Circuitos Digitais - parte 1

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CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Parte I 
Portas Lógicas e Álgebra Booleana 
 
 
 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Aula 1 
 Apresentando a disciplina 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Aula 2 
 Constantes e Variáveis Booleanas 
Tabela Verdade 
Operações OR, AND, NOT. 
Descrevendo circuitos Algebricamente (equações de saída). 
Implementando circuitos a partir de expressões booleanas. 
Portas NOR e NAND. 
Teorema de De Morgan 
Portas Exclusive-OR e Exclusive-NOR 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Em lógica existem somente duas condições 
possíveis: 
 
Não importa a nomenclatura adotada, as entradas 
e saídas só podem assumir duas condições. 
Verdadeiro 
Ligado 
Sim 
Ativo 
1 
 
Falso 
Desligado 
Não 
Inativo 
0 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
No século XIV, o filósofo inglês George 
Boole, desenvolveu um estudo sobre a 
tomada de decisões lógicas em 
circunstâncias verdadeiras ou falsas. 
 
Lógica booleana 
 
Base para o desenvolvimento da 
computação. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• As operações entre as entradas e saída de um 
circuito se dão pela Álgebra booleana. 
• Funções lógicas básicas 
– NOT 
– AND 
– OR 
• Não existem funções como: fração, raíz, 
logarítmos, etc. 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Comumente se utilizam letras para determinar 
as variáveis lógicas, de entrada ou saída. 
• No estudo de circuitos digitais, costuma-se 
utilizar os símbolos ‘0’ e ‘1’ para determinar o 
estado/condição lógica de uma variável: 
 
 A = 1 ou A = 0 
 B = 1 ou B = 0 
 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Tabelas-Verdade 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Um circuito lógico possui uma ou mais 
entradas e, pelo menos, uma saída. 
? { Entradas Saída 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• As variáveis lógicas, de entrada e saída, 
referenciadas por letras: 
? A B X 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• A tabela-verdade descreve a saída de um 
circuito com base nas variáveis de entrada. 
• Relaciona todas as combinações de entrada 
com as respectivas saídas do circuito. 
? A B X 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
? A B X 
A B X 
0 0 1 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Tamanho da tabela verdade 
– Como a tabela relaciona todas as combinações 
das variáveis de entrada, seu tamanho 
(quantidade de linhas) será: 
 2n 
 
– Onde n é o número de variáveis de entrada. 
 
 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Portanto: 
 
 
Qtd de variáveis 
de entrada 
Tamanho (em 
linhas) da tabela 
1 2 
2 4 
3 8 
4 16 
5 32 
6 64 
7 128 
... 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• A forma mais simples de preencher as 
entradas da tabela é pela contagem binária, 
começando em 0. 
• Recordando, combinações para 3 variáveis de 
entrada (8 combinações ao todo): 
 0 0 0  0 1 0 0  4 
 0 0 1  1 1 0 1  5 
 0 1 0  2 1 1 0  6 
 0 1 1  3 1 1 1  7 
 
 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Exemplo de tabela-verdade com 3 variáveis de 
entrada: A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
? 
A 
B X 
C 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Escreva a tabela-verdade para um circuito de 3 
entradas com a seguinte lógica: 
– Se DUAS OU MAIS entradas forem iguais a ‘0’, a 
saída é ‘1’. 
 
? 
A 
B X 
C 
EXERCÍCIO 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Se DUAS OU MAIS 
entradas forem iguais a ‘0’, 
a saída é ‘1’. 
A B C X 
0 0 0 
0 0 1 
0 1 0 
0 1 1 
1 0 0 
1 0 1 
1 1 0 
1 1 1 
? 
A 
B X 
C 
EXERCÍCIO 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Se DUAS OU MAIS 
entradas forem iguais a ‘0’, 
a saída é ‘1’. 
 
• Resposta: 
A B C X 
0 0 0 1 
0 0 1 1 
0 1 0 1 
0 1 1 0 
1 0 0 1 
1 0 1 0 
1 1 0 0 
1 1 1 0 
EXERCÍCIO 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Suponha um alarme de carro, com 3 entradas: 
A – ‘1’ Indica se o alarme está armado 
B – ‘1’ Indica se alguma porta foi aberta 
C – ‘1’ Indica se algum vidro foi quebrado 
X – Saída. Se ‘1’ dispara a sirene 
 
EXERCÍCIO 
? 
A 
B 
C 
X 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Faça a tabela-verdade obedecendo os critérios 
abaixo: 
– Se alguma porta for aberta, o alarme dispara; 
– Se algum vidro for quebrado, o alarme dispara; 
– Se o alarme não estiver armado, ele nunca 
dispara. 
 
EXERCÍCIO 
? 
A 
B 
C 
X 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
EXERCÍCIO 
A B C X 
0 0 0 
0 0 1 
0 1 0 
0 1 1 
1 0 0 
1 0 1 
1 1 0 
1 1 1 
Armado? 
Porta? 
Vidro ? 
Sirene! 
- Se alguma porta for 
aberta, o alarme dispara; 
- Se algum vidro for 
quebrado, o alarme 
dispara; 
- Se o alarme não estiver 
armado, ele nunca 
dispara. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
EXERCÍCIO 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 0 
1 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
Armado? 
Porta? 
Vidro ? 
Sirene! 
Resposta: 
Repare que 
Se A = 0, então 
X será 0 . 
Sempre! 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
EXERCÍCIOS 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• NOT 
– Inversão (ou negação). 
– Possui somente uma entrada. 
– A saída é sempre o inverso da entrada. 
NOT A X 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• NOT 
– X (saída) é o inverso de A (entrada). 
– Portanto, a tabela verdade é: 
NOT A X 
A X 
0 1 
1 0 Como a operação possui somente uma 
entrada, a tabela verdade possui 21 = 2 saídas 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• NOT 
– A inversão pode ser representada como abaixo: 
 
 X = A 
 
– A barra sobre a letra indica a inversão. 
 
0 = 1 e 1 = 0 
 
 
 
NOT A X 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• NOT 
– Representando X como A na tabela-verdade: 
 
 
 
 
NOT A X 
A X = A 
0 1 
1 0 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• NOT 
– O símbolo que representa a porta NOT : 
 
 
 
 
X = A A 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• NOT 
– Propriedade: ao inverter duas vezes uma entrada, 
obtemos a entrada original. 
 
 
 
 
A 
A A 
A = A 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• AND 
– Duas ou mais entradas. 
– Tem saída ‘1’ quando todas as entradas são ‘1’. 
– Se uma única entrada for ‘0’ a saída será ‘0’. 
AND A 
B 
X 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• AND 
– Tabela-verdade para AND de duas entradas: 
A B X 
0 0 0 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• AND 
– Tabela-verdade para 
AND de três entradas: 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 0 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 0 
1 1 1 1 Todas as entradas em ‘1’ 
Única possibilidade da saída igual a ‘1’ 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• AND 
– O símbolo que representa a porta AND : 
2 entradas 3 entradas 
A 
B 
X 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• OR 
– Duas ou mais entradas. 
– Tem saída ‘1’ quando qualquer entrada é ‘1’. 
– Tem saída ‘0’ quando todas as entradas são ‘0’. 
OR A 
B 
X 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• OR 
– Tabela-verdade para OR de duas entradas: 
A B X 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• OR 
– Tabela-verdade para 
OR de três entradas: 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 1 
0 1 0 1 
0 1 1 1 
1 0 0 1 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
Todas as entradas em ‘0’ 
Única possibilidadeda saída igual a ‘0’ 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• OR 
– O símbolo que representa a porta OR : 
2 entradas 3 entradas 
A 
B 
X 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Suponha o circuito abaixo, com as entradas 
indicadas. Qual o valor de saída (X)? 
A 
B 
X 
A  0 
B  1 
EXERCÍCIO 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
0 
1 
0 
A  0 
B  1 
EXERCÍCIO 
1 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Suponha o circuito abaixo, com as entradas 
indicadas. Qual o valor de saída (X)? 
A 
B 
C 
D 
X 
A  0 
B  1 
C  1 
D  1 
EXERCÍCIO 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A  0 
B  1 
C  1 
D  1 
EXERCÍCIO 
0 
1 
1 
1 
1 1 
0 0 
1 Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Escreva a tabela-verdade para o circuito 
abaixo: 
A 
B 
C 
X 
EXERCÍCIO 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A 
B 
C 
X 
EXERCÍCIO 
A B C X 
0 0 0 
0 0 1 
0 1 0 
0 1 1 
1 0 0 
1 0 1 
1 1 0 
1 1 1 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A 
B 
C 
X 
EXERCÍCIO 
A B C X 
0 0 0 1 
0 0 1 0 
0 1 0 1 
0 1 1 0 
1 0 0 1 
1 0 1 0 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
 
Descrevendo Circuitos Lógicos 
Algebricamente 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Expressões booleanas 
– Permitem representar as operações booleanas. 
– Não confundir os sinais adotados com o uso 
tradicional na matemática. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• AND 
X = A . B 
 
Representa a operação: 
X = A AND B 
A 
B 
X 
A B X 
0 0 0 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• AND 
X = A . B 
Dica: Repare que é usado o 
símbolo . (ponto), que na 
matemática representa a 
multiplicação. 
A B X 
0 0 0 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
- Qualquer número multiplicado por 0 resulta em 0. 
- Qualquer operação AND envolvendo um ‘0’ resulta 
em ‘0’. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• AND 
 
0 . 0 = 0 
0 . 1 = 0 
1 . 0 = 0 
1 . 1 = 1 
A B X 
0 0 0 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• AND 
Com três entradas 
 
X = A . B . C = ABC 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• OR 
X = A + B 
 
Representa a operação: 
X = A OR B 
A 
B 
X 
A B X 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• OR 
X = A + B 
Dica: Repare que é usado o 
símbolo +, que na matemática 
representa a soma. 
A B X 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 1 
- Uma soma* resulta em 0 quando todos os operandos 
são 0. 
-Uma operação OR resulta em ‘0’ quando todas as 
entradas são ‘0’. 
 * Números naturais 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• OR 
 
