APOSTILA DE ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS CC e ESTABILIDADE Parte 2

Prévia do material em texto

Análise de Sistemas Elétricos de Potência 1 
 
 
 
1.9 FALTA ASSIMÉTRICA (SISTEMAS DESBALANCEADOS) 
 
1.9.1 Solução de sistemas polifásicos desbalanceados usando Componentes 
Simétricas 
 
Para que entendamos melhor os termos que serão utilizados, vamos definir as 
diferenças entre desequilíbrio, desbalanço e assimetria. A figura 47, esclarece o que 
vários livros e autores confundem. 
 
 
 
Figura 47 – Representação vetorial de um sistema trifásico. 
 
É comum os livros utilizarem o termo desequilíbrio para desbalanço, pois já se 
consagrou a utilização errônea deste termo. Como podemos ver desequilíbrio é 
apenas tensões/correntes com um mesmo defasamento (120𝑜, por exemplo, para um 
circuito trifásico), mas com valores eficazes diferentes. Quando os valores eficazes 
são iguais, mas os ângulos entre as tensões/correntes são diferentes, então nós 
temos uma assimetria. E finalmente quando ocorre as duas ao mesmo tempo, 
desequilíbrio e assimetria, o que nós temos é um desbalanço. Infelizmente esta 
confusão permanecerá nos livros. Mas, este detalhe, não afetará nosso aprendizado 
das faltas assimétricas (assimetria utilizada corretamente para uma senóide em 
relação ao eixo x). 
 
Na maioria dos sistemas industriais a máxima corrente de defeito é obtida quando 
ocorre um curto-circuito trifásico. Nestes casos a corrente de curto-circuito fase-fase, 
fase-fase-terra e fase-terra serão sempre menores que a trifásica, bastando, portanto, 
calcular apenas a trifásica para dimensionar os equipamentos de proteção. 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 2 
 
Para grandes sistemas, com neutro solidamente aterrado, e alimentação direta de um 
gerador ou de um banco de TR’s delta/estrela, a corrente de curto-circuito fase-terra 
poderá ter valor maior que a trifásica. Nestes casos deveremos calcular a corrente de 
curto-circuito fase-terra através de componentes simétricas. Para se evitar isto, 
normalmente nos sistemas industriais, o neutro é aterrado através de um reator ou 
resistor limitador de corrente, o qual irá limitar a corrente de curto-circuito fase-terra a 
valores abaixo da corrente de curto-circuito trifásica. 
Quando um sistema de potência opera sob condições desbalanceadas, por ocorrência 
de faltas ou suprimento de cargas desequilibradas, as correntes e tensões são 
desequilibradas e assimétricas. 
Neste caso, a aplicação de métodos convencionais para a determinação da solução 
desses circuitos, baseados no uso direto da análise de malhas ou de nós, resulta num 
aumento de complexidade do problema. Entretanto as dificuldades encontradas neste 
tipo de análise podem ser superadas utilizando-se a Decomposição em 
Componentes Simétricas, proposta por C. L. Fortescue em 1918. 
Segundo o Teorema de Fortescue, três fasores desbalanceados podem ser 
decompostos em três sistemas de fasores equilibrados, caracterizados da seguinte 
forma: 
 Componentes de sequência positiva, representados por um sistema de três 
fasores de mesmo módulo, defasados de 120𝑜 entre si e com a mesma 
sequência de fase dos fasores originais; 
 
 Componentes de sequência negativa, representados por um sistema três 
fasores de mesmo módulo, defasados de 120𝑜 entre si e com sequência de 
fase oposta a dos fasores originais; 
 
 Componentes de sequência zero, representados por três fasores iguais (isto 
é, de mesmo módulo e mesmo ângulo). 
 
A figura 48 mostra a representação dos três sistemas de componentes simétricas, 
utilizando como exemplo as tensões. 
 
Figura 48 – Três conjuntos de fasores equilibrados que constituem os componentes 
simétricos de três fasores desbalanceados. 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 3 
 
Sendo cada um dos fasores do conjunto desbalanceado original igual à soma de seus 
componentes, podemos escrever: 
 
Va = 𝑉𝑎1 + 𝑉𝑎2 + 𝑉𝑎0 (1) 
Vb = 𝑉𝑏1 + 𝑉𝑏2 + 𝑉𝑏0 (2) 
Vc = 𝑉𝑐1 + 𝑉𝑐2 + 𝑉𝑐0 (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
A síntese do conjunto dos três fasores desbalanceados, de acordo com as equações 
(1), (2) e (3) é mostrada graficamente nas figuras 48 e 49. Os três conjuntos de fasores 
equilibrados que são os componentes simétricos dos três fasores desbalanceados, 
estão mostrados na figura 22. A soma gráfica dos componentes e os fasores 
desbalanceados resultantes estão mostrados na figura 49. 
 
 
Figura 49 – Soma gráfica dos três componentes da figura 48, a fim de obter três 
fasores desbalanceados. 
 
O método dos componentes simétricos aplicados as faltas assimétricas consiste em 
determinar os componentes simétricos da corrente na falta. Então, podem ser 
determinados os valores de corrente e tensão nos vários pontos do sistema. 
 
Operadores 
É conveniente, por causa das diferenças de fase dos componentes simétricos de 
tensões e correntes num sistema trifásico, dispor-se de um método simplificado para 
indicar a rotação de um fasor de 120𝑜. 
Sist. 3∅ 
desbal. 
Sist. 
3∅ 
Equil. 
Seq. 
Pos. 
Sist. 
3∅ 
Equil. 
Seq. 
Neg. 
Sist. 
3∅ 
Equil. 
Seq. 
Zero 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 4 
 
A letra 𝒂 é comumente usada para designar o operador que causa uma rotação de 
120𝑜 no sentido anti-horário. Tal operador é um número complexo de módulo unitário 
e fase 120𝑜, definido pelas expressões seguintes: 
 
𝑎 = 1∠120𝑜 = 1. 𝑒𝑗2𝜋 3⁄ = −0,5 + 𝑗0,866 
 
−𝑎 = 1∠180𝑜 . 1∠120𝑜 = 1∠300𝑜 = 1∠ − 60 = 0,5 − 𝑗0,866 
A seguir um diagrama fasorial mostrando diversas potências do operador 𝒂 : 
 
 
Funções do operador 𝒂 : 
 
 
 
Componentes Simétricos de fasores assimétricos 
Vimos a síntese de três fasores assimétricos a partir de três fasores simétricos. Esta 
síntese foi feita com a ajuda das equações (1), (2) e (3). Agora vamos partir destas 
equações e determinar os três fasores assimétricos. 
 
