Notas de Aula Ondas I- UTFPR CM

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ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 1 
 
ONDAS l 
 
16.1 Introdução 
Ondas são perturbações que se propagam transportando 
energia. Desta forma, uma música, a imagem numa tela de 
tv, a comunicações utilizando celulares, etc, dependem da 
produção, transmissão e recepção de uma onda. Este 
capítulo se concentra nas ondas progressivas ao longo de 
uma corda esticada, como a de um violão. 
 
16.2 Tipos de Ondas 
As ondas são de três tipos: 
1. Ondas mecânicas – Precisam de um meio para se 
propagar (ondas na água, ondas sonoras, ondas 
sísmicas, ondas numa corda). 
 
2. Ondas eletromagnéticas – Não requerem um meio 
material para se propagarem (luz visível, ultravioleta, 
ondas de rádio, televisão, raio x, radar, celular,etc.). No 
vácuo sua velocidade é smc /458.792.299= . 
 
3. Ondas de matéria – Associadas a elétrons, prótons e 
outras partículas elementares, e mesmo com átomos e 
moléculas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 2 
16.3 Ondas Transversais e Longitudinais 
 
Pulso – (a) cada ponto do meio 
(corda) vibra com a mesma 
amplitude, no sentido 
perpendicular ao deslocamento 
da onda. 
Trem de ondas – (b) sucessivos 
pulsos produzidos com 
periodicidade formam uma onda 
senoidal. 
 
Onda Transversal – cada 
elemento do meio oscila 
perpendicularmente à direção de 
propagação da onda. 
 
Onda Longitudinal - os 
elementos do meio oscilam ma 
mesma direção de 
propagação da onda. 
 
O movimento de vai e vem do 
pistão resulta numa onda 
longitudinal que se propaga 
ao longo do tubo. 
 
 
Tanto as ondas Transversais quanto as Longitudinais são 
chamadas de ondas progressivas. 
 
 
 
 
 
 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 3 
 
16.4 Comprimento de Onda e Freqüência 
 
Uma onda fica 
completamente descrita 
pela equação ao lado. 
Para uma corda, esta 
equação pode ser usada 
para encontrar os 
deslocamentos de todos 
os elementos da corda em 
função do tempo. 
Amplitude ( )my – é o 
módulo do deslocamento máximo 
dos elementos a partir de suas 
posições de equilíbrio enquanto a 
onda passa através deles. 
 
Fase da onda é o argumento 
( )kx wt− do seno da equação 
anterior. Enquanto a onda passa 
por um elemento da corda em uma 
posição particular x, a fase varia 
linearmente com o tempo t. 
Comprimento de Onda ( )λ é a 
distância entre repetições da forma 
da onda. 
Em t=0, 1xx = e 1)0,( senkxyxy m= 
Em λ+= 1xx , 
)(
)(
1
11
λ
λ
kkxseny
xsenkysenkxy
m
mm
+=
+=
 
onde πλ 2=k 
 
 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 4 
Número de Onda ( )k 
Unidade no SI é radiano por metro )/( mrad , dado por: 
λ
π2
=k 
Período )(T de oscilação de 
uma onda é o tempo que 
qualquer elemento da corda 
leva para realizar uma 
oscilação completa. 
 
Freqüência Angular )(ω é a 
rapidez com que o ponto realiza o ciclo, dada em radiano 
por segundo )/( srad . 
T
πω 2= 
Freqüência )( f de uma onda é o número de oscilações por 
unidade de tempo 




 = Hz
s
1 . Relaciona-se com o período e 
freqüência angular por: 
π
ω
2
1
==
T
f 
 
Constante de Fase: Quando 
uma onda progressiva senoidal 
é expressa pela função de 
onda )(),( tkxsenytxy m ω−= , a forma 
da onda pode ser descrita 
conforme a figura (a). Note que 
x=0 , y=0 e sua inclinação é 
máxima positiva. Se inserirmos 
uma constante de fase, a 
função de onda assume a 
forma: )(),( φω +−= tkxsenytxy m . 
No caso da figura, 4/πφ += . 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 5 
 