0 + 0 = 0 
0 + 1 = 1 
1 + 0 = 1 
1 + 1 = 1 
A B X 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• OR 
Com três entradas 
 
X = A + B + C 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Expressão lógica do circuito 
 
A 
B 
C 
X = A . (B+C) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A 
B 
C 
X = A . (B+C) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A 
B 
C 
X = A . (B+C) 
AND 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A 
B 
C 
X = A . (B+C) 
O uso de parênteses é 
importante para evitar 
confusão na interpretação 
da expressão. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Expressão lógica do circuito 
 
A 
B 
C 
X 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A 
B 
C 
X = (AB) + C 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
 
Valor da saída de circuitos lógicos 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Dada uma expressão, o valor de saída pode 
ser encontrado substituindo-se as variáveis de 
entrada. 
• Lembrando que: 
 
NOT 
1 = 0 
0 = 1 
AND 
0.0 = 0 
0.1 = 0 
1.0 = 0 
1.1 = 1 
OR 
0+0 = 0 
0+1 = 1 
1+0 = 1 
1+1 = 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Dada uma expressão, o valor de saída pode 
ser encontrado substituindo-se as variáveis de 
entrada. 
 X = ABC + (A + C) 
Variáveis de entrada 
A = 1 
B = 0 
C = 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Substituindo as variáveis de entrada: 
 X = ABC + (A + C) 
Entrada 
A = 1 
B = 0 
C = 1 
 = 1.0.1 + (1 + 1) 
 = 1.0.1 + (1 + 0) 
 = 0 + (1 + 0) 
 = 0 + 1 
 = 1 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Encontre o valor de saída 
 
 X = AB + (BC . (AD + CD)) 
Variáveis de entrada 
A = 1 C = 0 
B = 1 D = 0 
EXERCÍCIO 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
 X = AB + (BC . (AD + CD)) 
Entrada 
A = 1 
B = 1 
C = 0 
D = 0 
EXERCÍCIO 
 = 1.1 + (1.0 . (1.0 + 0.0)) 
 = 1 + (1.0 . ( 0 + 0 )) 
 = 1 + (1.0 . 0) 
 = 1 + 0 
 = 1 
 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• A tabela-verdade do circuito permite entender 
melhor como o circuito funciona e ajuda no 
diagnóstico de problemas. 
• Para facilitar a montagem da tabela, esta pode 
contem valores intermediários do circuito, 
simplificando o cálculo das saídas. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
 X = (ABC) + (A+C) 
A B C ABC A+C ABC + (A+C) 
0 0 0 0 0 0 
0 0 1 0 1 1 
0 1 0 0 0 0 
0 1 1 0 1 1 
1 0 0 0 1 1 
1 0 1 0 1 1 
1 1 0 0 1 1 
1 1 1 1 1 1 
Valores intermediários 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
 X = (A+B+C) . (AC) 
A B C A+B+C C AC (A+B+C) . (AC) 
0 0 0 
0 0 1 
0 1 0 
0 1 1 
1 0 0 
1 0 1 
1 1 0 
1 1 1 
EXERCÍCIO 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
 X = (A+B+C) . (AC) 
A B C A+B+C C AC (A+B+C) . (AC) 
0 0 0 0 1 0 0 
0 0 1 1 0 0 0 
0 1 0 1 1 0 0 
0 1 1 1 0 0 0 
1 0 0 1 1 1 1 
1 0 1 1 0 0 0 
1 1 0 1 1 1 1 
1 1 1 1 0 0 0 
EXERCÍCIO 
R
e
s
p
o
s
ta
: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Implementando circuitos a partir de 
expressões booleanas 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Pela observação de uma expressão booleana 
podemos determinar: 
– As portas que compõem o circuito. 
– A hierarquia entre as portas, que determinará a 
topologia do circuito. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Exemplo 1: 
 X = A + B 
OR 
2 entradas 
A 
B 
X 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Exemplo 2: 
 X = A + B 
Repare que A e B são 
invertidos ANTES da 
operação OR. 
A 
 
B 
X 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Exemplo 3: 
 X = A + B 
Esse inversor se aplica 
APÓS a operação OR. 
A 
 
B 
X 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Exemplo 3: 
 X = A + B 
Esse inversor se aplica 
APÓS a operação OR. 
A 
 
B 
X 
A 
B 
A+B 
A+B 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Exemplo 3: 
 X = A + B 
É importante entender a hierarquia das 
operações e assim sua ordem no circuito. 
A 
 
B 
X 
A 
B 
A+B 
A+B 
1. Entradas: A e B 
2. Inverter A e B 
3. OR entre A e B 
4. Inverter a saída do OR 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Exemplo 4: 
 X = AB + (BC . (AD + CD)) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Exemplo 4: 
 X = AB + (BC . (AD + CD)) 
AND 
2 entradas 
AND 
2 entradas 
AND 
2 entradas 
AND 
2 entradas 
OR 
2 entradas 
AND 
2 entradas 
OR 
2 entradas 
NOT 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Inicialmente, podemos notar que: 
 X = AB + (BC . (AD + CD)) 
AND 
2 entradas 
NOT 
A PORTA NOT SE 
APLICA APÓS A 
SAÍDA DO AND 
ESSA É A ‘ÚLTIMA’ 
PORTA DO CIRCUITO(É DELA QUE SAI O 
RESULTADO) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
 X = AB + (BC . (AD + CD)) 
A 
B 
B 
C 
A 
D 
C 
D 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
 X = AB + (BC . (AD + CD)) 
BC 
(AD+CD) 
AD 
CD 
AB 
BC .(AD+CD) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
 X = AB + (BC . (AD + CD)) 
A 
D 
C 
D 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A 
D 
C 
D 
B 
C 
 X = AB + (BC . (AD + CD)) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A 
D 
C 
D 
B 
C 
 X = AB + (BC . (AD + CD)) 
A 
B 
X 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A 
D 
C 
D 
B 
C 
 X = AB + (BC . (AD + CD)) 
A 
B 
X 
1 2 3 4 5 6 7 
8 
1 
2 
3 
4 
6 
5 
7 8 
Indicação das portas no circuito 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A 
D 
C 
D 
B 
C 
 X = AB + (BC . (AD + CD)) 
A 
B 
X 
AD 
CD 
CD 
AD+CD 
BC 
BC.(AD+CD) 
AB 
Indicação dos valores 
intermediários no circuito 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Desenhe o circuito a partir da expressão 
abaixo: 
EXERCÍCIO 
 X = ABD + AE + (CB+CE) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
EXERCÍCIO 
 X = ABD + AE + (CB+CE) 
A 
B 
D 
A 
E 
C 
C 
B 
E 
X 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
EXERCÍCIO 
 X = ABD + AE + (CB+CE) 
A 
B 
D 
A 
E 
C 
C 
B 
E 
X 
1 
2 
3 4 5 6 
7 
2 
1 
3 
4 
5 
6 
7 
Indicação das portas no circuito 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
 
Portas NAND e NOR 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Porta NOR / NOT-OR 
– Porta OR com um inversor na saída 
 
 
 
 
 
A B A+B A+B 
0 0 0 1 
0 1 1 0 
1 0 1 0 
1 1 1 0 
OR NOR 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Porta NOR / NOT-OR 
– Símbolo 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Porta NAND / NOT-AND 
– Porta AND com um inversor na saída 
 
 
 
 
 
A B AB AB 
0 0 0 1 
0 1 0 1 
1 0 0 1 
1 1 1 0 
AND NAND 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Porta NAND / NOT-AND 
– Símbolo 
 
 
 
 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• As duas expressões abaixo são equivalentes? 
EXERCÍCIO 
 X = A . B X = (A . B) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Inicialmente, verificamos que não representam 
o mesmo circuito. 
EXERCÍCIO 
X = A . B 
X = (A . B) 
A 
B 
A 
B 
X 
X 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A melhor de forma de provar que as expressões 
não são equivalentes é pelo uso das tabelas-
verdade. 
EXERCÍCIO 
X = A . B X = (A . B) 
A B A B A .B 
0 0 
0 1 
1 0 
1 1 
A B AB AB 
0 0 
0 1 
1 0 
1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A melhor de forma de provar que as expressões 
não são equivalentes é pelo uso das tabelas-
verdade. 
EXERCÍCIO 
X = A . B X = (A . B) 
A B A B A .B 
0 0 1 1 1 
0 1 1 0 0 
1 0 0 1 0 
1 1 0 0 0 
A B AB AB 
0 0 0 1 
0 1 0 1 
1 0 0 1 
1 1 1 0 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
As tabelas-verdade diferentes provam que as 
expressões não são equivalentes. 
EXERCÍCIO 
X = A . B X = (A . B) 
A B A B A .B 
0 0 1 1 1 
0 1 1 0 0 
1 0 0 1 0 
1 1 0 0 0 
A B AB AB 
0 0 0 1 
0 1 0 1 
1 0 0 1 
1 1 1 0 
= 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• As duas expressões abaixo são equivalentes? 
EXERCÍCIO 
 X = A + B X = (A + B) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Desenhando os circuitos 
EXERCÍCIO 
X = A + B 
X = (A + B) 
A 
B 
A 
B 
X 
X 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Escrevendo as tabelas-verdade 
EXERCÍCIO 
X = A + B X = (A + B) 
A B A B A +B 
0 0 
0 1 
1 0 
1 1 
A B A+B A+B 
0 0 
0 1 
1 0 
1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Escrevendo as tabelas-verdade 
EXERCÍCIO 
X = A + B X = (A + B) 
A B A B A +B 
0 0 1 1 1 
0 1 1 0 1 
1 0 0 1 1 
1 1 0 0 0 
A B A+B A+B 
0 0 0 1 
0 1 1 0 
1 0 1 0 
1 1 1 0 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
EXERCÍCIO 
X = A + B X = (A + B) 
A B A B A +B 
0 0 1 1 1 
0 1 1 0 1 
1 0 0 1 1 
1 1 0 0 0 
A B A+B A+B 
0 0 0 1 
0 1 1 0 
1 0 1 0 
1 1 1 0 
Resposta: 
= 
As tabelas-verdade diferentes provam que as 
expressões não são equivalentes. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teoremas de De Morgan 
 
Augustus De Morgan 
Matemático Britânico, viveu no século XIV. 
 
