derivadas

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CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL I 
Prof. Alexandre J. M. Antunes 
Apresentação 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Nesta sessão do PreparAV1 veremos os 
seguintes tópicos: 
Fonte: https://biologiadio.files.wordpress.com/2009/10/estudando2.gif 
- Derivadas 
- Aplicações de Derivadas 
- Integração 
Derivadas - Conceito 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
A derivada de uma função 𝑓 𝑥 em um numero 𝑎, denotada 
por 𝑓′ 𝑎 , é 
 
𝑓′ 𝑎 = lim
ℎ →0
𝑓 𝑎 + 𝑕 − 𝑓(𝑎)
𝑕
 ( 𝐼 ) 
 
Se o limite existe. 
𝑓′ 𝑎 = lim
ℎ →0
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
 ( 𝐼𝐼 ) 
Se escrevermos 𝑥 = 𝑎 + 𝑕, então 𝑕 = 𝑥 − 𝑎, temos: 
Derivadas - Interpretações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
• Geométrica 
Inclinação da reta: 
Fonte: https://www.mar.mil.br/dhn/dhn/ead/images/derivada.gif (adaptado) 
• Taxa de variação instantânea. 
• Como uma função: 
⇒ 
𝑓′ 𝑎 = lim
ℎ →0
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
 ⇒ 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡â𝑛𝑒𝑎 = limΔ𝑥→0 
Δ𝑦
Δ𝑥
 
Da definição (II) do segundo slide temos que 
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ →0
𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓(𝑥)
𝑕
 
𝑓′ 𝑥 é 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓(𝑥) 
Derivadas – Regras básicas de derivação I 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Fonte: http://www.igm.mat.br/images/calc1/graf41.jpg 
Derivadas – Regras básicas de derivação II 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Fonte: http://euqueroserengenheiro.blogspot.com.br/2014_11_01_archive.html 
Derivadas – Regra da Cadeia 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Definição: 
Sejam 𝑦 = 𝑕(𝑢) e 𝑢 = 𝑔(𝑥) duas funções deriváveis, com 𝐼𝑚[𝑔 𝑥 ] ⊂
𝐷𝑜𝑚[𝑕 𝑥 ], e consideremos a função composta 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑕[𝑔(𝑥)]. Então 𝑓 
é derivável e 𝑓′(𝑥) = 𝑕′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥), para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚[𝑕 𝑥 ] . 
Na prática 
Exemplo: Encontre as derivadas. 
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥 2 
𝑢(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 ⇒ 𝑓 𝑥 = [𝑢 𝑥 ]2 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 2. 𝑢 𝑥 . [𝑢 𝑥 ]′ 
b) 𝑓 𝑥 = 𝑒2𝑥;3 
𝑢 𝑥 = 2𝑥 − 3 ⇒ 𝑓 𝑥 = 𝑒[𝑢 𝑥 ] ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 𝑒[𝑢 𝑥 ]. [𝑢 𝑥 ]′ 
𝑓′ 𝑥 = 2. (𝑥3 + 2𝑥). [𝑥3 + 2𝑥]′ ⇒ 𝒇′ 𝒙 = 𝟐. 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 . (𝟑𝒙 + 𝟐) 
𝑓′ 𝑥 = 𝑒[2𝑥;3]. [2𝑥 − 3]′⇒ 𝑓′ 𝑥 = 𝑒2𝑥;3. 2 ⇒ 𝒇′ 𝒙 = 𝟐. 𝒆𝟐𝒙;𝟑 
Derivadas de ordem superior 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Se uma função 𝒇 𝒙 derivável, pode ser novamente derivável e esse processo 
se repete 𝒏 vezes, dizemos que essa função pode ser derivável até a ordem 𝒏. 
𝒇𝒖𝒏çã𝒐 Descrição 
𝒇′(𝒙) Primeira derivada de 𝒇(𝒙) 
𝒇′′(𝒙) Segunda derivada de 𝒇(𝒙) 
𝒇′′′(𝒙) Terceira derivada de 𝒇(𝒙) 
𝒇(𝟒)(𝒙) Quarta derivada de 𝒇(𝒙) 
𝒇(𝟓)(𝒙) Quinta derivada de 𝒇(𝒙) 
... ... 
𝒇(𝒏)(𝒙) Enésima derivada de 𝒇(𝒙) 
𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟑 
𝒇′(𝒙) 𝒇′ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟓 
𝒇′′(𝒙) 𝒇′′ 𝒙 = 𝟔𝒙 − 𝟏𝟐 
𝒇′′′(𝒙) 𝒇′′′ 𝒙 = 𝟔 
𝒇(𝟒)(𝒙) 𝒇 𝟒 𝒙 = 𝟎 
Vejam o exemplo abaixo: 
Exercícios – Primeira parte 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
1ª Questão: Seja 𝑓 𝑥 = 2𝑥. Use a definição para encontrar a inclinação 
da reta tangente no ponto 1, 2 . 
𝑈𝑠𝑎𝑟 𝑓′ 𝑎 = lim
ℎ →0
𝑓 𝑎 + 𝑕 − 𝑓(𝑎)
𝑕
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 = 1 
 