16.5 A Velocidade de uma Onda Progressiva 
 
 A figura ao lado mostra dois 
instantâneos da onda 
separados por um pequeno 
intervalo de tempo t∆ . Desta 
forma, a razão tx ∆∆ ou no 
limite diferencial dtdx / é a 
velocidade da onda v . Se o 
ponto A preserva seu 
deslocamento enquanto ele se 
move, a fase na equação de onda determinando este 
deslocamento deve permanecer constante: 
teconstkx tan=−ω 
Derivando este argumento em ralação a t, encontramos a 
velocidade v da onda, 
0=−ω
dt
dxk ou k
v
dt
dx ω
== 
Como já foi definido, λπ /2=k e T/2πω = , podemos escrever 
a velocidade da onda como: 
f
Tk
v λλω === 
 Quando a onda se mover no sentido negativo de x, temos 
teconstkx tan=+ω . 
Desta forma a equação da onda será escrita por 
)(),( tkxsenytxy m ω+= , 
que derivada, leva a 
kdt
dx ω
−= 
 
 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 6 
 
Exercício: 
Uma onda propagando ao longo de uma corda é descrita por 
)72,21,72(00327,0),( txsentxy −= , na qual as constantes numéricas 
estão em unidades do SI. (a) Qual é a amplitude desta onda? (b) 
quais são os comprimentos de onda, período e a freqüência desta 
onda? (c) Qual é a velocidade desta onda? Qual o deslocamento y 
em x=22,5cm e t=18,9s? (0,00327m ; 0,0871m ; 2,31s ; 0,433Hz; 
0,0377m/s; 0,00192m) 
 
 
16.6 Velocidade da Onda em uma Corda Esticada 
A velocidade da onda está relacionada com o comprimento 
de onda e com a freqüência pela equação fv λ= , mas ela 
é determinada pela propriedades do meio como a 
densidade linear de massa µ e a tensão τ da corda. 
µ
τ
=v 
l
m
=µ (massa por comprimento de corda). 
 
Exercício: 
Na figura, duas cordas foram 
amarradas uma na outra com um 
nó e depois esticadas entre dois 
suportes rígidos. As cordas têm 
densidades lineares 
mkgx /104,1 41
−=µ e 
mkgx /108,2 42
−=µ . Seus 
comprimentos são mL 0,31 = e mL 0,22 = , e a corda 1 está 
submetida a uma tensão de 400N. Simultaneamente, um pulso é 
enviado a partir da extremidade do suporte rígido de cada corda 
em direção ao nó. Qual pulso alcançara o nó primeiro? 
(determine o tempo que cada pulso leva para percorrer cada corda) 
 
 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 7 
16.7 Energia e Potência de uma Onda Progressiva em 
uma Corda 
Quando fornecemos energia 
para uma corda esticada, esta 
transporta a energia nas 
formas de energia cinética e 
energia potencial elástica. 
Energia Cinética - 
considerando um elemento de 
massa dm da corda, quando 
ele passa por 0=y (b) sua 
velocidade é máxima (só 
energia cinética) e quando 
passa pela posição myy = (a), 
sua energia cinética é nula. 
Energia Potencial Elástica – Quando o elemento de 
massa oscila, seu comprimento varia para que possa 
assumir a forma da senoide. A energia potencial está 
associada a esta variação de comprimento. 
 
Transporte de Energia – Quando a onda se move para 
seções que estavam anteriormente em repouso, energia é 
transferida para estas novas seções. 
 
