑦3
𝑥2+9𝑦2𝑥
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 
−2𝑦2−2𝑥+5
2𝑦+4𝑥𝑦+8
 
• Equação da Reta Tangente 
 
– Vimos, na primeira aula sobre Derivadas, que o 
coeficiente angular da reta tangente a uma curva y=f(x) é 
igual ao valor da derivada f’(x) calculada nesse ponto. 
 
– Isto é, dada uma curva y=f(x), derivável em x0, o 
coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico no 
ponto (x0, y0) é igual a f’(x0). Denotando por m o 
coeficiente angular, temos: 
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Equação da Reta Tangente e Normal 
m = f’(x0) 
• Equação da Reta Tangente 
 
– A equação da reta que passa por um ponto de 
coordenadas (x0, y0) e que tem coeficiente angular 
representado por m pode ser escrita na forma: 
 
 
– Dessa forma, destacando um ponto (x0, y0) de uma função 
y=f(x), a reta tangente a essa função, nesse ponto, será 
dada por: 
 
 
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y – y0 = m(x – x0) 
y – y0 = f’(x0)(x – x0) 
Equação da Reta Tangente e Normal 
• Equação da Reta Tangente 
 
Ex: Obter a reta tangente à curva f(x) = -x3+2x2+x-1, no ponto x0=2. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
f(x) = - x3 + 2x2 + x – 1 y – y0 = m(x – x0) 
 y – 1 = -3(x – 2) 
f’(x) = -3x2 + 4x + 1 y – 1 = -3x + 6 
 y = -3x + 6 + 1 
m = f’(2) = - 3.22 + 4.2 + 1 
m = -3 y = -3x + 7 
 
y0 = f(x0) = f(2) = - 2
3 + 2.22 + 2 – 1 
y0 = - 8 + 8 + 2 – 1 
y0 = 1 
 
 
 
Equação da Reta Tangente e Normal 
• Equação da Reta Tangente 
 
Ex: Obter a reta tangente à curva f(x) = -x3+2x2+x-1, no ponto x0=2. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
O gráfico da função f(x) = -x3+2x2+x-1 dada e 
de sua reta tangente y = -3x + 7 no ponto (2, 1) 
está representado na figura ao lado: 
 
Equação da Reta Tangente e Normal 
• Equação da Reta Normal 
 
– A reta normal a uma curva, num determinado ponto, é 
aquela que é perpendicular à reta tangente nesse ponto. 
 
– A relação entre os coeficientes de duas retas 
perpendiculares é dada por: 
 
 
– Logo, podemos representar o coeficiente angular da reta 
normal à curva f(x0) no ponto (x0, y0) como: 
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onde n é o coeficiente angular da reta normal e m o coeficiente angular da reta tangente à curva 
𝑛 = −
1
𝑚
 
𝑛 = −
1
𝑓′(𝑥0)
 
Equação da Reta Tangente e Normal 
• Equação da Reta Normal 
 
– Dessa forma, destacando um ponto (x0, y0) de uma função 
y=f(x), a reta normal a essa função, nesse ponto, será 
dada por: 
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y – y0 = −
𝟏
𝒎
 (x – x0) 
y – y0 = −
𝟏
𝒇′(𝒙𝟎)
 (x – x0) 
Equação da Reta Tangente e Normal 
• Equação da Reta Normal 
 
Ex: Obter a reta normal à curva f(x) = -x3+2x2+x-1, no ponto x0=2. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
f(x) = - x3 + 2x2 + x – 1 y – y0 = −
1
𝑚
(x – x0) 
f’(x) = -3x2 + 4x + 1 y – 1 = −
1
(−3)
 (x – 2) 
m = f’(2) = - 3.22 + 4.2 + 1 y – 1 = 
1
3
 (x – 2) 
m = -3 
 y – 1 = 
𝑥
3
 – 
2
3
 
y0 = f(x0) = f(2) = - 2
3 + 2.22 + 2 – 1 
y0 = - 8 + 8 + 2 – 1 y = 
𝑥
3
 + 
1
3
 
y0 = 1 
 
 
 
Equação da Reta Tangente e Normal 
• Equação da Reta Normal 
 
Ex: Obter a reta normal à curva f(x) = -x3+2x2+x-1, no ponto x0=2. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
O gráfico da função f(x) = -x3+2x2+x-1 dada e de 
suas retas tangente e normal no ponto (2, 1) está 
representado na figura ao lado: 
 
Equação da Reta Tangente e Normal 
• Exercício: Obtenha as equações das retas tangente e 
normal à curva f(x)= x2 - 2x - 3, no ponto x0 = 2 
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Equação da Reta Tangente e Normal 
Reta Tangente: y = 2x – 7 Reta Normal: y = - 
𝑥
2
 - 2