𝑓′ 1 = lim
ℎ →0
𝑓 1 + 𝑕 − 𝑓(1)
𝑕
= lim
ℎ →0
2(1:ℎ) − 21
𝑕
= lim
ℎ →0
2.2ℎ − 2
𝑕
= 
 
= lim
ℎ →0
2. (2ℎ − 1)
𝑕
= 2. lim
ℎ →0
2ℎ − 1
𝑕
= 2. log𝑒 2 = 2. ln 2 ∴ 𝑓
′ 1 = 2. ln 2 
Colocando o 2 em 
evidência! 
2.2ℎ − 2 = 2. (2ℎ − 1) 
R: A inclinação da reta 
tangente a função em 𝑥 = 1 
é 𝑓′ 1 = 2. ln 2 limℎ →0
2ℎ − 1
𝑕
= log𝑒 2 = ln 2 
Exercícios – Primeira parte 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
2ª Questão: Encontre as derivadas abaixo: 
a) 𝑦 = 𝑥8 + 12𝑥5 − 4𝑥4 + 10𝑥3 − 6𝑥 + 5 
Precisamos encontrar 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 
𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥8 + 12𝑥5 − 4𝑥4 + 10𝑥3 − 6𝑥 + 5) 
 
𝑓′ 𝑥 = 8𝑥7 + 5.12𝑥4 − 4.4𝑥3 + 3.10𝑥2 − 6. 𝑥 
 
𝑓′ 𝑥 = 8𝑥7 + 60𝑥4 − 16𝑥3 + 30𝑥2 − 6𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥 
Precisamos encontrar 𝑓′ 𝑥 = 𝐷𝑥𝑓(𝑥) 
𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑒𝑥 − 𝑥 = 𝑒𝑥 − 1 
 
𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥 − 1 
Exercícios – Primeira parte 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
3ª Questão: Ache uma equação da reta tangente à curva 𝑦 = 𝑥 𝑥 no 
ponto (1, 1). 
A equação da reta pode ser escrita na forma 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥0), onde 
𝑥0, 𝑦0 = (1, 1) e 𝑚 = 𝑓
′ 1 (coeficiente da reta tangente em 𝑥 = 1). 
Precisamos encontrar 𝑚 = 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 , ou seja, 𝑚 = 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥 𝑥) 
Podemos encontrar 𝑚 = 𝑓′ 𝑥 de duas formas: 
𝑓′ 𝑥 = 
𝑥 ′. 𝑥 + 𝑥. 𝑥 ′, 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜
 𝑥. 𝑥
1
2
′
= 𝑥 1:
1
2
′
= 𝑥
3
2
′
, 𝑚𝑎𝑛𝑖𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑙𝑔é𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎
 
𝑓′ 𝑥 = 𝑥
3
2
′
=
3
2
. 𝑥
3
2;1 =
3
2
. 𝑥
1
2 =
3
2
. 𝑥 𝑒𝑚 1, 1 , 𝑓′ 𝑥 =
3
2
 
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 é 𝑦 − 1 =
3
2
. (𝑥 − 1) 
Exercícios – Primeira parte 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
4ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 
16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com 
que velocidade sobe o nível da água, quando a água está a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o tanque 
começou a encher; 
 
𝒉: o número de metros na altura 
do nível da água em 𝒕 minutos; 
 
𝒓: o número de metros no raio da 
superfície da água em 𝒕 minutos; 
 
𝑽: o número de metros cúbicos no 
volume da água no tanque em 𝒕 
minutos; 
• Note que em qualquer instante, o volume 
da água pode ser expresso em termos 
do volume de um cone: 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉. 
Exercícios – Primeira parte 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
4ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 
16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com 
que velocidade sobe o nível da água, quando a água está a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o tanque 
começou a encher; 
 
𝒉: o número de metros na altura 
do nível da água em 𝒕 minutos; 
 
𝒓: o número de metros no raio da 
superfície da água em 𝒕 minutos; 
 
𝑽: o número de metros cúbicos no 
volume da água no tanque em 𝒕 
minutos; 
• Note que em qualquer instante, o volume 
da água pode ser expresso em termos 
do volume de um cone: 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉. 
• Dizer que “o tanque se enche de água à 
taxa de 2𝑚3/𝑚𝑖𝑛”, significa: 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐. 
Exercícios – Primeira parte 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
4ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 
16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com 
que velocidade sobe o nível da água, quando a água está a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o tanque 
começou a encher; 
 
𝒉: o número de metros na altura 
do nível da água em 𝒕 minutos; 
 
𝒓: o número de metros no raio da 
superfície da água em 𝒕 minutos; 
 
𝑽: o número de metros cúbicos no 
volume da água no tanque em 𝒕 
minutos; 
• Note que em qualquer instante,o volume 
da água pode ser expresso em termos 
do volume de um cone: 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉. 
• Dizer que “o tanque se enche de água à 
taxa de 2𝑚3/𝑚𝑖𝑛”, significa: 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐. 
• Queremos encontrar 𝑫𝒕𝒉 quando 
𝒉 = 𝟓. 
Exercícios – Primeira parte 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
4ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 
16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com 
que velocidade sobe o nível da água, quando a água está a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o tanque 
começou a encher; 
 
