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Livro_Geometria_Analitica

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CAPIIULO
1
VETORES
1.1 Reta Orientada - Eixo
Uma reta r é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo
e indicado por uma seta (Fig. 1.1).
Figura 1.1
o sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada eixo.
1.2 Segmento Orientado
Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado
origem do segmento, o segundo chamado extremidade.
O segmento orientado de origem A e extremidade B será .representado por AB e, geome·
tricamente, indicado por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento (Fig. 1.2-a).
11
-
-
Figura 1.2-a
I
2 GeometnaanaJÚka
1.2.1 Segmento Nulo
Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem.
1.2.2 Segmentos Opostos
Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposro de AR
1.2.3 Medida de um Segmento
Fixada uma unid~de de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um
número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A medida
do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento
AB é indicado por AR
Assim, o comprimento do segmento AB representado na Figura 1.2-b é de 5 unidades
de comprimento:
AB = 5 U.c.
Figura 1.2-b
Observações
a) Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero.
b) AB = BA.
1.2.4 Direção o Sentido
Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes
desses segmentos são paralelas (Figs. 1.200 e 1.2-(1):
•
n li
I'iJun I 1-<:
ou colncidenlCS (Figo. I .Z-<: oi .2-f);
•
•
,
"
"
-
c
Ap" 1.1<0
•
"
• ) Só .. pode oomparu "" .."tido. d. doi. "l7I'C'nl"" orientodo. $e oit. têm me""" di..çl:o.
h) Doi, ..,gmentos orientado. "p,mo. têm ..ohd", conu',;,;,•.
1.3 Segmento. Equ;polentes
Doi. ><pnenl<» orio01Od"" AR • CO do ~uipok~t•• G""ndo 10m' m",m. di,.çjo. "
m."oo >cotido O" ",..mo comprimenlo (Fill" 1.3.... 1.3-0).
Se o. '"8""'"10' AR e CD oio reneocem à nlO""" MI. FilI_ 1.3-0. pu. que AR ..j.I
equipoleote • CO ! n«",ar., qu< AR/ICD e AC/BD, "to <i, ARCD de.. "", um pOI.I'Ios"""'_
f'iIu" l.h F..... I.J~
4 Geometria ana/ftica
Observações
a) Dois segmentos nulos são sempre equipolentes.
b) A equipolência dos segmentos AB e CO é representada por
AB-CO
1.3.1 Propriedades da Equipolência
I) AB - AB (reflexiva).
11) Se AB -CO, CO - AB (simétrica).
1II) Se AB -CO e CO -EF, AB -EF (transitiva).
IV) Oado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto O tal que
AB-CO.
1.4 Vetor
Vetor determinado por um segmento orientado AR é o conjunto de todos o~ segmentos
orientados equipolentes a AB (Fig. ) .4-a).
Figura 1...·a
Se indicarmos com -: esOte conjunto, simbolicamente poderemos escrever:
-v = {XY/XY-AB}
onde XV é um segmento qualquer do conjunto.
-+ -O vetor determinado por AB é indicado por AB ou B - A ou v.
Vetores 5
1
J
---+ ---+ --+-+
o vetor BA é o oposto de AB e se indica por -AB ou por -v.
-> -.
Um vetor v é unitário se 1v 1 ~ I.
-.
Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido
-.
de v.
Dado um vetor -: ~ AB,
-Um mesmo vetor AB é determinado por uma infmidade de segmentos orientados,
chamados representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Assim, um segm
ento
determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo
vetor. Portanto, com origem em cada ponto do espaço, podemos visualizar um represent
ante
de um vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todo
s os
infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de repre
sen-
tantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um represent
ante
de um só vetor. Conseqüentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto
que imaginamos.
~ -Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se, AB -CD.
-.
As características de um vetor v são as mesmas de qualquer um de seus representantes,
isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, a direção e o sentido de qualq
uer
um de seus representantes.
Omódulo de -: se indica por 111.
1.4.5 Ve..or
Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam wn único vetor, chamado
-.
vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado por O.
