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Livro_Geometria_Analitica

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64 Geometria anaUtica
De acordo com uma propriedade dos determin
antes ( .. , cada elemento de uma linha é uma
soma de dw1s parcelas ...):
-+ -+ -+
U X (v + w)
-+
1
X,
-+
J
-+
I
Zt + Xl
-+
J
Portanto:
~~~~ ..... -+
.....
U x(v+w)=u xv+u xw.
..... -
+ -+:":t
IV) (mu) x v = meu x V).
De fato:
-+ -+ -+ -+
mu =mx1i +myd +mz)k,
logo:
-+
i
-+j
-+ -+(mu) x v = ffiX, my, mz,
De acordo com uma propriedade dos determ
inantes (... quando se multiplicam pelo núme·
ro m todos os elementos de uma linha ...):
(mü)x~= m
-+
i
X,
-+
J
y, z,
Portanto:
-+-+ ..... -+(mu) xv =m(u x v).
Produtos de petores 65
Observação
Do mesmo modo, demonstra-se que:
-+ -+ -+ -+ -+ -+(mu)xv=m(u xv)=u x (mv).
V) -+ -+- -+ -+- -+-U X V = °se, e somente se, um dos vetores é nulo ou se u e v são colineares.
De fato:
....
a) Se u é nulo, as suas componentes são (O, O, O):
........
u x v =
....
i
O
....
i
O
....
k
O
De acordo com uma propriedade dos detenninantes ( ... uma linha constituüia de elementos
todos nulos ,..):
-+- -+- -+- -+-b) Se nem u nem v são nulos, mas se u e v são colineares:
.... ....
u =mv
ou:
-+- -+- -+ -+
u = mx'2i + mY2j + rnz2k,
logo:
.... .... ....
i i k
.... ....
u x v = rnx, my, mz,
x, y, z,
De acordo com uma propriedade dos determinantes ( ... duas linhas que têm seus elementos
proporcionais _..):
............
u x v =.0
'1 )',
X, rI
- -o "y dei todas DUla, iUo ' ...
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X, "
x, )I,
r, ,.,
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De f1to, de aco,do com a Id.ntid..:le de Ugrlllll<:
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A id<"tidlde ""imo, co"hetida como ldenhd.d. d. u8t:1ng<, tarnb<'m po<1e l." e,p"""
Por outro l.do;
Ef.."""do .. opttaçCi<, indicodas, .. rir..,.... qLl<:
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por:
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ou:
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...... _... ... ...
Iu x vi' -lu I' Ivl' -Iul' Ivl' cO:l'8
...... ...... ,lu x vi' -lu I' Ivl' (1 _COI 8)
1 _ ros' 8 - ..n' 8
...... ...... ,lu x vl'-lul'I.I'sen8
" fin.h,,"ou:
...... ... ...lu xvl-lullvlsen8
X) O produlo V.lolial Mo t azwcillrir'o.
... ... ... ... ... -
Do falo. o "'OT U X (v x ) t COpJlIl'" com v o ao pu><> quo o ..tot (u x v) x ...
• •
• copl,mu com u • v. Entlo, om lo..l:
... ... ... ... ......
ux(vxw)"(uxv)xw
3.10 Interpretllçã"o Geométrica do M6dulo do Produto Ve1ori~1
de Oois Vetores
• •Goomo'riClll"OI', o módulo do produto "lorial doa ..to... u o v modo. ár., do
paral.l"".mo ABCO dotonnin..Jo pcloo ..tom;; - Ãit o -; - Aê (FilI.3.IO·,).
1
[)r f.lO;
3.10.1 Prob"'..... R_I_idos
•u -(2, -6, 3) eDe'e.miml um velOI unitlrio simw'""e""",nle onogonl! ..,. ve'O"'.
•
• - (4, 3, I).
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Ar"A1ICO-lul h
•h-I_loe09
••lu x_l- Á",.ABCO.
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••Ar.. ARCO-lullvl ..n9
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A JTTop,;ed>de VI do produto velo';" afirmo q... o velor u x v. oomo também o veto,
.. .. .. .. _.... ..
v x u, i limult.ne""",nte ort"ll"n", u e v. Loto, '" ve"o",' de u x vede _ x u cons·
tJtuem .1OluçlO do problema.
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u xv --IS; t lOj +30.
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1.><01 7 7 7
Uaqui 1"" di""' •. COm o objetivo de proporcionaI lo estudante. oponunid.de d. 0010-
"aliar ..u. coohocimculOS. oJo ""to ,..Ii"doo, durln,e • oo/uçl<> de um pmblem., os ciUculus
,,>b.....unto, j:i ";010••nteriofm<nte.• nfo se, em c.......p<dili.
A"im, por ...mplu:
1) O del."".in.n•• SImbólico
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, ;
! _6
, ;
• (_IS.10.301
em luS., de >tT <le",nvolvido por um' linha como foi fclt" "0 p",blem••nteri01 (d.""n·
.ol.\mentu do ,Jete"nl",",o pel. 1~ 1,,111.).
2) Q",ndo um vetor to, dofinido l"'lfL' coordeo"d" dA orir,om c d., oxtrcrnid"d<, como, J>OT
exomph i\(l, -2, 1) , B(2, _I ,4), "'"revor-",-a.impl",,,,,nlo
Mi~(l,I,,),
em h,ga, de:
-,
AI) = Il-!I ~ (2_ I, _1 _(_?), 4- 1) =(1, I, 3).
" .
3) s,o :'; jjvcI um velo, u -(4,-2, I) o \Im vet"r • - (3,(,,-4) 0.10 I",,,, ..itor d" yotor
11 - v, "'0,""""-"",; .impl"'mmt,
;.";~(I,_R,5),
em lugor do:
., -,
,,-, =r~,-2, 1)-(3,r,,-4)-(4-3,-2-6, I _(_4)~(1._~,'i)
4) 0roroçr"" cOm Moi ri,~" cálculo do DolO,rnina"tc, c "",ln,à" do SI<lCm., do l'.qm'ç/""
Li,,,,.IC";, qU'lI1dn inlolVio",m no "",lllçáO do um p",hkm., IWiO ,0",e"lo ,,' ,osp"'I".
um. v<> que O~,(" ""nmOll '" ",.",titnom om coll[ci,u", do ",vil.".
Un['jm, 01\ c,;kLll"" d, '~""'tm i'\ "1>o,J,"I(>I\ 110",1'0 • o"'1l" do O,[,,,I.,nlo, a li!."!,,
d, oxc,dcio. So '" ro'pm'", o"mnl,,"'".' ,,,,,rerirem wm "' Or",,,,,nIOOO', ótimo. Entro.
I,,,,!(), "" 'I"'>< .Igmfiõ.' lon",liv,lS não h(~JVOf oomr!clO collcord,Tlci>, ó ,,;n,1 do que.
pmv"v,lmontc, o ,'~""'(o do",;,cr TNido.
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Por oun"i"into;
A- I(15. -9, _3) I - vi 22S + 8 i • 9 - y'1TS" - 3v'JS o.a. (unidatl.. ddre.)
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p.ralelopamo determinado por ;;- • -; ..j. iguoJ. 1..;r;:
Soluçio
A 'rr. do J'Maldogruno t d.d. pUI:
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