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Livro_Geometria_Analitica

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um vetor:
~ -lo
y'u.u=lul
Elevando ambos os membros ao quadrado, vem:
3.3.1 Problemas Resolvidos
Solução
-lo -lo -lo -lo -lo'" -lo -to -lo -lo -lo -lo
lu +vl' =(u +v).(u +v)=u .(u +v)+v .(u +v)
-1> -lo -lo -lo -lo -l> -lo -lo -lo -lo
lu + v 12 :::: U . u + u . v + v . u + v v
-lo -lo -lo -lo -lo -lo
lu +v I' = lu 1'+2u.v + Ivl'
44 Ceam."'" IIM!ftia
Observação
De forma análop demonstra-se que:
Solução
-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+(u +v).(u -v)=u .(u -v)+v .(u -v)
-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+(u +v).(u -v)=u.u -u.v +V.u -v.v
(Ir +-;) . (ir _-;) = 1;1' _,-;"
3.4 Ângulo de Dois Vlltores
-+ -+Já vimos em 1.7 que o ângulo 6 entre dois vetores não nulos u e v varia de O· a 180°.
Vamos mostrar que o produto escalar de dois vetores está relacionado com o ângulo por eles
-+ -+ -+ -+ -+ -+
formado. Se u '* O, v '* O e se 6 é o ângulo dos vetores u e v. então:
-+ -+ -+ -+
u.v=lullvloos6
Com efeito:
aplicando a lei dos co-senos ao triângulo ABC da Fig. 3.4, temos:
c
A~_......_-----+:--..... B
v
FÍ!l"ra 3.4
(1)
ProdutOI de "'e/oreI 45
Por outro lado, de acordo com as propriedades 11, III e V do produto escalar (ver Problemas 4 e 5,
Item 3.3.1):
'I
-+-+ -+ -+,"''''lu -vl'=lul'+lvl -2u. v
Comparando as igualdades (2) e (I):
logo:
-+ -+ -+ -+
u.v =Iullvl cos8
(2)
(3.4-1)
Conclusão: OprodutoescaIar de dois vetores
do ângulo por eles formado.
Observações
......
u e v ~ o produto dos seus módulos pelo co-seno
......
a) Se u. v > O, de acordo com a Fórmula 3.4-1, cos 8 deve ser um número positivo,
isto é, cos 8 > O, o que implica fi' .;; 8 < 90°. Nesse caso, 8 é ângulo agudo ou nulo:
......
b) Se u. v < O, de acordo com a Fórmula 3.4-1, cos 8 deve ser um número negativo,
isto ~, cos 8 <O, o que implica 90° < 8" 180°. Nesse caso, 8 ~ ângulo obtuso ou raso:
46 Geometria afIQJ(ôca
........
c) Se u. v = O, de acordo com a Fórmula 3.4-1, cos 8 deve ser igual a zero, isto é,
cos 8 = O, o que implica 8 = 90°. Nesse caso, 8 é ângulo reto:
....
u
8
•
....
v
3.4.1 Cálculo do Ângulo de Doi, Vetore,
Da fórmula (3.4-1):
~-+ ~ -+
U .v=lullvl cosO, vem:
........
u.v
cos8=1ü'11~1
Esta fórmula é de larga aplicação no cálculo do ângulo de dois vetores.
3.4.2 Condição de Ortogonalidade de Dois Vetores
(3.4-11)
De acordo com a observação da alínea c) do Item 3.4, podemos anrmar: dois vetores
são ortogonais se. e somente se. o produto escalar deles é nulo, isto é, se:
........
u . v = O
Exemplo
....
....
u = (-2, 3, -2) é ortogonal a v = (-1, 2, 4), pois:
........
U.v =-2(-1)+3(2)+(-2)4=2+6-8=0
3.4.3
6)
Produtos de vetores 47
Problemas Resolvidos
.... ....
Calcular o ângulo entre os vetores u =(I, I, 4) e v =(-I, 2, 2).
-+ -+
O u. vcos =~Iu I I vI
0,1,4). (-1,2,2) -1 + 2 + 8
yT8x fi
cos O 9
3..,(2 x 3
logo:
1
cos 0- ..,(2 YI...2
O= are cos ( -rr)= 45°
7) Sabendo que o vetor -; = (2, I, -I) forma um ângulo de 60° com o vetor Ali determinado
pelos pontos A(3, I, -2) e B(4, O, m), calcular m.
Solução
De acordo com a igualdade (3.4-11), podemos escrever:
mas:
cos 60°
-+ ----+
v. AB
-+ --+IvllABI
e:
I
cos 60° =-
2
48 Geometria anaUtica
logo:
I (2, I, -1) . (l, -I, m + 2)
2 J 4 + I + 1 J 1 + 1 + m' + 4m + 4
1 2-I-m-2
2 FJm'+4m+6
(I)' (. -I -m )'2 =,fiJ m' + 4m + 6
I 1 + 2m + m'
4 6(m' + 4m + 6)
6m' + 24m + 36 = 4 + 8m + 4m'
2m' + 16m + 32 = O
m' +8m+ 16=0
:. m = -4 (raiz dupla)
8) Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo A(3, -3, 3), B(2, -),2) e
C(1,0,2).
Solução
Observemos que o ângulo A é o ângulo entre os vetores Ali e ÃC. Logo:
A
B
----+ ----+
- AB. ACcosA::: --+ __
IABIIACI
(-1,2,-1) .(-2,3,-1)
.../1+4+1.../4+9+1
2+6+1 9=--~ 0,982
y'6y'14 V84
- (9 ) ,A = are cos ..j84 '" 10° 53
PrOdUlOS de vetores 49
Analogamente.