Com referência a figura 48, podemos expressar cada componente simétrico utilizando 
o operador 𝒂, assim: 
 𝑉𝑏1 = 𝑎
2𝑉𝑎1 𝑉𝑐1 = 𝑎𝑉𝑎1 
𝑉𝑏2 = 𝑎𝑉𝑎2 𝑉𝑐2 = 𝑎
2𝑉𝑎2 (4) 
 𝑉𝑏0 = 𝑉𝑎0 𝑉𝑐0 = 𝑉𝑎0 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 5 
 
Repetindo as equações (1), (2) e (3) e substituindo as equações (4), teremos: 
 
Va = 𝑉𝑎1 + 𝑉𝑎2 + 𝑉𝑎0 (5) 
Vb = 𝑎
2𝑉𝑎1 + 𝑎𝑉𝑎2 + 𝑉𝑎0 (6) 
Vc = 𝑎𝑉𝑎1 + 𝑎
2𝑉𝑎2 + 𝑉𝑎0 (7) 
 
Ou na forma matricial: 
[
Va
Vb
Vc
] = [
1 1 1
1 𝑎2 𝑎
1 𝑎 𝑎2
] . [
𝑉𝑎0
𝑉𝑎1
𝑉𝑎2
] (8) 
 
Sendo 𝐴 = [
1 1 1
1 𝑎2 𝑎
1 𝑎 𝑎2
], teremos 𝐴−1 =
1
3
[
1 1 1
1 𝑎 𝑎2
1 𝑎2 𝑎
] 
 
Multiplicando ambos os membros da equação (8) por 𝐴−1, ficamos finalmente com: 
 
[
Va0
Va1
Va2
] =
1
3
[
1 1 1
1 𝑎 𝑎2
1 𝑎2 𝑎
] . [
𝑉𝑎
𝑉𝑏
𝑉𝑐
] (9) 
 
O mesmo procedimento se aplica para as correntes:[
Ia
Ib
Ic
] = [
1 1 1
1 𝑎2 𝑎
1 𝑎 𝑎2
] . [
𝐼𝑎0
𝐼𝑎1
𝐼𝑎2
] 
 
[
Ia0
Ia1
Ia2
] =
1
3
[
1 1 1
1 𝑎 𝑎2
1 𝑎2 𝑎
] . [
𝐼𝑎
𝐼𝑏
𝐼𝑐
] (10) 
 
O que nos mostra como decompor três fasores assimétricos em seus componentes 
simétricos. 
Num sistema trifásico com retorno pelo neutro, como podemos ver na figura 50, a 
soma das correntes de linha é igual à corrente de neutro 𝐼𝑛, no caminho de retorno 
pelo neutro. Portanto, 
𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 = 𝐼𝑛 
 
 
Figura 50 – Sistema trifásico com retorno pelo neutro. 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 6 
 
Desde que a soma das três correntes de linha é igual a corrente de neutro, nós temos: 
Ia0 =
1
3
(𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐) =
1
3
. 𝐼𝑛 
Ou 
 
𝐼𝑛 = 3𝐼𝑎0 
 
Ou, 
𝐼𝑛 = 𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 = (𝐼𝑎0 + 𝐼𝑎1 + 𝐼𝑎2) + (𝐼𝑏0 + 𝐼𝑏1 + 𝐼𝑏2) + (𝐼𝑐0 + 𝐼𝑐1 + 𝐼𝑐2)
= (𝐼𝑎0 + 𝐼𝑏0 + 𝐼𝑐0) + (𝐼𝑎1 + 𝐼𝑏1 + 𝐼𝑐1) + (𝐼𝑎2 + 𝐼𝑏2 + 𝐼𝑐2) = 3𝐼𝑎0 
 
Esta corrente produz uma queda de tensão no neutro, dada por: 3𝐼𝑎0. 𝑍𝑛. 
 
Assim, quando não há retorno pelo neutro num sistema trifásico, 𝐼𝑛 é zero e então as 
correntes de linha não possuirão componentes de sequência zero. 
 
Uma carga ligada em ∆ ou Y isolado, não tem retorno pelo neutro e, portanto, as 
correntes que fluem para esse tipo de carga (correntes de linha) não possuem 
componentes de sequência zero. 
 
Exemplo: 
Um condutor de uma linha trifásica está aberto, conforme abaixo. A corrente que flui 
para uma carga ligada em Y pela linha a e b é de 10A. Tomando a corrente na linha 
a como referência e supondo que seja c a linha aberta, determine os componentes 
simétricos das correntes de linha. 
 
