Cálculo Numérico

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109 
5- CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS 
 
5.1- INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
 
Integrar numericamente uma função y = f(x) num dado intervalo [a, b] é integrar 
um polinômio Pn(x) que aproxime f(x) no dado intervalo. 
Em particular, se y = f(x) for dada por uma tabela ou, por um conjunto de pares 
ordenados (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn))(onde os xi podem ser supostos em ordem 
crescente) , x0 = a, xn = b, podemos usar como polinômio de aproximação para a função y = 
f(x) no intervalo [a, b] o seu polinômio de interpolação. 
Em particular, o polinômio de interpolação para a função y = f(x) no intervalo [a, 
b], a = x0, b = xn é um polinômio de aproximação para f(x) em qualquer subintervalo[xi, xj], 
0 £ i £ n, 0 £ j £ n do intervalo [a, b]. 
Podemos então usar o polinômio Pn(x) para integrar f(x) em qualquer desses 
subintervalos. 
As vantagens de se integrar um polinômio que aproxima y = f(x) ao invés de f(x) 
são principalmente duas: 
a) f(x) pode ser uma função de difícil integração ou de integração praticamente 
impossível, enquanto que um polinômio é sempre de integração imediata; 
b) As vezes a função é dada simplesmente através de uma tabela-conjunto de 
pares ordenados obtidos como resultados de experiências. Aí não se conhece a 
expressão analítica da função em termos do argumento x. 
 
As fórmulas de integração são de manejo fácil e prático e nos permite, quando a 
função f(x) é conhecida, ter uma idéia do erro cometido na integração numérica, como 
veremos mais adiante. 
Os argumentos xi podem ser ou não igualmente espaçados, mas estudaremos aqui 
somente fórmulas de integração para o caso de argumentos xi igualmente espaçados. 
 
5.2– FÓRMULAS DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA PARA ARGUMENTOS XI IGUALMENTE 
ESPAÇADOS (FÓRMULAS DE NEWTON-COTES) 
 
Seja y = f(x) uma função cujo valores f(x0), f(x1), ..., f(xn) são conhecidos (por 
exemplo por meio de uma tabela). 
Seu polinômio de interpolação sobre [x0, xn] se escreve na forma de Lagrange: 
 
Pn(x) = å
=
n
k
kk xLf
0
)( 
Sabemos que: f(x) = Pn(x) + Rn(x), ou que f(x) @ Pn(x). 
 
Então: 
ò åòòò
=
=@=
nnn x
x
n
k
kk
x
x
n
x
x
b
a
dxxLfdxxPdxxfdxxf
000
))(()()()(
0
 (4.1) 
 
 110 
Supondo os argumentos xi igualmente espaçados de h e considerando-se 
u = 
h
xx 0- (4.2) 
temos que 
dx = hdu; e quando x = x0 Þ u = 0 
 x = xn Þ u = n 
 
Relembrando que, Lk (x) = Õ
¹
= -
-n
ki
k 0 ik
k
)x(x
)x(x
, (4.3) 
 substituindo-se a (4.2) na (4.3) tem-se: 
 
Lk (x) = lk(u) = Õ
¹
= -
-n
ki
k 0 i)(k
k)(u
 (4.4) 
ou ainda, 
 
 lk(u) = Õ
¹
= -
-n
ki
k 0 i)(k
k)(u
 = 
)nk)......(1k(k))(1k(k)......(1k)(0k(
)nu)......(1k(u))(1k(u)......(1u)(0u(
-+-----
-+-----
 
Então, substituindo a (4.4) na (4.1) resulta: 
 
=l==@ òåòò ååò
===
n
0
k
n
0k
k
x
x
k
x
x
n
0k
k
n
0k
kk
x
x
hdu)u(fdx)x(Lfdx))x(Lf(dx)x(f
n
0
n
0
n
0
 
 
du)u(hf
n
0
k
n
0k
k òå l=
=
 
 
Fazendo-se: 
 
n
k
n
0
k Cdu)u( =lò ; temos: 
 
åò
=
@
n
0k
n
kk
x
x
Cfhdx)x(f
n
0
 (4.5) 
 
Trataremos de obter, agora, algumas fórmulas de integração. Mais adiante 
analisaremos o termo do resto. 
 
