gabarito lista 1 - casa

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MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica
Grupo B - II semestre de 2015
Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito)
Exerc´ıcio 1.
(2,0 pontos). Os dados abaixo representam velocidades do vento (km/h) num determinado
aeroporto para os primeiros 15 dias de dezembro de 2008.
Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Velocidade 22,2 61,1 13,0 27,8 22,2 7,4 7,4 7,4 20,4 20,4 20,4 11,1 13,0 7,4 14,8
(a) (1,0 ponto). Calcule a me´dia, a moda, a mediana, o desvio padra˜o e os quartis.
Resposta:
Me´dia (x¯)
x¯ =
∑n
i=1 xi
n
=
22, 2 + 61, 1 + 13, 0 + ... + 13, 0 + 7, 4 + 14, 8
15
= 18, 4
Moda (Mo): O valor (ou atributo) que ocorre com maior frequeˆncia. Neste caso, Mo = 7, 4.
Mediana (Md)
Primeiro ordenamos os dados: 7,4 7,4 7,4 7,4 11,1 13,0 13,0 14,8 20,4 20,4 20,4 22,2 22,2
27,8 61,1 e calculamos a posic¸a˜o da mediana como n+1
2
= 15+1
2
= 8, portanto Md = 14, 8.
Desvio padra˜o (s)
O desvio padra˜o e´ a raiz quadrada da variaˆncia,
s =
√
s2
=
√∑n
i=1(xi − x¯)2
n− 1
=
√
(x1 − x¯)2 + (x2 − x¯)2 + · · ·+ (xn − x¯)2
n− 1
=
√
(22, 2− 18, 4)2 + (61, 1− 18, 4)2 + (13, 0− 18, 4)2 + · · ·+ (14, 8− 18, 4)2
15− 1
=
√
2561, 1
14
=
√
182, 9357
= 13, 5254
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Grupo B - II semestre de 2015
Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito)
De outra forma,
s =
√
s2
=
√∑n
i=1 x
2
i − nx¯2
n− 1
=
√
x21 + x
2
2 + · · ·+ x215 − nx¯2
n− 1
=
√
22, 22 + 61, 12 + 13, 02 + · · ·+ 14, 82 − (15)(18, 4)2
15− 1
=
√
7639, 5− (15)(18, 4)2
14
= 13, 5254
Quartis
Quando um conjunto de dados ordenado e´ dividido em 4 partes iguais, temos 3 quartis,
que correspondem aos percentis 25, 50 e 75, calculados como o valor da varia´vel que ocupa
a posic¸a˜o p× (n + 1), com p=0,25, p=0,50 e p=0,75.
Dados ordenados:
7,4 7,4 7,4 7,4 11,1 13,0 13,0 14,8 20,4 20,4 20,4 22,2 22,2 27,8 61,1
• Primeiro Quartil
Q1 = Percentil 25 ⇒ posic¸a˜o 0, 25(15 + 1) = 4 ⇒ Q1 = 7, 4. Assim, 25% dos dias de
dezembro de 2008 tem velocidade do vento menor ou igual a 7,4 km/h nesse aeroporto.
• Segundo Quartil
Q2 = Percentil 50 = Mediana (ja´ calculada). Assim, 50% dos dias de dezembro de
2008 tem velocidade do vento menor ou igual a 14,8 km/h nesse aeroporto.
• Terceiro Quartil
Q3 = Percentil 75 ⇒ posic¸a˜o 0, 75(15 + 1) = 12 ⇒ Q3 = 22, 2. Assim, 75% dos
dias de dezembro de 2008 tem velocidade do vento menor ou igual a 22,2 km/h nesse
aeroporto.
�
(b) (1,0 ponto). Note que o dia 2 de dezembro apresenta um valor at´ıpico devido a uma tem-
pestade forte com chuva e vento. Remova esse valor e refac¸a o item anterior. Comente as
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diferenc¸as encontradas.
Resposta:
Me´dia (x¯)
x¯ =
∑n
i=1 xi
n
=
22, 2 + 13, 0 + ... + 13, 0 + 7, 4 + 14, 8
14
= 15, 35
Moda (Mo): O valor (ou atributo) que ocorre com maior frequeˆncia. Neste caso, Mo = 7, 4.
Mediana (Md)
Primeiro ordenamos os dados: 7,4 7,4 7,4 7,4 11,1 13,0 13,0 14,8 20,4 20,4 20,4 22,2 22,2
27,8 e calculamos a posic¸a˜o da mediana como n+1
2
= 14+1
2
= 7, 5. Neste caso, como n = 14
e´ par, a mediana e´ a me´dia dos das duas observac¸o˜es centrais, ou seja, posic¸o˜es 7 e 8, deste
modo, temos: Md =
13,0+14,8
2
= 13, 9.
