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Livro_Geometria_Analitica

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y
o
Figura 2.I·b
\
\
\
\
\
\
\
\
\
,.r ....
3. ,
x
J 8 Geometria analftia
.... ....
No caso de uma base ortonormal como esta, os vetores 3e 1 e 2e 2. são projeções 0"0·
.... .... ....
gonais de v sobre el e e2.,respectivarnente.
Existem naturalmente infinitas bases ortonormais no plano xOy, porém uma delas é parti-
culannente importante. Trata-se da base ronnada pelos vetores representados por segmentos
orientados com origem em O e extremidade nos pontos (1,0) e (0,1). Estes vetores são sirnboli-
-+ -+ -+-+
zados com i e j e a base {i,j} é chamada canônica (Fig.2.1-c)_
y
(O, I)
....
j
(I, O)
o ....i
x
Figura 2.1-e
Em nosso estudo, a menos que haja referência em contrário, trataremos somente da base
canônica.
--+-+ -+
Dado um vetor v = xi + yj (Fig. 2.1-d) no qual x e y são as componentes de v em
--+ -+ ~ -+
relação à base {i,j }, o vetor xi é a projeção ortogonal de v sobre i (ou sobre o eixo dos x)
.... .... ....
e yj é a projeção ortogonal de v sobre j (ou sobre o eixo dos y). Como a projeção sempre
será ortogonal, diremos somente projeção.
y
....
yj
....
j
....
xi
....
i
--~~~-----t_---o- x
O
Figun 2.1-<1
VetoresnoR 1 enoR 1 19
2.2 Expressão Analítica de um Vetor
,.. -+
Ora, fixada a base {i, j }, fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre os
vetores do plano e os pares ordenados (x,y) de números reais. Nestas condições, a cada vetor
-+
V do plano pode·se associar um par (x,y) de números reais que são suas componentes na base
dada, razão porque define-se:
vetor no plano é um par ordenado (x, y) de números reais e se representa por:
-+
V = (x, y)
-+
que é a expressão analitica de v.
A primeira componente x é chamada abscissa e a segunda, ordenada. Por exemplo, em
-+ -+ -+
vez de escrever v = 3; - 5j, pode·se escrever -: = (3, - 5). Assim também,
-+ -+
-i+j =(-1,1)
-+3j = (0,;3)
-+ •
-lOi = (-10,0)
-+ .... -+
e, particularmente, i = (J, O), J = (O, I) e O = (O, O).
Observação
-+ -+
Deve ter ficado claro que a escolha proposital da base {i, j} deve-se à simplificação.
Assim, para exemplificar, quando nos referimos a um ponto P(x, y), ele pode ser identificado
~::::":t-+-+
com o vetor v = OI' = xi + yj, sendo O a origem do sistema (Fig. 2.2).
x
Figun 2.2
Desta forma, o plano pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto
de vetores.
20 Geometria analftica
2.3 Igualdade e Operações
2.3.1 Igualdade
.... ....
Dois vetores U =(XI,YI) e v =(X1,Y2) são iguais se,e somente se, Xl =X2 e YI =Y2,e
........
eScreve·se u = v .
Exemplos
I)
2)
.... ....
Os velores u = (3, 5) e v = (3, 5) são iguais.
.... ....
Se o velor u = (x + 1,4) é igual ao velor v = (5, 2y - 6), de acordo com a definição de
........
igualdade dos velores, x + 1 = 5 e 2y - 6 = 4 ou x = 4 e y = 5. Assim, se u = v, enlão
x = 4 e y = 5.
2.3.2 Operações
.... ....
Sejam os velores u = (x"y,) e v = (lO, ,y,) e a E IR. Define·se;
........
a) u +v =(x, +x"y, +y,)
....
b) au = (ax" ay,)
Portanto, para somar dois vetores, somam·se as suas coordenadas correspondentes, e para
multipiicar um vetor por um número, multiplica·se cada componente do vetor por este número.
Exemplo
A Figura 23-a mostra, geometricamente, que
....
e a Figura 2.3·b que 2u = 2 (4, 1) = (8, 2).
Dados os vetores -+ -+ -+-+ -+U =(4,1) e v =(2,6), calcular u +v e 2u.
........
u + v = (4, 1) + (2, 6) = (4 + 2, 1+ 6) = (6, 7),
Figura 2.3-a
Vetores no R 1 e no R,' 21
y
.... -+-+-+
6w - 2w = v - 4u
-+ -+ 4 -+-6w. +4u v + 2w
4 4 14 4 -+
na igualdade 3w + 2u ="2v + w, sendo dados u = (3, -1) e
44 ~
para quaisquer vetores u. v e w, tem·se
.... ....
para quaisquer vetores u e v e os números reais a e b. tem-se
.... ....
a(bv) = (ab)v
.... .... ....(a + b)u = au + bu
-+ 4 4 4
a(u + v) = au + av
........
Iv = v
-+- 4 -+- -+
u+v=v+u
4-+ 44 ~(u +v)+w=u +(v+w)
............
u + 0= u
.... .... ....
u +(-u)=O
....
