3ª Lista de Equações Diferenciais e Séries 2012

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UNIFACS – Universidade Salvador
Curso: Engenharias
Disciplina: Equações Diferenciais e Séries / Cálculo III 
3a Lista de Exercícios 2012
1) Resolva as seguintes equações lineares homogêneas
y’’ + 2y’ – 3y = 0			b)	y’’ ( 4y’ + 13y = 0
c)	y’’ – y = 0				d)	y’’ + 5y’ = 0
e)	4y’’ + 4y’ + y = 0			f)	2y’’ ( 3y’ + y = 0
g)	y’’ ( 2y’ + y = 0			h)	y’’ ( 9y’ + 9y = 0
i)	y’’ - 2y’ – 2y = 0			j)	y’’ + 2y’ + y = 0
k)	y’’ - 2y’ + 2y = 0			l)	y’’ + 2y’ – 8y = 0
m)	9y’’ – 6y’+ y = 0			n)	y’’ - 2y’ + 6y = 0
o)	y’’ + 2y’ + 2y = 0			p)	y’’ + 6y’ + 13y = 0
q)	y’’ + 4y’ = 0 y(0) = 0 y’(0) = 1
r)	y’’ + 4y’ + 5y = 0 y(0) =1 y’(0) = 0
2) Resolva as seguintes equações não-homogêneas, utilizando o método da variação dos parâmetros para encontrar a solução particular da equação completa.
a) y’’ ( 5y’ + 6y = 2ex		 b) y’’ + 2y’ + y = 3e(x
c) y’’ + 9y = 9sec(3x)		 d) y’’ ( y’ – 2y = 2e(x 
e) y’’ + y = tgx			 f) y’’ + 4y’ + 4y = 
 
g) y’’ + y = sec3x			 h) y’’ ( 2y’ + y = 
3) Usando o método dos coeficientes a determinar, dê uma forma para uma solução particular para as seguintes equações
	a) y´´ ( 2y´ + y = xe2x ;
	b) y´´ + y = xcosx + x2senx; 
	c) y´´ ( y = cosx
	d) y´´ + y = xsenx
	e) y´´ (2y´ + y = ex + senx 
	f) y´´ ( 2y´ = xe2x + 1
4) Resolva as seguintes equações não-homogêneas, utilizando o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução particular da equação completa
a) y’’ ( 5y’ + 6y = 2ex		 b) y’’ + 2y’ + y = 3e(x
c) 2y’’ – 4y’ – 6y = 3e2x d) y’’ ( y’ – 2y = 2e(x 
e) y’’ + y’ ( 2y = 2x; y(0) = 0; y’(0) = 1; f) y’’ + 4y = x2 + 3ex ; y(0) = 0; y’(0) = 2
g) y’’ + 2y’ = 3 + 4sen(2x) h) y’’ + 9y = x2e3x +6	 
i) y’’ ( 2y’ + y = xex + 4 y(0) = 1 y’(0) = 1
j) 2y’’ + 3y’ + y = x2 + 3senx k) y’’ + y = 3sen(2x) + xcos(2x)
 
5) Usando os métodos vistos para as equações lineares de 2ª ordem resolva as seguintes equações lineares de 1ª ordem
	a) y´ + 2y = 2ex; 
	b) x y´+ y + 4 = 0 ; 
	c) ( y ( senx ) dx + x dy = 0 
	d) y´ ( 4y = 2x (4x2
	 
	 
6) Resolva as seguintes equações utilizando o método mais conveniente para cada caso
a) y´´ + 4y´ = 8x + 10 b) 
c) 
 + 3x d)
e) 
 f) 
g) 
; y(0) = 1; y´(0 ) = (1 h) 
Aplicação: Circuito LRC
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Se i(t) é a corrente elétrica em um circuito em série LRC, então a queda de voltagem através do indutor, resistor e capacitor é apresentada no quadro abaixo 
	
	Indutor
	Resistor
	Capacitor
	
	Indutância: L henrys
	Resistência: R ohms
	Capacitância: C farads
	Queda de voltagem
	
	
	
Pela 2a Lei de Kirchoff, a soma dessas voltagens é igual à voltagem E(t) impressa no circuito, isto é,
 ( I )
Por outro lado, a carga q(t) no capacitor está relacionada com a corrente i(t) por 
 ( 1 )
Assim, 
 ( 2 )
Substituindo ( 1 ) e ( 2 ) em ( I ) obtemos a equação diferencial linear de 2a ordem
Derivando ( I ) obtemos a equação tendo a corrente como incógnita:
 