Desvio padra˜o (s)
O desvio padra˜o e´ a raiz quadrada da variaˆncia,
s =
√
s2
=
√∑n
i=1(xi − x¯)2
n− 1
=
√
(x1 − x¯)2 + (x2 − x¯)2 + · · ·+ (xn − x¯)2
n− 1
=
√
(22, 2− 15, 35)2 + (13, 0− 15, 35)2 + · · ·+ (14, 8− 15, 35)2
14− 1
=
√
607, 575
14
=
√
46, 7365
= 6, 83641
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Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito)
De outra forma,
s =
√
s2
=
√∑n
i=1 x
2
i − nx¯2
n− 1
=
√
x21 + x
2
2 + · · ·+ x214 − nx¯2
n− 1
=
√
22, 22 + 13, 02 + · · ·+ 14, 82 − (14)(15, 35)2
14− 1
=
√
3906, 29− (14)(15, 35)2
13
= 6, 83641
Quartis
Quando um conjunto de dados ordenado e´ dividido em 4 partes iguais, temos 3 quartis,
que correspondem aos percentis 25, 50 e 75, calculados como o valor da varia´vel que ocupa
a posic¸a˜o p× (n + 1), com p=0,25, p=0,50 e p=0,75.
Dados ordenados:
7,4 7,4 7,4 7,4 11,1 13,0 13,0 14,8 20,4 20,4 20,4 22,2 22,2 27,8
• Primeiro Quartil
Q1 = Percentil 25 ⇒ posic¸a˜o 0, 25(14 + 1) = 3, 75 ⇒ Q1 = 7,4+7,42 = 7, 4. Assim, 25%
dos dias de dezembro de 2008 tem velocidade do vento menor ou igual a 7,4 km/h
nesse aeroporto.
• Segundo Quartil
Q2 = Percentil 50 = Mediana (ja´ calculada). Assim, 50% dos dias de dezembro de
2008 corresponde a velocidade do vento de 13,9km/h ou menos nesse aeroporto.
• Terceiro Quartil
Q3 = Percentil 75 ⇒ posic¸a˜o 0, 75(14 + 1) = 11, 25 ⇒ Q3 = 20,4+22,22 = 21, 3. Assim,
75% dos dias de dezembro de 2008 corresponde a velocidade do vento de 21,3 km/h
ou menos nesse aeroporto.
Comenta´rios: Podemos observar que a retirada da observac¸a˜o 2 influenciou, principal-
mente, a me´dia e o desvio padra˜o. �
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Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito)
Exerc´ıcio 2.
(2,0 pontos). Uma indu´stria, desejando melhorar o n´ıvel de seus funciona´rios em cargos de
chefia, montou um curso experimental e indicou 15 funciona´rios para a primeira turma. A
tabela abaixo apresenta as notas obtidas pelos funciona´rios nos cursos.
Fuciona´rios 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Estat´ıstica 9,0 9,0 8,0 10,0 7,0 4,0 8,0 9,0 7,0 8,0 10,0 7,0 9,0 8,0 9,0
Pol´ıtica 9,0 6,5 9,0 6,5 6,5 6,0 9,0 9,0 6,0 6,0 10,0 6,5 6,5 9,0 10,0
Os crite´rios adotados por cada professor na˜o sa˜o compara´veis, por isso decidiu-se usar o
desempenho relativo em cada exame. Essa medida sera´ obtida da seguinte forma: i. Para cada
exame sera˜o calculados a me´dia x¯ e o desvio padra˜o dP(X). ii. A nota X de cada aluno sera´
padronizada do seguinte modo:
Z =
X − x¯
dP (X)
.
(a) (0,4 pontos). Calcule as notas padronizadas dos funciona´rios para o exame de estat´ıstica.