 
Solução: 
As correntes de linha são: 
 
𝐼𝑎 = 10∠0
𝑜𝐴 𝐼𝑏 = 10∠180
𝑜𝐴 𝐼𝑐 = 0𝐴 
 
Assim, 
Ia0 =
1
3
(10∠0𝑜 + 10∠180𝑜 + 0) = 0∠0𝑜𝐴 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 7 
 
Ia1 =
1
3
(10∠0𝑜 + 1∠120𝑜. 10∠180𝑜 + 1∠240𝑜. 0) = 5,77∠ − 30𝑜𝐴 
 
Ia2 =
1
3
(10∠0𝑜 + 1∠240𝑜. 10∠180𝑜 + 1∠120𝑜. 0) = 5,77∠30𝑜𝐴 
 
Das equações (4), teremos: 
 
Ib0 = 0∠0
𝑜𝐴 
Ib1 = 5,77∠−150
𝑜A 
Ib2 = 5,77∠150
𝑜𝐴 
 
Ic0 = 0∠0
𝑜𝐴 
Ic1 = 5,77∠90
𝑜A 
Ic2 = 5,77∠−90
𝑜𝐴 
 
Observa-se que: 
 As correntes de linha de sequência zero fluindo para uma carga com ligação 
estrela isolada ou delta são iguais a zero; 
 
Circuitos Simétricos Y ou ∆ 
Em sistemas trifásicos os elementos de circuitos são conectados nas linhas a, b e c e 
na configuração Y ou ∆. Relações entre as correntes e tensões dos componentes 
simétricos de Y e ∆ podem ser estabelecidos. A figura 51 mostra impedâncias 
simétricas conectadas em Y e ∆. 
 
Figura 51 – Impedâncias simétricas: a) Conexão delta; b) Conexão Y. 
 
Carga em Delta - ∆: 
O fasor referência usado para o ∆ serão as quantidades do braço a-b. 
Para as correntes, temos: 
𝐼𝑎 = 𝐼𝑎𝑏 − 𝐼𝑐𝑎 
𝐼𝑏 = 𝐼𝑏𝑐 − 𝐼𝑎𝑏 (11) 
𝐼𝑐 = 𝐼𝑐𝑎 − 𝐼𝑏𝑐 
 
Ao somar as três equações e recordando a definição da corrente de sequência zero, 
se obtém: Ia0 =
1
3
(𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐) = 0, que quer dizer que as correntes de linha em um 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 8 
 
circuito conectado em delta não tem correntes de sequência zero. Substituindo as 
componentes de sequência na equação de 𝐼𝑎, encontramos: 
 
Ia = Ia0 + Ia1 + Ia2 = (Iab0 + Iab1 + Iab2) − (Ica0 + Ica1 + Ica2) = (Iab0 − Ica0) + (Iab1 −
Ica1) + (Iab2 − Ica2) 
 
 
 (12) 
 
Evidentemente se há um valor diferente de zero da corrente Iab0 que circula no circuito 
delta, ela não pode ser determinada apenas pelas correntes de linha. 
Considerando que Ica1 = 𝑎. Iab1 e que Ica2 = 𝑎
2. Iab2, a equação (12) pode ser reescrita 
como: 
Ia1 + Ia2 = (1 − 𝑎)Iab1 + (1 − 𝑎
2)Iab2 
Assim também: 
Ib1 + Ib2 = (1 − 𝑎)Ibc1 + (1 − 𝑎
2)Ibc2 
 
Ic1 + Ic2 = (1 − 𝑎)Ica1 + (1 − 𝑎
2)Ica2 
 
Resultando em: 
Ia1 = (1 − 𝑎)Iab1 = √3 ∠ − 30
𝑜. Iab1 
(13) 
Ia2 = (1 − 𝑎
2)Iab2 = √3 ∠30
𝑜. Iab2 
 
Ou seja, as correntes de sequência positiva e negativa de linha são √3 vezes o valor 
das correntes de sequência positiva e negativa de fase. 
 
O conjunto completo de componentes de sequência positiva e negativa das correntes 
estão representados nos diagramas fasoriais da figura 52. 
 
Figura 52 - Diagramas fasoriais de correntes de sequência positiva e negativa. 
0,0 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 9 
 
0,0 
Carga em Estrela - Y: 
De maneira similar, podemos escrever as tensões de linha em termos de tensões de 
fase de um sistema conectado em estrela: 
𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎𝑛 − 𝑉𝑏𝑛 
𝑉𝑏𝑐 = 𝑉𝑏𝑛 − 𝑉𝑐𝑛 (14) 
𝑉𝑐𝑎 = 𝑉𝑐𝑛 − 𝑉𝑎𝑛 
Se somarmos as três equações, obtemos 𝑉𝑎𝑏0 =
1
3
(𝑉𝑎𝑏 + 𝑉𝑏𝑐 + 𝑉𝑐𝑎) = 0. Ou seja, as 
tensões de linha não tem componentes de sequência zero. Ao substituir as 
componentes das tensões na equação para 𝑉𝑎𝑏, teremos: 
 
Vab = Vab0 + Vab1 + Vab2 = (Van0 + Van1 + Van2) − (Vbn0 + Vbn1 + Vbn2) = 
(Van0 − Vbn0) + (Van1 − Vbn1) + (Van2 − Vbn2) 
 
 
 (15) 
Evidentemente se a tensão Van0 tiver um valor diferente de zero, não se pode 
determinar este valor somente a partir das tensões de linha. Ao separar as 
quantidades de sequência positiva e negativa da maneira como foi feito em (14), se 
obtém as importantes relações de tensão: 
 
Vab1 = (1 − 𝑎
2)Van1 = √3 ∠30
𝑜. Van1 
(16) 
Vab2 = (1 − 𝑎)Van2 = √3 ∠−30
𝑜. Van2 
 
Ou seja, as tensões de sequência positiva e negativa de linha são √3 vezes o valor 
das tensões de sequência positiva e negativa de fase. 
 
Os conjuntos completos de componentes de tensão de sequência positiva e negativa 
podemos ver nos diagramas fasoriais da figura 53. 
 
Figura 53 - Diagramas fasoriais de tensões de sequência positiva e negativa. 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 10 
 
Observação: se as tensões ou correntes de fase e de linha estão em valores em pu, 
deve-se omitir o termo √3 das equações. 
 
