Hiperestática Exercícios - Metodo Carga Unitaria

Prévia do material em texto

Engenharia Civil Hiperestática Lista 1 Método da Carga Unitária 
www.profwillian.com 7 Anhanguera-Uniderp 
6) Calcule o deslocamento vertical no meio do vão AB da viga biapoiada vista na 
figura abaixo. Considere a viga trabalhando fundamentalmente à flexão com inércia 
EI = 8000 kN.m2. 
 
B A 
8,9 kN 
 
4,3m 1,1m 
C 
1,2m 
D 
9,8 kN 
 
 
Solução: 
 
B A 
8,9 kN 
 
4,3m 1,1m 
C 
1,2m 
D 
9,8 kN 
 
VA VB 
 
 
B A 
4,3m 1,1m 
C 
1,2m 
D 
VA VB 
1 
 
 
 
Reações de apoio para o carregamento original 
0Mz , ou seja, tomando um eixo z que passa pelo ponto B temos: 
kN87674,8V01,18,95,59,83,4V AA 
0Fy , temos: 
kN82326,9V08,99,8VV BBA 
 
 
Tomando a origem de x em A, a equação de esforços no trecho AB é: 
m3,4x0)2,1x(9,8x87674,8)x(M)2,1x(9,8xV)x(M ABAAB 
 
 
Procedendo de maneira análoga para a carga unitária, temos as seguintes equações de esforços: 
m3,4x15,2)15,2x(1x5,0)x(M
m15,2x0x5,0)x(M
AB
AB
 
 
Assim o deslocamento no meio do vão é: 
m00310,0
8000
524,7997
EI
524,7997
524,7997dx15,2x5,0)2,1x(9,8x87674,8dxx5,0)2,1x(9,8x87674,8EI
C
3,4
15,2
15,2
0
C
 
 
Resposta: Deslocamento vertical no meio do vão é =3,10 mm (para cima) 
 
Engenharia Civil Hiperestática Lista 1 Método da Carga Unitária 
www.profwillian.com 8 Anhanguera-Uniderp 
7) Calcule o deslocamento vertical do ponto C da viga biapoiada com balanço vista 
na figura abaixo. Considere a viga trabalhando fundamentalmente à flexão. Adote 
uma rigidez da seção transversal constante para todo o comprimento da viga 
E.I = 609,44 kN.m2. 
 
B A 
4,5 m 
1,5 kN/m 
2,0 m 
C 
 
Solução: 
 
B A 
1,5 kN/m 
4,5 m 2 m 
C 
VA VB 
HA 
 
B A 
4,5 m 2 m 
C 
VA VB 
HA 
1 
 
 
Reações de apoio para o carregamento original 
0Mz , ou seja, tomando um eixo z que passa pelo ponto B temos: 
kN70833,2V025,1)5,65,1(5,4V AA 
0Fy , temos: 
kN04167,7V0)5,65,1(VV BBA 
 
Tomando a origem de x em A, as equações de esforços nos trechos AB e BC serão: 
2
BCBABC
2
ABAAB
x75,0x75,96875,31)x(M)5,4x(V
2
xx5,1xV)x(M
x75,0x70833,2)x(M
2
xx5,1xV)x(M
 
 
Procedendo de maneira análoga para a carga unitária, temos as seguintes equações de esforços: 
5,6x)x(M)5,4x(VxV)x(M
x444,0)x(MxV)x(M
BCBABC
ABAAB
 
 
Assim o deslocamento em C: 
m001,0
44,609
6094,0
EI
6094,0
6094,0dx5,6xx75,0x75,96875,31dxx444,0x75,0x70833,2EI
C
5,6
5,4
2
5,4
0
2
C
 
 
Resposta: Deslocamento vertical do nó C é =1,00 mm (para baixo) 
 
Engenharia Civil Hiperestática Lista 1 Método da Carga Unitária 
www.profwillian.com 9 Anhanguera-Uniderp 
8) Calcule o deslocamento vertical da extremidade C da viga biapoiada vista na 
figura abaixo. Considere a viga trabalhando fundamentalmente à flexão com inércia 
EI = 1000 kN.m2. 
 
B A 
10 kN 
 
4 m 
C 
1 m 
 
Solução: 
 
B A 
10 kN 
 
4 m 
C 
1 m 
VA=12,5 kN VB 
 
B A 
4 m 
C 
1 m 
VA=1,25 VB 
1 
 
 
 
Reações de apoio para o carregamento original 
0Mz , ou seja, tomando um eixo z que passa pelo ponto B temos: 
kN5,12V00,5100,4V AA 
0Fy , temos: 
kN5,2V010VV BBA 
 
 
Tomando a origem de x em C, a equação de esforços nos trechos CA e AB são: 
m0,5x0,1x5,25,12)x(M)1x(Vx10)x(M
m0,1x0,0x10)x(M
ABAAB
AC 
 
 
Procedendo de maneira análoga para a carga unitária, temos as seguintes equações de esforços: 
m0,5x0,1x25,025,1)x(M
m0,1x0,0x)x(M
AB
AC
 
 
Assim o deslocamento no meio do vão é: 
m0167,0
1000
3/50
EI
3/110
3/50dxx25,025,1x5,25,12dxxx10EI
m
0,5
0,1
0,1
0,0
m
 
 
 
Resposta: Deslocamento vertical da extremidade C da viga é C = 1,67 cm (para baixo) 
 
Engenharia Civil Hiperestática Lista 1 Método da Carga Unitária 
www.profwillian.com 10 Anhanguera-Uniderp 
9) Calcule o deslocamento vertical da extremidade (nó C) da viga biapoiada vista na 
figura abaixo. Considere a viga trabalhando fundamentalmente à flexão com inércia 
EI = 11250 kN.m2. 
 