A Taxa de Transmissão da Energia 
A energia cinética dK associada a um elemento de massa 
dm é dada por 
2
2
1 udmdK = 
onde u é a velocidade transversal do elemento oscilante da 
corda derivamos a equação da posição do elemento. 
)cos( tkxy
t
yu m ωω −−=∂
∂
= 
 
 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 8 
Usando esta relação e fazendo dxdm µ= , reescrevemos, 
2
2
1 udmdK = 
)(cos))((
2
1 22 tkxydxdK m ωωµ −−= 
Dividindo esta equação por dt , temos: 
)(cos
2
1 222 tkxyv
dt
dK
m ωωµ −= 
A taxa média com que a energia cinética é transportada é 
 
médm
méd
tkxyv
dt
dK )][(cos
2
1 222 ωωµ −=





 
Para um número inteiro de comprimentos de onda, 
2
1)][(cos2 =− médtkx ω , o que nos leva a, 
22
4
1
m
méd
yv
dt
dK ωµ=





 
A potência média, que é a taxa média com que a energia 
em ambas as formas é transmitida pela onda é, 
 
22
2
12 m
méd
méd yvdt
dKP ωµ=




= 
 
Exercício: 
Uma corda esticada possui densidade linear mg /525=µ e 
está sujeita a uma tensão N45=τ . Enviamos uma onda 
senoidal com freqüência Hzf 120= e amplitudemmym 5,8= ao 
longo da corda. Com que taxa média a onda transporta 
energia? W100≈ 
 
 
 
 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 9 
16.8 A equação de Onda 
Quando uma onda passa através de qualquer elemento de 
uma corda esticada, o elemento se move 
perpendicularmente à direção de 
propagação da onda. No 
elemento da figura ao lado, as 
forças 1F

 e 2F

 produzem uma 
força resultante que provoca uma 
aceleração ya para cima. 
Aplicando a 2ª lei de Newton ao 
movimento do elemento do 
desenho, teremos: 
yyres maF =, 
yyy admFF =− 12 mas dxdm µ= 
yyy adxFF µ=− 12 
Sabemos que 2
2
dt
yday = 
Na figura (b) 2F

 é tangente à 
corda na extremidade direita do elemento. Logo, 
2
2
2 S
F
F
x
y = * 
Em termos do módulo de )(2 τ=F , 
2
2
2
2
2
2
2
22 yxyx FFFFF +=⇒+= τ 
Supondo que o elemento é apenas ligeiramente inclinado, 
xy FF 22 << o que nos leva a xF2=τ 
Substituindo em 2
2
2 S
F
F
x
y = , teremos 22 SF y τ= 
Uma mesma análise para a extremidade esquerda do 
elemento nos leva a 11 SF y τ= 
 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 10 
Substituindo tudo a 2ª lei teremos: 
2
2
12 )( dt
yddxSS µττ =− ou 2
2
12
dt
yd
dx
SS
τ
µ
=
−
 
Como o elemento da corda é curto, as inclinações 2S e 1S 
diferem apenas por uma quantidade infinitesimal dS , onde 
S é a inclinação de qualquer ponto: dx
dyS = 
Então, podemos escrever: 
2
2
2
2
2
2
2
2 )/(
dt
yd
dx
yd
dt
yd
dx
dxdyd
dt
yd
dx
dS
τ
µ
τ
µ
τ
µ
=⇒=⇒= 
 
Usando µτ /=v , encontramos: 
2
2
22
2 1
dt
yd
vdx
yd
= 
EQUAÇÃO DE ONDA 
Esta equação governa a propagação de ondas de todos os 
tipos 
 
16.9 O Princípio da 
Superposição para Ondas 
Suponha que duas ondas se 
propagam simultaneamente ao 
longo da mesma corda esticada. 
Sejam ),(1 txy e ),(2 txy os 
deslocamentos que a corda 
sofreria se cada onda se 
propagasse sozinha. Na 
superposição, 
),(),(),( 21
, txytxytxy += 
 
 
 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 11 
16.10 Interferência de Ondas 
Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo 
comprimento de onda se propagam no mesmo sentido ao 
longo de uma corda esticada, elas interferem para produzir 
uma onda resultante senoidal se propagando naquele 
sentido. 
Sejam duas ondas propagando-se ao longo de uma corda 
esticada dado por: 
 
)(),(1 tkxsenytxy m ω−= e )(),(2 φω +−= tkxsenytxy m 
 
Estas onda tem igual ω , f , k e my , deslocando-se para o 
sentido positivo de x, com a mesma velocidade, diferindo 
apenas por um ângulo de fase φ . 
 
