CALCULO 3

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"As equações diferenciais começaram com o estudo de cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilheim Leibnitz (1646-1716), no século XVII." Boyce e Di Prima.  Com relação às equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que
 
 (I) Chama-se equação diferencial toda equação em que figura pelo menos uma derivada ou diferencial da função incógnita.
(II) Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
(III) Chama-se grau de uma equação diferencial o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
		
	
	(I)
	
	(I) e (III)
	 
	(I), (II) e (III)
	
	(I) e (II)
	 
	(II) e (III)
		
	
	Nas ciências e na engenharia, modelo matemáticos são desenvolvidos para auxiliar na compreensão de fenômenos físicos. Estes modelos frequentemente geram uma equação que contém algumas derivadas de uma função desconhecida. Tal equação é chamada de equação diferencial. Para iniciar o estudo de tal equação, se faz necessário alguma terminologia comum. Assim sendo, antes de estudar métodos para resolver uma equação diferencial se faz necessário classificar esta equações.
Três classificações primordiais são:
1. Segundo a natureza (Equação diferencial ordinária ou parcial)
2. Segundo a ordem desta equação.
3. Segundo a linearidade.
Classifique as seguintes equações:
a) dxdt=5(4-x)(1-x)
b) 5d2ydx2+4dydx+9y=2cos3x
c) ∂4u∂x4+∂2u∂t2=0
d) d2ydx2+x2(dydx)3-15y=0
Admitindo os seguintes índices para a classificação:
A=1: para E.D.O.
A=2: para E.D.P.
n: A ordem da Equação
B=5: para equação linear
B=6: para equação não linear
A soma (A+n+B)para cada equação resultará respectivamente em:
 
		
	
	7; 8; 11; 10
	 
	8; 8; 9; 8
	
	8; 9; 12; 9
	 
	8; 8; 11; 9
	
	7; 8; 9; 8
		
	
	 Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a resposta correta:
ydx+(x+xy)dy = 0
		
	
	lnx+lny=C
	 
	lnx-lny=C
	
	lnx-2lnxy=C
	
	3lny-2=C
	 
	lnxy+y=C
		
	
	 Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a resposta correta:
2rcosΘdr-tgΘdΘ=0
		
	
	r²senΘ=c
	
	cossecΘ-2Θ=c
	 
	r²-secΘ = c
	 
	rsenΘcosΘ=c
	
	rsenΘ=c
		
	
	Resolva separando as variáveis e indique a resposta correta: ey.(dydx+1)=1.
		
	
	y- 1=c-x
	 
	ln(ey-1)=c-x
	
	ey =c-y
	
	lney =c
	 
	ey =c-x
	Marque a alternativa que indica a solução geral da equação  diferencial de variáveis separáveis dx + e3x dy.
		
	 
	y = (e3x/2) + k
	
	y = (e-2x/3) + k
	 
	y = (e-3x/3) + k
	
	y = e-2x + k
	
	y = e-3x + K
		
	
	Seja y = C1e-2t + C2e-3t  a solução geral da EDO  y" + 5y´ + 6y = 0.  Marque a alternativa que indica a solução do problema de valor inicial (PVI) considerando y(0) = 2 e y(0)=3.
		
	
	y = e-2t - e-3t
	 
	y = 9e-2t - 7e-3t
	
	y = 8e-2t + 7e-3t
	
	y = 3e-2t - 4e-3t
	
	y = 9e-2t - e-3t
		
	
	Indique a solução correta da equação diferencial: dydx=7x³.
		
	 
	y=275x52+C
	
	y=- 7x³+C
	 
	y=7x³+C
	
	y=7x+C
	
	y=x²+C
		
	
	Indique qual é a solução geral correta para a solução da equação diferencial: xdx+ydy=0
		
	 
	x + y=C
	
	x²- y²=C
	
	x-y=C
	
	-x² + y²=C
	 
	x²+y²=C
		
	Indique qual é a solução da equação diferencial:
xdx+ydy=xy(xdy-ydx)
		
	
	1+y=C(1-x²)
	
	C(1 - x²) = 1
	
	seny²=C(1-x²)
	 
	1+y²=C(lnx-x²)
	 
	1+y²=C(1-x²)
 
	O Wronskiano de 3ª ordem é o resultado do determinante de uma matriz 3x3, cuja primeira linha é formada por  funções, a segunda linha pelas primeiras derivadas  dessas funções e a terceira linha pelas  segundas derivadas daquelas funções.
             O Wronskiano é utilizado para calcular se um conjunto de funções deriváveis são linearmente dependentes ou independentes. Caso o Wronskiano seja igual a  zero em algum ponto do intervalo dado, as funções são  ditas linearmente dependentes nesse ponto.
              Identifique, entre os pontos do intervalo  [-π,π]   apresentados , onde as funções    { t,sent, cost} são linearmente dependentes.
		
	
	 t= π/4
	 
	t= 0
	
	t= π/3
	
	 t=  π       
	
	π/4      
		
	
	Determine o valor do Wronskiano do par de funções  y1 = e 2t e  y 2 = e3t/2.
		
	
	e2t
 
	
	-72e-2t
	 
	72et2
	
	72e2t
	
	e-2t
		
	
	Identifique o valor de t entre os pontos do intervalo [-π,π], onde as funções { t,sent, cost} são linearmente dependentes.
 
		
	
	π3
	 
	0
	
	π 
	
	-π
	
	π4
		
	
	Resolva a equação diferencial 2xydx+(x2-1)dy=0
		
	
	x3y +y=C
	 
	x2y-y=C
	
	x2- 1=C
	
	x2y-2y=C
	
	x2y +y=C
		
	
	 Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a resposta correta:
ydx+(x+xy)dy = 0
		
	
	3lny-2=C
	
	lnx-2lnxy=C
	
	lnx-lny=C
	
	lnx+lny=C
	 
	lnxy+y=C