Resposta:
Exame em Estat´ıstica:
Me´dia (x¯)
x¯ =
∑n
i=1 xi
n
=
9, 0 + 9, 0 + 8, 0 + ... + 8, 0 + 9, 0
15
= 8, 1
Desvio padra˜o (s)
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s =
√
s2
=
√∑n
i=1(xi − x¯)2
n− 1
=
√
(x1 − x¯)2 + (x2 − x¯)2 + · · ·+ (xn − x¯)2
n− 1
=
√
(9, 0− 8, 1)2 + (9, 0− 8, 1)2 + (8, 0− 8, 1)2 + · · ·+ (9, 0− 8, 1)2
15− 1
=
√
31, 73
14
=
√
2, 26
= 1, 5
De outra forma,
s =
√
s2
=
√∑n
i=1 x
2
i − nx¯2
n− 1
=
√
x21 + x
2
2 + · · ·+ x215 − nx¯2
n− 1
=
√
9, 02 + 9, 02 + 8, 02 + · · ·+ 9, 02 − (15)(8, 1)2
15− 1
=
√
1024− (15)(8, 1)2
14
= 1, 5
Exame em Pol´ıtica:
Me´dia (x¯)
x¯ =
∑n
i=1 xi
n
=
9, 0 + 6, 5 + 9, 0 + ... + 9, 0 + 10, 0
15
= 7, 7
Desvio padra˜o (s)
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s =
√
s2
=
√∑n
i=1(xi − x¯)2
n− 1
=
√
(x1 − x¯)2 + (x2 − x¯)2 + · · ·+ (xn − x¯)2
n− 1
=
√
(9, 0− 7, 7)2 + (6, 5−7, 7)2 + (9, 0− 7, 7)2 + · · ·+ (10, 0− 7, 7)2
15− 1
=
√
34, 90
14
=
√
2, 49
= 1, 58
De outra forma,
s =
√
s2
=
√∑n
i=1 x
2
i − nx¯2
n− 1
=
√
x21 + x
2
2 + · · ·+ x215 − nx¯2
n− 1
=
√
9, 02 + 6, 52 + 9, 02 + · · ·+ 10, 02 − (15)(7, 7)2
15− 1
=
√
924, 25− (15)(7, 7)2
14
= 1, 58
Usando a fo´rmula acima obtemos os seguintes valores: �
Fuciona´rios 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Z - Estat´ıstica 0,58 0,58 -0,09 1,24 -0,75 -2,75 -0,09 0,58 -0,75 -0,09 1,24 -0,75 0,58 -0,09 0,58
(b) (0,4 pontos). Com os resultados obtidos em (a), calcule z¯ e dP(Z).
Resposta:
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Me´dia (z¯)
z¯ =
∑n
i=1 zi
n
=
0, 58 + 0, 58− 0, 09 + ... + 0, 58− 0, 09 + 0, 58
15
= 0
Desvio padra˜o (dP (Z))
dP (Z) =
√
z2
=
√∑n
i=1(zi − z¯)2
n− 1
=
√
(z1 − z¯)2 + (z2 − z¯)2 + · · ·+ (zn − z¯)2
n− 1
=
√
(0, 58− 0)2 + (0, 58− 0)2 + (−0, 09− 0)2 + · · ·+ (0, 58− 0)2
15− 1
=
√
14
14
=
√
1
= 1
�
(c) (0,4 pontos). Utilize as propriedades apresentadas no exerc´ıcio 2 da lista de classe e compare
com o obtido no item (b).
Resposta:
Propriedades: Y = a + bX ⇒ Y¯ = a + bX¯, var(Y ) = b2var(X) e dP (Y ) = bdP (X)
Sabemos que,
Z = X−x¯
dP (X)
= X
dP (X)
− −x¯
dP (X)
= −x¯
dP (X)
+ X
dP (X)
Logo, a = −x¯
dP (X)
e b = 1
dP (X)
.
Utilizando as propriedades acima obtemos:
z¯ = −8,1
1,5
+ 1
1,5
× 8, 1 = 0,
var(Y ) = ( 1
1,5
)2 × (1, 5)2 = 1
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Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito)
e
dP (Z) = ( 1
1,5
)× 1, 5 = 1
Comenta´rio: Notamos que encontramos os mesmos valores do iten (b).
�
(d) (0,4 pontos). Se alguma das notas padronizadas estiver acima de 2dP(Z) ou abaixo de -
2dP(z), esse funciona´rio deve ser considerado um caso at´ıpico. Existe algum nessa situac¸a˜o?
Resposta:
Sim. O funciona´rio 6 que obteve 4,0 em Estat´ıstica com Z = −2, 75. �
(e) (0,4 pontos). O funciona´rio 1, obteve 9,0 em Estat´ıstica e em Pol´ıtica. Em que curso seu
desempenho relativo foi melhor?
Resposta:
Em Pol´ıtica temos que x¯ = 7, 7 e dP (X) = 1, 58 e calculando o desempenho relativo em
pol´ıtica para o funciona´rio 1 (Z1) obtemos:
Z1 =
9, 0− 7, 7
1, 58
= 0, 82.