B A 
6 kN/m 
4m 1m 
C 
 
Solução: 
 
B A 
6 kN/m 
4m 1m 
C 
VA VB 
HA 
 
B A 
4m 1m 
C 
VA VB 
HA 
1 
 
 
Reações de apoio para o carregamento original 
0Mz , ou seja, tomando um eixo z que passa pelo ponto B temos: 
kN25,11V05,1)56(4V AA 
0Fy , temos: 
kN75,18V0)56(VV BBA 
 
Tomando a origem de x em A, as equações de esforços nos trechos AB e BC serão: 
2
BCBABC
2
ABAAB
x3x3075)x(M)4x(V
2
xx6xV)x(M
x3x25,11)x(M
2
xx6xV)x(M
 
 
 
Procedendo de maneira análoga para a carga unitária, temos as seguintes equações de esforços: 
5x)x(M)4x(VxV)x(M
x
4
1)x(MxV)x(M
BCBABC
ABAAB
 
Assim o deslocamento em C: 
m001,0
11250
25,11
EI
25,11
25,1175,012dx5xx3x3075dxx
4
1x3x25,11EI
C
5
4
2
4
0
2
C
 
 
Resposta: Deslocamento vertical do nó C é =1,00 mm (para cima) 
 
Engenharia Civil Hiperestática Lista 1 Método da Carga Unitária 
www.profwillian.com 11 Anhanguera-Uniderp 
10) Calcule o deslocamento vertical do nó B do quadro isostático visto na figura 
abaixo. Considere o quadro trabalhando fundamentalmente à flexão com inércia 
constante nas duas barras EI = 135500 kN.m2. 
 
B 
A 
C 
6 m 
8 kN 
4 m 
1 kN 
 
Solução: 
B 
A 
C 
6 m 
8 kN 
4 m 
1 kN 
 
B 
A 
C 
6 m 
1 
4 m 
 
Equações de momentos para o carregamento original 
 
Barra BC origem do eixo x em B 
m6x0x8)x(MBC 
 
Barra AC origem do eixo x em C 
m4x0x148)x(MBD 
Equações de momentos para a carga unitária 
 
Barra BC origem do eixo x em B 
m6x0x)x(MBD 
 
Barra AC origem do eixo x em C 
m4x06)x(MBD 
 
 
m0124,0
135500
1680
EI
1680
1355dx6x48dxxx8MMEI
VB
4
0
6
0
VB
 
 
 
Resposta: Deslocamento vertical do nó B é VB=1,24 cm (para baixo) 
 
Engenharia Civil Hiperestática Lista 1 Método da Carga Unitária 
www.profwillian.com 12 Anhanguera-Uniderp 
11) Calcule os deslocamentos horizontal e vertical do nó B do quadro isostático 
representado pela figura abaixo. Considere o quadro trabalhando basicamente à 
flexão com inércia EI = 80000 kN.m2. 
 
B 
A 
C D 
12 kN/m 
5 m 
2 m 
20 kN 
2 m 
 
Solução: 
 
B 
A 
C D 
12 kN/m 
5 m 
2 m 
20 kN 
2 m 
 
 
B 
A 
C D 
5 m 
2 m 
2 m 1 
 
Equações de momentos para o carregamento original 
 
Barra BD origem do eixo x em B 
m2x0x20)x(MBD 
 
Barra CD origem do eixo x em D 
m5x040x6)x(M 2BD 
 
Barra AC origem do eixo x em C 
m4x0x20190)x(MBD 
Equações de momentos para a carga unitária 
 
Barra BD origem do eixo x em B 
m2x0x)x(MBD 
 
Barra CD origem do eixo x em D 
m5x02)x(MBD 
 
Barra AC origem do eixo x em C 
m4x02x)x(MBD 
 
m01325,0
80000
1060
EI
1060
1060dx2xx20190dx240x6dxxx20MMEI
HB
4
0
5
0
2
2
0
HB
 
Deslocamento horizontal do nó B = 0,01325 m. 
 
Resposta: Deslocamento horizontal do nó B é =13,3 mm (para esquerda) 
 
Engenharia Civil Hiperestática Lista 1 Método da Carga Unitária 
www.profwillian.com 13 Anhanguera-Uniderp 
12) Calcule o deslocamento horizontal do apoio B do pórtico hiperestático 
representado pela figura abaixo. Considere as barras 1 e 3 de inércia EI=20000 kN.m2 
e a barra 2 de inércia 4EI, todas trabalhando fundamentalmente à flexão. 
1 
2 
B 
A 
C D 
5 m 
3 
8 kN 
 
Solução: 
B 
A 
C D 
8 kN 
1,6 kN 
1,6 kN 
8 kN 
 
B 
A 
C D 
1 
0,20,2 
1 
 
Equações de momentos para o carregamento original 
 
Barra BD origem do eixo x em B 
m3x0x8)x(MBD 
 
Barra CD origem do eixo x em D 
m5x0x6,124)x(MCD 
 
Barra AC origem do eixo x em A 
m4x0x8)x(MAC 
Equações de momentos para a carga unitária 
 
Barra BD origem do eixo x em B 
m3x0x)x(MBD 
 
Barra CD origem do eixo x em D 
m5x0x2,03)x(MCD 
 
Barra AC origem do eixo x em A 
m4x0x)x(MAC 
 
m0183,0
20000
366
EI
366dx
EI
)x(8dx
EI4
x2,038dx
EI
)x(8
dx
EI
xx8dx
EI4
x2,036,124dx
EI
xx8
EI
MM
HB
4
0
25
0
23
0
2
HB
4
0
5
0
3
0
HB
 
 
Resposta: Deslocamento horizontal do nó B é =18,3 mm (para esquerda)