 
 
“Os teoremas de De Morgan são muito úteis na simplificação de 
expressões nas quais um produto ou soma de variáveis 
aparecem negados.” Circuitos Digitais, Tocci, et al, 11ª ed, Pág 70 
Fonte: Wikipedia 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teoremas de De Morgan 
(a+b) = a . b (16) 
(a.b) = a + b (17) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teoremas de De Morgan 
(a+b) = a . b (16) 
a 
b 
a 
b 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teoremas de De Morgan 
a 
b 
a 
b 
(a.b) = a + b (17) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
b. a sua tabela-verdade 
 
EXERCÍCIO 
X = (A+B) + B 
A B A+B A+B (A+B)+B (A+B)+B 
0 0 
0 1 
1 0 
1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
b. a sua tabela-verdade 
 
EXERCÍCIO 
X = (A+B) + B 
A B A+B A+B (A+B)+B (A+B)+B 
0 0 0 1 1 0 
0 1 1 0 1 0 
1 0 1 0 0 1 
1 1 1 0 1 0 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
c. a saída se A=0 e B=1 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
X = (A+B) + B 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
c. a saída se A=0 e B=1 
Essa informação pode ser obtida na tabela-verdade, 
determinada em (b). Mas se essa não estiver 
disponível, pode-se fazer o cálculo a partir da 
expressão: 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
X = (A+B) + B 
 = (0 +1) + 1 
 = 1 + 1 
 = 0 + 1 
 = 1 = 0 
 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Para o circuito abaixo, determine: 
a. a sua expressão 
b. a sua tabela-verdade 
c. a saída se A=1, B=1 e C=0 
EXERCÍCIO 
A 
B 
X 
C 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
a. a sua expressão 
EXERCÍCIO 
A 
B 
X 
C 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
a. a sua expressão 
EXERCÍCIO 
Resposta: 
A 
B 
X 
C 
(A+B) 
(BC) 
(A+B)+(BC) X = 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
b. a sua tabela-verdade 
 
EXERCÍCIO 
A B C A+B A+B BC BC (A+B)+(BC) (A+B)+(BC) 
0 0 0 
0 0 1 
0 1 0 
0 1 1 
1 0 0 
1 0 1 
1 1 0 
1 1 1 
(A+B)+(BC) X = 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
b. a sua tabela-verdade 
 
EXERCÍCIO 
A B C A+B A+B BC BC (A+B)+(BC) (A+B)+(BC) 
0 0 0 0 1 0 1 1 0 
0 0 1 0 1 0 1 1 0 
0 1 0 1 0 0 1 1 0 
0 1 1 1 0 1 0 0 1 
1 0 0 1 0 0 1 1 0 
1 0 1 1 0 0 1 1 0 
1 1 0 1 0 0 1 1 0 
1 1 1 1 0 1 0 0 1 
Resposta: 
(A+B)+(BC) X = 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
c. a saída se A=1, B=1 e C=0 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
(A+B)+(BC) X = 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
c. a saída se A=1, B=1 e C=0 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
 = (1+1)+(1.0) 
 = 1 + 0 
 = 0 + 1 
 = 1 
 = 0 
Resposta: 
(A+B)+(BC) X = 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
 
Circuitos XOR e XNOR (Coincidência) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Suponha o circuito abaixo: 
X = AB + AB 
A B A B AB AB X 
0 0 1 1 0 0 0 
0 1 1 0 1 0 1 
1 0 0 1 0 1 1 
1 1 0 0 0 0 0 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Suponha o circuito abaixo: 
X = AB + AB 
A B A B AB AB X 
0 0 1 1 0 0 0 
0 11 0 1 0 1 
1 0 0 1 0 1 1 
1 1 0 0 0 0 0 
Repare que X só é igual a ‘1’, 
quando as entradas (A e B) são 
opostas. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• O XOR possui símbolos próprios. 
 
• Em expressões: 
X = AB + AB 
X = A B 
 
• Em desenhos: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Os desenhos abaixo representam o XOR: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Suponha o circuito abaixo: 
X = AB + AB 
A B A B AB AB X 
0 0 1 1 1 0 1 
0 1 1 0 0 0 0 
1 0 0 1 0 0 0 
1 1 0 0 0 1 1 
Repare que X só é igual a ‘1’, 
quando as entradas (A e B) são 
iguais. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• O XNOR (Coincidência) possui símbolos próprios. 
 
• Em expressões: 
X = AB + AB 
X = A B 
 
• Em desenhos: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Aula 3 
 Teoremas Álgebra booleana 
Simplificações algébricas de circuitos. 
Universalidade das Portas NAND e NOR 
 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• A álgebra booleana nos permite expressar 
matematicamente o funcionamento de um 
circuito. 
• Circuitos e expressões podem ser 
simplificados com o uso de teoremas 
booleanos. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Porque é importante simplificar os circuitos? 
Muitas vezes a lógica desenvolvida para resolver um 
problema, nos leva a circuitos complexos e com 
grande número de portas lógicas. Nesses casos, 
costuma ser possível simplificar o circuito, reduzindo 
a quantidade de portas necessárias. 
 
Lembre-se: quanto mais complexo é um circuito, mais 
difícil e mais cara será sua implementação. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teoremas de uma variável 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teorema 1 
a 
0 
0 a . 0 = 0 
A operação AND com qualquer variável igual a 0, 
resultará sempre em 0, não importando a outra 
variável de entrada. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teorema 2 
a 
1 a . 1 = a 
A operação AND com qualquer variável igual a 1, 
resultará sempre no valor da outra variável. 
a 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teorema 3 
a 
a . a = a 
A operação AND com o mesmo valor nas entradas, 
resultará nesse mesmo valor. 
a 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teorema 4 
a 
a . a = 0 
Como a ou a será 0, a saída será sempre 0. 
0 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teorema 5 
a 
0 a + 0 = a 
A operação OR com uma variável igual a 0, resultará 
no valor da outra variável. 
a 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teorema 6 
a 
1 a + 1 = 1 
A operação OR com uma variável igual a 1, resultará 
sempre em 1. 
1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teorema 7 
a 
a + a = a 
A operação OR com o mesmo valor nas entradas, 
resultará nesse mesmo valor. 
a 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teorema 8 
a 
a + a = 1 1 
Como a ou a será 1, a saída será sempre 1. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Resumo (1 variável) 
a . 0 = 0 
a . 1 = a 
a . a = a 
a . a = 0 
a + 0 = a 
a + 1 = 1 
a + a = a 
a + a = 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão: 
 
EXERCÍCIO 
 X = AA + BB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão: 
 
EXERCÍCIO 
 X = AA + BB 
 = 0 + B 
 = B 
 
a . a = 0 a . a = a 
a + 0 = a 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão: 
 
EXERCÍCIO 
 X = A+A+A + BB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão: 
 
EXERCÍCIO 
 X = A+A+A + BB 
 = 1 + 0 
 = 1 
 
a + a = 1 a . a = 0 
Não importam os valores de A e B. Esse circuito sempre 
resultará em 1. 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teoremas com mais de uma variável 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teorema 9 
a + b = b + a 
OR é uma operação comutativa. 
Não importa a ordem em que as variáveis aparecem 
na expressão. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teorema 10 
a . b = b . a 
AND é uma operação comutativa. 
Não importa a ordem em que as variáveis aparecem 
na expressão. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teorema 11 
a + (b+c) = (a+b) + c = a + b + c 
OR é uma operação associativa. 
É possível agrupar as variáveis em expressões. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teorema 12 
a.(bc) = (ab).c = abc 
AND é uma operação associativa. 
É possível agrupar as variáveis em expressões. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teorema 13 
a(b+c) = ab + ac 
Distributividade. Permite colocar variáveis em 
evidência. 
(d+a)(b+c) = db + ab + dc + ac 
a+(bc) = (a+b)(a+c) * 
* Cuidado: Não se aplica à álgebra convencional. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teorema 14 
a + ab = a 
Prova: 
 a . (1 + b) 
 a . 1 
 a 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teorema 15a 
a + ab = a + b 
Prova: (a+a)(a+b) 
 1 . (a+b) 
 a + b 
 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Teorema 15b 
a + ab = a + b 
Prova: (a+a)(a+b) 
 1 . (a+b) 
 a + b 
 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Resumo (+ de 1 variável) 
a + b = b + a 
a . b = b . a 
a + (b+c) = (a+b) + c = a + b + c 
a.(bc) = (ab).c = abc 
a(b+c) = ab + ac 
(d+a)(b+c) = db + ab + dc + ac 
a+(bc) = (a+b)(a+c) 
a + ab = a 
a + ab = a + b 
a + ab = a + b 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Prove que: 
 
EXERCÍCIO 
 A (A + B) = AB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Prove que: 
 
EXERCÍCIO 
 A (A + B) = AB 
(A.A)+(AB) 
 0 + (AB) 
 AB 
 
 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Prove que: 
 
EXERCÍCIO 
 (A+B)(A+C) = A+BC 
Depois, para ambas as expressões: 
 Desenhe os circuitos. 
 Escreva a tabela verdade. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Prove que: 
 