Logo, observando a tabela do item (a) podemos concluir que o desempenho relativo do
funciona´rio 1 foi melhor no curso de Pol´ıtica pois o valor de Z1 e´ maior do que no curso de
Estat´ıstica.
�
Exerc´ıcio 3.
(2,5 pontos). Um estudo foi realizado com o objetivo de comparar treˆs tratamentos para
anorexia em relac¸a˜o ao ganho de peso. Para isso, 72 jovens anore´xicas foram submetidas,
aleatoriamente, a uma de treˆs terapias (cognitivo-comportamental, terapia familiar ou terapia
padra˜o). O peso (em libras) das jovens foi avaliado antes e depois de receberem o tratamento
durante um per´ıodo fixado.
Medidas descritivas obtidas para os dados desse estudo sa˜o apresentadas a seguir:
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(a) (0,5 pontos). 50% dos jovens apo´s receberem o tratamento familiar apresentam peso inferior
a qual valor? E se considerarmos 75% das jovens?
Resposta:
50% das jovens apo´s receberem o tratamento familiar apresentaram peso menor ou igual a
92,5 libras. Se considerarmos 75% das jovens apo´s receberem o tratamento familiar, temos
que elas apresentaram peso menor ou igual a 95,4 libras. �
(b) (0,5 pontos). Escolhendo casualmente uma jovem que recebeu o tratamento cognitivo-
comportamental, o que seria mais prova´vel: peso maior ou menor que 92,2 libras?
Resposta:
Observando a tabela de medidas descritivas temos que 92,2 libras corresponde ao terceiro
quartil (Q3), enta˜o seria mais prova´vel que uma jovem que recebeu o tratamento cognitivo-
comportamental apresentasse um peso menor ou igual a 92,2 libras. �
(c) (0,5) Qual e´ o tratamento mais homogeˆneo em relac¸a˜o ao peso? Justifique.
Resposta:
O tratamento mais homogeˆneo e´ o tratamento padra˜o, pois possui um coeficiente de va-
riac¸a˜o (CV = 5,85) menor que os outros tratamentos, ou seja, menor variabilidade. �
(d) (0,5) Compare os treˆs grupos antes de iniciarem os tratamentos.
Resposta:
Antes de iniciarem os tratamentos, os treˆs grupos parecem ser semelhantes pois as medidas
descritivas esta˜o pro´ximas. �
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(e) (0,5) Voceˆ diria que os tratamentos diferem? Qual deles parece ser melhor?
Resposta:
Sim. Como inicialmente os grupos sa˜o similares, observando as medidas obtidas depois de
receberem o tratamento, notamos que o tratamento familiar parece ser o melhor dentre os
treˆs, pois as jovens desse grupo parecem ter tido um ganho de peso me´dio e mediano maior
do que as jovens dos outros grupos. O tratamento padra˜o, apesar de possuir uma menor
variabilidade, parece ter sido o pior deles. �
Exerc´ıcio 4.
(3,5 pontos). Na tabela abaixo esta˜o os dados referentes a uma amostra de 21 alunos do
primeiro ano de um curso universita´rio. As varia´veis sa˜o: Y: nota obtida na primeira prova do
curso; X: escola que cursou particular (P) ou oficial (O); Z: o per´ıodo em que esta´ matriculado:
manha˜ (M), tarde (T), noite (N).
(a) (0,5 pontos). Classifique cada uma das varia´veis.
Resposta:
As varia´veis sa˜o as seguintes:
Y: Quantitativa cont´ınua.
X: Qualitativa nominal.
Z: Qualitativa ordinal. �
(b) (1,5 pontos). Divida os alunos em dois grupos a partir da varia´vel X. Calcule, para a
varia´vel Y, a me´dia, a mediana e o coeficiente de variac¸a˜o para os dois grupos. Compare
essas medidas e responda, voceˆ diria que o fato do aluno ter cursado a escola particular ou
oficial influi no resultado da primeira prova?