Da figura 51 observa-se que 𝑉𝑎𝑏 𝐼𝑎𝑏⁄ = 𝑍∆. Quando dentro do circuito ∆ não há fontes 
ou acoplamentos mútuos. Quando estão presentes as quantidades de sequência 
positiva e negativa, tem-se: 
𝑉𝑎𝑏1
𝐼𝑎𝑏1
=
𝑉𝑎𝑏2
𝐼𝑎𝑏2
= 𝑍∆ (17) 
 
Ao substituir os resultados das equações (13) e (16), obtém-se: 
 
√3. 𝑉𝑎𝑛1∠30
𝑜
𝐼𝑎1
√3
∠30𝑜
=
√3. 𝑉𝑎𝑛2∠−30
𝑜
𝐼𝑎2
√3
∠−30𝑜
= 𝑍∆ 
Assim, 
𝑉𝑎𝑛1
𝐼𝑎1
=
𝑉𝑎𝑛2
𝐼𝑎2
=
𝑍∆
3
= 𝑍𝑌 (18) 
 
Esta relação mostra que as impedâncias conectadas em ∆, são equivalentes as 
impedâncias conectadas em Y, quando 𝑍𝑌 = 𝑍∆ 3⁄ , nas sequências positiva e 
negativa.1.9.2 Potência em termos de Componentes Simétricos 
Se forem conhecidos os componentes simétricos de corrente e tensão, a potência 
consumida num circuito trifásico poderá ser calculada diretamen6te a partir dos 
componentes. A potência complexa total transmitida em um circuito trifásico através 
das três linhas a, b e c é: 
 
𝑆3∅ = 𝑃 + 𝑗𝑄 = 𝑉𝑎. 𝐼𝑎
∗ + 𝑉𝑏. 𝐼𝑏
∗ + 𝑉𝑐. 𝐼𝑐
∗ (19) 
 
Onde 𝑉𝑎, 𝑉𝑏 e 𝑉𝑐 são tensões em relação ao neutro nos terminais e 𝐼𝑎, 𝐼𝑏 e 𝐼𝑐 são as 
correntes que entram no circuito nas três linhas. O neutro poderá ou não existir. Em 
notação matricial, teremos: 
𝑆3∅ = [𝑉𝑎 𝑉𝑏 𝑉𝑐]. [
𝐼𝑎
𝐼𝑏
𝐼𝑐
]
∗
= [
𝑉𝑎
𝑉𝑏
𝑉𝑐
]
𝑡
. [
𝐼𝑎
𝐼𝑏
𝐼𝑐
]
∗
 
 
𝑺 = [𝑨. 𝑽]𝑡. [𝑨. 𝑰]
∗ 
Onde: 
𝑽 = [
𝑉𝑎0
𝑉𝑎1
𝑉𝑎2
] e 𝑰 = [
𝐼𝑎0
𝐼𝑎1
𝐼𝑎2
] 
Sabendo que [𝑨. 𝑽]𝑡 = 𝑽𝑡. 𝑨𝑡 então 𝑺 = 𝑽𝑡 . 𝑨𝑡. [𝑨. 𝑰]
∗ = 𝑽𝑡. 𝑨𝑡. 𝑨
∗. 𝑰∗ 
 
Observando que 𝑨𝑡 = 𝑨 e que 𝒂 e 𝒂
𝟐 são conjugados, obtemos: 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 11 
 
𝑺 = [𝑉𝑎0 𝑉𝑎1 𝑉𝑎2]. [
1 1 1
1 𝑎2 𝑎
1 𝑎 𝑎2
] . [
1 1 1
1 𝑎 𝑎2
1 𝑎2 𝑎
] . [
𝐼𝑎0
𝐼𝑎1
𝐼𝑎2
]
∗
 
 
Sendo que 𝑨𝑡. 𝑨
∗ = 3. 𝑼 
[
1 1 1
1 𝑎2 𝑎
1 𝑎 𝑎2
] . [
1 1 1
1 𝑎 𝑎2
1 𝑎2 𝑎
] = [
3 0 0
0 3 0
0 0 3
] = 3. [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
 
𝑺 = 3[𝑉𝑎0 𝑉𝑎1 𝑉𝑎2]. [
𝐼𝑎0
𝐼𝑎1
𝐼𝑎2
]
∗
 
Portanto, a potência complexa será: 
 
𝑆3∅ = 𝑉𝑎𝑛. 𝐼𝑎𝑛
∗ + 𝑉𝑏𝑛. 𝐼𝑏𝑛
∗ + 𝑉𝑐𝑛. 𝐼𝑐𝑛
∗ = 3. (𝑉𝑎𝑛0. 𝐼𝑎𝑛0
∗ + 𝑉𝑎𝑛1. 𝐼𝑎𝑛1
∗ + 𝑉𝑎𝑛2. 𝐼𝑎𝑛2
∗ ) (20) 
 
O que mostra como a potência complexa pode ser calculada a partir dos componentes 
simétricos das tensões e das correntes de um circuito trifásico desequilibrado. 
 
A potência complexa também pode ser dada por: 
 
𝑆3∅ =
(𝑉𝑎𝑏)
2
𝑅∆
+
(𝑉𝑏𝑐)
2
𝑅∆
+
(𝑉𝑐𝑎)
2
𝑅∆
 
ou 
𝑆3∅ =
(𝑉𝑎𝑛)
2
𝑅𝑌
+
(𝑉𝑏𝑛)
2
𝑅𝑌
+
(𝑉𝑐𝑛)
2
𝑅𝑌
 
Onde 𝑅∆ = 3. 𝑅𝑌 
 
Se os valores de tensão e corrente de sequência estiverem em pu, então teremos: 
 
𝑆3∅,𝑝𝑢1 = 3. (𝑉𝑎𝑛0,𝑝𝑢. 𝐼𝑎𝑛0,𝑝𝑢
∗ + 𝑉𝑎𝑛1,𝑝𝑢. 𝐼𝑎𝑛1,𝑝𝑢
∗ + 𝑉𝑎𝑛2,𝑝𝑢. 𝐼𝑎𝑛2,𝑝𝑢
∗ ) 
Ou 
𝑆3∅,𝑝𝑢2 = 𝑉𝑎𝑛,𝑝𝑢. 𝐼𝑎𝑛,𝑝𝑢
∗ + 𝑉𝑏𝑛,𝑝𝑢. 𝐼𝑏𝑛,𝑝𝑢
∗ + 𝑉𝑐𝑛,𝑝𝑢. 𝐼𝑐𝑛,𝑝𝑢
∗ 
 
1.9.3 Circuitos de sequência de Impedâncias Y e ∆ 
Como as correntes de sequência positiva e negativa somam zero em separado no 
ponto neutro, não pode haver nenhuma corrente de sequência positiva ou negativa 
nas conexões desde o neutro até a terra, independentemente do valor de 𝑍𝑛. 
A combinação das três correntes de sequência zero em n (neutro) produz 3𝐼𝑎0, no que 
resulta em uma queda de tensão de 3𝐼𝑎0. 𝑍𝑛 entre neutro e a terra. Portanto, é 
importante distinguir entre tensão em relação ao neutro e tensão em relação a terra 
em condições de desbalanceamento. 
 