Somando as ondas temos: 
)()(),(, φωω +−+−= tkxsenytkxsenytxy mm 
Matematicamente, )(
2
1cos)(
2
12 βαβαβα −+=+ sensensen , que 
aplicada a onda resultante tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alguns exemplos de interferência de duas ondas. 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 12 
 
Exercício: 
Duas ondas senoidais idênticas, se propagando no mesmo 
sentido ao longo de uma corda esticada, interferem uma na 
outra. A amplitude my de cada onda é 9,8mm, e a diferença 
de fase φ entre elas é 100o ,my. (a) Qual a amplitude da 
onda resultante e qual é o tipo desta interferência? (b) Que 
diferença de fase, em radianos e em comprimentos de onda 
dará à onda resultante uma amplitude de 4,9mm? 
ondacompradmm .42,0;63,2;13 ±± 
 
 
 
 
 
 
 
 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 13 
16.11 Fasores. 
Podemos representar uma onda numa 
corda ou qualquer outro tipo de onda 
por um fasor, que nada mais é do que 
um vetor que tem um módulo 1my igual 
a amplitude da onda e que gira em 
torno da origem com uma velocidade 
angular igual a freqüência angular ω 
da onda. Na figura (a) a projeção 1y do 
fasor sobre o eixo vertical representa o 
deslocamento de um ponto pelo qual a 
onda passa. Um segundo fasor (b) de 
módulo 2my , mesma velocidade 
angular ω , gira com um ângulo 
constante φ em relação ao primeiro. A 
onda resultante é representada pelo 
vetor soma ,my dos dois fasores. 
)(),( 11 tkxsenytxy m ω−= 
)(),( 22 φω +−= tkxsenytxy m 
)(),( ,, βω +−= tkxsenytxy m 
Podemos usar fasores para combinar ondas mesmo que 
suas amplitudes sejam diferentes. 
Exercício: Duas ondas senoidais ),(1 txy e ),(2 txy têm o mesmo 
comprimento de onda e se propagam juntas no mesmo sentido ao 
longo de uma corda. Suas amplitudes são mmym 0,41 = e 
mmym 0,32 = , e suas constantes de fase são 0 e rad3/π , 
respectivamente. Quais são a 
amplitude 
,
my e a constante de fase 
β da onda resultante? Escreva a onda 
resultante na forma da equação 
)(),( ,, βω +−= tkxsenytxy m 
(6,1mm e 0,44rad) 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 14 
16.12 Ondas Estacionárias 
Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo 
comprimento de onda se propagam em sentidos opostos ao 
longo de uma corda esticada, sua interferência mútua 
produz uma onda estacionária. 
Uma característica marcante na onda resultante é que 
existem lugares ao longo da corda, chamados nós, onde a 
corda nunca se move. No ponto médio entre os nós estão 
os antinós (ventres), onde a amplitude da onda resultante 
é máxima. Ondas com esta configuração são chamadas de 
ondas estacionárias, porque a forma da onda não se 
move para a direita ou para a esquerda. 
Assim: 
)(),(1 tkxsenytxy m ω−= e )(),(2 tkxsenytxy m ω+= 
)()(),(, tkxsenytkxsenytxy mm ωω ++−= 
Aplicando a relação trigonométrica 
)(
2
1cos)(
2
12 βαβαβα −+=+ sensensen , temos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 15 
Na onda estacionária, a amplitude de oscilação de cada 
elemento da corda varia com a posição x. 
A amplitude é nula para valores de kx que fornecem 
0=senkx ou seja: 
πnkx = para ...2,1,0=n 
A posição dos nós é obtida fazendo-se λπ /2=k e 
reordenando leva a: 
2
λnx =
, para ...2,1,0=n (nós) 
A onda estacionária terá uma amplitude máxima quando 
1=senkx , ou seja: 
π
πππ





 +=
=
2
1
2
5;
2
3;
2
1
nkx
kx
para ...2,1,0=n 
Substituindo λπ /2=k e reordenando tem-se 
22
1 λ





 += nx para ...2,1,0=n (antinós) 
 
 
 
 
16.13 Ondas Estacionárias e Ressonância 
Numa corda de violão, por exemplo, as ondas que se 
propagam para a direita na corda, se superpõe com as 
ondas que se propagam para a esquerda e o resultado é 
uma onda estacionária na corda. 
 