𝒉: o número de metros na altura 
do nível da água em 𝒕 minutos; 
 
𝒓: o número de metros no raio da 
superfície da água em 𝒕 minutos; 
 
𝑽: o número de metros cúbicos no 
volume da água no tanque em 𝒕 
minutos; 
• Note que em qualquer instante, o volume 
da água pode ser expresso em termos 
do volume de um cone: 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉. 
• Dizer que “o tanque se enche de água à 
taxa de 2𝑚3/𝑚𝑖𝑛”, significa: 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐. 
• Queremos encontrar 𝑫𝒕𝒉 quando 
𝒉 = 𝟓. 
• Precisamos expressar 𝑟 em 
função de 𝑕!!! 
Exercícios – Primeira parte 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
4ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 
16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com 
que velocidade sobe o nível da água, quando a água está a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o tanque 
começou a encher; 
 
𝒉: o número de metros na altura 
do nível da água em 𝒕 minutos; 
 
𝒓: o número de metros no raio da 
superfície da água em 𝒕 minutos; 
 
𝑽: o número de metros cúbicos no 
volume da água no tanque em 𝒕 
minutos; 
• 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉 • 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐 
• Queremos encontrar 𝑫𝒕𝒉 quando 𝒉 = 𝟓. 
• Precisamos expressar 𝑟 em função de 𝑕!!! 
 Usando semelhança de triângulos, temos: 
𝑟
𝑕
=
4
16
 ⇒ 
𝑟
𝑕
=
1
4
 ⇒ 𝒓 =
𝟏
𝟒
. 𝒉 
Exercícios – Primeira parte 
 
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4ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 
16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com 
que velocidade sobe o nível da água, quando a água está a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o tanque 
começou a encher; 
 
𝒉: o número de metros na altura 
do nível da água em 𝒕 minutos; 
 
𝒓: o número de metros no raio da 
superfície da água em 𝒕 minutos; 
 
𝑽: o número de metros cúbicos no 
volume da água no tanque em 𝒕 
minutos; 
• 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉 • 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐 
• Queremos encontrar 𝑫𝒕𝒉 quando 𝒉 = 𝟓. 
• 𝒓 =
𝟏
𝟒
. 𝒉 
Exercícios – Primeira parte 
 
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4ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 
16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com 
que velocidade sobe o nível da água, quando a água está a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o tanque 
começou a encher; 
 
𝒉: o número de metros na altura 
do nível da água em 𝒕 minutos; 
 
𝒓: o número de metros no raio da 
superfície da água em 𝒕 minutos; 
 
𝑽: o número de metros cúbicos no 
volume da água no tanque em 𝒕 
minutos; 
• 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉 • 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐 
• Queremos encontrar 𝑫𝒕𝒉 quando 𝒉 = 𝟓. 
• 𝒓 =
𝟏
𝟒
. 𝒉 
𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉 ⇒ 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅(
𝟏
𝟒
. 𝒉 )𝟐𝒉 ⇒ 𝑽 =
𝟏
𝟑
.
𝟏
𝟏𝟔
𝝅𝒉𝟐𝒉 
𝑽 =
𝟏
𝟒𝟖
𝝅𝒉𝟑 
Derivando os dois 
membros em relação 
a t, obtemos: 
𝑫𝒕𝑽 =
𝟏
𝟒𝟖
𝝅. 𝟑. 𝒉𝟐. 𝑫𝒕𝒉 ⇒ 𝑫𝒕𝑽 =
𝟏
𝟏𝟔
𝝅𝒉𝟐. 𝑫𝒕𝒉 
Exercícios – Primeira parte 
 
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4ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 
16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com 
que velocidade sobe o nível da água, quando a água está a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o tanque 
começou a encher; 
 
𝒉: o número de metros na altura 
do nível da água em 𝒕 minutos; 
 
𝒓: o número de metros no raio da 
superfície da água em 𝒕 minutos; 
 
𝑽: o número de metros cúbicos no 
volume da água no tanque em 𝒕 
minutos; 
• 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉 • 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐 
• Queremos encontrar 𝑫𝒕𝒉 quando 𝒉 = 𝟓. 
• 𝒓 =
𝟏
𝟒
. 𝒉 
• 𝑽 =
𝟏
𝟒𝟖
𝝅𝒉𝟑 
Como 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐 então 𝟐 =
𝟏
𝟏𝟔
𝝅𝒉𝟐. 𝑫𝒕𝒉 
• 𝑫𝒕𝑽 =
𝟏
𝟏𝟔
𝝅𝒉𝟐. 𝑫𝒕𝒉 
𝑫𝒕𝒉 =
𝟑𝟐
𝝅𝒉𝟐
 que em 𝒉 = 𝟓 
Exercícios – Primeira parte 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
4ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 
16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com 
que velocidade sobe o nível da água, quando a água está a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o tanque 
começou a encher; 
 
𝒉: o número de metros na altura 
do nível da água em 𝒕 minutos; 
 
𝒓: o número de metros no raio da 
superfície da água em 𝒕 minutos; 
 