 
 
 
 111 
5.2.1- 1º Caso: Regra dos Trapézios 
 
Para n = 1; isto é, queremos obter uma fórmula para integrar f(x) entre dois pontos 
consecutivos x0 e x1, usando polinômio do primeiro grau. 
Temos, em vista de (4.5) que, åò
=
@
n
0k
n
kk
x
x
Cfhdx)x(f
n
0
: 
 
åò
=
@
1
0k
1
kk
x
x
Cfhdx)x(f
1
0
; onde, de nk
n
0
k Cdu)u( =lò , 
2
1
du)u1(du
10
1u
du)u(C
1
0
1
0
1
0
0
1
0 =-=-
-
=l= òòò 
2
1du
01
0udu)u(C
1
0
1
0
1
1
1 =-
-=l= òò 
 
Portanto 
 
)]x(f)x(f[
2
h
dx)x(f 10
x
x
1
0
+@ò 
 
Esta fórmula é conhecida como Regra do Trapézio. 
 
Obs.: Se o intervalo [a, b] é pequeno, a aproximação é razoável; mas se [a, b] é 
grande, o erro também pode ser grande. Neste caso dividimos o intervalo [a, b] em n 
subintervalos de amplitude 
n
ab
h
-
= de tal forma que x0 = a e xn = b e em cada 
subintervalo [xj, xj+1], j = 0, 1, ..., n–1 aplicamos a Regra do Trapézio. 
Assim obtemos: 
2
h
dx)x(f
n
0
x
x
@ò [f(x0) + f(x1)] + 2
h
[f(x1) + f(x2)] + ... + 
2
h
[f(xn–1) + f(xn)] = 
 = 
2
h
[f(x0) + 2(f(x1) + f(x2) + ... + f(xn–1)) + f(xn)] 
 
Esta é a fórmula do Trapézio Generalizada. 
 
 
 
 
 
 
 112 
Exemplo 5.2.1: 
Calcular pela regra do Trapézio ò +
4
0
dx)x1(nl usando 5 pontos e sabendo-se que: 
x 0 1 2 3 4 
nl (1 + x) 0 0.693 1.1 1.387 1.61 
 
Temos: 
 
@+ò
4
0
dx)x1(nl
2
h
[f(x0) + 2(f(x1) + f(x2) + f(x3)) + f(x4)] 
 = 
2
1
[0 + 2(0.693 + 1.1 + 1.387) + 1.61] 
 =
2
1
[2(3.180) + 1.61] = 
2
1
[7.970] 
 = 3.985. 
 
4.2.2- 2º Caso: Regra 1/3 de Simpson 
 
Para n = 2; isto é, queremos obter uma fórmula para integrar f(x) entre três pontos 
consecutivos x0, x1 e x2, usando polinômio de 2º grau. 
Temos de (4.5) que: 
åò
=
@
2
0k
2
kk
x
x
hCfdx)x(f
2
0
 
onde 
3
1
du)2u3u(
2
1
du
)20)(10(
)2u)(1u(
du)u(C
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0 =+-=--
--
=l= òòò 
3
4du)u2u(du
)21)(01(
)2u)(0u(du)u(C
2
0
2
2
0
2
0
1
2
1 =--=--
--=l= òòò 
e pelo exercício [4.1] temos 
3
1
CC 20
2
2 == . 
Então: 
 
)]x(f
3
1
)x(f
3
4
)x(f
3
1
[hdx)x(f 21
x
x
0
2
0
++@ò 
 
Esta fórmula é conhecida como Regra 
3
1
 de Simpson. 
 113 
De maneira análoga à regra do Trapézio, a generalização da regra 
3
1
 de Simpson 
para integração ao longo de um intervalo [a, b], é feita dividindo-se [a, b] num número par 
2n (por que?) de subintervalos de amplitude h = 
n2
ab -
 de tal forma que x0 = a e x2n = b. 
Usando a regra 
3
1
de Simpson ao longo do intervalo [xj, xj+2], j = 0, 2, ..., 2n–2, 
temos: 
)]x(f)x(f4)x(f2...)x(f2)x(f4)x(f2)x(f4)x(f[
3
h
dx)x(f n21n22n243210
x
x
n2
0
++++++++@ --ò
 
Esta é a fórmula 
3
1
 de Simpson Generalizada. 
 