Designaremos: 
𝑉𝑎𝑛 - Tensão entre fase a e neutro; 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 12 
 
𝑉𝑛 - Tensão entre neutro e terra; 
𝑉𝑎 – Tensão entre fase a e terra. 
Desta maneira a tensão na fase a com respeito a terra é dada por: 
 
𝑉𝑎 = 𝑉𝑎𝑛 + 𝑉𝑛 
Onde: 𝑉𝑛 = 3𝐼𝑎0. 𝑍𝑛 
 
Podemos ver estas tensões na figura 54. 
 
Figura 54 – Ligação Y aterrado. 
 
Através da figura 54 podemos escrever as quedas de tensão em relação a terra de 
cada uma das linhas a, b e c, como: 
 
[
𝑉𝑎
𝑉𝑏
𝑉𝑐
] = [
𝑉𝑎𝑛
𝑉𝑏𝑛
𝑉𝑐𝑛
] + [
𝑉𝑛
𝑉𝑛
𝑉𝑛
] = 𝑍𝑌. [
𝐼𝑎
𝐼𝑏
𝐼𝑐
] + 3. 𝐼𝑎0. 𝑍𝑛. [
1
1
1
] 
 
As tensões e correntes a, b e c nesta equação podem ser trocadas por suas 
componentes simétricas: 
𝐴. [
𝑉𝑎0
𝑉𝑎1
𝑉𝑎2
] = 𝑍𝑌. 𝐴. [
𝐼𝑎0
𝐼𝑎1
𝐼𝑎2
] + 3. 𝐼𝑎0. 𝑍𝑛. [
1
1
1
] 
 
Multiplicando ambos os lados pela matriz inversa 𝐴−1, obtemos: 
[
𝑉𝑎0
𝑉𝑎1
𝑉𝑎2
] = 𝑍𝑌. [
𝐼𝑎0
𝐼𝑎1
𝐼𝑎2
] + 3. 𝐼𝑎0. 𝑍𝑛. 𝐴
−1. [
1
1
1
] 
 
Multiplicando agora 𝐴−1 por [1 1 1]𝑡, pode-se somar os elementos em cada fila de 
𝐴−1: 
[
𝑉𝑎0
𝑉𝑎1
𝑉𝑎2
] = 𝑍𝑌. [
𝐼𝑎0
𝐼𝑎1
𝐼𝑎2
] + 3. 𝐼𝑎0. 𝑍𝑛. [
1
0
0
] 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 13 
 
Na forma estendida: 
𝑉𝑎0 = (𝑍𝑌 + 3𝑍𝑛). 𝐼𝑎0 = 𝑍0. 𝐼𝑎0 
 
𝑉𝑎1 = 𝑍𝑌. 𝐼𝑎1 = 𝑍1. 𝐼𝑎1 (21) 
 
𝑉𝑎2 = 𝑍𝑌. 𝐼𝑎2 = 𝑍2. 𝐼𝑎2 
 
As equações (17) e (18), juntamente com as equações (21) mostram que as correntes 
de uma determinada sequência somente proporcionam quedas de tensão na mesma 
sequência em circuitos conectados em Y ou em ∆ com impedâncias simétricas em 
cada fase. Este resultado permite desenhar três circuitos de sequência monofásicos 
como podemos ver na figura 55. 
 
Figura 55 – Circuitos de sequência Zero, Positiva e Negativa. 
 
Estes três circuitos, considerados de maneira simultânea, contém a mesma 
informação que o circuito real da figura 54 e são independentes, porque as equações 
(21) estão desacopladas. O circuito da figura 55a se chama circuito de sequência zero, 
porque relaciona a tensão de sequência zero com a corrente de sequência zero, e 
portanto serve para definir a impedância de sequência zero, que é dada por: 
 
𝑉𝑎0
𝐼𝑎0
= 𝑍0 = 𝑍𝑌 + 3𝑍𝑛 (22) 
 
Da mesma forma, a figura 55b se denomina circuito de sequência positiva e 𝑍1 se 
chama impedância de sequência positiva, já a figura 55c define o circuito de sequência 
negativa e 𝑍2 é a impedância de sequência negativa. Encontramos que as 
impedâncias de sequência positiva e negativa 𝑍1 e 𝑍2, são iguais a impedância 
monofásica usual 𝑍𝑌, sendo este o caso para circuitos simétricos estáveis. 
 
Cada um dos três circuitos de sequência representa uma fase do circuito trifásico real 
quando este último leva corrente somente desta sequência. Quando as correntes das 
três sequências estão simultaneamente presentes, os três circuitos de sequência são 
necessários para representar por completo o circuito original. 
As tensões nos circuitos de sequência positiva e negativa pode-se considerar como 
medidas com respeito a terra ou ao neutro, a qual depende se há ou não uma conexão 
a terra com uma impedância 𝑍𝑛 de valor finito entre neutro e terra. De acordo com 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 14 
 
isto, no circuito de sequência positiva não há diferença entre 𝑉𝑎1 e 𝑉𝑎𝑛1, e de maneira 
similar, esta afirmação se aplica a 𝑉𝑎2 e 𝑉𝑎𝑛2 no circuito de sequência negativa. Assim, 
pode haver uma diferença de tensão entre o neutro e a referência de um circuito de 
sequência zero. No circuito da figura 55a, a corrente 𝐼𝑎0 que flui através de uma 
impedância 3𝑍𝑛, produz a mesma queda de tensão, desde o neutro a terra, que uma 
corrente 3𝐼𝑎0 que flui através da impedância 𝑍𝑛 no circuito real da figura 54. 
 
