AULA 3 PRODUTO DE VETORES

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CCE0005 – Cálculo Vetorial e geometria Analítica 
Aula 3: Produto de vetores 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 3: PRODUTO DE VETORES 
Conteúdo desta aula 
PRODUTO ESCALAR 
1 
PRODUTO VETORIAL 
2 
PRODUTO MISTO 
3 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 3: PRODUTO DE VETORES 
Produto escalar 
Produto de Vetores 
Dados dois vetores 𝒖=(x1,y1) e 𝒗=(x2,y2), 
 
o produto escalar de 𝒖 e 𝒗 é representado por: 𝒖 . 𝒗 (leitura: u escalar v) 
e deve ser calculado pela expressão: 
 
𝒖 . 𝒗 = x1.x2 + y1.y2 
 
 
O resultado do produto escalar entre 2 vetores é um escalar (número real) 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 3: PRODUTO DE VETORES 
1. 𝒖 =(-2,3) e 𝒗=(1,0). 𝒖 . 𝒗 = -2.1 + 3.0 = -2 + 0 = -2 
 
2. 𝒖=(-2,1) e 𝒗=(3,6). 𝒖 . 𝒗 = -2.3 + 1.6 = -6 + 6 = 0 
 
3. 𝒖=(3,3) e 𝒗=(1,2). 𝒖 . 𝒗 = 3.1 + 3.2 = 3 + 6 = 9 
 
Produto de Vetores 
 
 
 Exemplos de cálculo 
Produto escalar 
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 |𝑢| = 
 
ou no R³ 
 
 |𝑢| = 
Produto de Vetores 
 Módulo do vetor através do produto escalar 
    2 2. , . ,u u x y x y x y  
    2 2 2. , , . , ,u u x y z x y z x y z   
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Produto de Vetores 
 Propriedades do produto escalar 
Considere os vetores 𝑢, 𝑣 e 𝑤: 
 
i. Se u é um vetor não nulo, então 𝑢 . 𝑢 > 0 
ii. Comutatividade: 𝑢 . 𝑣 = 𝑣 . 𝑢 
iii. Distributividade: 𝑢 . (𝑣 + 𝑤) = 𝑢 . 𝑣 + 𝑢. 𝑤 
iv. k = constante, (k. 𝑢) . 𝑣 = k (𝑢 . 𝑣 ) = 𝑢 . (k . 𝑣 ) 
v. 𝑢 . 𝑢 = |u|2 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
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Produto de Vetores 
 Cálculo do produto escalar pelo ângulo formado pelos vetores 
𝒖 . 𝒗 = |𝒖| . |𝒗| . cos A 
 
onde A é o ângulo formado pelos dois vetores. 
 𝑢 
A 
𝑣 
Este recurso permite calcular 
facilmente o ângulo entre vetores 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
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Produto de Vetores 
 Cálculo do produto escalar pelo ângulo formado pelos vetores 
𝒖 . 𝒗 = |𝒖| . |𝒗| . cos A 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 3: PRODUTO DE VETORES 
Produto vetorial 
Produto de Vetores 
 
Dados dois vetores 𝒖 = (x1,y1) e 𝒗 = (x2,y2), 
 
o produto escalar de 𝒖 e 𝒗 é representado por: 𝒖 x 𝒗 (leitura: u vetorial v) 
e deve ser calculado pelo seguinte determinante: 
 
 
 𝒖 x 𝒗 = 
O resultado do produto vetorial entre 2 vetores é um TERCEIRO VETOR 
𝒊 𝒋 𝒌
𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒛𝟏
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐
 
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 𝒖 x 𝒗 = 
 
 
= (y1.z2 – z1y2) 𝒊 – (x1z2 – z1x2) 𝒋 + (x1y2 – y1x2) 𝒌 
Produto de Vetores 
O resultado do produto escalar entre 2 vetores é um TERCEIRO VETOR 
𝒊 𝒋 𝒌
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐
𝒙𝟑 𝒚𝟑 𝒛𝟑
 