- --+
B
' BA.BC
COs = ---+ ---=+IBAIIBC I
(1,-2,1). (-1,1,0)
,,11+4+1,,11+1+0
-I -2
..ftVI
-3 fi
=--
2VJ 2
B= are cos (- ~) = 150'
- --+
c, CA.CB (2,-3,1).(1,-1,0)cos = --+- _ =
ICAIICBI ,,14+9+ I y'T+T
Notemos que  + B+ ê = 180'.
0,9449
.J
9) Provar que o triângulo de vértices A(2, 3, I), B(2, I, -I) e C(2, 2, -2) é um triângulo
retângulo.
Solução
A forma mais simples de provar a existência de um ângulo reto é mostrar que o produto
escalar de dois vetores que determinam os lados do triângulo é nulo. Consideremos os vetores:
--+
AB = (O, -2, -2)
-AC = (O, -1, -3)
--+
BC = (O, 1,-1)
(poderíamos também considerar os vetores opostos deles.)
Calculemos:
--AB . AC = (O, -2, -2). (O, -1, -3) = 0+ 2+ 6 = 8 *°
--AB .BC = (0,-2,-2).(0,1,-1) = 0-2+2= °
---+ - - ---+Tendo em vista que AB. BC = 0, o ângulo formado pelos vetores AB e BC, de vértice B, é
reto. Logo, tlABC é retângulo.
50
10)
Geometria analln"ca
-+ -+
Determinar um vetor ortogonal aos vetores v I = (I, -I, O) e v2 = (I, O, I).
Solução
--+- --+- -+ -+
Seja u =(x, y, z) o vetor procurado. Para que u seja ortogonal aos vetores Vt e V2'
devemos ter:
-+ -+
U .v, =(x,y,z).(I,-I,O)=x-y=O
-+ -+
U • V2 = (x, y, z). (I, O, I) = x + z = O
o sistema:
{
x-y=O
x + z =0
é indeterminado e sua solução é:
y=x
z =-x
-+ -+
Isto significa que os vetores ortogonais a VI e V2 são da forma (x, x, -x).
-+Um deles é o vetor u, = 1,1,-1).
Observação
Os vetores da base canônica:
-+ -+ -+{ i = (J, O, O), i = (O, I, O), k = (O, O, I)}
são ortogonais entre si:
-+ -+ -+ -+ -+ -+
i.i =j .k=i .k=O
e unitários:
-+ -+ -+li 1= lil= Ikl= I
Produtos de vetores 51
3.5 Angulos Diretores e Co-Senos Diretores de um Vetor
-+ -+ -+ -+
Seja o vetor v = xi + yj + zk.
Á ngu/os diretores de ~
respectivamente (Fig. 3.5).
-+ -+ -+ -+
são os ângulos 0:, (3 e 'Y que v forma com os vetores i,j e k,
z
-+
v
x
y
Figura 3.5
-+
Co-senos diretores de v são os co-senos de seus ângulos diretores, isto é. cos a, cos IJ e
oos"{.
Para o cálculo dos co-senos diretores utilizaremos a Fórmula 3.4-11:
-+ -+
V i
oos o: = I":' iil (x, y, z). (I, O, O)-+1v I I
x
--=r-Iv,
-+7
oos ti = di k, (x,y, z) .lO, I, O) = --*Iv I I Iv I
oos"{ (x, y, z) . (O, o, I)....
'v, I
z
N
BfBUOTECA UI\J/··BH /.
52 Geometria analftica
3.5.1 Problemas Resolvidos
-+
11) Calcular os co·senos diretores e os ângulos diretores do vetor v = (6, -2, 3).
Solução
1-:1=.J6' +(_2)' +3 = .J36+4+9 -,j49= 7
cos a = ~ '" 0,857 :. a '" 31° ou 0,541 rad
-2
cos /l = 7 '" -0,286 :. /l '" 107° ou 1,866 rad
3
cos"{=7'" 0,428:. "('" 65° ou l,i34rad
-->
12) Dados os pontos A(2, 2, -3) e B(3, I, -3), calcular os ângulos diretores do vetor AB.
Solução
--+
AB = B - A = (3 - 2, I - 2, -3 - (-3» = (l, -I, O)
IABI=JI'+(-I)'+O' =y'I+l=,J2
1::fI. =450cosa =-0-2-= 2 .. a
-I -..,f2.
cos /l = y'2=-2- .. /l = 135°
O
cos"{ =--=0VF
Observação
"{ = 90°
Como 'Y = 90°, o vetor AB é ortogonal ao vetor k ou ao eixo dos z. Assim, sempre
que um vetor tem nula a terceira componente, ele é ortogonal ao eixo dos z. De forma análoga
,
-+
-+
um vetor do tipo v = (O, y, z) é ortogonal ao eixo dos x e um do tipo v = (x, O, z) é
ortogonal ao eixo dos y.
-
Produtos de vetores 53
3.5.2 Propriedades
I) .... .... ....Seja o vetor v = (x, y, z). Designando o versor de v por u, vem:
ou:
....
u ; (cosex, cos~, cosr)
3.5.2.1 Problemas resolvidos
....Como o versor de v é um vetor unitário, tem·se
Portanto, a sorna dos quadrados dos co·senos diretores de um vetor é igual a 1.
I(cos ex, cos~, cos r)1 ; 1
Portanto, as componentes do versor de um vetor são os co-senos diretores deste vetor.
Substituindo na igualdade:
cos2 a + cos2 13 + cos2 'Y = I
logo:
11)
Solução
mas:.
e: