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Livro_Geometria_Analitica

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13) Os ângulos diretores de um vetor são 0',45° e 60°. Determinar Q.
54 Geometria analilica
Il por 45° e .., por 60°, vem:
cos2Q + cos2 45° + cos
2 60° = I
, (.J2)' (-I)'cos ,,+ \2 +"2 = I
ou:
, 2 I 4-2-1 I
cos"=1- 4 - 4 4 4
cos" = ± fi= ± ~
logo:
,,= 60° ou ,,= 120°
I
14)
-+
--t ....
Um vetor v forma com os vetores I e j
...
...
Determinar o vetor v, sabendo que Iv I= 2.
ângulos de 60° e 120°, respectivamente.
Solução
...
Seja v = (x, y, z). No caso presente: " = 60° e Il = 120°,
logo:
cos600= ~ =~I v I 2
mas:
cos 60° = -'--2
logo:
x=]
Por outro lado:
cos 120° = + =1-I v I 2
Produtos de vetores 55
mas: ,I
,
Icos 120° =--
2
logo:
ou;
-+ -+lu. v I
-+Iv I
-+ -+lu. v I
-+ -+lu Ilv I
y= -I
Do triângulo retângulo, vem:
-+ -+ -+IwI= Iu I1 cos 81 = I ui
2= JI' +(_1)' +z'
-+ -+
V =(1.-1,'1'2) ou v =(l.-I,-y'2)
-1. = I
2 2
4 =I'+I'+z'
z'=4-1-1
z' = 2
z =±.yT
Sabemos que:
isto é:
portanto:
3.6 Projeção de um Vetor
~ -+- -+ -+-
Sejam os vetores u e v. com u "" O e v "" O. e 8 o ângulo por eles formado. Preten-
-+ -+ -+demos calcular o vetor w que representa a projeção de u sobre v. A Figura 3.6 ilustra as
duas situações possíveis podendo ser 8 um ângulo agudo ou obtuso.
r -
56 GeometriD analftica
->
v
~I UI 8__I:::
->
w
Figura 3.6
->
v
......
Como w e v têm a mesma direção, segue·se que:
......
w ~ kv, k E IR
Então:
-> ...Iwl~ Ikllv I
ou:
... 1Ikl~lwl -=-Iv I
... ->I ti . v I 1
~ --...--=>
Ivi I vI
logo:
...
w~
ou:
3.6.1
15)
-+ -+ -+ -+
Portanto, o vetor projeção de ti sobre v (proj._ ti ~ w) é:v
... (... -:)-:
proj.V' ti ~ ti· 1:1 1"1
(
... -»
. -+ u.v -+
proJ._ u = -+ -+ V
v V • V
Problemas Resolvidos
... ...
Determinar o vetor projeção de ti ~ (2, 3, 4) sobre v ~ (I, -1, O).
(3.6)
Produtos de vetores 57
Solução
Utilizando a fórmula:
proj._ u= (U)-:
v v.V
obtém·se:
. -+_((2,3,4).(1,-1,0)) (1 10)-
Prol·vU- (1,-1,0).(1,-1,0) ,-, - (
2-3+0 )
1+ 1+0 (1,-1,0)
proj. vii= ~2 ;3) (1, -1, 0)= -~ (I, -1, 0)= (- ~ ,-4-, O)
16) Sejam os pontos A(1,2,-I), B(-l,O,-I) e C(2,1,2). Pede·se:
o) mostrar que o triângulo ABC é retângulo em A;
b) calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC;
c) determinar o pé da altura do triângulo relativa ao vértice A.
Solução
a) Para mostrar que o ângulo A é reto basta mostrar que os vetores Ã8 e AC são
ortogonais, isto é, Ali. Aê = o.
A
B L-__---' -""" C
H
~ ~
Como AB = (-2, -2, O) e AC = (1, -1,3), temos:
~~
AB . AC = (-2, -2, O) . (I, -I, 3) = -2 + 2 = O
58 Geometrill QfUllftiC4
b) Vamos calcular primeiramente o vetor projeção do vetor
BA sobre o vetor BC. Pela
Fórmula 3.6, sabe-se que:
liAproj. BC
-+ -+~'!SBC
BC. BC
-+ -+
Sendo BA =(2, 2, O) e BC =(3, I, 3), vem:
-+DA
proj. BC (2, 2, O) . (3,
I, 3) (3 I 3) _ 6 + 2 (3 I 3) - 8 (3 I 3)
(3, I, 3) . (3, 1,3) " - 9 + I + 9 " -19 ' ,
A medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa B
C é o módulo do vetor, ou seja:
1
8 164 6419 (3, I, 3) = 361 'li 9 + I +9 = 361 y'19
c) Seja H(x, y, z) o pé da altura relativa ao vértice A.
mas:
BH = proj. --+ BA
BC
-+
BH =H-B=(x-(-I),y-O,z-(_I))= (x+ I,y,z+ I)
e:
Pro;. DA =..!!.- x (3 1 3)
, BC 19 "
logo:
( + I + I) - (24 8 24)x ,y,z - 19'19'19
Tendo em vista a defmição de igualdade de vetore
s, vem:
24
x+I=-19
8y=T9
24
z+I=-19
Produtos de vetores 59
5 8 5
Resolvendo o sistema, se obtém: x = 19 ' y = 19 e z = 19 '
logo:
5
H( 19
Observação
8 5
19'19)
-+Se v é um vetor unitário, a fórmula (3.6) reduz-se a:
. -+ -+-+-+ --+-+pro).-+u=(u .v)v, POIS: v. v = I
v
Sendo ; = (x, y, z), e considerando os vetores particulares 1 = (I, O, O), 7 = (O, I, O)
-+
e k = (O, o, I), resulta:
--lo- -+ -+ -+ -+
proj.-+u= (u. i)i =xi,
. -+ (-+:t;? :+pro).,..u= u .))) = y)
J
- --lo- -+ -+ -+ -+pro],k'u = (u. k)k = zk
são
Especificando, os vetores projeções do vetor li = 31 + 47 + 5li
-+ -+ -+3i,4j e Sk, respectivamente.