Determinar o vetor w
....
v = (-2, 4).
.... .... ....
4w = v - 4u
F.... 2.3-b
-+ -+ 1-+ -+
Esta equação 3w + 2u ="2v + w pode ser resolvida como uma equação numérica:
8
As definições acima e as operações algébricas dos números reais permitem demonstrar as
propriedades citadas em 1.5:
1)
b)
2.3.3 Problemas Resolvidos
a)
Solução
27. Geometria anolidco"
......
Substituindo u e v na equação, vem
... 1
w ="4(-2,4)-(3,-1)
... 1
w = (-2,1)-(3,-1)
; = (-~+(-3),1 +(+1))
2) Encontrar os números a1 e 32 tais que
~ --+ -+ -+ -+
W = a,u +a,v, sendo u =(1,2), v =(4,-2) e w = (-1,8).
Solução
Substituindo os vetores na.igualdade acima. temos:
(-1,8) = a. (1,2) + a,(4, -2)
(-I,8)=(a,,2a.)+(4a,,-2a,)
(-I,8)=(a, +4a,,2a. -2a,)
Da condição de igualdade de dois vetores, conclui-se que:
a. +4a, =-1
2a.-2a,=8
.........
sistema de solução 31 =3 e 3'1 =-1. Logo, w =3v 1 -V2_
2.4 Vetor Definido por Dois Pontos
Inúmeras vezes um vetor é representado por um segmento orientado que não parte da origem
....
do sistema. Consideremos o vetor AB de origem no ponto A(Xl ,Y I) e extremidade em B(Xl,y2)
(Fig.2.4·a).
Vetores no IP e no IP 23
-+ -+
De acordo com o que foi visto em 2.2, os vetores DA e OB têm expressões analíticas:
-- --+OA=(x"y,) e OB=(x"y,).
Por outro lado, do triângulo OAB da figura, vem:
-+ -- --OA + AB = OB
donde y
-+ --+ -+
AB OB OA A
ou:
--+ BAB (x, ,y,) - (x, ,y.)
e: O x
--AR (x,-x"y,-y,) Fisma 2.4-a
isto é, as componentes de
coordenadas da origem A,
--+
AB são obtidas subtraindo·se das coordenadas da extremidade
--razão pela qual também se escreve AB = B - A.
B as
. -+
E importante assinalar que as componentes do vetor AB, calculadas por meio de B-A, são
sempre as mesmas componentes do representante DP com origem no início do sistema. Este
detalhe fica claro na Figura 2.4·b onde os segmentos orientados equipolentes AB, CO e DP
representam o mesmo vetor (3,1).
--AR = B-A = (I ,4) - (-2,3) = (3,1)
--CD = D-C = (4,3) - (1,2) = (3,1)
B li. 4).--
,
I D (4 )1
-----3 --T~I::~t)-----: .
__ _. I
I
, ,
I : '().l~
, ,
,
",.. \:"1..
-_"2---+--0;;t=~---+--t3-~'--- X
Figun 2.4·b
24 Geometria anaf(rica
2.4.1 Problema Resolvido
3) Dados os pontos A(-1,2), B(3,-I) e C(-2, 4), determinar D(x,y) de modo que
- 1--->CD="2 AB .
Solução
-CO =D-C=(x,y)-(-2,4)=(x+(+2),y+(-4)) = (x+2,y-4)
AB=B-A=(3,-I)-(-1,2)= (3+(+1),-1+(-2)) = (4,-3)
logo:
I(x + 2, y - 4) ="2 (4, -3)
3(x +2, y - 4) = (2, -"2)
Pela condição de igualdade de dois vetores:
x+2=2
5
sistema cuja solução é x =O e y ="2'
Por conseguinte:
2.5 Decomposição no Espaço
Todo o estudo de vetores feito até aqui, no plano, pode ser realizado no espaço de forma
análoga, consideradas as adequações necessárias .
... ...
No plano. qualquer conjunto {VI. V2} de dois vetores, não colineares, é uma base e,
...
portanto, todo vetor y deste plano é combinação linear dos vetores da base, isto é, sempre
Vetores no lR~ e no I{J 25
... ... ...
existem os números aI e a2 reais tais que v = ai v1 + a, V2' No espaço, qualquer conjunto
.........{v·l • V2. V3} de três vetores não coplanares é uma base e, de fonna análoga. demonstra-se que
...
todo vetor v do espaço é combinação linear dos vetores da base, isto é. sempre existem números
reais 31,32 e a3 tais que:
-+~ -+-+
V =alvl +32V2 +a3v)
...
onde ai, 32 e 3) são as componentes de v em relação à base considerada.
Uma base no espaço é ortonormal se os três vetores forem unitários e dois a dois, ortogonais.
Por analogia ao que fizemos no plano, dentre as infinitas bases ortononnais existentes, escolhe·
...... ->
remos para nosso estudo a base canônica representada por {i, j , k }. Consideremos