Lista 2 Cálculo Numérico

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Centro Universita´rio do Leste de Minas Gerais - UnilesteMG
Cursos de Engenharia
Disciplina: Ca´lculo Nume´rico
Segunda Lista de Exerc´ıcios - 5 pontos
Professora: Samira Domingos Costa
Nome: Nota:
1. A partir da tabela de pontos abaixo, determine o polinoˆmio de Lagrange que passa por
todos os pontos e, em seguida, determine P (3).
i xi yi
0 2 0,25
1 2,5 0,16
2 4 0,0625
Resposta:
P2(x) = 0,0575x
2 − 0,4388x + 0,8975
P2(3) = 0,0986
2. Dada a tabela de pontos abaixo, encontre o polinoˆmio de Lagrange que passa por todos
os pontos e, em seguida, determine P (0,3).
i xi yi
0 0 0
1 0,2 2,008
2 0,4 4,064
3 0,5 5,125
Resposta:
P3(x) = x
3 + 10x
P3(0,3) = 3,027
1
3. Dada a tabela abaixo, calcule P4(0,25) utilizando a interpolac¸a˜o de Gregory-Newton.
i xi yi
0 0,1 0,125
1 0,2 0,064
2 0,3 0,027
3 0,4 0,008
4 0,5 0,001
Resposta:
P4(0,25) = 0,043
4. A tabela abaixo apresenta o nu´mero de habitantes de Belo Horizonte ao longo dos anos.
Utilizando a interpolac¸a˜o de Gregory-Newton, determine o nu´mero aproximado de habi-
tantes em 1975.
Ano Nu´mero de habitantes
1950 352.724
1960 683.908
1970 1.235.030
1980 1.814.990
Resposta:
P3(1975) = 1.533.349
5. Considere a seguinte tabela:
i xi yi
1 0,5 5,1
2 1,2 3,2
3 2,1 2,8
4 3,5 1,0
5 5,4 0,4
a) Determine a equac¸a˜o da reta que passa pelo primeiro e pelo segundo pontos e, em
seguida, calcule J .
b) Determine a equac¸a˜o da reta que passa pelo terceiro e pelo quinto pontos e, em seguida,
calcule J .
c) Determine a equac¸a˜o da reta a partir do me´todo de mı´nimos quadrados utilizando os
cinco pontos da tabela e, em seguida, calcule J .
Observac¸a˜o: considere 4 casas decimais.
2
Resposta:
a) ŷ = −2,7143x + 6,4572 e J = 94,4781
b) ŷ = −0,7273x + 4,3273 e J = 1,9672
c) ŷ = −0,9061x + 4,8015 e J = 1,4775
6. Utilizando os dados apresentados na tabela abaixo, determine a equac¸a˜o de uma reta
de modo que a func¸a˜o custo seja o menor poss´ıvel. Em seguida, calcule J . Para isso,
considere 3 casas decimais.
i xi yi
1 1,3 2,0
2 3,4 5,2
3 5,1 3,8
4 6,8 6,1
5 8,0 5,8
Resposta:
ŷ = 0,522x + 2,012 e J = 3,678
7. A partir dos dados apresentados na tabela abaixo, determine a equac¸a˜o de uma reta uti-
lizando o me´todo de mı´nimos quadrados e, em seguida, calcule J . Para isso, considere 3
casas decimais.
i xi yi
1 -2,0 4,4
2 -0,5 5,1
3 1,2 3,2
4 2,1 1,6
5 3,5 0,1
6 5,4 -0,4
Resposta:
ŷ = −0,798x + 3,623 e J = 2,854
3