A ressonância pode produzir padrões de onda estacionária 
na corda que representam os harmônicos de vibração da 
corda. 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 16 
 
Para o primeiro padrão (a) de 
vibração da corda (1º 
harmônico), o comprimento da 
corda equivale a meio 
comprimento de onda (um 
ventre). 
 
O segundo padrão (b) de 
vibração (2º harmônico), tem 
exatamente um comprimento 
de onda (dois ventres). 
 
O terceiro padrão (c) de 
vibração (3º harmônico), tem 
um comprimento de onda e 
meio (três ventres). 
 
Assim, uma onda estacionária pode ser excitada em uma 
corda de comprimento L por uma onda com um 
comprimento de onda igual a um dos valores: 
n
L2
=λ para ...3,2,1=n (número de harmônico) 
 
As freqüências de ressonância que correspondem a esses 
comprimentos de onda seguem de: 
 
L
vnvf
2
==
λ para ...3,2,1=n 
 
 
 
 
 
 
 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 17 
 
Exercício: Na figura, uma corda, ligada a um oscilador 
senoidal em P e deslizando sobre um suporte em Q, está 
esticada por um bloco de massa m. A separação L entre P 
e Q é 1,2m, a densidade linear da corda é 1,6 g/m, e a 
freqüência f do oscilador está fixada em 120Hz. A 
amplitude do movimentoem P é suficientemente pequena 
para que este ponto seja considerado um nó. Também 
existe um nó em Q. (a) Que massa m permitiria ao oscilador 
excitar o quarto harmônico da corda? (b) Que modo de 
onda estacionária é excitado se ?00,1 kgm = kgm 846,0= ; 7,3=n 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios do capítulo 16: 
 
1) Uma onda senoidal se propaga ao longo de uma corda. O 
tempo para um ponto particular se mover do deslocamento 
máximo até zero é 0,170s. Quais são (a) o período e (b) a 
freqüência? (c) O comprimento de onda é 1,40m; qual a 
velocidade da onda? 
 
3) Se ( , ) ( , ) ( ( / ) )y x t mm sen kx rad s t φ= + +6 0 600 descreve uma onda se 
propagando ao longo de uma corda, quanto tempo qualquer 
ponto da corda leva para se mover entre os deslocamentos 
,y mm= +2 0 e ,y mm= −2 0 ? 
 
5) Uma onda senoidal de freqüência 500Hz possui uma 
velocidade de 350m/s. (a) Qual a distância entre dois pontos 
que têm uma diferença de fase de / radπ 3 ? (b) Qual é a 
diferença de fase entre dois deslocamentos em certo ponto 
separados por 1,00ms? 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 18 
7) Uma onda senoidal transversal se propaga ao longo de uma 
corda no sentido positivo de um eixo x com uma velocidade de 
80m/s. Em t = 0 , uma partícula da corda em x = 0 , possui um 
deslocamento transversal de 4,0cm a partir de sua posição de 
equilíbrio e não está se movendo. A velocidade transversal 
máxima da partícula da corda em x = 0 é 16m/s. (a) Qual é a 
freqüência da onda? (b) Qual o comprimento de onda? Se a 
equação de onda é da forma ( , ) ( )my x t y sen kx tω φ= ± + , quais são 
(c) k, (e) ω , (f) φ e (g) o sinal correto na frente de ω . 
 