EXERCÍCIO 
 (A+B)(A+C) = A+BC 
AA + AB + AC + BC 
 A + AB + AC + BC 
 A.(1+ B + C) + BC 
 A . 1 + BC 
A + BC 
 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
EXERCÍCIO 
 (A+B)(A+C) 
Resposta: 
A 
B 
A 
C A 
B 
C 
A+BC 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
EXERCÍCIO 
 (A+B)(A+C) 
A B C A+B A+C (A+B)(A+C) 
0 0 0 
0 0 1 
0 1 0 
0 1 1 
1 0 0 
1 0 1 
1 1 0 
1 1 1 
A+BC 
A B C BC A+BC 
0 0 0 
0 0 1 
0 1 0 
0 1 1 
1 0 0 
1 0 1 
1 1 0 
1 1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
EXERCÍCIO 
 (A+B)(A+C) 
Resposta: 
A B C A+B A+C (A+B)(A+C) 
0 0 0 0 0 0 
0 0 1 0 1 0 
0 1 0 1 0 0 
0 1 1 1 1 1 
1 0 0 1 1 1 
1 0 1 1 1 1 
1 1 0 1 1 1 
1 1 1 1 1 1 
A+BC 
A B C BC A+BC 
0 0 0 0 0 
0 0 1 0 0 
0 1 0 0 0 
0 1 1 1 1 
1 0 0 0 1 
1 0 1 0 1 
1 1 0 0 1 
1 1 1 1 1 
= 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão: 
 
EXERCÍCIO 
 x = (A+B)(A+B) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão: 
 
EXERCÍCIO 
 x = (A+B)(A+B) 
=AA + AB + BA + BB 
= 0 + AB + BA + B 
= B (A + A + 1) 
= B ( 1 + 1) 
= B 
 Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão: 
 
EXERCÍCIO 
 x = ACD + ABCD 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão: 
 
EXERCÍCIO 
 x = ACD + ABCD 
= CD (A + AB) 
= CD (A+A)(A+B) 
= CD ( 1 .(A+B)) 
= CD (A+B) 
= ACD + BCD 
Teorema 
15a 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão: 
(a+b) = a . b 
(a.b) = a + b 
 x = (A + C).(B + D) 
CIRCUITOS DIGITAISUnidade I 
• Simplifique a expressão: 
(a+b) = a . b 
(a.b) = a + b 
 x = (A + C).(B + D) 
= (A+C) + (B+D) 
 
= (A.C) + (B.D) 
= AC + BD 
 
Vantagem dessa simplificação: 
inversões somente em variáveis simples. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique o circuito abaixo utilizando os 
teoremas de De Morgan: 
 
EXERCÍCIO 
B 
A 
C 
x 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
1. Escrever a expressão do circuito 
EXERCÍCIO 
B 
A 
C 
x 
x = ABC 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
2. Simplificar a expressão 
EXERCÍCIO 
x = ABC 
 
x = A + B + C 
 
x = A + B + C 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
3. Desenhar o circuito simplificado 
EXERCÍCIO 
x = A + B + C 
 
A 
B 
C 
x 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Obtenha a expressão do circuito e simplifique: 
EXERCÍCIO 
A 
B 
x 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
EXERCÍCIO 
A 
B 
x 
 x = ((AB)A) . ((AB)B) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
EXERCÍCIO 
A 
B 
x 
 x = ((AB)A) . ((AB)B) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
EXERCÍCIO 
 x = ((AB)A) . ((AB)B) 
= ((AB)A) + ((AB)B) 
= ((AB)A) + ((AB)B) 
= ((AB)A) + ((AB)B) = AB (A+B) 
= AB (A+B) = (A+B) (A+B) 
= AA + AB + BA + BB = AB + BA 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Simplifique a expressão: 
EXERCÍCIO 
 x = (B+D).(BC).(AB) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Simplifique a expressão: 
EXERCÍCIO 
 x = (B+D).(BC).(AB) 
= (B+D)+(BC)+(AB) 
= (B+D)+(BC)+(A+B) 
= (B+D)+(BC)+(A+B) 
= B+D+BC+A+B = D + BC + A + 1 = 1 
= 1 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simbologia alternativa 
Os círculos na entrada 
representam as inversões 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
 Universalidade das portas NAND e NOR 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Todas as expressões booleana podem ser 
representadas pela combinação de portas OR, 
AND e Inversor. 
• Porém, a porta NAND, com combinações, 
pode representar qualquer outra porta. 
• Portanto, é possível implementar qualquer 
circuito usando-se somente portas NAND. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Porta NAND funcionando como inversor: 
x = A.A 
x = A 
A 
x 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Porta NAND funcionando como AND: 
x = (AB).(AB) 
 
x = AB = AB 
A 
x 
B 
AB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Porta NAND funcionando como AND: 
x = (AB).(AB) 
 
x = AB = AB 
A 
x 
B 
AB 
Repare que o segundo 
NAND está ligado como 
inversor. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Porta NAND funcionando como OR: 
x = A.B 
 
x = A + B = A + B 
A 
x 
B 
A 
B 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Porta NOR funcionando como inversor: 
x = A+A 
x = A 
A 
x 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Porta NOR funcionando como AND: 
x = A+B 
 
x = A.B = AB 
A 
x 
B 
A 
B 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Porta NOR funcionando como OR: 
x = (A+B)+(A+B) 
 
x = A+B = A+B 
A 
x 
B 
A+B 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Porta NOR funcionando como OR: 
x = (A+B)+(A+B) 
 
x = A+B = A+B 
A 
x 
B 
A+B 
Repare que o segundo NOR 
está ligado como inversor. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Aula 4 
Projetando Circuitos Combinacionais 
Obtendo equações de tabelas verdade. 
Formas soma-de-produtos e produto-de-
soma 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Forma Soma-de-Produtos 
– Expressão que contem: 
– Dois ou mais termos AND, conectados por 
operação OR. 
 
X = BD+BC+AB 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Forma Soma-de-Produtos 
As variáveis podem estar individualmente negadas. 
X = BD+BC+AB 
 
Cuidado: O termo (completo) negado não é um 
AND, e sim um NAND. 
X = BD+BC+AB 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Forma Soma-de-Produtos 
O termo negado não é um AND, e sim um NAND. 
 
X = BD+BC+AB 
 
A simplificação pode ser dificultada nesse caso. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Forma Produtos-de-soma 
– Expressão que contem: 
– Dois ou mais termos OR, conectados por operação 
AND. 
 
X = (B+D)(B+C)(A+B) 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Forma Produtos-de-soma 
As variáveis podem estar individualmente negadas. 
X = (B+D)(B+C)(A+B) 
 
Cuidado: O termo (completo) negado não é um OR, 
e sim um NOR. 
X = (B+D)(B+C)(A+B) 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Forma Produtos-de-soma 
O termo negado não é um OR, e sim um NOR. 
 
X = (B+D)(B+C)(A+B) 
 
A simplificação pode ser dificultada nesse caso. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Projetando circuitos lógicos combinacionais 
– Suponha a tabela verdade 
do circuito: 
X=A+BC 
A B C X=A+BC 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 1 
1 0 0 1 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• O que essa tabela-verdade nos diz? 
A B C X=A+BC 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 1 
1 0 0 1 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• O que essa tabela-verdade nos diz? 
A B C X=A+BC 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 1 
1 0 0 1 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
A tabela nos diz quais 
combinações das 
variáveis de entrada 
(A, B e C) produzem 
uma saída ‘1’. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• O que essa tabela-verdade nos diz? 
A B C X=A+BC 
1 0 0 0 0 
2 0 0 1 0 
3 0 1 0 0 
4 0 1 1 1 
5 1 0 0 1 
6 1 0 1 1 
7 1 1 0 1 
8 1 1 1 1 
Linha 4: 
Quando 
 
A=0 E B=1 E C=1, 
 então 
X será 1. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• O que essa tabela-verdade nos diz? 
A B C X=A+BC 
1 0 0 0 0 
2 0 0 1 0 
3 0 1 0 0 
4 0 1 1 1 
5 1 0 0 1 
6 1 0 1 1 
7 1 1 0 1 
8 1 1 1 1 
Quando 
A=0 E B=1 E C=1, 
 então 
X será 1. 
 
Não basta que A=0 ou 
B=1 ou C=1 para que a 
saída seja ‘1’. 
As 3 variáveis devem 
ter esses valores ao 
mesmo tempo! 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• O que essa tabela-verdade nos diz? 
A B C X=A+BC 
1 0 0 0 0 
2 0 0 1 0 
3 0 1 0 0 
4 0 1 1 1 
5 1 0 0 1 
6 1 0 1 1 
7 1 1 0 1 
8 1 1 1 1 
E essa é a única 
condição para X ser 
igual a ‘1’ ? 
 
NÃO! 
 
X PODE SER ‘1’ COM 
OUTRAS 
COMBINAÇÕES. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• O que essa tabela-verdade nos diz? 
A B C X=A+BC 
1 0 0 0 0 
2 0 0 1 0 
3 0 1 0 0 
4 0 1 1 1 
5 1 0 0 1 
6 1 0 1 1 
7 1 1 0 1 
8 1 1 1 1 
X pode ser ‘1’ também 
quando: 
 
A=1 E B=0 e C=0 (linha 5) 
 
Quando as três variáveis 
tiverem, ao mesmo tempo, esses 
valores, então X será ‘1’. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Quando X pode ser ‘1’? 
A B C X=A+BC 
1 0 0 0 0 
2 0 0 1 0 
3 0 1 0 0 
4 0 1 1 1 
5 1 0 0 1 
6 1 0 1 1 
7 1 1 0 1 
8 1 1 1 1 
Sabemos que X será ‘1’ 
quando: 
 
A=0 E B=1 E C=1 
 
OU QUANDO 
 
A=1 E B=0 E C=0 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Quando X pode ser ‘1’? 
A B C X=A+BC 
1 0 0 0 0 
2 0 0 1 0 
3 0 1 0 0 
4 0 1 1 1 
5 1 0 0 1 
6 1 0 1 1 
7 1 1 0 1 
8 1 1 1 1 
A=0 E B=1 E C=1 
OU QUANDO 
A=1 E B=0 E C=0 
 
Então, podemos 
escrever que? 
 
X = ABC + ABC 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Quando X pode ser ‘1’? 
A B C X=A+BC 
1 0 0 0 0 
2 0 0 1 0 
3 0 1 0 0 
4 0 1 1 1 
5 1 0 0 1 
6 1 0 1 1 
7 1 1 0 1 
8 1 1 1 1 
Então, podemos 
escrever que? 
 