1.4.1 Vetores Iguais
1.4.4 Vetor Unitário
1.4.2 Vetor Nulo
1.4.3 Vetores Opostos
6 GeometriQ aftQ/{ticQ
....
Por exemplo, tomemos um vetor v de módulo 3 (Fig. l.4-b).
-+ -+
Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras:
.... -+
U e v são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou
a retas paralelas (Fig. I .4-c).
da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo I. No entanto,
-+ -+
direção e o mesmo sentido de v. Portanto, este é o versor de v.
Figun 1.4·b
1.4.6 Vetores Colineares
•
•
• •. ... .
~,
, I
, ... I
,~
.... ....Os vetores UI e Uz
-+
apenas UI tem a mesma
Figura 1.4-c
1.4.7 Vetores Coplanares
.... -+ -+Se os vetores não nulos u. v e w (o número de vetores não importa) possuem represen-
tantes AB. CD e EF pertencentes a um mesmo plano Tr (Fig. 1.4-d). diz-se que eles são
coplanares.
...
.
__...:'~-----~
-~, /'
Figura 1.4-d
1T
Vetores 7
... ...
Guardemos bem o seguinte: dois vetores u e v quaisquer são sempre coplllnares, pois
podemos sempre tomar um ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes
......de u e v pertencendo a um plano 1f que passa por este ponto.
Três ,etores poderão ou não ser coplanares (Figs. IA.., e 1.4-1).
...... ...
U , v e w são coplanares
Figura I.H
1.5 Operações com Vetores
1.5.1 Adição de Vetores
...... ...
u , v e w não são coplanares
Figura 1.4·(
......
Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e BC (Fig. 1.5·a).
B
...
u
...
v
Os pontos A e
-+- -+-+-+
V I isto é, s ::: U + v .
A ..------...::------ti~C
s
Figura 1.5-a
... ...
C determinam um vetor s que é, por definição, a soma dos vetores u e
8 Geometrio OTU1Ut;CO
1.5.1.1 Propriedades da adição
I)
lI)
111)
-+ -+ -+ -+
Comutativa: u + v = v + u
-+-+--+-+-+
Associativa: (u +v) +w =u +(v +w)
-+ -+
Existe um s6vetor nulo Q tal que para todo o vetor v se tem;
-+ -+ -+ -+ -+
v+Q=Q+v=v
-+ -+ -+
IV) Qualquer que seja o vetor v, existe um só vetor -v (vetor oposto de v) tal que
-+ -+ -+ -+ -+
V +(-v)=-v +v =0.
1.5.2 Diferença de Vetores
Chama-se
.... -+
U +(-v).
-+ -+ -+ -+ -+
dIferença de dois vetores li e v. e se representa por d:::: li - v. ao vetor
-+ -+
Dados dois vetores li e v. representados pelos segmentos orientados AB e AC, respec-
tivamente, e construído o paralelogramo ABOC (Fig. 1.5-b e Fig. 1.5-c), verifica-se que a soma
-+ -+ -+
S = U + v é representada pelo segmento orientado AD (uma das diagonais) e que a diferença
-+ -+ -+d = u - v é representada pelo segmento orientado CB (a outra diagonal).
A
B
Figura 1.5·b
c
D
A
B
Figura I.S·e
1.5.3 Multiplicação por um Número Real
-+ -+
Dado um vetor v * O e um número real k * O, chama-se produto do numero real k pelo
-+ -+-+
vetor v o vetor p :::: kv, tal que:
a) módulo:
b) direção:
c) sentido:
-+ -+ ....Ip I = Ikv I = Ik Ilv I;
-+
a mesma de v;
-+ ....
o mesmo de v se k > O, e contrário ao de v se k < O (Fig. 1.5-<1).
Vetores 9
Figun I.S-d
Observações
-> ->
->a) Se k = O ou v = O, o produto é o vetor O.
-> ->->b) Seja um vetor kv, com v*,O. Se fizermos comque o número real k percorra o conjunto R
dos reais, obteremos todos os infinitos vetores colineares a -:, e, portanto, colineares ent;e-