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Livro_Geometria_Analitica

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si, isto é, qualquer um deles é sempre múltiplo escalar (real) do outro. Reciprocamente, dados~ -+ ~ ~dois vetores u e v, colineares, sempre existe k E R tal que u = kv. A Figura 1.5-e mostra
~ 2~ -+ 5-+um exemplo desta última afirmação (u = -5 v ou·v = -2 u).
...
u
-
-
...
,
-
Figura 1.5-e
->C) O versar de um vetor v *- O é o vetor unitário
fato ele é unitário, pois:
-> I-; I '''-1lu I = 1-;1 = I:i = I
-> 1->
u =~ v
Ivl
->
-> V .
ou u = =-1 (Flg. 1.5-l). De
vi
..
_--..-----------......v••
->
u •
Figura I.S·(
-+ -+ -+
-+Daí, conclui·se que v = Iv lu, isto é, o vetor v é o produto de seu módulo pelo vetor unitário
->de mesma direção e mesmo sentido de v_
10 Geometria analftico
1.5.3.1 Propriedades da multiplicação por um número reei
-+ -+Se u e v são vetores quaisquer e a e b números reais, temos:
-+ -+I) a(bv)=(ab)v
-+ -+ -+[I) (a+b)v =av +bv
........ .... ....
fiI) a(u +v) = au +av
-+ -+[V) [v=v
1.6 Problemas Resolvidos
(associativa)
(distributiva em relação à adição de escalares)
(distributiva em relação à adição de vetores)
(identidade)
........ ....
.... .... I .... -..
1) Dados os vetores u, v e w, de acordo com a figura, construir o vetor 2u - 3v +'2w = s.
-+
V
-+
u Solução:
---+ ---.
2) O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD, sendo M e N pontos
médios dos lados De e AB, respectivamente. Completar convenientemente:
---+ ---+
a) AD + AB = o •••••••
---+ ---.
b) BA + DA = ....•••...••.....•
---+ ---+
c) AC - BC = ...........•......
d)AN+Bê= .
---+ ---.
e) MD +MB =.......•..........
---+ 1---+
f) BM -2"DC = .....•..........
N
M
B
Vetores JJ
Solução
-+
a) AC
~ -+- ~ -+- ---+
b) BA + DA =CD + DA = CA
~ ~ ~ --+ ---+
c) AC - BC =AC + CB =AB
---+ ---+ ----+ ~ ~
d) AN + BC = AN + NM = AM
~---+~~~
e) MD + MB = MD + DN = MN
--+ I --+ --+ ---+ ---+-fJ BM - TDC =BM + MD = BD
Observação
-+ -+
Sabe-se que dois vetores quaisquer v I e v2, não colineares. são sempre coplanares. Co
mo
-+ -+ -+
-+ -+-+
alv 1 tem a direção de VI e a2v2 a direção de V2. o vetor
a 1 vl +a2v2 será sempre um
-+ -+
vetor representado no mesmo plano de v I e V2. sejam quais forem os reais ai e a2 (Fig. l.6-a)
Figura J.6-a
-+ -+
Reciprocamente. qualquer vetor representado no plano de VI e V2 será do ti
po
-+ -+
31Vl +a2v2. para a) e a2 reais.
-+
Vamos acrescentar a estes dois vetores um terceiro vetor VJ. Então. pode ocorrer u
ma
das situaçQes:
-+ -+ -+
a) o vetor V3 está representado no mesmo plano de v I e V2
-+ -+ -+
Neste caso. como o vetor ai VI + 32V2 está no plano de VI
-+ -+ -+
deste plano. o vetor a) VI + a2v2 + aJvJ estará representado no
b) o vetor -:3 não está representado no mesmo plano de V; e ~.
-+
e V2 e sendo
mesmo plano
-+
a3V3 também
-+ -+
de v 1 e VI;
12 Geometria anal/tica
-+ -+
-+ -+
Neste caso, a soma-do vetor 31Vl +a2v2 (que está n
o plano de VI e V2) com o vetor
-+ -+ -+
-+
e
a3v3, isto é, 31Vl +a2v2 +33V3, será um
vetor do espaço, conforme mostra aFigura
1.6·b.
-+ -+ -+
alvl + a2Y2 + a3v3
-+
V
..
A
Figura l.7-b
-+ -+
,'" alYl + 32Y2
",,
o
-+
U
•
Figura 1.7·a
-+ -+
O ângulo de dois vetores u e v não nulos (Fig. 1.7-a) é
o ângulo 8 formado pelas semi-
retas OA e 08 (Fig. 1.7-b) e tal que O,," 8 "",,.
Figura 1.6-b
Observações
-+ -+
a) Se () = n, U e v têm a mesma direção e sentidos contrár
ios.
1.7 Ângulo de Dois Vetores
Vetores 13
... ...
b)SeO;O, u e v têm mesma direção e mesmo sentido.
