Introdução à Probabilidade

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PROBABILIDADE
Introdução
O cálculo das probabilidades pertence ao campo da Matemática, entretanto a maioria dos fenômenos de que trata a Estatística são de natureza aleatória ou probabilística. O conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo das probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística Indutiva ou Inferencial.
Experimento
Todo o processo de realizar observações e obter dados é denominado experimento.
Experimentos Determinísticos: são aqueles cujos resultados podem ser determinados antes de sua realização.
Ex.: Quanto tempo levará um carro para percorrer um trajeto de 200 km numa velocidade média de 100 km/h?
Não é necessário executar o experimento para determinar a resposta de 2 horas.
Experimentos Estocásticos ou Aleatórios: em quase todas as observações, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso.
Assim, da afirmação “é provável que o meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar: 
a. que, apesar do favoritismo, ele perca; 
b. que, como pensamos, ele ganhe;
c. que empate.
São	fenômenos	que,	mesmo	repetidos	várias	vezes	sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. O resultado final depende do acaso.
Espaço Amostral (S): o conjunto universo ou o conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório.
No experimento aleatório "lançamento de uma moeda”:S =
No experimento aleatório "lançamento de um dado”: S =
No experimento aleatório "dois lançamentos sucessivos de uma moeda”: S =
Obs.: cada elemento do espaço amostral que corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral. No primeiro exemplo: cara é um ponto amostral pois pertence ao espaço amostral {cara, coroa}.
Exercício: Determinar o espaço amostral relativo ao experimento:
Três lançamentos consecutivos de uma moeda comum.
Eventos
É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. S é o espaço amostral e E é o evento.
Assim, qualquer que seja E, se E  S (E está contido em S), então E é um evento de S.
TIPOS DE EVENTOS
EVENTO CERTO: é aquele que ocorre com certeza, ou seja, é o próprio espaço amostral.
EVENTO IMPOSSÍVEL: é aquele que nunca ocorre, ou seja, é o subconjunto vazio do espaço amostral
EVENTO ELEMENTAR: é o que só tem um elemento.
 EVENTO MUTUAMENTE EXCLUSIVO: são aqueles cuja ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro.
EVENTO UNIÃO: Sendo A e B eventos, então A  B ocorre se, e somente se, A ou B (ou ambos) ocorrem.
 EVENTO INTERSECÇÃO: Sendo A e B eventos, então A  B ocorre se, e somente se, A e B ocorrem simultaneamente.
EVENTOS COMPLEMENTARES: São dois eventos A eA tais que: A  A = E e A  A = 
Ex: No lançamento de um dado, onde S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, temos:
a) “um número par na face superior”.
A ={2, 4, 6} ⊂ S; logo, A é um evento de S
b) “um número menor ou igual a 6 na face superior”.
B={ 1, 2, 3, 4, 5, 6} ⊂ S; logo, B é um evento certo de S(B =S) c) “ o número 4 na face superior”.
C= {4} ⊂ S; logo, C é um evento elementar de S d) “ um número maior que 6 na face superior”.
D = ∅ ⊂ S; logo, D é um evento impossível de S.
Um evento é sempre definido por uma sentença.
Conceito de Probabilidade
Chamamos de probabilidade de um evento E (sendo que E está contido no Espaço amostral) o número real P(E), tal que: número de casos favoráveis de E / número total de casos.
P(E)= nº de casos favoráveis a E n total de casos possíveis
Exemplos:
1- No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de obter cara em um evento E?
2- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número par em um evento A?
3- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número menor ou igual a 6 em um evento E?
4- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número maior que 6 em um evento A?
OBSERVAÇÕES:
I) P() = 0 ou P() = 0%
II) 0 ≤ P(A) ≤ 1 ou 0% ≤ P(A) ≤ 100% III) P(E) = 1 ou P(E) = 100%
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PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR
Sejam A e A eventos do mesmo espaço amostral E. Se A é o evento complementar de A, então:
P(A) + P ( A ) = 1
P ( A)= 1 – P(A)
Veja que a probabilidade de não correr o evento A é igual a 1 menos a probabilidade de acorrer o evento A.
p + q = 1
q = 1 – p
A probabilidade de tirar o número 1 num lançamento de um dado é de 1/6, o evento complementar é 5/6.
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS
Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral E, então: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
OBS.: Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, ou seja, A  B = 0, então P(A  B) = P(A) + P(B).