X = ABC + ABC 
A expressão acima diz 
que X será ‘1’ quando:A=0 E B=1 E C=1 
OU QUANDO 
A=1 E B=0 E C=0 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Quando X pode ser ‘1’? 
A B C X=A+BC 
1 0 0 0 0 
2 0 0 1 0 
3 0 1 0 0 
4 0 1 1 1 
5 1 0 0 1 
6 1 0 1 1 
7 1 1 0 1 
8 1 1 1 1 
Mas existem outras 3 
condições que fazem X 
ser igual a ‘1’. 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Quando X pode ser ‘1’? 
A B C X=A+BC 
1 0 0 0 0 
2 0 0 1 0 
3 0 1 0 0 
4 0 1 1 1 
5 1 0 0 1 
6 1 0 1 1 
7 1 1 0 1 
8 1 1 1 1 
X será ‘1’ quando: 
A=0 E B=1 E C=1 
OU QUANDO 
A=1 E B=0 E C=0 
OU QUANDO 
A=1 E B=0 E C=1 
OU QUANDO 
A=1 E B=1 E C=0 
OU QUANDO 
A=1 E B=1 E C=1 
 
 
 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Escrevendo a expressão lógica: 
A B C X=A+BC 
1 0 0 0 0 
2 0 0 1 0 
3 0 1 0 0 
4 0 1 1 1 
5 1 0 0 1 
6 1 0 1 1 
7 1 1 0 1 
8 1 1 1 1 
X será ‘1’ quando: 
A=0 E B=1 E C=1 
OU QUANDO 
A=1 E B=0 E C=0 
OU QUANDO 
A=1 E B=0 E C=1 
OU QUANDO 
A=1 E B=1 E C=0 
OU QUANDO 
A=1 E B=1 E C=1 
X = ABC + ABC + 
ABC + ABC + 
ABC 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• O que a expressão nos diz: 
A B C X=A+BC 
1 0 0 0 0 
2 0 0 1 0 
3 0 1 0 0 
4 0 1 1 1 
5 1 0 0 1 
6 1 0 1 1 
7 1 1 0 1 
8 1 1 1 1 
X = ABC + ABC + 
ABC + ABC + 
ABC 
As cinco combinações de 
valores para as variáveis 
A, B e C, que resultarão 
em X=1. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• O que a expressão nos diz: 
A B C X=A+BC 
1 0 0 0 0 
2 0 0 1 0 
3 0 1 0 0 
4 0 1 1 1 
5 1 0 0 1 
6 1 0 1 1 
7 1 1 0 1 
8 1 1 1 1 
X = ABC + ABC + 
ABC + ABC + 
ABC 
Repare que temos: 
5 termos AND ligados por 
OR. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• O que a expressão nos diz: 
A B C X=A+BC 
1 0 0 0 0 
2 0 0 1 0 
3 0 1 0 0 
4 0 1 1 1 
5 1 0 0 1 
6 1 0 1 1 
7 1 1 0 1 
8 1 1 1 1 
X = ABC + ABC + 
ABC + ABC + 
ABC 
Repare que temos: 
5 termos AND ligados por OR. 
 
Portanto, quando um dos 5 
termos for ‘1’ (resultado do 
AND), X também será ‘1’. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Repare que a expressão abaixo é: 
X = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC 
UMA SOMA DE PRODUTOS! 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Procedimento 
• Para resolver um problema lógico, siga os passos abaixo: 
 
1. Interprete o problema e construa a tabela-verdade que descreva seu 
funcionamento. 
2. Identifique as linhas da tabela cuja saída seja ‘1’. 
3. Escreva o termo AND para cada uma delas, combinando as variáveis de 
entrada. 
4. Escreva a expressão de soma de produtos, ligando os termos do item 
anterior com uma operação OR. 
5. Se possível, simplifique o circuito. 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Suponha a tabela-verdade abaixo: 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 1 
0 1 1 1 
1 0 0 1 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Suponha a tabela-verdade abaixo: 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 1 
0 1 1 1 
1 0 0 1 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
Escreva a expressão 
que a representa. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Resposta: 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 1 
0 1 1 1 
1 0 0 1 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
X = ABC + ABC + 
ABC + ABC + 
ABC + ABC 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Repare que: 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 1 
0 1 1 1 
1 0 0 1 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
Existem 6 combinações 
que resultam em X=1. 
Portanto, a expressão 
tem 6 termos. 
 
Porém, só duas 
combinações resultam 
em X=0. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Repare que: 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 1 
0 1 1 1 
1 0 0 1 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
Porém, só duas 
combinações resultam 
em X=0. 
 
Seria possível escrever 
uma expressão a partir 
das linhas que geram 
X=0 ? 
 
SIM! 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Procedimento 
 
1. Interprete o problema e construa a tabela-verdade que descreva seu 
funcionamento. 
2. Identifique as linhas da tabela cuja saída seja ‘0’. 
3. Escreva o termo OR para cada uma delas, combinando as variáveis de 
entrada INVERTIDAS. 
4. Escreva a expressão de produto de somas, ligando os termos do item 
anterior com uma operação AND. 
5. Se possível, simplifique o circuito. 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• A mesma tabela-verdade do exemplo anterior: 
 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 1 
0 1 1 1 
1 0 0 1 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
X = (A+B+C).(A+B+C) 
A interpretação não é tão 
intuitiva como no caso da 
soma de produtos. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• A mesma tabela-verdade do exemplo anterior: 
 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 1 
0 1 1 1 
1 0 0 1 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
X = (A+B+C).(A+B+C) 
Repare que temos: 
2 termos OR ligados por 
AND. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Repare que a expressão abaixo é: 
UM PRODUTO DE SOMAS! 
X = (A+B+C).(A+B+C) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Soma de produtos: 
– Soma de termos mínimos 
– Minitermos 
 
• Produto de somas: 
– Produto de termos máximos 
– Maxitermos 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Escreva as expressões para a tabela-verdade 
abaixo usando minitermos e maxitermos: 
 
 
 
EXERCÍCIO 
A B C X 
0 0 0 1 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 0 
1 1 1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Com minitermos ou soma de produtos: 
 
 
 
EXERCÍCIO 
A B C X 
0 0 0 1 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 0 
1 1 1 1 
Identificar as linhas 
com saída igual a ‘1’. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Com minitermos ou soma de produtos: 
 
 
 
EXERCÍCIO 
A B C X 
0 0 0 1 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 0 
1 1 1 1 
X = ABC + ABC + 
ABC + ABC + 
ABC 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Com maxitermos ou produto de somas: 
 
 
 
EXERCÍCIO 
A B C X 
0 0 0 1 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 0 
1 1 1 1 
Identificar as linhas 
com saída igual a ‘0’. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Com maxitermos ou produto de somas: 
 
 
 
EXERCÍCIO 
A B C X 
0 0 0 1 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 0 
1 1 1 1 
X = (A+B+C). 
(A+B+C).(A+B+C) 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplificação de circuitos 
– Algébrica 
– Mapa de Karnaugh 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplificação Algébrica 
– É feita com o uso dos teoremas booleanos, 
apresentados na unidade I. 
– O objetivo principal é reescrever a expressão de 
forma que utilize menor número de portas. 
– Não há uma fórmula que permita saber se uma 
expressão ainda pode ser mais simplificada. 
– Em geral, é uma operação de tentativa e erro. 
Conta a experiência de quem faz. 
 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplificação Algébrica 
– Não impõe limites práticos para a quantidade de 
variáveis. 
– Expressões maiores tendem a exigir maior esforço 
para simplificação. 
– A simplificação algébrica já vem sendo explorada 
desde a unidade I deste curso. Agora, vamos 
conhecer o método do Mapa de Karnaugh. 
 
 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Aula 5 
Simplificação por Mapa de Karnaugh 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Suponha a tabela verdade abaixo: 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 0 
1 0 0 01 0 1 0 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Suponha a tabela verdade abaixo: 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 0 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
Escrevendo a 
expressão circuito: 
 
 
X = ABC + ABC 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Suponha a tabela verdade abaixo: 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 0 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
O circuito pode ser 
facilmente simplificado: 
 
X = ABC + ABC 
X = AB(C+C) 
 
como x+x=1 
X = AB.1 = AB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 0 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
Mas, olhe atentamente 
para a tabela-verdade. 
 
Repare que é possível 
chegar a essa conclusão 
só observando a tabela. 
X = AB (simplificado) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 0 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
Quando A=1 E B=1, 
X será 1, 
independente do valor de C. 
X = AB (simplificado) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 0 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
É sobre características 
como essa de uma tabela-
verdade, que o mapa de 
Karnaugh trabalha. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• O mapa de Karnaugh pode ser usado para 
circuitos com qualquer número de variáveis. 
Porém: 
– 2 a 4 variáveis: Fácil 
– 5 e 6 variáveis : Mais trabalhoso, mas não 
complicado. 
– 7 ou mais variáveis : Complicado. Geralmente 
utilizam-se ferramentas computacionais nesses 
casos. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Montando um mapa de Karnaugh (ou mapa K): 
A B X 
0 0 1 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
A partir da tabela-verdade: 
B B 
A 1 0 
A 0 1 
Cada linha da tabela é um quadrado no 
mapa K. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Montando um mapa de Karnaugh (ou mapa K): 
A B X 
0 0 1 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
A partir da tabela-verdade: 
B B 
A 1 0 
A 0 1 
Representa 
B = 0 B = 1 
Representa A = 0 A = 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Montando um mapa de Karnaugh (ou mapa K): 
A B X 
0 0 1 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
A partir da tabela-verdade: 
B B 
A 1 0 
A 0 1 
Representa X 
quando A=1 e B=1 
Representa X 
quando A=1 e B=0 
Representa X 
quando A=0 e B=1 
Representa X 
quando A=0 e B=0 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Montando um mapa K 
– Os quadrados adjacentes devem diferir em 
somente uma variável, tanto na horizontal quanto 
na vertical. 
– A ordem adotada deve ser como: 
 
 AB , AB , AB , AB 
 CD , CD , CD , CD 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Mapa K com 3 variáveis 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 1 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 0 
1 1 1 0 
C C 
AB 
AB 
AB 
AB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Mapa K com 3 variáveis 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 1 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 0 
1 1 1 0 
C C 
AB 
AB 
AB 
AB 
Repare a 
sequência das 
variáveis, de 
maneira que 
quadrados 
adjacentes 
difiram em 
somente uma 
variável. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Mapa K com 3 variáveis 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 1 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 0 
1 1 1 0 
C C 
AB 0 
AB 1 
AB 
AB 0 
ABC 
ABC 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Mapa K com 3 variáveis 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 1 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 0 
1 1 1 0 
C C 
AB 0 0 
AB 1 1 
AB 0 0 
AB 0 0 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Agrupando quadros para simplificação 
C C 
AB 0 0 
AB 1 1 
AB 0 0 
AB 0 0 
Os quadros com ‘1’ devem ser agrupados 
com seus adjancentes (na horizontal ou 
vertical). 
 