... ...
u v
• ~ loO-O
c) Se O;!!.
... ...
são ortogonais (Fig. 1.7-c) e indica·se:
......
2 ' u e
v u lv.
A
Figura l.7-c
Neste caso, o ""ORe permite escrever:
I;;' +-: 12 ; \;;'1 2 + 1-:1 2
d) O velar nulo é considerado ortogonal a qualquer velar.
-+ -+ -
+-+
e) Se u é ortogonal a vem é um número real qualquer, u é ortogonal a mv.
-+ -+ -+ -+
f) O ângulo formado pelos vetores u e -v é o suplemento do ângulo de u e v .
...
..__----:101
...
-v
'.8 Problemas Propostos
lo
...
v
......
1) Dados os vetores u e v da figura, mostrar, num gráfico, um representante do vetor:
......
a) u - v
......
b) v - u
......
c) -v - 2u
......
d) 2u - 3v
/
•
14 Geometria atullftica
.........
2) Dados os vetores a. b e c. como na figura, apresentar um representante de cada um dos
vetores:
... ...-+
a) 4a - 2b - c
-+ ... -+
b)a+b+c
-+ -+ -+
c) 2b -(a +c)
-+
c
•
... -+
3) Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 600 • determinar o ângulo formado pelos
vetores:
-+ ...
a) u e -v
-+ ...
b) -u e v
... -+
c) -u e -v
-+ ...
ti) 20 e 3v
1.8.1 Resposta dos Problemas Propostos
3) a) 120'
b) 1200
c) 600
ti) 600
,
I
,
CAPfTULO
2
VETORES NO 1R2 E NO 1R3
No Capítulo I, estudamos os vetores do ponto de vista geométrico e, no caso, eles eram
representados por um segmento de reta orientado. No presente capítulo, vamos mostrar uma
outra forma de representá-los: os segmentos orientados estarão relacionados com os sistemas de
eixos cartesianos do plano e do espaço.
2.1 Decomposição de um Vetor no Plano
d d · -+ -+ - l' 1 -+ ('- -+ -+)Da os OlS vetores v 1 e v 2, nao co meares, qua quer vetor v ropUlnar com v 1 e v 1
-+ -+
pode ser decomposto segundo as direções de v I e v2' O problema consiste em determinar
-+ -+ -+
dois vetores cujas direções sejam as de v 1 e v2 e cuja soma seja v. Em outras palavras. iremos
determinar dois números reais 31 e 32 tais que:
Exemplos
I) -+ -+ -+Dados os vetores VI e V2 não eolincares e v (arbitrário), a figura mostra como é possível
-+ -+
fannar um paraJelogramo em que os lados são determinados pelos vetores aJ VI e a2 V2 e,
-+
portanto, a soma deles é o vetor v, que corresponde à diagonal desse paralelogramo:
15
16 Geometria analitica
...
v,
•
...
a2 v'l
fr---- --- -- ----
, ""
, • I
, I
I
I
I
I
I,
"::"--...~ - - - - - ---:
VI ai VI
2) ... ... ...Na figura seguinte os vetores VI e V2 são mantidos e consideramos um outro vetor v:
Á-----------.,
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I,
;------------
Para esta figura, tem·se: a, >O e a, < O.
3) Se, no caso
...
VI' como na
igual a zero:
... ... ...
particular. o vetor v tiver a mesma direção de v I ou de v'2. digamos de
...
figura, v não pode ser diagonal do paralelogramo e, portanto, a, deve ser
","1_'_~...~.. .... ...
VI V ·3I VI
Quando o vetor -: estiver representado-por:
(2.1)
-+ -+ -+ -+ -+
dizemos que v é combinação linear de v 1 e V'2. O par de vetores v 1 e v'2. não coli·
......
neares, é chamado base no plano. Aliás, qualquer conjunto {v" v,} de vetores não colj·
neares constitui urna base no plano. Os números ai e 32 da representação (2.1) são
Vetores no R 1 e no R' 17
....
.... .... } .chamados componentes ou coordenadas de v em relação à base {v" v, . E bom logo
esclarecer que, embora estejamos simbolizando a base como um conjunto, nós a pensamos
....
.... ....como um conjunto ordenado. O vetor a, v, é chamado projeção de v sobre v, segundo
-i>
-+
-+-+a direção de V2. Do mesmo modo, 32 V2 é a projeção de v sobre V2 segundo a direção....
de v, (Fig.2.1-a).
....
v
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
Figura 2.1·a
Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais.
.... ....Uma base {e 1 I e'2} é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários, isto-+-+
-I> -+é, e,le, e le, 1= le,l =I.
........Na Figura 2.J-b consideramos uma base ortonormal {e"e,} no planoxOy e um
-+
-+ - -+vetor v com componentes 3 e 2, respectivamente, isto é, v = 3e I + 2e2'
L
.... -2e2 ~
\
\
\
....
.,