Aula 1 Calculo Numerico (1)

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Cálculo Numérico 
 
O cálculo numérico é uma metodologia usada para obter a solução de problemas matemáticos 
por meio de um computador, sendo amplamente utilizado por engenheiros e cientistas. Para isso, 
precisamos contar com a ajuda de algoritmos, que devem ser implementados em uma linguagem de 
programação. Neste curso, será utilizado o software MATLAB. A disciplina Cálculo Numérico tem por 
finalidade proporcionar o estudo e a implementação de alguns dos principais métodos numéricos, 
apresentando aos alunos suas vantagens, limitações e aplicabilidade. 
 
Processo iterativo 
 
Existe um grande número de métodos numéricos que são iterativos. Como o próprio nome já diz, 
processos iterativos se caracterizam pela repetição de uma determinada operação. A idéia nesse tipo de 
processo é repetir um determinado cálculo várias vezes, obtendo-se, a cada iteração, um resultado mais 
preciso que aquele obtido na iteração anterior. E, a cada iteração, utiliza-se o resultado da iteração 
anterior como parâmetro de entrada para o cálculo seguinte. Alguns aspectos comuns a qualquer processo 
iterativo são: 
 Estimativa inicial: ao iniciar um processo iterativo, é preciso que se tenha uma estimativa 
inicial do resultado do problema. Essa estimativa pode ser conseguida de diferentes formas, 
conforme o problema que se deseja resolver. 
 Critério de Parada: obviamente, não podemos repetir um processo numérico infinitamente. É 
preciso interrompê-lo em um determinado instante. Critério de parada é o instrumento por meio 
do qual o procedimento iterativo é finalizado. Quando, por exemplo, a diferença entre a solução 
obtida na iteração “i” e a solução encontrada na iteração “i-1” for menor que um valor 
previamente determinado pelo usuário (tolerância), pode-se utilizar essa informação como um 
critério de parada. A escolha do número de iterações a serem realizadas também pode ser 
adotada como um critério de parada. Deve-se ressaltar que o critério de parada dependerá do 
problema a ser resolvido e da precisão que necessitamos obter na solução desse problema. 
 
Erros nos algoritmos iterativos 
 
Nenhum resultado obtido a partir de cálculos eletrônicos tem valor se não tivermos 
conhecimento e controle sobre os possíveis erros envolvidos no processo. Por isso, é de fundamental 
importância conhecer as causas desses erros a fim de minimizar as suas consequências. As principais 
fontes de erros que podem alterar os resultados obtidos por meio de um método numérico são: 
 
 
 
 
 
Erro de arredondamento 
 
O erro de arredondamento ocorre em virtude da limitação dos computadores que, ao representarem um 
número formado por infinitos algarismos, utilizam uma quantidade finita de dígitos. Esse tipo de erro 
pode surgir de duas fontes distintas: a representação finita de dígitos (exemplo 1) e o processo de 
conversão de base (exemplo 2). 
 
Exemplo 1 
 
Como 
2
 é um número irracional, um computador terá que representá-lo utilizando um número com 
uma quantidade finita de algarismos, o que corresponderá a uma aproximação do valor real de 
2
. 
 
Exemplo 2 
 
Na interação entre o usuário e o computador, ocorre o seguinte processo: o usuário passa seus dados na 
base decimal, e toda a informação é convertida para a base binária pelo computador. Os resultados 
obtidos no sistema binário são convertidos para o sistema decimal e, finalmente, transmitidos ao usuário. 
Esse processo de conversão de base pode se constituir em fonte de erro de arredondamento. Todo número 
inteiro decimal pode ser representado exatamente por um número inteiro binário, mas o mesmo não 
acontece para números fracionários. Um exemplo bastante peculiar é o número 0,1. Ao convertermos esse 
número da base decimal para a base binária, obtemos como resposta: 
 
(0,1)10 = (0,0001100110011...)2 
 
Portanto, notamos que, ao converter o número 0,1 da base decimal para a base binária, obtemos um 
número com infinitos algarismos. Desta forma, um computador precisará representá-lo utilizando um 
número com uma quantidade finita de algarismos, introduzindo, assim, um erro na sua representação. 
 
Uma forma interessante de constatar esse problema é executar o seguinte programa que calcula o valor de 


1000
1
1,0
i
: 
 
 
 
Como era esperado, obteve-se como resposta: 
100000999985930099,9999999 
. 
Erro de truncamento 
 
O erro de truncamento é um erro devido ao método de aproximação empregado para o cálculo de funções 
não exatas. 
 
Exemplo 
 
Considere a expansão da função exponencial em séries de potência da forma: 
 


 !3!2
1
!
32
0
xx
x
i
x
e
i
i
x
 
 
Como na prática é impossível calcular seu valor exato, pois se trata de uma série infinita, devemos 
escolher um número de termos limitado da série para que possamos calcular o valor numérico da função. 
Neste caso, faremos um truncamento da série. Não importa a quantidade de termos que utilizemos no 
cálculo, pois o resultado será sempre aproximado e, portanto, sempre haverá um erro, que é denominado 
erro de truncamento. 
 
Erro por estouro de memória 
 
Se uma operação aritmética resultar em um número cujo módulo exceda o maior número representável 
( ), ocorrerá um overflow. Se, por outro lado, resultar em um número cujo módulo seja 
menor que o menor número representável diferente de zero ( ), ocorrerá um underflow.