- Agrupamentos em número base-2, ou 
seja, só é possível agrupar 1, 2, 4, 8 ... 
quadros. 
 
- Não é possível agrupar 3, 5 ou 6 
quadros. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Agrupando quadros para simplificação 
C C 
AB 0 0 
AB 1 1 
AB 0 0 
AB 0 0 
Podemos fazer o agrupamento: 
 
 ABC e ABC 
 
 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
C C 
AB 0 0 
AB 1 1 
AB 0 0 
AB 0 0 
Analisando o agrupamento 
 
ABC e ABC 
 
 
 
Repare que as variáveis A e B 
permaneceram inalteradas 
 A e B 
Porém C aparece com e sem 
inversão. 
 C e C 
Conclusão: A e B podem ser agrupadas e a variável C 
eliminada. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
C C 
AB 0 0 
AB 1 1 
AB 0 0 
AB 0 0 
Analisando o agrupamento 
Conclusão: A e B podem ser 
agrupadas e a variável C 
eliminada. 
X = AB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
C C 
AB 0 0 
AB 1 1 
AB 0 0 
AB 0 0 
Analisando o agrupamento 
Conclusão: A e B podem ser 
agrupadas e a variável C 
eliminada. 
X = AB 
A prova é simples: 
 X = ABC + ABC 
 
 X = AB(C+C) 
 
 X = AB.1 = AB 
1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Considere a tabela-verdade abaixo 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 1 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 1 
1 1 1 0 
C C 
AB 0 0 
AB 1 1 
AB 1 0 
AB 0 0 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
C C 
AB 0 0 
AB 1 1 
AB 1 0 
AB 0 0 
Temos dois agrupamentos possíveis: 
 
1. ABC e ABC 
 
2. ABC e ABC 
 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
C C 
AB 0 0 
AB 1 1 
AB 1 0 
AB 0 0 
Analisando o agrupamento 1 
 
ABC e ABC 
 
 
 
As variáveis A e B 
permaneceram inalteradas 
 A e B 
A variável C aparece com e 
sem inversão. 
 C e C 
AB 
A variável C é eliminada. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
C C 
AB 0 0 
AB 1 1 
AB 1 0 
AB 0 0 
Analisando o agrupamento 2 
 
ABC e ABC 
 
 
 
As variáveis B e C 
permaneceram inalteradas 
 B e C 
A variável A aparece com e 
sem inversão. 
 A e A 
A variável A é eliminada. 
BC 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
C C 
AB 0 0 
AB 1 1 
AB 1 0 
AB 0 0 
Juntando o resultado dos agrupamentos 
 
 
X = AB + BC 
 
 
 
BC AB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Prova 
 
X = AB + BC 
 
 
 
A B C AB BC X 
0 0 0 0 0 0 
0 0 1 0 0 0 
0 1 0 1 1 1 
0 1 1 1 0 1 
1 0 0 0 0 0 
1 0 1 0 0 0 
1 1 0 0 1 1 
1 1 1 0 0 0 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 1 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 1 
1 1 1 0 
= 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Mapa K com 4 variáveis 
A B C D X 
0 0 0 0 0 
0 0 0 1 0 
0 0 1 0 0 
0 0 1 1 0 
0 1 0 0 1 
0 1 0 1 1 
0 1 1 0 0 
0 1 1 1 0 
CD CD CD CD 
AB 0 0 0 0 
AB 1 1 0 0 
AB 0 0 1 1 
AB 0 0 0 0 
A B C D X 
1 0 0 0 0 
1 0 0 1 0 
1 0 1 0 0 
1 0 1 1 0 
1 1 0 0 0 
1 1 0 1 0 
1 1 1 0 1 
1 1 1 1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Mapa K com 4 variáveis 
CD CD CD CD 
AB 0 0 0 0 
AB 1 1 0 0 
AB 0 0 1 1 
AB 0 0 0 0 
Temos dois agrupamentos possíveis: 
 
1. ABCD e ABCD 
 
2. ABCD e ABCD 
 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
CD CD CD CD 
AB 0 0 0 0 
AB 1 1 0 0 
AB 0 0 1 1 
AB 0 0 0 0 
ABC 
Nos dois agrupamentos: 
 
As variáveis A, B e C 
permaneceram inalteradas. 
 
A variável D se altera e pode 
ser eliminada. 
ABC 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
CD CD CD CD 
AB 0 0 0 0 
AB 1 1 0 0 
AB 0 0 1 1 
AB 0 0 0 0ABC 
X = + 
ABC 
ABC ABC 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• A partir da tabela-verdade abaixo, simplifique 
o circuito pelo mapa K 
 
 
 
EXERCÍCIO 
A B C D X 
0 0 0 0 0 
0 0 0 1 0 
0 0 1 0 0 
0 0 1 1 0 
0 1 0 0 0 
0 1 0 1 1 
0 1 1 0 0 
0 1 1 1 1 
A B C D X 
1 0 0 0 0 
1 0 0 1 0 
1 0 1 0 0 
1 0 1 1 0 
1 1 0 0 0 
1 1 0 1 1 
1 1 1 0 0 
1 1 1 1 1 
CD CD CD CD 
AB 
AB 
AB 
AB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
EXERCÍCIO 
A B C D X 
0 0 0 0 0 
0 0 0 1 0 
0 0 1 0 0 
0 0 1 1 0 
0 1 0 0 0 
0 1 0 1 1 
0 1 1 0 0 
0 1 1 1 1 
CD CD CD CD 
AB 0 0 0 0 
AB 0 1 1 0 
AB 0 1 1 0 
AB 0 0 0 0 
A B C D X 
1 0 0 0 0 
1 0 0 1 0 
1 0 1 0 0 
1 0 1 1 0 
1 1 0 0 0 
1 1 0 1 1 
1 1 1 0 0 
1 1 1 1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 0 0 0 0 
AB 0 1 1 0 
AB 0 1 1 0 
AB 0 0 0 0 
Fazendo o agrupamento: 
1 agrupamento com 4 quadros. 
 
As variáveis B e D permanecem 
inalteradas. 
 
As variáveis A e C se alteram  
eliminadas! 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 0 0 0 0 
AB 0 1 1 0 
AB 0 1 1 0 
AB 0 0 0 0 
Fazendo o agrupamento: 
1 agrupamento com 4 quadros. 
 
As variáveis B e D permanecem 
inalteradas. 
 
As variáveis A e C se alteram  
eliminadas! 
X = BD 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Processo completo de simplificação 
1. Construa o mapa K. Coloque os valores 
correspondentes aos da tabela-verdade 
(valores de saída). 
 
 
 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 1 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 0 
1 1 1 0 
C C 
AB 0 
AB 1 
AB 
AB 0 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
2. Procure ‘1s’ que não sejam adjacentes a 
outros ‘1s’. São chamados ‘1s’ isolados. 
CD CD CD CD 
AB 0 1 0 0 
AB 1 1 0 0 
AB 0 1 0 0 
AB 0 1 0 1 
‘1’ isolado 
 
 ABCD 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
3. Procure ‘1s’ que são adjacentes a somente 
um outro. Agrupe todo o par que contem 
‘1s’. 
CD CD CD CD 
AB 0 1 0 0 
AB 1 1 0 0 
AB 0 1 0 0 
AB 0 1 0 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
4. Agrupe qualquer octeto, mesmo que 
contenha ‘1s’ que já tenham sido agrupados. 
CD CD CD CD 
AB 1 1 0 0 
AB 1 1 0 0 
AB 1 1 0 0 
AB 1 1 1 0 
Esse par já estaria 
agrupado. Não tem 
problema, pode usar o 
‘1’ de novo. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
5. Agrupe qualquer quarteto que contenha um 
ou mais ‘1s’ que não tenham sido agrupados. 
Procure usar o menor número de agrupamentos. 
CD CD CD CD 
AB 0 1 0 0 
AB 1 1 0 0 
AB 0 1 0 0 
AB 0 1 0 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
6. Agrupe quaisquer pares necessários para 
incluir ‘1s’ que ainda não estejam agrupados. 
 Procure usar o menor número de agrupamentos. 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
7. Forme o OR (soma) de todos os termos 
gerados. 
 
