Gabarito lista 3 - casa

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MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica
Grupo B - 2o semestre de 2015
Gabarito Lista de exerc´ıcios 3 - Estat´ıstica Descritiva III– C A S A
Exerc´ıcio 1.
(1,5 ponto). Uma amostra aleato´ria de 393 estudantes foi entrevistada, sendo anotado de cada parti-
cipante o geˆnero (masculino; feminino), o ano que cursa (9o ano do ensino fundamental (E.F.); 3o do
ensino me´dio (E.M.)) e a pra´tica de esportes (na˜o; sim). Os resultados esta˜o apresentados no quadro
a seguir.
Pra´tica de esportesGeˆnero e ano cursado
Na˜o Sim
Masculino e 3o ano E.M. 58 7
Masculino e 9o ano E.F. 114 16
Feminino e 3o ano E.M. 48 39
Feminino e 9o ano E.F. 71 40
(a) (0,75 pontos). Verifique se ha´ indicac¸a˜o de associac¸a˜o entre pra´tica de esportes e geˆnero. Comente.
Resposta:
Para determinar se ha´ ind´ıcios de relac¸a˜o entre a pra´tica de esportes e geˆnero, vamos calcular os
percentagens segundo as linhas da tabela de contingeˆncia apresentada como segue:
Tabela 1: Percentagens por linhas da relac¸a˜o conjunta entre pra´tica de esportes e geˆnero para estudantes
entrevistados
Geˆnero / Pra´tica de esportes Na˜o Sim Total
Masculino 172 (88,20%) 23 (11,80%) 195 (100%)
Feminino 119 (60,10%) 79 (39,90%) 198 (100%)
Total 291 (74,00%) 102 (26,00%) 393 (100%)
Segundo os resultados da Tabela 1 podemos observar que ha´ diferenc¸as nas porcentagens de cada
uma das linhas com relac¸a˜o a` porcentagem total. Aparentemente ha´ indicac¸a˜o de associac¸a˜o entre
a pra´tica de esportes e geˆnero. Podemos dizer que, entre os estudantes do geˆnero masculino apenas
11,8% praticam esporte, enquanto que entre os os estudantes do geˆnero feminino, 39,9% praticam
esporte. �
(b) (0,75 pontos). Verifique se ha´ indicac¸a˜o de associac¸a˜o entre pra´tica de esportes e ano cursado.
Comente.
Resposta:
Para determinar se ha´ ind´ıcios de relac¸a˜o entre pra´tica de esportes e ano cursado, vamos calcular
as percentagens segundo as linhas da tabela de contingeˆncia apresentada como segue:
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Tabela 2: Percentagens por linhas da relac¸a˜o conjunta entre pra´tica de esportes e ano cursado
Ano cursado / Pra´tica de esportes Na˜o Sim Total
3o ano E.M. 106 (69,70%) 46 (30,30%) 152 (100%)
9o ano E.F. 185 (76,80%) 56 (23,20%) 241 (100%)
Total 291 (74,00%) 102 (26,00%) 393 (100%)
Segundo os resultados da Tabela 2 podemos observar que na˜o ha´ diferenc¸as expressivas nas porcen-
tagens de cada uma das linhas com relac¸a˜o a` porcentagem total. Aparentemente na˜o ha´ indicac¸a˜o
de associac¸a˜o entre a pra´tica de esportes e o ano cursado. �
Obs.: Uma ana´lise semelhante pode ser feita igualmente usando as %’s em coluna.
Exerc´ıcio 2.
(3,0 pontos). E´ esperado que a massa muscular de uma pessoa diminua com a idade. Para estudar
essa relac¸a˜o, um preparador f´ısico selecionou 18 mulheres, com idades entre 40 e 79 anos, e observou
para cada uma delas a idade (X) e a massa muscular (Y).