9) Uma onda senoidal se propagando ao longo de uma corda é 
mostrada duas vezes na figura abaixo, quando a crista A se 
desloca no sentido positivo do eixo x por uma distância 
,d cm= 6 0 em , ms4 0 . As 
marcações ao longo do eixo 
estão separadas por cm10 . 
Se a equação da onda é da 
forma ( , ) ( )my x t y sen kx tω= ± , 
quais são (a) my , (b) k , (c) ω 
e (d) a escolha correta para o 
sinal em gente de ω . 
 
11) Uma onda transversal 
senoidal de comprimento de 20cm 
se propaga ao longo de uma corda 
no sentido positivo de x. O 
deslocamento y da partícula na 
corda em x=0 é dado na figura ao 
lado como uma função do tempo t. a 
equação da onda deve ser da forma 
( , ) ( )my x t y sen kx tω φ= ± + . (a) em t=0, o gráfico de y versus x tem 
a forma de uma função seno positiva ou de uma função seno 
negativa? Quais são (b) my , (c) k , (d) ω , e a velocidade 
transversal da partícula em x=0 quando t=5,0s? 
 
13) Qual é a velocidade de uma onda transversal em uma corda 
de comprimento 2,00m e massa de 60,0g sujeita a uma 
tensão de 500N? 
 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 19 
15) A densidade linear de uma corda é 1,6x10-4
onda transversal na corda é descrita pela equação 
kg/m. Uma 
])30()0,2sen[()021,0( 11 tsxmmy −− += . Quais são (a) a velocidade 
da onda e (b) a tensão na corda? 
17) Uma corda esticada possui uma massa por unidade de 
comprimento de 5,00g/cm e está sujeita a uma tensão de 
10,0N. Uma onda senoidal na corda tem uma amplitude de 
0,12mm, uma freqüência de 100Hz e está se propagando no 
sentido negativo de um eixo x. Se a equação da onda é da 
forma ( , ) ( )my x t y sen kx tω= ± , quais são (a) my , (b) k , (c) ω , e 
(d) o sinal em frente de ω . 
19) Uma onda transversal senoidal se 
propaga ao longo de uma corda no 
sentido negativo de um eixo x. A figura 
ao lado mostra um gráfico do 
deslocamento em função da posição no 
tempo t=0; a interceptação com o eixo y 
vale 4,0cm. a tensão na corda é igual a 
3,6N e sua densidade linear vale 25g/m. 
Encontre a (a) amplitude, (b) o 
comprimento de onda, (c) a velocidade 
da onda e (d) o período da onda. (e) 
Encontre a velocidade transversal máxima de uma partícula 
na corda. Se a onda for da forma ( , ) ( )my x t y sen kx tω φ= ± + , 
quais são (f) k , (g) ω , (h) φ e (i) a escolha correta para o 
sinal em frente de ω . 
21) Um fio de 100g é mantido sob uma tensão de 250N com 
uma extremidade em x=0 e a outra em x=10,0m. No tempo 
t=0, o pulso 1 é envido ao longo do fio a partir da extremidade 
em x=10,0m. No tempo t=30,0ms, o pulso 2 é envidado ao 
longo do fio a partir da extremidade em x=0. em que posição 
x os pulsos começam a se encontrar? 
24) Uma corda ao longo da qual ondas podem se propagar tem 
2,70m de comprimento e 260g de massa. A tensão na corda 
é 36,0N. Qual deve ser a freqüência de ondas progressivas 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 20 
com amplitude de 7,70mm para que a potência média seja 
85,0W? 
26) Use a equação de onda para encontrar a velocidade de uma 
onda dada por ])00,7()00,4sen[()00,3(),( 11 tsxmmmtxy −− −= . 
29) Duas ondas progressivas idênticas, se propagam no mesmo 
sentido, estão fora de fase por rad2/π . Qual é a amplitude da 
onda resultante em termos da amplitude comum my das duas 
ondas que interferem? 
31) Duas ondas senoidais com a mesma amplitude de 9,00mm e 
o mesmo comprimento de onda se propagam juntamente numa 
corda que está esticada ao longo de um eixo x. A onda 