A depender das raízes da equação característica correspondente o circuito será
Superamortecido ( raízes reais e distintas)
Criticamente amortecido ( raízes reais e iguais )
Subamortecido ( raízes complexas )
7) Encontre a carga no capacitor em um circuito em série LRC no instante t = 0,01 segundo quando L = 0,05 henry, R = 2 ohms, C = 0,01 farad, E(t) = 0, q(0) = 5 coulombs e i(0) = 0 ampère. 
8) Encontre a carga no capacitor em um circuito em série LRC quando L = 1/4 henry, R = 20 ohms, C = 1/300 farad, E(t) = 0, q(0) = 4 coulombs e i(0) = 0 ampère. A carga no capacitor se anula em algum instante?
9) Encontre a carga no capacitor e a corrente no circuito em série LRC, considerando L = 5/3 henrys, R = 10 ohms, C = 1/30 farad, E(t) = 300 volts, q(0) = 0 coulombs e i(0) = 0 ampères.
10) Encontre a carga e a corrente em um circuito em série LRC quando L = 1 henry, R = 2 ohms, C = 0,25 farad e E(t) = 50cost
11) Um circuito em série LC consiste em um indutor com L = 4 H; um capacitor com C = 0,01 F e um gerador produzindo uma voltagem de E(t) = 24t volts. Sabendo que q(0) = 0 e i(0) = 0, encontre q(t) e i(t).
12) Suponha num circuito RL que R = 12 ohms; L = 4 henrys; i(0) = 0 e que um gerador produza uma voltagem variável de E(t) = 60 sen30t volts. Encontre i(t)
 
Respostas 
1) a)	y = c1ex + c2e-3x		 b)	
 
c)	y = c1ex + c2e-x		 d)	y = c1 + c2e-5x	
e)	y = c1e-x/2 + c2xe-x/2		 f)	y = c1ex/2 + c2ex	
g)	y = c1ex + c2xex		 h) 
 
i)	y =
	 j)	y = c1e-x + c2xe-x		
k)	y = c1excosx + c2exsenx	 l)	y = c1e2x + c2e-4x	
m)	y = c1ex/3 + c2xex/3		 n)	y = ex(c1cos
x + c2sen
x)
o)	y = e-x(c1cosx + c2senx)	 p)	y = e-3x(c1cos2x + c2sen2x)
q)	
			 r)	y = e-2x(cosx + 2senx)
2)
a) y = c1e2x + c2e3x + ex b) y = c1e(x + c2xe(x + (3/2)x2e(x
c) y = c1cos3x + c2sen3x + cos3x ln(cos3x) + 3xsen(3x)
d) y = c1e(x + c2e2x – (2/3)xe(x; e) y = c1cosx + c2senx – cosx ln(tgx + secx)
f) y = c1e(2x + c2xe(2x – e(2x lnx (e–2x ; g) y = c1cosx + c2senx (1/2cosx +senxtanx
h) y = ex(c1 + c2x + xlnx)
3) a) yp = (Ax+B)e2x; b) yp = x( Ax2 + Bx + C) cosx + x ( Dx2 + Ex + F) senx
c) yp = Acosx + Bsenx; d)yp = (Ax2 + Bx )cosx + ( Cx2 + Dx) senx;
e) yp = Ax2ex + Bcosx + Csenx; f) yp = x(Ax + B) e2x + Cx
4) a) y = c1e2x + c2e3x + ex b) y = c1e(x + c2xe(x + (3/2)x2e(x
c) y = c1e3x + c2e( x – e2x/2 d) y = c1e(x + c2e2x – (2/3)xe(x
e) y = ex – e-2x/2 - x – ½ f) y = 7sen(2x)/10 – 19cos(2x)/40 + x2/4 + 3ex/5 – 1/8
g) y = c1 + c2e(2x + 3x/2 – (1/2) (sen(2x) + cos(2x) )
h) y = c1cos(3x) + c2sen(3x) + (x2 /18 – x/27 + 1/162)e3x + 2/3
i) y = 4xex ( 3ex + x3ex/6 + 4
j) y = c1e-x + c2e-x/2 + (x2 – 6x + 14) – 3senx/10 – 9cosx/10
k) y = c1cosx + c2senx – xcox(2x)/3 – 5sen(2x)/9
5) a) y = (2/3)
; b) y = 
; c) 
 d) y = x2+Ce4x; 
6) a) y = C1 + C2 e(4x + x2 + 2x ; b) 
c) 
; d) 
e) 
; f) 
g) 
; h) 
7) 
; 
( 4,568 coulombs
8) 
; A carga no capacitor não se anula
9) a) 
; 
; 
10) 
. 
11) 
12) 
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