Massa muscular (Y) Idade (X)
82 71
91 64
100 43
68 67
87 56
73 73
78 68
80 56
65 76
84 65
116 45
76 58
97 45
100 53
105 49
77 78
73 73
78 68
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(a) (0,5 pontos). Construa o diagrama de dispersa˜o e interprete o relacionamento entre as varia´veis.
Resposta:
O diagrama de dispersa˜o pode ser obtido pelo Rcmdr, depois de importado o arquivo de dados,
por:
Gra´ficos→ Diagrama de dispersa˜o, e escolhemos as varia´veis de interesse, neste caso, Massa muscular
e Idade.
A Figura 1 apresenta o gra´fico de dispersa˜o da massa muscular versus a idade das mulheres
consideradas no estudo.
Figura 1: Diagrama de dispersa˜o: Massa muscular vs. Idade.
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Segundo a Figura 1, o diagrama de dispersa˜o sugere a existeˆncia de relac¸a˜o linear decrescente
entre as varia´veis massa muscular e idade. Note que, a massa muscular de uma pessoa do sexo
feminino diminui quando aumenta a sua idade. �
(b) (1,0 ponto). Calcule o coeficiente de correlac¸a˜o linear de Pearson entre X e Y.
Resposta:
O coeficiente de correlac¸a˜o de Pearson pode ser calculado como:
r =
∑n
i=1(xi − x)(yi − y)
(n− 1)sxsy .
em que x e y sa˜o as me´dias amostrais de X e Y , respectivamente, e sx e sy sa˜o os desvios padra˜o
de X e Y , respectivamente.
Alternativamente, podemos calcular o coeficiente de correlac¸a˜o de Pearson como:
r =
∑n
i=1 xiyi − nx y
(n− 1)sxsy .
Do enunciado temos que:
n∑
i=1
xi = 1108 ;
n∑
i=1
yi = 1530
n∑
i=1
x2i = 70362 ;
n∑
i=1
y2i = 133300 ;
n∑
i=1
xiyi = 91964
assim temos que:
• x =
∑n
i=1 xi
n
=
1108
18
= 61, 56;
• y =
∑n
i=1 yi
n
=
1530
18
= 85;
• sx =
√∑n
i=1 x
2
i − nx2
n− 1 =
√
70362− 18× (61.56)2
17
=
√
2158, 44
17
=
√
126, 97 ∼= 11, 27;
• sy =
√∑n
i=1 y
2
i − ny2
n− 1 =
√
133300− 18× (85)2
17
=
√
3250
17
=
√
191, 18 ∼= 13, 83.
Portanto, o coeficiente de correlac¸a˜o linear de Pearson entre X e Y e´ dado por:
r =
91964− 18× (61, 56)(85)
17× (11, 27)(13, 83) =
−2216
2648, 5740
= −0, 8367
Nota-se que o valor de r e´ bem pro´ximo de -1, indicando que ha´ uma forte correlac¸a˜o linear nega-
tiva entre as varia´veis massa muscular e idade, ou seja, a` medida que a idade de uma pessoa do
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sexo feminino aumenta a sua massa muscular diminui, o que e´ coerente com o gra´fico (Figura 1)
de dispersa˜o apresentado anteriormente. �
(c) (0,5 pontos). Ajuste uma reta de regressa˜o para a relac¸a˜o entre as varia´veis Y: massa muscular
(dependente) e X: idade (independente). Interprete o valor do coeficiente angular obtido.
Resposta:
A equac¸a˜o da reta de regressa˜o relacionando as varia´veis Y e X e´ dada por:
Yˆ = a + bX
em que
b =
∑n
i=1 xiyi − nx y
(n− 1)s2x
=
91964− 18× (61, 56)(85)
17× (11, 27)2 = −1, 03
a = y − bx = 85 + 1, 03× 61, 56 = 148, 41.
A reta de regressa˜o estimada da varia´vel Massa muscular (Y) em func¸a˜o da Idade (X) e´ dada por
Yˆ = 148, 41− 1, 03X.