resultante é mostrada duas vezes na figura abaixo, à medida 
que o vale A se move no sentido negativo do eixo x por uma 
distância cmd 0,56= em ms0,8 . As marcações ao longo do eixo 
estão separadas por 10cm. Suponha que a equação para uma 
das ondas seja da forma 
)(),( 1φ+±= wtkxsenytxy m , onde 
01 =φ e você precisa escolher o 
sinal na frente de ω . Para a 
equação da outra onda, quais 
são, quais são (a) my , (b) k , (c) 
ω , e (d) 2φ e (e) o sinal em 
frente ω ? 
33) Duas ondas senoidais de mesma freqüência se propagam no 
mesmo sentido ao longo de uma corda. Se cmym 0,31 = e 
cmym 0,42 = , 01 =φ e rad2/2 πφ = , qual é a amplitude da onda 
resultante? 
35) Duas ondas senoidais de mesma freqüência devem ser 
enviadas no mesmo sentido ao longo de uma corda esticada. 
Uma das ondas possui uma amplitude de 5,0mm e a outra 
8,0mm. (a) Que diferença de fase 1φ entre as duas ondas 
resultará na menor amplitude para a onda resultante? (b) qual 
será essa amplitude mínima? (c) Que diferença de fase 2φ entre 
as duas ondas resultará na maior amplitude para a onda 
ONDAS I – Cap 16: Ondas I - Prof. Wladimir 21 
resultante? (d) Qual será essa amplitude máxima? (e) Qual é a 
amplitude resultante se o ângulo de fase for 2/)( 21 φφ − ? 
39) Quais são (a) a freqüência mais baixa, (b) a segunda 
freqüência mais baixa e (c) a terceira freqüência mais baixa para 
ondas estacionárias em um fio que tem 10,0m de comprimento, 
possui massa de 100g e está esticado sob uma tensão de 
250N? 
41) Uma corda fixada em ambas as extremidades tem 8,40m de 
comprimento e uma massa de 0,120kg. Ela está oscilando sob 
uma tensão de 96,0N. (a) Qual é a velocidade da onda na 
corda? (b) Qual é o comprimento de onda mais longo possível 
para uma onda estacionária nesta corda? (c) Determine a 
freqüência desta onda. 
43) Uma corda de náilon de um violão possui uma densidade 
linear de 7,20g/m e está sujeita a uma tensão de 150N. Os 
suportes prendedores estão separados por cmD 0,90= . A corda 
está oscilando no padrão de onda estacionária mostrado na 
figura abaixo. Calcule (a) a velocidade, 
(b) o comprimento de onda e (c) a 
freqüência das ondas progressivas cuja 
superposição origina esta onda 
estacionária. 
45) Uma corda está esticada entre suportes fixos separados por 
75,0cm e possui freqüências de ressonância de 420 e 315Hz, 
com nenhuma freqüência intermediária. Quais são (a) a 
freqüência de ressonância mais baixa e (b) a velocidade da 
onda? 
49) Duas ondas são geradas em uma corda com 3,0m de 
comprimento para produzirem uma onda estacionária de três 
ventres com uma amplitude de 1,0cm. A velocidade da ondaé 
100m/s. Suponha que a equação para uma da ondas seja da 
forma )(),( wtkxsenytxy m += . Na equação para a outra onda, quais 
são (a) my , (b) k , (c) ω , e (d) o sinal em frente ω ? 
 
 
	ONDAS l
	16.1 Introdução
	Uma onda fica completamente descrita pela equação ao lado. Para uma corda, esta equação pode ser usada para encontrar os deslocamentos de todos os elementos da corda em função do tempo.
	Amplitude – é o módulo do deslocamento máximo dos elementos a partir de suas posições de equilíbrio enquanto a onda passa através deles.
	Fase da onda é o argumento do seno da equação anterior. Enquanto a onda passa por um elemento da corda em uma posição particular x, a fase varia linearmente com o tempo t.
	Comprimento de Onda é a distância entre repetições da forma da onda.
	Em t=0, e
	Em ,
	onde
	Número de Onda