𝑽: o número de metros cúbicos no 
volume da água no tanque em 𝒕 
minutos; 
• 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉 • 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐 
• Queremos encontrar 𝑫𝒕𝒉 quando 𝒉 = 𝟓. 
• 𝒓 =
𝟏
𝟒
. 𝒉 
• 𝑽 =
𝟏
𝟒𝟖
𝝅𝒉𝟑 
Como 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐 então 𝟐 =
𝟏
𝟏𝟔
𝝅𝒉𝟐. 𝑫𝒕𝒉 
• 𝑫𝒕𝑽 =
𝟏
𝟏𝟔
𝝅𝒉𝟐. 𝑫𝒕𝒉 
𝑫𝒕𝒉 =
𝟑𝟐
𝝅𝒉𝟐
 que em 𝒉 = 𝟓 
𝑫𝒕𝒉]𝒕<𝟓 =
𝟑𝟐
𝝅(𝟓)𝟐
 ⇒ 𝑫𝒕𝒉 =
𝟑𝟐
𝟐𝟓𝝅
 
Exercícios – Primeira parte 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
4ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 
16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com 
que velocidade sobe o nível da água, quando a água está a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
• 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐 
• Queremos encontrar 𝑫𝒕𝒉 quando 𝒉 = 𝟓. 
• 𝒓 =
𝟏
𝟒
. 𝒉 
• 𝑽 =
𝟏
𝟒𝟖
𝝅𝒉𝟑 • 𝑫𝒕𝑽 =
𝟏
𝟏𝟔
𝝅𝒉𝟐. 𝑫𝒕𝒉 
• 𝑫𝒕𝒉 =
𝟑𝟐
𝝅𝒉𝟐
 • 𝑫𝒕𝒉]𝒕<𝟓 ⇒ 𝑫𝒕𝒉 =
𝟑𝟐
𝟐𝟓𝝅
 
R: O nível da água sobre à taxa 
de 
32
25𝜋
𝑚/𝑚𝑖𝑛 quando 𝑡 = 5𝑚 de 
profundidade. 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o tanque 
começou a encher; 
 
𝒉: o número de metros na altura 
do nível da água em 𝒕 minutos; 
 
𝒓: o número de metros no raio da 
superfície da água em 𝒕 minutos; 
 
𝑽: o número de metros cúbicos no 
volume da água no tanque em 𝒕 
minutos; 
• 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉 
Derivadas 
Trigonométricas, Trigonométricas Inversas, Exponenciais e Logarítmicas. 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Derivadas 
Trigonométricas, Trigonométricas Inversas, Exponenciais e Logarítmicas. 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
- Encontre a derivada de 𝑓 𝑥 = tan(2𝑥) ⇒ 𝑓′ 𝑥 = sec2 2𝑥 . 2𝑥 ′ 
- Exemplo: 
Fonte: http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap11_Calc1.html𝑓′ 𝑥 = 2. sec2 2𝑥 
Derivadas 
Trigonométricas, Trigonométricas Inversas, Exponenciais e Logarítmicas. 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
- Encontre a derivada de 𝑓 𝑥 = arc cos
𝑥
2
 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = −
𝑥
2
′
1;
𝑥
2
2
⇒ 
- Exemplo: 
Fonte: http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap11_Calc1.html 
⇒ 𝑓′ 𝑥 = −
1
2
1;
𝑥2
4
 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = −
1
2. 1;
𝑥2
4
 
Derivadas 
Trigonométricas, Trigonométricas Inversas, Exponenciais e Logarítmicas. 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
- Encontre a derivada de 𝑓 𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠𝑥 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠𝑥 . 𝑙𝑛 5𝑐𝑜𝑠𝑥 . (𝑐𝑜𝑠𝑥)′ 
- Exemplos: 
𝑓′ 𝑥 = −5𝑐𝑜𝑠𝑥 . 𝑙𝑛 5𝑐𝑜𝑠𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
- Quando 𝑎 = 𝑒, note que ln 𝑒 = log𝑒 𝑒 = 1 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 
- Encontre a derivada de 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 5𝑠𝑒𝑛 𝑥 . (𝑠𝑒𝑛 𝑥)′ 
𝑓′ 𝑥 = −5𝑠𝑒𝑛 𝑥 . cos 𝑥 
Derivadas 
Trigonométricas, Trigonométricas Inversas, Exponenciais e Logarítmicas. 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
- Quando 𝑎 = 𝑒, note que log𝑎𝑒 = log𝑒 𝑒 = 1 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 
- Encontre a derivada de 𝑓 𝑥 = log2(𝑥
2 − 5𝑥) ⇒ 𝑓′ 𝑥 = log2 𝑒 .
𝑥2;5𝑥
′
𝑥2;5𝑥
 
- Exemplos: 
𝑓′ 𝑥 = log2 𝑒 .
2𝑥 − 5
𝑥2 − 5𝑥
 
- Encontre a derivada de 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥3) ⇒ 𝑓′ 𝑥 =
𝑥3
′
𝑥3
 