Exemplo 5.2.2: 
Calcular ò
3
2
2
x
dxxe pela regra 
3
1
 de Simpson, dada a tabela: 
x 2 2.25 2.5 2.75 3.0 
2
x
e 
2.71 3.08 3.49 3.96 4.48 
 
Assim, temos 
ò
3
2
2
x
dxxe )]x(f)x(f4)x(f2)x(f4)x(f[
3
h
43210 ++++@ 
 = 
3
25.0
[5.42 + 4(6.93 + 10.89) + 2(8.725) + 13.44] 
 = 
3
25.0
[5.42 + 71.28 + 17.45 + 13.44] 
 = 
3
25.0
[107.59] 
 = 8.965833 
 
4.2.3- 3º Caso: Regra 3/8 de Simpson 
 
Para n = 3; isto é, queremos obter uma fórmula para integrar f(x) entre 4 pontos 
consecutivos x0, x1, x2 e x3, usando polinômio do 3º grau. Temos 
 
åò
=
@
3
0k
3
kk
x
x
hCfdx)x(f
3
0
 
onde 
 114 
8
3du)6u11u6u(
6
1du)u(C
3
0
23
3
0
0
3
0 =-+--=l= òò 
8
9du)u6u5u(
2
1du)u(C
3
0
23
3
0
1
3
1 =+-=l= òò 
Pelo exercício [4.1], temos: 
 
8
3
CC 30
3
3 == 
e 
8
9
CC 31
3
2 == 
Assim 
)]x(f))x(f)x(f(3)x(f[h
8
3
dx)x(f 3210
x
x
3
0
+++@ò 
Essa fórmula é conhecida como Regra8
3
 de Simpson. 
Para generalizar a regra 
8
3
 de Simpson devemos dividir o intervalo [a, b] em um 
número conveniente de subintervalos, de amplitude h de tal forma que x0 = a e x3n = b. 
Usando a regra 
8
3
 de Simpson ao longo do intervalo [xj, xj+3], j = 0, 3, 6, ..., 3n–3, 
obtemos: 
)]x(f))x(f)x(f(3)x(f2...
)x(f2))x(f)x(f(3)x(f2))x(f)x(f(3)x(f[h
8
3dx)x(f
n31n32n33n3
6543210
x
x
n3
0
+++++
+++++++@
---
ò 
 
Esta é a fórmula 
8
3
 de Simpson Generalizada. 
 
Exemplo 5.2.3: 
Calcular ò +
6.0
0
x1
dx
 pela regra 
8
3
 de Simpson e h = 0.1. 
Solução: Construímos a tabela de f(x) = 
x1
1
+
 
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 
f(x) 1 0.9091 0.8333 0.7692 0.7143 0.6666 0.625 
 
 115 
Assim, temos 
 
)]x(f))x(f)x(f(3)x(f2))x(f)x(f(3)x(f[h
8
3
x1
dx
6543210
6.0
0
++++++@
+ò 
 =
8
)1.0(3
[1 + 3(0.9091 + 0.8333 + 0.7143 + 0.6666) + 2(0.7692) + 0.625] 
 =
8
3.0
[12.5333] = 0.469999 
 
Obs.: Calcule diretamente ò +
6.0
0
x1
dx
 e compare os resultados. 
 
As fórmulas vistas são chamadas fórmulas de Newton-Cotes. 
 
5.3 – ERRO NA INTERPOLAÇÃO E NA INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
 
5.3.1 – Erro na Interpolação 
 
Quando aproximamos a função f por Pn, ou seja, f(x) @ Pn(x), existe um erro 
cometido na interpolação expresso por Rn(x), assim, é válida a seguinte relação; 
f(x) = Pn(x) + Rn(x), 
Rn(x) é definido pelo fórmula do Resto de Lagrange, expresso por: 
 
Teorema 5.3.1.1 - fórmula do Resto de Lagrange 
 
Rn(x) = 
)!1n(
)xx)(xx)(xx( n10
+
---
 f(n + 1) (x) £ 
£ 
)!1n(
)xx)(xx)(xx( n10
+
---
)t(f )1n(
]x,...,x[t
max
n0
+
Î
; 
 
A fórmula dada é válida quando conhecemos a lei de f. 
 