 
 + + + 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• As linhas e colunas nas extremidades também 
são consideradas adjacentes. 
C C 
AB 
AB 
AB 
AB 
CD CD CD CD 
AB 
AB 
AB 
AB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• As linhas e colunas nas extremidades também 
são consideradas adjacentes. 
C C 
AB 
AB 
AB 
AB 
C C 
AB 
AB 
AB 
AB 
1 agrupamento de 2 quadros 1 agrupamento de 4 quadros 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• As linhas e colunas nas extremidades também 
são consideradas adjacentes. 
CD CD CD CD 
AB 
AB 
AB 
AB 
CD CD CD CD 
AB 
AB 
AB 
AB 
1 agrupamento de 2 quadros 1 agrupamento de 4 quadros 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• As linhas e colunas nas extremidades também 
são consideradas adjacentes. 
CD CD CD CD 
AB 
AB 
AB 
AB 
1 agrupamento de 8 quadros 
CD CD CD CD 
AB 
AB 
AB 
AB 
1 agrupamento de 8 quadros 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• As linhas e colunas nas extremidades também 
são adjacentes. 
CD CD CD CD 
AB 
AB 
AB 
AB 
1 agrupamento de 4 quadros 
CD CD CD CD 
AB 
AB 
AB 
AB 
1 agrupamento de 4 quadros 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique o mapa K 
 
 
 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 0 1 1 0 
AB 1 0 0 1 
AB 0 0 0 1 
AB 0 1 1 0 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique o mapa K e escreva a expressão: 
 
 
 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 1 1 
AB 1 1 
AB 1 
AB 1 1 
X = BD + ABD + BCD 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique o mapa K 
 
 
 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 0 0 0 0 
AB 0 0 0 0 
AB 0 1 1 1 
AB 0 1 1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique o mapa K 
 
 
 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 0 0 0 0 
AB 0 0 0 0 
AB 0 1 1 1 
AB 0 1 1 1 
X = AD + AC 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique o mapa K 
 
 
 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 1 1 0 0 
AB 1 1 0 0 
AB 0 0 0 1 
AB 1 1 1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique o mapa K 
 
 
 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 1 1 0 1 
AB 1 1 0 0 
AB 0 0 0 1 
AB 1 1 1 1 
X = AB + AC + ACD + BD 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique o mapa K 
 
 
 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 1 0 0 1 
AB 1 0 0 1 
AB 0 0 1 0 
AB 0 0 0 0 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique o mapa K 
 
 
 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 1 0 0 1 
AB 1 0 0 1 
AB 0 0 1 0 
AB 0 0 0 0 
X = AD + ABCD 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique o mapa K 
 
 
 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 0 0 0 0 
AB 0 0 0 0 
AB 1 1 1 1 
AB 1 1 1 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique o mapa K 
 
 
 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 0 0 0 0 
AB 0 0 0 0 
AB 1 1 1 1 
AB 1 1 1 1 
X = A 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Condições de irrelevância 
– Muitas vezes, a identificação de combinações 
impossíveis ou não previstas das variáveis de 
entrada, permite simplificar, ainda mais, o circuito. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Condições de irrelevância 
– Considere o exemplo: 
Circuito de catraca de acesso com 3 entradas: 
A – Pessoa é funcionário contratado 
 B – Funcionário em situação regular 
 C – Pessoa possui permissão especial de acesso 
 
 Saída – Acesso permitido ou negado 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Circuito de catraca de acesso com 3 entradas: 
A – Pessoa é funcionário contratado 
 B – Funcionário em situação regular 
 C – Pessoa possui permissão especial de acesso 
 Saída – Acesso permitido ou negado 
Critérios: 
1. A pessoa pode entrar se for funcionário 
contratado e estiver em situação regular. 
2. A pessoa pode entrar se possuir uma permissão 
especial de acesso. 
 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Circuito de catraca de acesso com 3 entradas: 
A – Pessoa é funcionário contratado 
 B – Funcionário em situação regular 
 C – Pessoa possui permissão especial de acesso 
 Saída – Acesso permitido ou negado 
Critérios: 
1. A pessoa pode entrar se for funcionário 
contratado e estiver em situação regular. 
2. A pessoa pode entrar se possuir uma permissão 
especial de acesso. 
 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A – Pessoa é funcionário contratado 
 B – Funcionário em situação regular 
 C – Pessoa possui permissão especial de acesso 
 
A B C X0 0 0 0 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
 
Condições em que o 
acesso é permitido 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A – Pessoa é funcionário contratado 
 B – Funcionário em situação regular 
 C – Pessoa possui permissão especial de acesso 
 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
C C 
AB 0 1 
AB 0 1 
AB 1 1 
AB 0 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Simplificando o mapa K 
C C 
AB 0 1 
AB 0 1 
AB 1 1 
AB 0 1 
X = C + AB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
C C 
AB 0 1 
AB 0 1 
AB 1 1 
AB 0 1 
X = C + AB 
A – Pessoa é funcionário contratado 
 B – Funcionário em situação regular 
 C – Pessoa possui permissão especial de acesso 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Voltando à tabela-verdade do circuito: 
 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
Repare que há condições impossíveis 
representadas: 
A – Pessoa é funcionário contratado 
 B – Funcionário em situação regular 
 C – Pessoa possui permissão especial de acesso 
 
O que significa A=0 e B=1 ? 
 
A pessoa não é funcionário E é funcionário 
em situação regular. 
 
Não faz sentido! Essa combinação não é 
possível! 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 1 
0 1 0 X 
0 1 1 X 
1 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
Então, vamos ignorar essa 
possibilidade, marcando um X na 
saída da tabela-verdade. 
Essas condições são conhecidas como 
DON´T CARE. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Transferindo para o mapa K 
 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 1 
0 1 0 X 
0 1 1 X 
1 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
C C 
AB 0 1 
AB X X 
AB 1 1 
AB 0 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Simplificando o mapa K 
 
C C 
AB 0 1 
AB X X 
AB 1 1 
AB 0 1 
Como assumimos que as condições DON´T CARE não vão 
ocorrer, podemos considerar os quadros com X como for mais 
conveniente. Ou seja, como 1 um 0, de forma a auxiliar na 
simplificação. 
Agora podemos simplificar assim: 
X = C + B 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Simplificando o mapa K 
 
C C 
AB 0 1 
AB X X 
AB 1 1 
AB 0 1 
Agora podemos simplificar assim: 
X = C + B 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Comparando as duas simplificações: 
C C 
AB 0 1 
AB 0 1 
AB 1 1 
AB 0 1 
X = C + AB 
C C 
AB 0 1 
AB X X 
AB 1 1 
AB 0 1 
X = C + B 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
A B C X 
0 0 0 0 
0 0 1 1 
0 1 0 X 
0 1 1 X 
1 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 1 
1 1 1 1 
ATENÇÃO: 
 
Não confundir a variável de 
saída X com o Don´t Care, que 
também está representado 
pela letra X. 
NOME DA 
VARIÁVEL 
DE SAÍDA 
DON´T 
CARE 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Projete, simplifique e desenhe o circuito: 
Controle de elevador - circuito com 4 entradas 
M Indica se o elevador está em movimento 
P Indica se o elevador está no 1º andar 
S Indica se o elevador está no 2º andar 
T Indica se o elevador está no 3º andar 
 
Saída X: Sinal para ABRIR A PORTA do elevador 
Critério: 
A porta só pode abrir se o elevador estiver 
corretamente parado em um dos andares. 
 
EXERCÍCIO 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Construindo a tabela-verdade 
M P S T X 
0 0 0 0 
0 0 0 1 
0 0 1 0 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
0 1 0 1 
0 1 1 0 
0 1 1 1 
M P S T X 
1 0 0 0 
1 0 0 1 
1 0 1 0 
1 0 1 1 
1 1 0 0 
1 1 0 1 
1 1 1 0 
1 1 1 1 
EXERCÍCIO 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Construindo a tabela-verdade 
M P S T X 
0 0 0 0 0 
0 0 0 1 
0 0 1 0 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
0 1 0 1 
0 1 1 0 
0 1 1 1 
M P S T X 
1 0 0 0 0 
1 0 0 1 
1 0 1 0 
1 0 1 1 
1 1 0 0 
1 1 0 1 
1 1 1 0 
1 1 1 1 
EXERCÍCIO 
M P S T 
0 0 0 0  Indica o elevador 
 parado mas desalinhado 
 de qualquer andar. 
 
1 0 0 0  Indica o elevador se 
 movimentando entre os 
 andares. 
 
Em ambos os casos a porta não 
pode se abrir. 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Construindo a tabela-verdade 
M P S T X 
0 0 0 0 0 
0 0 0 1 
0 0 1 0 
0 0 1 1 X 
0 1 0 0 
0 1 0 1 X 
0 1 1 0 X 
0 1 1 1 X 
M P S T X 
1 0 0 0 0 
1 0 0 1 
1 0 1 0 
1 0 1 1 X 
1 1 0 0 
1 1 0 1 X 
1 1 1 0 X 
1 1 1 1 X 
EXERCÍCIO 
Está implícito que as variáveis P, S 
e T são mutuamente exclusivas. 
 
Ou seja, apenas uma delas pode 
assumir ‘1’ por vez. 
 
Portanto, podemos colocar Don´t 
Care nas condições em que mais 
de uma delas for ‘1’. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Construindo a tabela-verdade 
M P S T X 
0 0 0 0 0 
0 0 0 1 1 
0 0 1 0 1 
0 0 1 1 X 
0 1 0 0 1 
0 1 0 1 X 
0 1 1 0 X 
0 1 1 1 X 
M P S T X 
1 0 0 0 0 
1 0 0 1 0 
1 0 1 0 0 
1 0 1 1 X 
1 1 0 0 0 
1 1 0 1 X 
1 1 1 0 X 
1 1 1 1 X 
EXERCÍCIO 
Preencher com ‘1’ as condições 
em que a porta pode ser aberta. 
 