𝑓′ 𝑥 =
3
𝑥
 
⇒ 𝑓′ 𝑥 =
3𝑥2
𝑥3
 
Derivadas – Derivação implícita 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
• Muitas vezes, trabalhamos com equações em 𝑥 e 𝑦, onde nem sempre 
se pode explicitar para a variável 𝑦 ser definida em função de 𝑥. 
• Derivação (ou Diferenciação) Implícita consiste em diferenciar ambos os lados 
da equação em relação a 𝑥 e então resolver a equação resultante para 𝑦′ = 𝐷𝑥𝑦. 
- Exemplo: Encontre, usando derivação implícita, uma equação tangente ao círculo 
𝑥2 + 𝑦2 = 25 no ponto (3, 4). 
• Nesse caso, as chamamos de funções implícitas. O respectivo processo 
de derivação recebe o nome de Derivação (ou Diferenciação) Implícita. 
𝑥2 + 𝑦2 = 25 ⇒ 𝐷𝑥(𝑥
2 + 𝑦2) = 𝐷𝑥(25) ⇒ 2𝑥 + 2𝑦𝐷𝑥𝑦 = 0 
𝐷𝑥𝑦 = −
2𝑥
2𝑦
 ⇒ 𝐷𝑥𝑦 = −
𝑥
𝑦
 𝐷𝑥𝑦(3, 4) = −
3
4
 
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 é 𝑦 − 4 = −
3
4
. (𝑥 − 3) 
⇒ 
Derivadas – Reta Normal 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Sabemos do CVGA que 𝒎𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍.𝒎𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 = −𝟏, ou seja, 𝒎𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 = −
𝟏
𝒎𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆
 
Retornando à 1ª Questão: Seja 𝑓 𝑥 = 2𝑥 . Use a definição para encontrar a 
inclinação da reta tangente no ponto 1, 2 . Na qual encontramos a inclinação da reta 
tangente a função em 𝑥 = 1 é 𝑓′ 1 = 2. ln 2. Dessa forma, 
𝑚𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 = 2. 𝑙𝑛 2 
𝒎𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 = −
𝟏
2.ln 2
 
Tangente: 𝑦 − 2 = 2. ln 2 . 𝑥 − 1 
Normal: 𝒚 − 𝟐 = −
𝟏
𝟐.𝒍𝒏 𝟐
. (𝒙 − 𝟏) 
Derivadas - Aplicações 
 
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 Nessa aula já fizemos uma aplicação de Taxas Relacionadas. 
Recordando ... 4ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo 
uma altura de 16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 
2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com que velocidade sobe o nível da água, quando a água está a 5𝑚 
profundidade? 
• 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐 
• Queremos encontrar 𝑫𝒕𝒉 quando 𝒉 = 𝟓. 
• 𝒓 =
𝟏
𝟒
. 𝒉 
• 𝑽 =
𝟏
𝟒𝟖
𝝅𝒉𝟑 • 𝑫𝒕𝑽 =
𝟏
𝟏𝟔
𝝅𝒉𝟐. 𝑫𝒕𝒉 
• 𝑫𝒕𝒉 =
𝟑𝟐
𝝅𝒉𝟐
 • 𝑫𝒕𝒉]𝒕<𝟓 ⇒ 𝑫𝒕𝒉 =
𝟑𝟐
𝟐𝟓𝝅
 
R: O nível da água sobre à taxa 
de 
32
25𝜋
𝑚/𝑚𝑖𝑛 quando 𝑡 = 5𝑚 de 
profundidade. 
• 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉 
Derivadas - Aplicações 
 
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Máximos e Mínimos 
Teste da derivada primeira: Seja 𝑓 uma função contínua num intervalo fechado 
[𝑎, 𝑏] , que possui derivada em todo ponto do intervalo aberto (𝑎, 𝑏) , exceto 
possivelmente num ponto 𝑐. 
𝑖) Se 𝑓’(𝑥) > 0 para todo 𝑥 < 𝑐 e 𝑓’(𝑥) < 0 para todo 𝑥 > 𝑐, então 𝑓 tem um 
máximo relativo em c. 
𝑖𝑖) Se 𝑓’(𝑥) < 0 para todo 𝑥 < 𝑐 e 𝑓’ (𝑥) > 0 para todo 𝑥 > 𝑐, então 𝑓 tem um 
mínimo relativo em 𝑐. 
Teste da derivada segunda: Sejam 𝑓 uma função derivável num 
intervalo (𝑎, 𝑏) e 𝑐 um ponto crítico de 𝑓 neste intervalo, isto é, 𝑓 ’(𝑐) = 0, 
com 𝑎 < 𝑐 < 𝑏. Se 𝑓 admite a derivada segunda em (𝑎, 𝑏) então: 
𝑖) Se 𝑓”(𝑐) < 0, 𝑓 tem um valor máximo relativo em 𝑐. 
𝑖𝑖) Se 𝑓”(𝑐) > 0, 𝑓 tem um valor mínimo relativo em 𝑐. 
Derivadas - Aplicações 
 
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5ª Questão: Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máximos e mínimos 
relativos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 – 7𝑥 + 6. 
• Usando o Teste da Primeira derivada 
𝑓’(𝑥) = 3𝑥2 – 7. Fazendo 𝑓’(𝑥) = 0, obtemos 𝑥 = ±
3
7
. 
Portanto, os pontos críticos de 𝑓 são 𝑥1 = −
3
7
 e 𝑥2 = +
3
7
 