Se o neutro de um circuito conectado em Y se aterra através de uma impedância zero 
(𝑍𝑛 = 0), então uma conexão de impedância zero une o ponto neutro ao nó de 
referência do circuito de sequência zero. Se não há conexão entre o neutro e a terra, 
não pode haver fluxo de corrente de sequência zero porque 𝑍𝑛 = ∞, indicando-se 
através de um circuito aberto entre neutro e o nó de referência no circuito desequência 
zero, como podemos ver na figura 56. 
 
Figura 56 – Conexão Y sem aterramento e circuito de sequência zero. 
 
Obviamente, um circuito conectado em ∆ não tem uma trajetória ao neutro e assim, 
as correntes que fluem dentro da carga conectada em ∆, ou seu circuito equivalente 
em Y, não podem conter componentes de sequência zero. Considere o circuito 
simétrico conectado em ∆, da figura 57. 
 
Figura 57 – Conexão ∆. 
Neste caso: 
𝑉𝑎𝑏 = 𝑍∆. 𝐼𝑎𝑏; 𝑉𝑏𝑐 = 𝑍∆. 𝐼𝑏𝑐; 𝑉𝑐𝑎 = 𝑍∆. 𝐼𝑐𝑎 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 15 
 
Ao somar as três expressões, tem-se: 
 
𝑉𝑎𝑏 + 𝑉𝑏𝑐 + 𝑉𝑐𝑎 = 3𝑉𝑎𝑏0 = 3𝑍∆𝐼𝑎𝑏0 
 
E como a soma das tensões de linha é sempre zero, tem-se portanto: 
 
𝑉𝑎𝑏0 = 𝐼𝑎𝑏0 = 0 
 
Assim, nos circuitos em ∆ que tem somente impedâncias, sem fontes e sem 
acoplamento mútuo, não pode haver nenhuma corrente de sequência zero circulante. 
Algumas vezes, podem aparecer correntes monofásicas que circulam nos circuitos ∆ 
dos transformadores e geradores por indução ou por tensões geradas de sequência 
zero. Um circuito ∆ e seu circuito de sequência zero é mostrado na figura 58. 
 
Figura 58 – Conexão ∆ e circuito de sequência zero. 
 
Observe, que se tensões de sequência zero fossem geradas nas fases do ∆, não 
poderia haver tensões de sequência zero entre os terminais do ∆, porque a elevação 
de tensão em cada fase podia então igualar-se a queda de tensão na impedância de 
sequência zero de cada fase. 
 
1.9.4 Circuitos de sequência de Linhas de Transmissão Simétricas 
Desde que as linhas de transmissão consistem de componentes estáticos, não há 
diferença como os componentes se comportam para sequência positiva ou negativa. 
Então, o circuito equivalente para uma linha de transmissão é idêntico para ambas as 
redes de sequências. 
No entanto, linhas de transmissão aéreas comportam-se muito diferentemente para 
correntes de sequência zero em relação as correntes de sequência positiva e 
negativa. Como sabemos, a indutância série de uma linha de transmissão aumenta 
na proporção direta do logaritmo natural da distância entre o condutor da fase e o 
condutor de retorno. Para correntes de sequência zero, todas as três fases da linha 
de transmissão carregam correntes iguais, e o caminho de retorno é através dos cabos 
de proteção aéreos ou através da própria terra. Desde que ambos são usualmente 
bem separados das fases, a reatância de sequência zero da linha de transmissão é 
normalmente maior que a reatância de sequência positiva e negativa. 
Para linhas de transmissão sem os cabos de proteção, o caminho de retorno deve ser 
através da própria terra, e a reatância de sequência zero será ainda maior por causa 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 16 
 
da grande distância das fases em relação a terra. A reatância série da linha de 
transmissão para correntes de sequência zero será de 2 à 3,5 vezes maior que a 
reatância série para correntes de sequência positiva e negativa. 
Observe que a resistência série da linha de transmissão permanece a mesma para 
todos os três componentes simétricos. 
 
A figura 59a mostra uma representação de circuito de uma linha de transmissão não 
transposta com auto impedâncias desiguais e impedâncias mútuas desiguais. Aqui, 
 
[𝑉𝑎𝑏𝑐] = [𝑍𝑎𝑏𝑐]. [𝐼𝑎𝑏𝑐] (23) 
 
 
 
Figura 59 – Diagrama do circuito de uma Linha de transmissão: a) Com impedâncias 
desiguais; b) Com impedâncias iguais. 
 
 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 17 
 
Onde, 
[𝑍𝑎𝑏𝑐] = [
𝑍𝑎𝑎 𝑍𝑎𝑏 𝑍𝑎𝑐
𝑍𝑏𝑎 𝑍𝑏𝑏 𝑍𝑏𝑐
𝑍𝑐𝑎 𝑍𝑐𝑏 𝑍𝑐𝑐
] (24) 
Onde as impedâncias próprias são: 
𝑍𝑎𝑎 ≠ 𝑍𝑏𝑏 ≠ 𝑍𝑐𝑐 
E as mútuas, 
𝑍𝑎𝑏 ≠ 𝑍𝑏𝑐 ≠ 𝑍𝑐𝑎 
 
Multiplicando ambos os lados da equação (23) por [𝐴]−1 e também substituindo a 
equação [𝐼𝑎𝑏𝑐] = [𝐴]. [𝐼012] em (23), teremos: 
 
[𝑉𝑎𝑏𝑐] = [𝑍𝑎𝑏𝑐]. [𝐼𝑎𝑏𝑐] 
 