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Resposta:
Particular (P) Oficial (O)
Y Z Y Z
56 N 68 M
69 M 70 T
70 M 72 N
77 M 75 M
83 T 84 N
84 N 85 T
90 T 92 M
95 M
95 N
95 T
100 T
100 M
100 M
100 T
Grupo Particular (P):
Me´dia (y¯)
y¯ =
∑n
i=1 yi
n
=
56 + 69 + 70 + · · ·+ 100 + 100
14
= 86, 71
Mediana (Md)
Primeiro ordenamos os dados: 56 69 70 77 83 84 90 95 95 95 100 100 100 100 e calculamos
a posic¸a˜o da mediana como n+1
2
= 14+1
2
= 7, 5. Neste caso a mediana e´ a me´dia dos dados
nas duas posic¸o˜es centrais, os seja, nas posic¸o˜es 7 e 8, enta˜o temos: Md =
90+95
2
= 92, 5
Desvio padra˜o (s)
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s =
√
s2
=
√∑n
i=1(yi − y¯)2
n− 1
=
√
(y1 − y¯)2 + (y2 − y¯)2 + · · ·+ (yn − y¯)2
n− 1
=
√
(56− 86, 71)2 + (69− 86, 71)2 + (70− 86, 71)2 + · · ·+ (100− 86, 71)2
14− 1
=
√
2574, 86
13
= 14, 07
De outra forma,
s =
√
s2
=
√∑n
i=1 y
2
i − ny¯2
n− 1
=
√
y21 + y
2
2 + · · ·+ y214 − ny¯2
n− 1
=
√
562 + 692 + 702 + · · ·+ 1002 − (14)(86, 61)2
14− 1
=
√
107846−(14)(86, 61)2
13
= 14, 07
Coeficiente de variac¸a˜o (CV = (s/y¯)× 100%)
CV = 14,07
86,61
× 100% = 16, 23%
Grupo Oficial (O):
Me´dia (y¯)
y¯ =
∑n
i=1 yi
n
=
68 + 70 + 72 + 75 + 84 + 85 + 92
7
= 78
Mediana (Md)
Primeiro ordenamos os dados: 68 70 72 75 84 85 92 e calculamos a posic¸a˜o da mediana
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MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica
Grupo B - II semestre de 2015
Lista de exerc´ıcios 1 - Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Descritiva – C A S A (gabarito)
como n+1
2
= 7+1
2
= 4. Neste caso a mediana e´ o dado na posic¸a˜o 4, ou seja, Md = 75
Desvio padra˜o (s)
s =
√
s2
=
√∑n
i=1(yi − y¯)2
n− 1
=
√
(y1 − y¯)2 + (y2 − y¯)2 + · · ·+ (yn − y¯)2
n− 1
=
√
(68− 78)2 + (70− 78)2 + (72− 78)2 + · · ·+ (92− 78)2
7− 1
=
√
490
6
= 9, 04
De outra forma,
s =
√
s2
=
√∑n
i=1 y
2
i − ny¯2
n− 1
=
√
y21 + y
2
2 + · · ·+ y27 − ny¯2
n− 1
=
√
682 + 702 + 722 + · · ·+ 922 − (7)(78)2
7− 1
=
√
43078− (7)(78)2
6
= 9, 04
Coeficiente de variac¸a˜o (CV = (s/y¯)× 100%)
CV = 9,04
78
× 100% = 11, 59%
Particular (P) Oficial (O)
y¯ = 86, 61 y¯ = 78
Md = 92, 5 Md = 75
CV = 16, 23% CV = 11, 59
�
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Comenta´rio: Sim, pois as notas me´dia e mediana sa˜o maiores para os alunos da escola
particular. Ale´m disso, s alunos da escola particular sa˜o, aproximadamente, uma vez e
meia mais dispersos do que os alunos da escola oficial quanto as notas obtidas na primeira
prova.
(c) (1,5 pontos). Divida agora os alunos em 3 grupos, de acordo com o per´ıodo em que esta´
matriculado. Repita os ca´lculos feitos em (b) para estes grupos e responda, voceˆ diria que
o per´ıodo em que o aluno esta´ matriculado afeta o desempenho?
Resposta:
Manha˜ (M) Tarde (T) Noite (N)
Y X Y X Y X
68 O 70 O 56 P
69 P 83 P 72 O
70 P 85 O 84 P
75 O 90 P 84 O
77 P 95 P 95 P
92 O 100 P
95 P 100 P
100 P
100 P
Repetindo os mesmos procedimentos utilizados no item (b) obtemos as seguintes medidas
para os grupos: Manha˜, Tarde e Noite.
Manha˜ (M) Tarde (T) Noite (N)
y¯ = 82, 89 y¯ = 89 y¯ = 78, 20
Md = 77 Md = 90 Md = 84
CV = 16, 48% CV = 12, 07 CV = 18, 98
Comenta´rio: Sim, pois observando a tabela acima notamos que os alunos que estudam
a tarde parecem possuir um melhor resultado do que os demais turnos, ja´ que a me´dia e a
mediana sa˜o maiores. Os alunos do noturno parecem ter o pior desempenho. Ale´m disso,
a variabilidade das notas e´ menor no per´ıodo da tarde (CV = 12, 07). �
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