 + − + 
 
 𝑥1 = −
3
7
 𝑥2 = +
3
7
 
Assim, pelo critério da derivada primeira, concluímos que 𝑓 tem um 
máximo relativo em 𝑥1 = −
3
7
 e um mínimo relativo em 𝑥2 = +
3
7
 
Derivadas - Aplicações 
 
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5ª Questão: Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máximos e mínimos 
relativos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 – 7𝑥 + 6. 
• Usando o Teste da Segunda Derivada 
𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 ⇒
𝑓′′ −
3
7
= 6 −
3
7
< 0
𝑓′′ +
3
7
= 6 +
3
7
> 0
 
⇒ 𝑓 tem um valor máximo relativo em 
𝑥1 = −
3
7
. 
⇒ 𝑓 tem um valor mínimo relativo em 
𝑥2 = +
3
7
. 
𝑓’(𝑥) = 3𝑥2 – 7 
𝑓(𝑥) é crescente nos intervalos −∞,−
3
7
 e +
3
7
, +∞ e decrescente 
no intervalo −
3
7
, +
3
7
 
Derivadas - Aplicações 
 
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6ª Questão: Um fazendeiro tem 2400 pés de cerca e quer cercar um campo 
retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo 
do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área? 
2𝑥 + 𝑦 = 2400 ⇒ 𝒚 = 𝟐𝟒𝟎𝟎 − 𝟐𝒙 (𝐼𝐼) 
Substituindo (𝐼𝐼) em (𝐼), temos: 𝐴 = 𝑥. (2400 − 2𝑥) ⇒ 
⇒ 𝐴 = 𝐴(𝑥) = −2𝑥2 + 2400𝑥 
𝑥 e 𝑦: dimensões da parte onde existirá a cerca; 
𝐴: área em termos de x e y, sendo que 𝐴 = 𝑥. 𝑦 (𝐼); 
Otimização 
r 
 
i 
 
o 
𝑥 
𝑥 
𝑦 𝐴 Dado do problema, ajustado a nossa modelagem: 2𝑥 + 𝑦 = 2400. 
⇒ 𝐴′(𝑥) = −4𝑥 + 2400 
Devemos fazer 𝐴′ 𝑥 = 0, ou seja, −4𝑥 + 2400 = 0. Portanto, 𝑥 = 600. 
Dessa forma, as dimensões para se obter a maior área são 
𝒙 = 𝟔𝟎𝟎 e 𝒚 = 𝟏𝟐𝟎𝟎, com área de 𝑨 𝟔𝟎𝟎 = 𝟕𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒑é𝒔𝟐. 
Derivadas - Aplicações 
 
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7ª Questão: Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 de óleo. Encontre as 
dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. 
Substituindo (𝐼𝐼) em (𝐼), temos: 𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝞹𝑟
1000
𝞹𝑟2
+ 2𝞹𝑟2⇒ 𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 =
2000
𝑟
+ 2𝞹𝑟2 
𝑟: raio e h: altura (ambos em centímetros); 
𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙: área total da lata em termos de 𝑟 e 𝑕, sendo que 
𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 2. 𝐴𝐵𝑎𝑠𝑒 ⇒ 𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝞹𝑟𝑕 + 2𝞹𝑟
2 (𝐼) 
Otimização 
Para eliminar o h, fazemos 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 1𝐿 ⇒ 𝞹𝑟
2𝑕 = 1000 ⇒ 𝑕 =
1000
𝞹𝑟2
 (𝐼𝐼) 
Lembrem-se que: 
1𝐿 = 1000𝑐𝑚3 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝞹𝑟
2𝑕 
𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
′ (𝑟) = −
2000
𝑟2
+ 4𝞹𝑟 ⇒ 𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
′ 𝑟 =
4𝞹𝑟3;2000
r2
⇒ 𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
′ 𝑟 =
4 𝞹𝑟3;500
r2
 
Derivadas - Aplicações 
 
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7ªQuestão: Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 de óleo. Encontre as 
dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. 
Otimização 
Devemos fazer 𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
′ 𝑟 = 0, ou seja,
4 𝞹𝑟3;500
r2
= 0. Como 𝑟 > 0, temos: 
𝞹𝑟3 − 500 = 0; logo, 𝒓 = 
𝟓𝟎𝟎
𝝅
𝟑
 e 𝒉 =
1000
𝞹𝑟2
=
1000
𝞹
500
𝜋
3
2 .
500
𝜋
3
500
𝜋
3
=
1000.
500
𝜋
3
𝞹.
500
𝜋
= 2.
500
𝜋
3
= 𝟐𝐫 
𝟓𝟎𝟎
𝝅
𝟑
 
 − + 
Em 𝒓 = 
𝟓𝟎𝟎
𝝅
𝟑
, temos que 𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
′ 𝑟 = 0. Note que, para valores de 
𝒓 < 
𝟓𝟎𝟎
𝝅
𝟑
, 𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
′ 𝑟 < 0 e para valores de 𝒓 > 
𝟓𝟎𝟎
𝝅
𝟑
, 𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
′ 𝑟 > 0. 
Derivadas - Aplicações 
 