[𝐴]−1. [𝑉𝑎𝑏𝑐] = [𝐴]
−1. [𝑍𝑎𝑏𝑐]. [𝐴]. [𝐼012] 
 
[𝑉012] = [𝑍012]. [𝐼012] (25) 
Onde, por similaridade: 
[𝑍012] ≜ [𝐴]
−1. [𝑍𝑎𝑏𝑐]. [𝐴] (26) 
 
Portanto, a matriz de impedância de sequência de uma linha de transmissão não 
transposta pode ser calculada usando a equação (26) e pode ser expressa como: 
 
[𝑍012] = [
𝑍00 𝑍01 𝑍02
𝑍10 𝑍11 𝑍12
𝑍20 𝑍21 𝑍22
] 
 
Ou 
[𝑍012] = [
(𝑍𝑠0 + 2𝑍𝑚0) (𝑍𝑠2 − 𝑍𝑚2) (𝑍𝑠1 − 𝑍𝑚1)
(𝑍𝑠1 − 𝑍𝑚1) (𝑍𝑠0 − 𝑍𝑚0) (𝑍𝑠2 + 2𝑍𝑚2)
(𝑍𝑠2 − 𝑍𝑚2) (𝑍𝑠1 + 2𝑍𝑚1) (𝑍𝑠0 − 𝑍𝑚0)
] (27) 
 
Onde: 
𝑍𝑠0 =
1
3
(𝑍𝑎𝑎 + 𝑍𝑏𝑏 + 𝑍𝑐𝑐) – auto impedância de sequência zero; 
𝑍𝑠1 =
1
3
(𝑍𝑎𝑎 + 𝑎𝑍𝑏𝑏 + 𝑎
2𝑍𝑐𝑐) – auto impedância de sequência positiva; 
𝑍𝑠2 =
1
3
(𝑍𝑎𝑎 + 𝑎
2𝑍𝑏𝑏 + 𝑎𝑍𝑐𝑐) – auto impedância de sequência negativa; 
𝑍𝑚0 =
1
3
(𝑍𝑏𝑐 + 𝑍𝑐𝑎 + 𝑍𝑎𝑏) – impedância mútua de sequência zero; 
𝑍𝑚1 =
1
3
(𝑍𝑏𝑐 + 𝑎𝑍𝑐𝑎 + 𝑎
2𝑍𝑎𝑏) – impedância mútua de sequência positiva; 
𝑍𝑚2 =
1
3
(𝑍𝑏𝑐 + 𝑎
2𝑍𝑐𝑎 + 𝑎𝑍𝑎𝑏) – impedância mútua de sequência negativa. 
 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 18 
 
Observe que a matriz na equação (27) não é uma matriz simétrica e, portanto, a 
aplicação da equação (25) mostrará que existe um acoplamento mútuo entre as três 
sequências, o que não é um resultado desejável. 
 
Impedâncias de Sequência de Linhas Transpostas 
A solução é transpor completamente a linha ou colocar os condutores com 
espaçamento equilátero entre eles de modo que as impedâncias mútuas resultantes 
sejam iguais entre si, isto é, 𝑍𝑎𝑏 = 𝑍𝑏𝑐 = 𝑍𝑐𝑎 = 𝑍𝑚 , como mostrado na figura 59b. 
Além disso, se as auto impedâncias dos condutores forem iguais entre si, isto é, 𝑍𝑎𝑎 =
𝑍𝑏𝑏 = 𝑍𝑐𝑐 = 𝑍𝑠, a equação (24) pode ser expressa como: 
 
[𝑍𝑎𝑏𝑐] = [
𝑍𝑠 𝑍𝑚 𝑍𝑚
𝑍𝑚 𝑍𝑠 𝑍𝑚
𝑍𝑚 𝑍𝑚 𝑍𝑠
] 
Aplicando a equação (26) 
 
[𝑍012] ≜ [𝐴]
−1. [𝑍𝑎𝑏𝑐]. [𝐴] (26) 
 
Teremos, 
 
[𝑍012] = [
(𝑍𝑠 + 2𝑍𝑚) 0 0
0 (𝑍𝑠 − 𝑍𝑚) 0
0 0 (𝑍𝑠 − 𝑍𝑚)
] = [
𝑍0 0 0
0 𝑍1 0
0 0 𝑍2
] (27) 
 
Onde, 
𝑍0 = 𝑍00 = 𝑍𝑠 + 2𝑍𝑚 – impedância de sequência zero em 60Hz; 
𝑍1 = 𝑍11 = 𝑍𝑠 − 𝑍𝑚 – impedância de sequência positiva em 60Hz; 
𝑍2 = 𝑍22 = 𝑍𝑠 − 𝑍𝑚 – impedância de sequência negativa em 60Hz; 
 
 
Figura 60 – Redes de sequência de uma linha de transmissão: a) rede de sequência 
zero; b) rede de sequência positiva; c) rede de sequência negativa. 
 
A equação (27) indica que não há acoplamento mútuo entre as três sequências, o que 
é um resultado desejável. Veja figura 60. 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 19 
 
Observe que na equação (27) as impedâncias de sequência positiva e negativa da 
linha de transmissão são iguais entre si, mas são muito menores do que a impedância 
de sequência zero da linha. 
 
Exemplo: 
 
A figura acima mostra um circuito elétrico quando ocorre um curto-circuito, envolvendo 
as três fases apenas, provocado por uma barra metálica no ponto indicado. O valor, 
em ampères, da magnitude da corrente de curto, 𝐼𝑐𝑐, é: 
a) 1,0;b) 1,5; 
c) 2,0; 
d) 2,2; 
 
1.9.5 Circuitos de Sequência de Geradores em Vazio 
Na figura 61 podemos ver um gerador síncrono aterrado através de uma reatância. 
Quando ocorre uma falta nos terminais do gerador, fluem as correntes 𝐼𝑎, 𝐼𝑏 e 𝐼𝑐 nas 
linhas. Se a falta envolve a terra, a corrente que flui no neutro do gerador se designa 
como 𝐼𝑛 e as correntes de linha podem se dividir em suas componentes simétricas 
independentemente por mais desbalanceadas que estejam. 
 