Se não conhecemos esta lei, Rn(x) pode ser estimado por : 
 
Teorema 5.3.1.2 – Lei de f desconhecida 
( )( ) ( )n10 xxxxxx ---» L(x)R n (max
j
| f[x0 ,x1 ,...,xj ]|/((n+1)!) ). 
 Se os pontos são igualmente espaçados, vale também que: 
 
Teorema 5.3.1.3 – Lei de f desconhecida e pontos igualmente espaçados. 
Rn(x) £ ( )1n4
Mh j
1n
+
+
, onde Mj = max
j
| Djf[x0 ]|. 
 116 
5.3.2 – Erro na Integração Numérica 
 
Integrando-se ambos os lados de f(x) = Pn(x) + Rn(x), obtemos: 
 
òòò +=
b
a
n
b
a
n
b
a
dx)x(Rdx)x(Pdx)x(f 
Seja Tn = ò
b
a
n dx)x(R , o termo complementar. 
Enunciaremos dois teoremas, cujas demonstrações aqui serão omitidas. 
 
Teorema 5.3.2.1 – Se os pontos xj = x0 + jh, j = 0, 1, ..., n dividem [a, b] em um número 
ímpar de intervalos iguais e f(x) tem derivada de ordem (n + 1) contínua em [a, b], então a 
expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes com n ímpar é dada por: 
Tn = ò --+
x++ n
0
)1n(2n
du)nu)...(1u(u
)!1n(
)(fh
 para algum ponto x Î [a, b]. 
Teorema 5.3.2.2 – Se os pontos xj = x0 + jh, j = 0, 1, ..., n dividem [a, b] em um número 
par de intervalos iguais e f(x) tem derivada de ordem (n + 2) contínua em [a, b], então a 
expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes com n par é dada por: 
Tn = ò ---+
x++ n
0
)2n(3n
du)nu)...(1u(u)
2
n
u(u
)!2n(
)(fh
 para algum ponto x Î [a, b]. 
 
Exemplo 5.3.1: 
Determinar o menor número de intervalos em que podemos dividir [1, 2] para 
obter ò
2
1
dx)x(nl pela regra do Trapézio com erro £ 10–4. 
Solução: T1 £ )t´´(fmax
12
nh
2t1
3
££
 
Temos que 
 
 f(t) = nl t, f´(t) = 
t
1
, f´´(t) = 
2t
1
- 
\ 1)t´´(fmax
2t1
=
££
 
\ T1 £ 4
3
101
12
nh -£ 
Mas h = 
n
ab -
 Þ h = 
n
12 -
 Þ h = 
n
1
 
 
 117 
\ n 4
3
10
12n
1 -£ 
\ 4
2
10
n12
1 -£ 
Þ n2 ³ 
12
104
 Þ n2 = 834 
\ nmin = 29 
 
Assim devemos dividir o intervalo [1, 2] em 29 subintervalos iguais para obter 
ò
2
1
dx)x(nl pela regra do trapézio com erro £ 10–4. 
 
5.4- Exercícios: 
 
5.4.1) Provar que: n kn
n
k CC -= 
(Sugestão: Faça a mudança de variável: u = n – v em nkC ) 
 
5.4.2) Determine h de modo que a regra do trapézio forneça o valor de 
I = ò -
1
0
x dxe
2
, com erro inferior a 0.5 610-´ . 
 
5.4.3) Achar o número mínimo de intervalos que se pode usar para, utilizando a regra 
3
1
 de 
Simpson, obter ò
p
-
2
0
x xdxcose com erro inferior a 10–3 . 
 5.4.4) Nos exercícios [4.2] e [4.3], resolva as integrais numericamente pelas regras 
citadas de modo a satisfazer os limites de erros impostos. 
 
 5.4.5) Calcular ò
3
2
2
x
dxxe pela regra 
8
3
 de Simpson, sobre 07 pontos e dar um limitante 
para o erro cometido.