Logo, para um aumento de um ano na idade (X) das mulheres, a massa muscular (Y ) da mesma
diminui, em me´dia, 1,03 unidades. �
(d) (0,5 pontos). Qual e´ a variac¸a˜o me´dia estimada na massa muscular quando a idade aumenta 10
anos?
Resposta:
Para um aumento de 10 anos na idade, espera-se uma diminuic¸a˜o na massa muscular de b× 10 =
10, 3 unidades. �
(e) (0,5 pontos). Considerando a reta ajustada em (c), estime a massa muscular me´dia de mulheres
com 50 anos.
Resposta:
Para X = 50, temos que Yˆ = 148, 41 − 1, 03 × 50 = 96, 87. Logo, considerando as mulheres com
50 anos, espera-se que, em me´dia, sua massa muscular seja de 96, 87 unidades. �
Exerc´ıcio 3.
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(1,5 pontos). Com a crise enfrentada pela aviac¸a˜o civil brasileira nos u´ltimos anos, o Ministro da
Aerona´utica deseja ter um controle da situac¸a˜o e deseja, enta˜o, saber se os atrasos e cancelamentos de
voos nacionais dependem da companhia ae´rea. Dos voos dome´sticos previstos durante certa semana,levantou-se uma amostra aleato´ria de 1500 voos, observando duas varia´veis: a companhia ae´rea (De-
colaJa; VoeBem; Outras) e a condic¸a˜o de realizac¸a˜o (atrasado; cancelado; dentro-do-previsto). Do seu
levantamento observou-se que: 220 atrasaram e 130 foram cancelados; 600 eram da DecolaJa, sendo
que destes 450 realizaram dentro do previsto e 100 cancelaram; dos 550 voˆos da VoeBem levantados,
85 atrasaram e 60 cancelaram.
(a) (0,75 pontos). Escreva as informac¸o˜es do levantamento em uma tabela de contingeˆncia, colocando
em linha os dados das companhias ae´reas;
Resposta:
A seguir apresentamos a tabela de contingeˆncia com as informac¸o˜es do levantamento.
Tabela 3: Tabela de contingeˆncia entre as varia´veis companhia ae´rea e condic¸a˜o de realizac¸a˜o do voˆo
Condic¸a˜o de realizac¸a˜oCompanhia ae´rea
Atrasado Cancelado Dentro-do-previsto Total
DecolaJa 50 100 450 600
VoeBem 85 60 405 550
Outras 85 170 95 350
Total 220 330 950 1500
�
(b) (0,75 pontos). Utilizando porcentagens em linhas, pode-se dizer que ha´ ind´ıcios de que a condic¸a˜o
de realizac¸a˜o do voo depende da companhia ae´rea? Justifique.
Resposta:
Com a tabela de contingeˆncia apresentada em (a), as porcentagens em linhas podem ser obtidas
pelo Rcmdr por:
Estat´ısticas → Tabelas de contingeˆncia → Digite e analise tabela de dupla entrada .... Digitalizar a
tabela com os ro´tulos e em seguida escolher na opc¸a˜o ”Estat´ısticas“: Percentual nas linhas e clicar
em ”OK“.
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Tabela 4: Percentagens por linhas da relac¸a˜o conjunta entre companhia a´erea e condic¸a˜o de realizac¸a˜o do voo
Condic¸a˜o de realizac¸a˜oCompanhia ae´rea
Atrasado Cancelado Dentro-do-previsto Total
DecolaJa 8,3% 16,7% 75,0% 100%
VoeBem 15,5% 10,9% 73,6% 100%
Outras 24,3% 48,6% 27,1% 100%
Total 14,7% 22,0% 63,3% 100%
Segundo os resultados da Tabela 4 podemos observar que ha´ diferenc¸as nas porcentagens de
cada uma das linhas comparando-as a` porcentagem total. Aparentemente ha´ indicac¸a˜o de que
a condic¸a˜o de realizac¸a˜o do voˆo depende da companhia ae´rea. Pode-se observar que, dos voˆos
da DecolaJa 8,3% atrasaram, enquanto que para os voˆos da Voebem, 15,5% atrasaram e das
Outras companhias ae´reas 24,3% atrasaram. A maior parte dos voˆos das companhias DecolaJa
e VoeBem (75% e 73,6%, respectivamente), realizaram dentro do previsto, enquanto que para
Outras companhias a maior parte dos voˆos foram cancelados (48%).