Preencher com ‘0’ as demais 
condições do elevador em 
movimento. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Construindo o mapa K 
M P S T X 
0 0 0 0 0 
0 0 0 1 1 
0 0 1 0 1 
0 0 1 1 X 
0 1 0 0 1 
0 1 0 1 X 
0 1 1 0 X 
0 1 1 1 X 
M P S T X 
1 0 0 0 0 
1 0 0 1 0 
1 0 1 0 0 
1 0 1 1 X 
1 1 0 0 0 
1 1 0 1 X 
1 1 1 0 X 
1 1 1 1 X 
EXERCÍCIO 
S T S T S T S T 
MP 
MP 
MP 
MP 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Construindo o mapa K 
M P S T X 
0 0 0 0 0 
0 0 0 1 1 
0 0 1 0 1 
0 0 1 1 X 
0 1 0 0 1 
0 1 0 1 X 
0 1 1 0 X 
0 1 1 1 X 
M P S T X 
1 0 0 0 0 
1 0 0 1 0 
1 0 1 0 0 
1 0 1 1 X 
1 1 0 0 0 
1 1 0 1 X 
1 1 1 0 X 
1 1 1 1 X 
EXERCÍCIO 
S T S T S T S T 
MP 0 1 X 1 
MP 1 X X X 
MP 0 X X X 
MP 0 0 X 0 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplificando o mapa K 
EXERCÍCIO 
S T S T S T S T 
MP 0 1 X 1 
MP 1 X X X 
MP 0 X X X 
MP 0 0 X 0 
X = MP+ MS + MT 
 
Colocando M em evidência 
 
X = M (P + S + T) 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Desenhando o circuito 
EXERCÍCIO 
X = M (P + S + T) 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Preenchendo um mapa K a partir da expressão 
do circuito 
– Até agora o mapa K sempre foi montado a partir 
da tabela-verdade. 
– Quando temos somente a expressão do circuito, o 
mapa K pode ser preenchido: 
• Montando-se a tabela-verdade 
• Diretamente, a partir da expressão 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Para começar: 
– A expressão deve estar na forma de soma-de-
produtos. 
– Se não estiver, passe para ela fazendo as 
manipulações algébricas necessárias. 
Exemplo: 
X = B(D+AC)+AB 
X = BD+BAC+AB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Para cada termo na expressão, preencha ‘1’ no 
quadro do mapa K que corresponda à mesma 
combinação de variáveis. 
• Nos demais quadros, preencha com ‘0’. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
CD CD CD CD 
AB 
AB 
AB 1 1 1 1 
AB 
X = BD+BAC+AB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
CD CD CD CD 
AB 
AB 
AB 1 1 1 1 
AB 1 1 
X = BD+BAC+AB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
CD CD CD CD 
AB 1 1 
AB 
AB 1 1 1 1 
AB 1 1 1 
X = BD+BAC+AB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
CD CD CD CD 
AB 1 1 
AB 
AB 
AB 1 11 1 
X = BD+BAC+AB 
Repare que o quadro em destaque 
seria preenchido com ‘1’ por dois 
termosda expressão. 
Essa situação é perfeitamente 
normal! 
Aqui o ‘1’ foi colocado 2x no 
mesmo quadro, só para 
exemplificar. Na prática, só um 
valor por quadro (‘0’ ou ‘1’). 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
CD CD CD CD 
AB 0 1 1 0 
AB 0 0 0 0 
AB 1 1 1 1 
AB 0 1 1 1 
X = BD+BAC+AB 
Terminado o preenchimento pelos 
termos da expressão, preencher os 
quadros vazios com ‘0’. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão abaixo, pelo mapa K 
EXERCÍCIO 
X = ABD+BC+DCB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão abaixo, pelo mapa K 
EXERCÍCIO 
X = ABD+BC+DCB 
1º passo: Verificar se a expressão está na 
forma de soma-de-produtos. 
 
SIM, ESTÁ! 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão abaixo, pelo mapa K 
EXERCÍCIO 
X = ABD+BC+DCB 
CD CD CD CD 
AB 
AB 
AB 
AB 
2º passo: Preencher o mapa K 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão abaixo, pelo mapa K 
EXERCÍCIO 
X = ABD+BC+DCB 
CD CD CD CD 
AB 0 0 0 0 
AB 1 1 1 0 
AB 1 1 1 1 
AB 0 0 0 0 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 0 0 0 0 
AB 1 1 1 0 
AB 1 1 1 1 
AB 0 0 0 0 
3º passo: Simplificar o mapa K 
X = BC + BD + AB 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão abaixo, pelo mapa K 
EXERCÍCIO 
X = B + ABCD 
CD CD CD CD 
AB 
AB 
AB 
AB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão abaixo, pelo mapa K 
EXERCÍCIO 
X = B + ABCD 
CD CD CD CD 
AB 1 
AB 1 1 1 1 
AB 1 1 1 1 
AB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão abaixo, pelo mapa K 
EXERCÍCIO 
X = B + ACD 
CD CD CD CD 
AB 1 
AB 1 1 1 1 
AB 1 1 1 1 
AB 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplificação do Mapa K por maxitermos 
– Assim como é possível obter a expressão de um 
circuito a partir da tabela-verdade por 
maxitermos, o mesmo pode ser feito pelo mapa K. 
 
– O resultado será uma expressão na forma 
“Produto de Somas”. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
CD CD CD CD 
AB 1 1 0 0 
AB 1 0 0 0 
AB 1 0 1 1 
AB 1 1 1 1 
O processo é semelhante, porém apresenta algumas 
diferenças importantes: 
 
1. Agrupam-se os quadros com ‘0’. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
CD CD CD CD 
AB 1 1 0 0 
AB 1 0 0 0 
AB 1 0 1 1 
AB 1 1 1 1 
2. Os termos são somas (OR) 
 
3. As variáveis são invertidas nos termos 
Nesse agrupamento, 
são constantes: 
 B, C e D 
O termo será: 
 
 B + C + D 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
CD CD CD CD 
AB 1 1 0 0 
AB 1 0 0 0 
AB 1 0 1 1 
AB 1 1 1 1 
2. Os termos são somas (OR) 
 
3. As variáveis são invertidas nos termos 
Nesse agrupamento, 
são constantes: 
 A e C 
O termo será: 
 
 A + C 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
CD CD CD CD 
AB 1 1 0 0 
AB 1 0 0 0 
AB 1 0 1 1 
AB 1 1 1 1 
X = (A + C) . (B + C + D) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique o mapa K por: 
(a) Minitermos 
(b) maxitermos 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 0 0 1 0 
AB 1 1 1 1 
AB 1 1 0 0 
AB 1 1 0 0 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
(a) Minitermos 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 0 0 1 0 
AB 1 1 1 1 
AB 1 1 0 0 
AB 1 1 0 0 
X = AC + AB + ACD 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
(b) maxitermos 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 0 0 1 0 
AB 1 1 1 1 
AB 1 1 0 0 
AB 1 1 0 0 
X = (A+C)(A+B+C)(B+C+D) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 0 0 1 0 
AB 1 1 1 1 
AB 1 1 0 0 
AB 1 1 0 0 
X = (A+C)(A+B+C)(B+C+D) 
X = AC + AB + ACD 
(a) Minitermos 
(b) maxitermos 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique o mapa K por: 
(a) Minitermos 
(b) maxitermos 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 0 0 X 0 
AB 0 1 X 1 
AB 1 X X 0 
AB 1 1 0 0 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
(a) Minitermos 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 0 0 X 0 
AB 0 1 X 1 
AB 1 X X 0 
AB 1 1 0 0 
X = AC + BD + ABC 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
(b) maxitermos 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 0 0 X 0 
AB 0 1 X 1 
AB 1 X X 0 
AB 1 1 0 0 
X = (A+C+D)(A+C)(A+B) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 0 0 X 0 
AB 0 1 X 1 
AB 1 X X 0 
AB 1 1 0 0 
X = (A+C+D)(A+C)(A+B) 
(b) maxitermos 
X = AC + BD + ABC 
(a) Minitermos 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Preenchendo um mapa K a partir de 
expressão produto-de-somas 
– A expressão deve estar na forma de produto-de-
somas. 
– Se não estiver, passe para ela fazendo as 
manipulações algébricas necessárias. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Para cada termo na expressão, preencha ‘0’ no 
quadro do mapa K que corresponda à mesma 
combinação de variáveis. 
• Lembre-se de inverter as variáveis! 
• Nos demais quadros, preencha com ‘1’. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
CD CD CD CD 
AB 0 0 
AB 0 0 
AB 
AB 
X = (A+C)(B+D) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
CD CD CD CD 
AB 0 0 
AB 0 0 
AB 0 0 
AB 0 0 
X = (A+C)(A+D) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão abaixo pelo mapa K e 
represente-a como soma-de-produtos: 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 
AB 
AB 
AB 
X = (C+B+A)(A+B)(D+C+B) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão abaixo pelo mapa K 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 
AB 
AB 
AB 0 0 
X = (C+B+A)(A+B)(D+C+B) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão abaixo pelo mapa K 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 
AB 0 0 0 0 
AB 
AB 0 0 
X = (C+B+A)(A+B)(D+C+B) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão abaixo pelo mapa K 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 0 
AB 0 0 0 0 
AB 
AB 0 0 0 
X = (C+B+A)(A+B)(D+C+B) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Simplifique a expressão abaixo pelo mapa K 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 1 0 1 1 
AB 0 0 0 0 
AB 1 1 1 1 
AB 1 0 0 0 
X = (C+B+A)(A+B)(D+C+B) 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
Simplificando: 
EXERCÍCIO 
CD CD CD CD 
AB 1 0 1 1 
AB 0 0 0 0 
AB 1 1 1 1 
AB 1 0 0 0 
X = BCD + ABC + AB 
Resposta: 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Mapa de Karnaugh com 5 variáveis 
 
Em um mapa K de n variáveis, cada quadro tem 
n vizinhos: 
 
CD CD CD CD 
AB 1 
AB 4 2 
AB 3 
AB 
C C 
AB 1 
AB 2 
AB 3 
AB 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Mapa de Karnaugh com 5 variáveis 
 
• Como é impossível representar no plano, um 
mapa onde cada quadro possua 5 vizinhos, é 
necessária uma abordagem tridimensional. 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Mapa de Karnaugh com 5 variáveis 
 
 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Mapa de Karnaugh com 5 variáveis 
 
 
4 
1 2 
3 
5 
Agora, o quadro em 
destaque tem 5 vizinhos: 
 
- Os quatro vizinhos no 
mesmo plano, e 
- O seu ‘par’ no outro 
plano. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Como fazer na prática: 
– Cada plano do mapa terá uma variável fixa. 
– Qualquer variável pode ser fixada mas, em geral, 
escolhe-se uma mais significativa ao problema 
que está sendo tratado. 
– Teremos, então, dois planos. Um com a variável 
escolhida FIXA em ‘0’ e o outro com a mesma 
variável FIXA em ‘1’. 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Mapa de Karnaugh com 5 variáveis 
 
 A = 0 
A = 1 
CIRCUITOS DIGITAIS 
Unidade I 
• Suponha a tabela verdade