Volume e Comprimento Aula

Prévia do material em texto

1
Volume de um Sólido 
de Revolução
Fazendo uma figura plana 
girar em torno de um eixo 
obtemos um sólido de revolução. 
2
O eixo em torno do qual gira 
é chamado de eixo de revolução.
Neste caso o eixo de revolução é o eixo x.
Outros exemplos
3
Outros exemplos
Outros exemplos
4
Outros exemplos
Neste caso o eixo de revolução é o eixo y.
Outros exemplos
5
Para calcular o volume gerado por esta rotação, 
precisamos integrar. 
Para isso temos de dividir o volume 
em pequenos cilindros
Os cilindros centrados em Ci
com raio f(Ci) e altura ∆∆∆∆xi
6
O volume desses cilindros será dado por:
iii xcfV ∆⋅= 2)]([pi
Soma dos volumes de cada fatia
7
∑
=∞→
∆⋅=
n
i
ii
n
xcfV lim
1
2)]([pi
∫=
b
a
dxxfV 2)]([pi
∑
=
∆⋅=
n
i
ii xcfV
1
2)]([pi
Somando todos os volume dos cilindros teremos:
Levando ao limite quando o nº de cilindros tende ao ∞∞∞∞, temos:
Esse resultado será o volume, dado pela integral definida:
Algumas situações possíveis:
1) A função f(x) é negativa em alguns pontos do 
intervalo de integração.
Usa-se o módulo, mas como a fórmula 
quadra a função, ela também é válida para esse caso.
∫=
b
a
dxxfV 2|)(|pi
8
2) Região entre duas funções f(x) e g(x).
∫ −=
b
a
dxxgxfV })]([)]({[ 22pi
3) Rotação em torno do eixo y.
∫=
d
c
dyygV 2)]([pi
9
4) Rotação em torno de uma reta paralela a um dos 
eixos coordenados.
∫ −=
b
a
dxLxfV }])({[ 2pi ∫ −=
d
c
dyMygV }])({[ 2pi
Exemplos:
Volume de 
revolução
10
Associe a figura 
geradora com o sólido 
gerado
1 – D
2 – E
3 – A
4 – B
5 – C
Associe a figura geradora 
com o sólido gerado
A
11
Exercícios
Volume de revolução
Ex. y=x+1 entre x=0 e x=2
12
Ex. y=x2+1 entre x=0 e x=2
Ex. y=x3 entre x=-1 e x=1
13
Ex. y=x3 rodando em torno do eixo y de y=0 até y=8
Ex. y=x2/4 entre x=1 e x=4
14
Ex. y=sen x de x=-pipipipi/2 até x=3pipipipi/2
Ex. y=x3 entre x=1 e x=2
15
Comprimento 
de curvas
Para curvas geradas por funções do primeiro grau, basta aplicarmos 
o Teorema de Pitagoras no intervalo desejado e encontramos o 
comprimento da curva. Seja a reta y=f(x), no intervalo [a,b].
O segmento ℓ é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos ∆x e ∆y
e seu comprimento é dado por:
=f(b)-f(a)
=b-a
A
B
22 )()( yxl ∆+∆=
16
No século XVII, pouco antes da invenção do Cálculo Diferencial e 
Integral, existiam muitos métodos para o cálculo de curvatura e 
retificação de uma curva.
Com a invenção do Cálculo Diferencial e Integral, este procedimento 
nos leva a resolução de uma integral definida em que o integrando 
envolve uma raiz quadrada e a derivada da função dada.
O problema de calcular o comprimento de arco de uma curva é em 
alguns casos extremamente difícil, pois pode nos levar a integrais 
elípticas.
Para as demais funções, temos que usar o Cálculo para 
determinarmos o comprimento desejado de um arco.
Considere a função y=f(x), contínua no intervalo [a,b] e derivável 
em (a,b), cujo gráfico pode ser esboçado como:
17
Para determinarmos o comprimento do arco da curva entre os 
pontos A e B, podemos subdividir a curva em segmentos infinitesimais 
de reta.
O comprimento total da poligonal P0 P1 P2 ⋯⋯⋯⋯ Pk−1 Pk ⋯⋯⋯⋯ Pn é a soma dos 
comprimentos das cordas que ligam cada ponto ao próximo.
18
Assim, temos triângulos 
retângulos e o problema se 
resume em encontrarmos os 
comprimentos infinitesimais 
de suas hipotenusas ℓk: 
Levando ao limite teremos:
Comprimento de um arco 
de curva qualquer
Exemplo:
19
Exemplo:
Exercícios
Comprimento de 
curvas
20
Ex. y=5x-2
3xy =Ex.
21
Fim