�
Exerc´ıcio 4.
(4,0 pontos). Obs: Usar o Rcmdr neste exerc´ıcio. Os dados a seguir representam indiv´ıduos que
foram contaminados pelo veneno de certo tipo de inseto e submetidos a treˆs tipos de tratamentos. As
varia´veis sa˜o:
Idade: idade do paciente no momento de admissa˜o, em anos;
Diag: tempo, em horas, gasto entre o contato com o inseto e administrac¸a˜o do tratamento;
Recup: tempo, em horas, entre a administrac¸a˜o do tratamento e recuperac¸a˜o;
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Tratam: tipo do tratamento administrado;
Coag: presenc¸a de coa´gulos no momento de admissa˜o.
No..Paciente Idade Diag Recup Tratam Coag
1 28 7 3 II N˜a˜o
2 15 52 45 I Na˜o
3 76 30 23 III Sim
4 15 53 46 I Sim
5 21 3 2 II Na˜o
6 11 46 42 I Na˜o
7 16 55 47 I Na˜o
8 16 54 47 I Sim
9 47 13 12 III Sim
10 18 59 51 II Na˜o
11 40 20 11 III Sim
12 24 3 1 II Na˜o
13 32 9 3 II Na˜o
14 31 9 3 II Na˜o
15 10 44 40 I Sim
16 31 9 3 II Sim
17 31 10 4 II Sim
18 46 13 11 III Sim
19 21 1 2 II Sim
20 39 17 8 III Sim
21 15 53 46 I Sim
22 9 42 39 I Na˜o
23 75 30 22 III Sim
24 54 18 16 III Na˜o
25 35 12 5 II Sim
26 18 58 50 II Sim
(a) (0,5 pontos). Construa o diagrama de dispersa˜o entre Recup (Y) e Diag (X). Interprete o
relacionamento entre as varia´veis. Calcule o coeficiente de correlac¸a˜o linear de Pearson.
Resposta:
Usaremos o R-commander no desenvolvimento deste exerc´ıcio. Para isto vamos importar o arquivo
DadosExercicio4Lista3.xls fornecido na pa´gina Depois de importado o arquivo, a construc¸a˜o do
diagrama de dispersa˜o pode ser obtida pelo Rcmdr por:
Gra´ficos → Diagrama de dispersa˜o.
Escolhemos as varia´veis de interesse, neste caso Recup e Diag. Na aba Opc¸o˜es podemos dar
um t´ıtulo ao gra´fico e escolher outras opc¸o˜es gra´ficas. Para calcular o coeficiente de correlac¸a˜o
requerido escolhemos as opc¸o˜es:
Estat´ısticas → Resumos → Matriz de correlac¸a˜o
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Varia´veis de interesse: (Recup (Y) e Diag (X)) e clicamos em Ok.
Na Figura 2 e´ apresentado o diagrama de dispersa˜o da varia´vel Recup vs. Diag. O gra´fico de
dispersa˜o sugere a existeˆncia de relac¸a˜o linear crescente entre as varia´veis de interesse.
Figura 2: Diagrama de dispersa˜o: Diag vs. Recup.