-t-t -+
sobre os vetores I. J e k
3.7 Produto Escalar no R 2
Todo o estudo feito neste capítulo em relação a vetores do IR3 é válido também no R 2.
-+ ...
Considerando os vetores u =(x"y,) e v =(X2'Y')' temos:
-+ ...
a) u. v =X.X2 +Y.Y2
b) 1;1= J;.; =v'x~ +y~
c) validade das mesmas propriedades do produto escalar
"60 Geometria onalftico"
á) se 8 é O ângulo entre ;r "" Õ e -; ""Õ, então
cos 8
......
u.v
.... '"'lu Ilvl
-+ -+ -+ -+
e) u 1 v se, e somente se, u. v ~ O; observemos que vetores do tipo (a, b) e (-b, a)
são ortogonais
...
f) se " e ~ são os ângulos diretores de u, então:
cosa= 1j e
Iui
cos~~4Iui
(........)"- u.y-+h)'proJo_ U = ~ vv v .. y
3.8 Produto Vetorial
-+ -7 -t -+
Dados os vetores u =XII + YtJ + Zl k
.... ....
chama-se produto vetorifll dos vetores u e v,
-+ -+ -+ -,+
e v =X2 i + Y2j + Z2 k, tomados nesta
.......
e se representa por u x v, ao vetor:
-+ -+ -+ -+ --+
U X V ~ (y, z, - ZI y,) i - (x, z, - z, x,) i + (Xl y, - y, x,) k
Cada componente deste vetor pode ainda ser expresso na forma de um determinante de
2~ ordem:
......
u x y=
y, z,
...
i-
x, z,
...
i +
x, y,
...
k (3.8)
Uma maneira fácil de memorizaI esta fórmula é utilizar a notação:
... kt i........u x v = XI y, ZI (3.8-1)x, y, z,
Produtos de vetores 61
pois o 29 membro de 3.8 é o desenvolvimento deste determinante simbólico segundo os ele·
mentos da I ~ linha, observada a alternância dos sinais que precedem os termos desse 29 membro.
Na verdade, o símbolo à direita da igualdade(3.8·I)não é um determinante, pois a primeira linha
contém vetores ao invés de escalares. No entanto, usaremos esta notação pela facilidade de memo-
rização que ela propicia no cálculo do produto vetorial.
Observação
~ ~ ~ ~
O produto vetorial do vetor u pelo vetor v é também indicado por u li v e se lê
-+ -+
"u vetorial v".
Exemplo
~ ~:-t -+ ~-+-+
Cálculo do produto vetorial dos vetores u = Si + 4) + 3k e v = i + k.
-+ "7
i )
-+ -+
uxv=5 4 3
o
-+ -+
U X V =
4
o
3
-+
i-
5 3
-+j +
5 4
o
-+
k
-lo- -lo- -lo- ~ -+
U X v =(4-0)i-(5-3)j +(O-4)k
-lo- -lo- -+ -+ ~
U X v = 4i - 2j - 4k
Se trocarmos a ordem dos vetores, vem:
-+ -+ -+
i j k
-+ -+
V X U = O
5 4 3
-+ -+
V X U =
o
4 3
-+
i-
5 3
-+j +
5
O
4
-+
k
62 Geometria aruzlftica
ou:
e:
-+ -+ -+ -+ -+
V xu =-4i +2j +4k
-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+
-+
Logo, os vetores u x v e v x u são opostos, isto é, u x v = -v x u, o que significa
que o produto vetorial não é comutativo.
3.9 Propriedades do Produto Vetorial
Veremos que algumas propriedades do produto vetorial estão intimamente relacionadas
com propriedades dos determinantes.
-+ -+ -+ -+
I) u x u = O, qualquer que seja u.
De fato, de aoordo com a defmição:
j k
Tendo em vista uma propriedade dos determinantes (... duas linhas iguais ...):
......
u x u =0
Observação
Resulta desta propriedade que:
-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+
i xi=j xj=kxk=O
Produtos de vetores 63
-> -> -> ->11) u X V = -y X u.
De fato, de acordo com a defmição:
-> 7 ->i J k
-> ->
U X Y = X, YI z,
X, Y, z,
7 -> ..., j k
-> ->
yXu= x, Y, z,
X, YI z,
Tendo em vista uma propriedade dos detenninantes ( ... trocando-se entre si duas linhas ...):
-+ -+ -+ -+
U X v =-y x u
Observação
Resulta desta propriedade que:
-+~-+-+
i x j = -j x i
-+ -+ -+-+jxk=-kxj
-+ -+ -+ -+
kxi=-ixk
IlI) -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+U x(v+w)=u xv+u xw.
De fato, se
logo:
-+ -+ -+ -+
W =x]i +y]j +z]k.
-+ -+ -+ -+ -+
V + W = (x, + x,) i + (y, + y,)j + (z, + z,) k
-> -> ->
U xCv +w)=
->
i
X,
7
J
YI z,
I