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7ª Questão: Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 de óleo. Encontre as 
dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. 
Otimização 
Dessa forma podemos garantir que 𝒓 = 
𝟓𝟎𝟎
𝝅
𝟑
 é o valor que minimiza o custo de 
produção dessa lata. Além disso, a altura (𝒉 = 2.
500
𝜋
3
= 𝟐𝐫) é duas vezes o raio, 
isto é, o diâmetro. 
Integração Indefinida 
 
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Se a função 𝐹(𝑥) é primitiva da função 𝑓 𝑥 , a expressão 𝐹 𝑥 + 𝐶 descreve a 
família de primitivas de 𝑓 𝑥 , e é denotada por 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶, 𝑜𝑛𝑑𝑒 
∫ − é chamado sinal de integração; 
𝑓𝑥 − é a função integrando; 
𝑑𝑥 – a diferencial que serve para identificar a variável de integração; 
𝐶 – é a constante de integração. 
Para ilustrar essa definição, observe o exemplo a seguir: 
Se 𝐹 é definida por 𝐹(𝑥) = 4𝑥3 + 𝑥2 + 5, então 𝐹’(𝑥) = 12𝑥2 + 2𝑥. 
 
Assim, se 𝑓 é a função definida por 𝑓(𝑥) = 12𝑥2 + 2𝑥 dizemos que 𝑓 
é a derivada de 𝐹 e que 𝐹 é uma antiderivada (ou primitiva) de 𝑓. 
Integração Indefinida 
 
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Exemplo: Encontre a família de primitivas da função 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 5. 
 
Encontrar, ou determinar, a família de primitivas de uma função é usar o processo de 
antidiferenciação, para encontrar 𝐹 𝑥 + 𝐶. Dessa forma, 
∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (3𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 5 𝑑𝑥 = 
= 3∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 5 1𝑑𝑥 = 3.
𝑥2
2
+ 𝐶1 + 5. 𝑥 + 𝐶2 
Eliminando os parênteses, temos: ∫ 3𝑥 + 5 𝑑𝑥 = 3.
𝑥2
2
+ 5. 𝑥 + (𝐶1 + 𝐶2), 
onde 𝐶1 + 𝐶2 = 𝐶 
Daí, ∫ 3𝑥 + 5 𝑑𝑥 = 3.
𝑥2
2
+ 5. 𝑥 + 𝐶 
Integração 
Integrais imediatas 
 
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Vimos nos slides anteriores que podemos utilizar as regras de derivação (como 
processo inverso) para determinar as integrais. 
Para encontrar a antiderivada (ou primitiva) aplicamos, adequadamente, as fórmulas básicas 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 3. 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 3. 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 3. 𝑒𝑥 + 𝐶 
Portanto, a família de antiderivadas (ou primitivas) da função 
𝑓 𝑥 = 3𝑒𝑥 
É a função 
𝐹(𝑥) = 3. 𝑒𝑥 + 𝐶 
8ª Questão: Encontre a integral 𝑓 𝑥 = 3𝑒𝑥. 
Integração 
Integrais imediatas 
 
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Para encontrar a antiderivada (ou primitiva) aplicamos, adequadamente, as fórmulas básicas 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 
cos 𝑥
2
 𝑑𝑥 + (−3𝑥) 𝑑𝑥 + 5 𝑑𝑥 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
 cos 𝑥 𝑑𝑥 − 3. 𝑥 𝑑𝑥 + 5. 1 𝑑𝑥 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
 cos 𝑥 𝑑𝑥 − 3. 𝑥 𝑑𝑥 + 5. 1 𝑑𝑥 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 −
3
2
𝑥2 + 5𝑥 + 𝐶 
Portanto, a família de antiderivadas (ou primitivas) da função 
𝑓 𝑥 = 
cos 𝑥
2
− 3x + 5 é a função 𝐹(𝑥) =
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 −
3
2
𝑥2 + 5𝑥 + 𝐶 
9ª Questão: Encontre a família de primitivas da função 𝑓 𝑥 = 
cos 𝑥
2
− 3x + 5. 
Integração 
Integrais imediatas 
 
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Funções trigonométricas 
• ∫ sen 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶 
• ∫ cossec2 𝑥 𝑑𝑥 = −cotg 𝑥 + 𝐶 
• ∫ [cossec x . cotg 𝑥] 𝑑𝑥 = −cossec 𝑥 + 𝐶 
• ∫ tg 𝑥 𝑑𝑥 = ln |sec 𝑥| + 𝐶 
• ∫ cotg 𝑥 𝑑𝑥 = ln | sen 𝑥| + 𝐶 
• ∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 = ln | sec 𝑥 + tg 𝑥| + 𝐶 
• ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = ln |𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥| + 𝐶 
Acrescentamos 
Funções inversas trigonométricas 
• ∫
1
𝑎2;𝑥2
𝑑𝑥 = sen;1 
𝑥
𝑎
+ 𝐶 
• ∫
1
𝑎2:𝑥2
𝑑𝑥 =
1
𝑎
. tg;1
𝑥
𝑎
+ 𝐶 
• ∫
1
𝑥. 𝑥2;𝑎2
𝑑𝑥 =
1
𝑎
. 𝑠𝑒𝑐;1 
𝑥
𝑎
+ 𝐶 
 