Os resultados sa˜o os seguintes:
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cor(DadosExercicio4Lista3[,c("Diag","Recup")], use="complete")
Diag Recup
Diag 1.0000000 0.9922113
Recup 0.9922113 1.0000000
Pode-se observar que o coeficiente de correlac¸a˜o entre as varia´veis Recup e Diag e´ igual a 0,9922,
indicando que estas varia´veis apresentam uma forte relac¸a˜o linear positiva, isto e´, ao aumentar
o tempo, em horas, gasto entre o contato com o inseto e administrac¸a˜o do tratamento (Diag)
tambe´m ha´ uma tendeˆncia a aumentar o tempo, em horas, entre a administrac¸a˜o do tratamento
e recuperac¸a˜o (Recup). Essas interpretac¸o˜es sa˜o confirmadas pela observac¸a˜o do diagrama de dis-
persa˜o (Figura 2). �
(b) (0,5 pontos). Ajuste a reta de regressa˜o para a relac¸a˜o entre as varia´veis Y e X. Qual e´ o significado
pra´tico do coeficiente angular obtido?
Resposta:
Para ajustar uma reta de regressa˜o usando R-cmdr escolhemos as opc¸o˜es:
Estat´ısticas → Ajuste de modelos → regressa˜o linear, e escolhemos Recup como varia´vel resposta e
Diag como varia´vel explicativa.
Os resultados obtidos apresentados na janela Sa´ıda sa˜o os seguintes:
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -3.43125 0.81998 -4.185 0.00033 ***
Diag 0.93224 0.02389 39.022 < 2e-16 ***
Temos enta˜o que a reta de regressa˜o ajustada e´ dada por: Yˆ = −3, 431 + 0, 932X. Note que
o coeficiente angular da reta e´ b = 0, 932, indicando que um aumento de uma hora no tempo
gasto entre o contato com o inseto e administrac¸a˜o do tratamento (Diag) produz, em me´dia, um
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aumento no tempo entre a administrac¸a˜o do tratamento e recuperac¸a˜o (Recup) de 0, 932 horas. �
(c) (0,5 pontos). Qual e´ a variac¸a˜o me´dia estimada no tempo de recuperac¸a˜o (Recup) quando o tempo
gasto entre o contato com o inseto e administrac¸a˜o do tratamento aumenta 5 horas?
Resposta:
Aumentando-se 5 horas no tempo gasto entre o contato com o inseto e a administrac¸a˜o do trata-
mento (Diag), o tempo entre a administrac¸a˜o do tratamento e a recuperac¸a˜o (Recup) aumentara´,
em me´dia, 5× b = 5× 0, 932 = 4, 66 horas. �
(d) (0,5 pontos). Estime o tempo me´dio de recuperac¸a˜o quando o tempo ate´ o in´ıcio do tratamento
e´ de 40 horas?
Resposta:
Para X = 40, temos queYˆ = −3, 431+0, 932×40 = 33, 849, indicando que para um indiv´ıduo com
40 horas de tempo gasto entre o contato com o inseto e administrac¸a˜o do tratamento, o tempo
me´dio entre a administrac¸a˜o do tratamento e recuperac¸a˜o sera´ de 33, 849 horas. �
Suponha que ao inve´s de trabalhar com a varia´vel Idade, cria-se uma nova varia´vel denominada
Etario, assumindo valor “0” se Idade for menor que 30 anos e “1”, caso contra´rio. Uma nova
varia´vel denominada Cura e´ criada: Cura sera´ ra´pida se Recup for menor ou igual a 20, sera´
normal se entre 20 e 40 (inclusive) e sera´ lenta para Recup acima de 40. Obs.: Usar o comando
Dados → Modificac¸a˜o de varia´veis... → Renomear varia´veis. No caso do novo nome ser texto,
colocar entre aspas.
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(e) (0,5 pontos). Crie uma tabela de dupla entrada, contendo Eta´rio nas linhas e Coag nas colunas.
Com base nessa tabela, voceˆ diria que Coag e Etario esta˜o associados? Por queˆ?