 𝒊 𝒋
𝒙𝟏𝒚𝟏
𝒙𝟐𝒚𝟐
=
𝒚𝟏 𝒛𝟏
𝒚𝟐 𝒛𝟐
𝒊 − 
𝒙𝟏 𝒛𝟏
𝒙𝟐 𝒛𝟐
𝒋 + 
𝒙𝟏 𝒚𝟏
𝒙𝟐 𝒚𝟐
𝒌 = 
Produto vetorial 
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O resultado do produto escalar entre 2 vetores é um TERCEIRO VETOR 
Produto vetorial 
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Produto de Vetores 
Propriedades 
 Considere os vetores u, v e w: 
 
i. Se u é um vetor qualquer, u x u = 0 
ii. u x v = - v x u 
iii. u x (v + w) = u x v + u x w 
iv. u x v é ortogonal simultaneamente os vetores u e v. 
v. a ordem dos vetores modifica o sentido do vetor gerado pela operação, 
que obedece à regra da mão direita. 
 
Produto vetorial 
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Produto de Vetores 
Regra da mão direita 
Produto vetorial 
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u x v 
Produto de Vetores 
Vetor gerado pelo produto vetorial 
Direção: ortogonal aos dois vetores envolvidos na 
operação. 
 
Sentido: obedece à regra da mão direita. 
 
Módulo: igual a área do paralelogramo formado pelos 
vetores envolvidos no produto. v 
u 
A 
v x u 
Produto vetorial 
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• definido no R³. 
• envolve três vetores 𝑢=(x1, y1, z1), 𝑣 =(x2, y2, z2) e 𝑤=(x3, y3, z3) 
• a ordem dos vetores importa 
• produto misto de u, v e w, com notação 𝒖 . (𝒗 x 𝒘) = a, onde a é o número real 
definido pelo determinante: 
 
𝒖 . (𝒗 x 𝒘) = 
Produto de Vetores 
Envolve 3 vetores e seu resultado é um escalar 
 
Produto misto 
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
 
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 Sejam os vetores 𝑢, 𝑣 e 𝑤: 
 
i. Seja u é o vetor nulo então 𝑢 . (𝑣 x 𝑤) = 0 
 
ii. 𝑢 . (𝑣 x 𝑤)= - 𝑣 . (𝑢 x 𝑤) 
 
iii. Se os vetores u, v e w forem coplanares 
então 𝑢 . (𝑣 x 𝑤) = 0 
Produto de Vetores 
Propriedades 
 
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𝑢 . (𝑣 x 𝑤) define um número real, cujo módulo é igual ao 
volume do paralelepípedo de arestas formadas pelos vetores 𝑢, 𝑣 e 𝑤. 
Produto de Vetores 
Interpretação Geométrica 
 
Produto misto 
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𝑢 . (𝑣 x 𝑤) define um número real, cujo módulo é igual ao 
volume do paralelepípedo de arestas formadas pelos vetores 𝑢, 𝑣 e 𝑤. 
 
Volume do tetraedro formado pelos vetores: 
Produto misto 
Produto de Vetores 
Interpretação Geométrica 
 
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Produto de Vetores 
Estratégias 
 
Ângulo entre vetores: produto escalar 
• Caso particular: vetores perpendiculares, produto escalar nulo (cos 90 = 0) 
 
Cálculo de áreas e vetor normal: produto vetorial 
• Caso particular: vetores paralelos, produto vetorial nulo (área = 0) 
 
Cálculo de volumes: produto misto 
• Caso particular: 3 vetores coplanares, produto misto nulo (volume=0) 
Assuntos da próxima aula: 
1. Aplicações de Produto 
Escalar; 
2. Aplicações de Produto 
Vetorial; 
3. Aplicações de Produto Misto.