Funções logarítmicas 
• ∫
1
𝑎2:𝑥2
𝑑𝑥 =
1
2𝑎
 . ln
x :a
𝑥; 𝑎
 + 𝐶 
• ∫
1
𝑥2;𝑎2
𝑑𝑥 =
1
2𝑎
 . ln
x ; a
𝑥 : 𝑎
 + 𝐶 
Integração 
Integrais imediatas 
 
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Para encontrar a antiderivada (ou primitiva) aplicamos, adequadamente, as fórmulas básicas 
 
∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 
π
2
. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 =
π
2
. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
π
2
 . ln |𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥| + 𝐶 
 Portanto, a família de antiderivadas (ou primitivas) da função 
𝑓 𝑥 =
π
2
. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 
É a função 
𝐹(𝑥) =
π
2
 . ln |𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥| + 𝐶 
 
10ª Questão: Encontre a família de primitivas da função 𝑓 𝑥 =
π
2
. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥. 
Integração 
Integrais por substituições 
 
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Note que não temos como relacionar com nenhuma das expressões existentes (uma 
derivada conhecida ou uma integral imediata). 
11ª Questão: Calcule ∫ t. (5 + 3𝑡2)8 𝑑𝑡 
Dessa forma, vamos tentar usar a técnica de substituição de variáveis, chamando 5 + 3𝑡2 
de 𝑢, ou seja, 
𝑢 = 5 + 3𝑡2 
Daí, temos que 
𝑑𝑢 = 6𝑡𝑑𝑡 
Com essa informação, podemos continuar de duas formas: 
Integração 
Integrais por substituições 
 
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1ª forma: Isolando o 𝑑𝑡 
𝑑𝑢 = 6𝑡𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑡 =
𝑑𝑢
6𝑡
 ⇒ 𝑑𝑡 =
1
6
. 𝑡;1𝑑𝑢 
Reescrevendo a integral e substituindo 𝑢 = 5 + 3𝑡2 e 𝑑𝑡 =
1
6
. 𝑡;1𝑑𝑢, temos: 
∫ t. 5 + 3𝑡2 8 𝑑𝑡 = ∫ 𝑢 8. 𝑡 
1
6
. 𝑡;1𝑑𝑢 
11ª Questão: Calcule ∫ t. (5 + 3𝑡2)8 𝑑𝑡 
Colocando a constante “para fora” da integral e fazendo 𝑡. 𝑡;1 = 𝑡0 = 1, temos: 
∫ t. 5 + 3𝑡2 8 𝑑𝑡 = 
1
6
. ∫ 𝑢 8. 𝑑𝑢 
Integração 
Integrais por substituições 
 
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11ª Questão: Calcule ∫ t. (5 + 3𝑡2)8 𝑑𝑡 
Que é uma integral que conseguimos resolver, pois pela regra da potência, 
∫ t. 5 + 3𝑡2 8 𝑑𝑡 = 
1
6
. ∫ 𝑢 8. 𝑑𝑢 =
1
6
.
𝑢9
9
+ 𝐶 =
1
54
. 𝑢9 + 𝐶 
E, finalmente, retornando à variável t, ficamos com 
∫ t. 5 + 3𝑡2 8 𝑑𝑡 = 
1
54
. 5 + 3𝑡2 9 + 𝐶 
Integração 
Integrais por substituições 
 
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2ª forma: Ao observar a existência do fator 6 em 𝑑𝑢, podemos reescrever a integral 
∫ t. (5 + 3𝑡2)8 𝑑𝑡, incluindo esse fator, sem alterar a expressão multiplicando-a e dividindo-
a por 6. 
∫ 5 + 3𝑡2 8. 
6
6
 . 𝑡 𝑑𝑡 
E, dessa forma, retirar o 6 (do denominador) ficando com 
1
6
. ∫ 5 + 3𝑡2 8. 6𝑡 𝑑𝑡 
 
11ª Questão: Calcule ∫ t. (5 + 3𝑡2)8 𝑑𝑡 
Note que, dessa forma, aparece a expressão 6𝑡𝑑𝑡, que pode ser substituída por 𝑢, pois 
𝑑𝑢 = 6𝑡𝑑𝑡 e 𝑢 = 5 + 3𝑡2. Então, 
1
6
. ∫ 5 + 3𝑡2 8. 6𝑡 𝑑𝑡 = 
1
6
. ∫ 𝑢 8 𝑑𝑢 
 
Integração 
Integrais por substituições 
 
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11ª Questão: Calcule ∫ t. (5 + 3𝑡2)8 𝑑𝑡 
Que é uma integral que conseguimos resolver, pois pela regra da potência, 
∫ t. 5 + 3𝑡2 8 𝑑𝑡 = 
1
6
. ∫ 𝑢 8. 𝑑𝑢 =
1
6
.
𝑢9
9
+ 𝐶 =
1
54
. 𝑢9 + 𝐶 
E, finalmente, retornandoà variável t, ficamos com 
∫ t. 5 + 3𝑡2 8 𝑑𝑡 = 
1
54
. 5 + 3𝑡2 9 + 𝐶