Resposta:
A Tabela 5 apresenta a tabela de contingeˆncia entre Eta´rio e Coag e as porcentagens em linhas,
entre pareˆnteses.
Tabela 5: Tabela de contingeˆncia entre as varia´veis Etario e Coag.
Apresentou coa´gulo (Coag)Faixa eta´ria (Etario)
Na˜o Sim Total
0(< 30) 8 (57,14%) 6 (42,85%) 14
1(≥ 30) 3 (25,00%) 9 (75,00%) 12
Total 11 15 26
Pelos resultados da Tabela 5 ha´ ind´ıcios da existeˆncia de associac¸a˜o entre as varia´veis pois para
indiv´ıduos mais jovens (idade < 30), a maior parte (57, 14%) na˜o apresenta coa´gulos, enquanto
que para os indiv´ıduos mais velhos (idade ≥ 30), a maior parte (75%) apresenta coa´gulo.
�
(f) (0,5 pontos). Qual e´ a proporc¸a˜o de indiv´ıduos que apresentam coa´gulos no momento de admissa˜o?
Resposta:
Para isso, temos que calcular a raza˜o entre o total de pacientes que apresentaram coa´gulo pelo
nu´mero total de pacientes. Assim, 15/26=0,5769, ou seja, 57,69% dos pacientes apresentaram
coa´gulos. �
(g) (0,5 pontos). Crie uma tabela de dupla entrada com Cura nas linhas e Tratam nas colunas. Com
base nessa tabela, voceˆ diria que a rapidez da cura depende do tipo de tratamento considerado?
Justifique.
Resposta:
A Tabela 6 apresenta a tabela de contingeˆncia entre Cura e Tratam e as porcentagens em linhas,
entre pareˆnteses.
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Tabela 6: Tabela de contingeˆncia entre as varia´veis Cura e Tratam
TratamentoCura
I II III Total
Lenta (Recup: ≤ 20) 6 (75%) 2 (25%) 0 (0%) 8
Normal (Recup: 20 a 40) 2 (50%) 0 (0%) 2 (50%) 4
Ra´pida (Recup: > 40) 0 (0%) 9 (64,28%) 5 (35,72%) 14
Total 8 (30,77%) 11 (42,31%) 7 (26,92%) 26
A tabela informa que a maior parte dos pacientes (75%) que tiveram cura lenta foram submetidos
ao Tratamento I; 50% dos pacientes que tiveram uma cura normal foram submetidos ao Tratamento
I e os outros 50% ao tratamento III; a maior parte dos pacientes (64,28%) que tiveram cura ra´pida
foram submetidos ao Tratamento II e nenhum paciente sob tratamento I apresentou cura ra´pida.
Se consideramos pacientes com cura normal e ra´pida, o tratamento III apresenta uma proporc¸a˜o
maior de pacientes (85, 72%), comparado ao tratamento II (64, 28%).
Logo, parece haver associac¸a˜o entre a velocidade de cura e o tipo de tratamento. Em termos de
velocidade (sem considerar a idade e a varia´vel Diag dos pacientes que certamente influem na ve-
locidade de cura), o tratamento mais eficaz foi o Tratamento II e o menos eficaz e´ o tratamento I. �
(h) (0,5 pontos). Dentre os pacientes submetidos ao tratamento do tipo I, qual e´ a proporc¸a˜o com
cura lenta? E entre os pacientes submetidos ao Tratam II, qual e´ essa proporc¸a˜o?
Resposta:
Para isso, temos que calcular a raza˜o entre o nu´mero de pacientes que apresentaram cura lenta
pelo nu´mero total de pacientes que foram submetidos ao tratamento do tipo I. Assim, 6/8=0,75,
ou seja, 75% dos pacientes tratados por I apresentaram cura lenta.
Ja´ com relac¸a˜o aos pacientes que foram submetidos ao tratamento do tipo II, temos: 2/11=0,182,
ou seja, 18,2% dos pacientes apresentaram cura lenta. �
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