Figura 61 – Diagrama do circuito de um gerador aterrado através de uma reatância. 
As fems de fase 𝐸𝑎𝑛, 𝐸𝑏𝑛 e 𝐸𝑐𝑛 são de sequência positiva. 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 20 
 
As equações desenvolvidas para a máquina síncrona ideal se baseiam na suposição 
de que as correntes de armadura instantâneas estão balanceadas, ou seja, 𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 +
𝐼𝑐 = 0, e então podemos ter, 𝐼𝑎 = −(𝐼𝑏 + 𝐼𝑐). Assim, a tensão nos terminais da fase a, 
ou seja, a tensão de fase, é dada por: 
𝑣𝑎𝑛 = −𝑅. 𝑖𝑎 − (𝐿𝑠 + 𝑀𝑠).
𝑑𝑖𝑎
𝑑𝑡
+ 𝑒𝑎𝑛 
Ou, fasorialmente 
𝑽𝑎𝑛 = −𝑅. 𝑰𝑎 − 𝑗𝜔(𝐿𝑠 + 𝑀𝑠). 𝑰𝑎 + 𝑬𝑎𝑛 
 
Onde 𝐸𝑎𝑛 é a tensão interna da máquina síncrona. Substituindo 𝐼𝑎, ficamos com: 
 
𝑣𝑎𝑛 = −𝑅. 𝑖𝑎 − 𝐿𝑠.
𝑑𝑖𝑎
𝑑𝑡
+ 𝑀𝑠.
𝑑
𝑑𝑡
(𝑖𝑏 + 𝑖𝑐) + 𝑒𝑎𝑛 
Ou 
𝑽𝑎𝑛 = −𝑅. 𝑰𝑎 − 𝑗𝜔𝐿𝑠𝑰𝑎 + 𝑗𝜔𝑀𝑠(𝑰𝑏 + 𝑰𝑐) + 𝑬𝑎𝑛 
𝑽𝑏𝑛 = −𝑅. 𝑰𝑏 − 𝑗𝜔𝐿𝑠𝑰𝑏 + 𝑗𝜔𝑀𝑠(𝑰𝑎 + 𝑰𝑐) + 𝑬𝑏𝑛 
𝑽𝑐𝑛 = −𝑅. 𝑰𝑐 − 𝑗𝜔𝐿𝑠𝑰𝑐 + 𝑗𝜔𝑀𝑠(𝑰𝑎 + 𝑰𝑏) + 𝑬𝑐𝑛 
Na forma matricial, teremos: 
 
[
𝑉𝑎𝑛
𝑉𝑏𝑛
𝑉𝑐𝑛
] = −[𝑅 + 𝑗𝜔(𝐿𝑠 + 𝑀𝑠)] [
𝐼𝑎
𝐼𝑏
𝐼𝑐
] + 𝑗𝜔𝑀𝑠 [
1 1 1
1 1 1
1 1 1
] [
𝐼𝑎
𝐼𝑏
𝐼𝑐
] + [
𝐸𝑎𝑛
𝐸𝑏𝑛
𝐸𝑐𝑛
] (23) 
 
As quantidades a, b e c da máquina em termos das componentes simétricas da fase 
a, multiplicando os dois lados por A, são: 
 
[
𝑉𝑎𝑛0
𝑉𝑎𝑛1
𝑉𝑎𝑛2
] = −[𝑅 + 𝑗𝜔(𝐿𝑠 + 𝑀𝑠)] [
𝐼𝑎0
𝐼𝑎1
𝐼𝑎2
] + 𝑗𝜔𝑀𝑠𝐴
−1 [
1 1 1
1 1 1
1 1 1
] 𝐴 [
𝐼𝑎0
𝐼𝑎1
𝐼𝑎2
] + 𝐴−1 [
𝐸𝑎𝑛
𝑎2𝐸𝑎𝑛
𝑎𝐸𝑎𝑛
] 
Ou 
[
𝑉𝑎𝑛0
𝑉𝑎𝑛1
𝑉𝑎𝑛2
] = −[𝑅 + 𝑗𝜔(𝐿𝑠 + 𝑀𝑠)] [
𝐼𝑎0
𝐼𝑎1
𝐼𝑎2
] + 𝑗𝜔𝑀𝑠 [
3 0 0
0 0 0
0 0 0
] [
𝐼𝑎0
𝐼𝑎1
𝐼𝑎2
] + [
0
𝐸𝑎𝑛
0
] 
 
As equações de sequência zero, positiva e negativa se desacoplam para fornecer: 
 
𝑉𝑎𝑛0 = −𝑅𝐼𝑎0 − 𝑗𝜔(𝐿𝑠 − 2𝑀𝑠)𝐼𝑎0 
 𝑉𝑎𝑛1 = −𝑅𝐼𝑎1 − 𝑗𝜔(𝐿𝑠 + 𝑀𝑠)𝐼𝑎1 + 𝐸𝑎𝑛 
𝑉𝑎𝑛2 = −𝑅𝐼𝑎2 − 𝑗𝜔(𝐿𝑠 + 𝑀𝑠)𝐼𝑎2 
 
Desenhar os circuitos de sequência correspondentes torna-se simples ao escrever as 
equações na forma: 
𝑉𝑎𝑛0 = −𝐼𝑎0[𝑅 + 𝑗𝜔(𝐿𝑠 − 2𝑀𝑠)] = −𝐼𝑎0𝑍𝑔0 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 21 
 
 𝑉𝑎𝑛1 = 𝐸𝑎𝑛 − 𝐼𝑎1[𝑅 + 𝑗𝜔(𝐿𝑠 + 𝑀𝑠)] = 𝐸𝑎𝑛 − 𝐼𝑎1𝑍1 (24) 
𝑉𝑎𝑛2 = −𝐼𝑎2[𝑅 + 𝑗𝜔(𝐿𝑠 + 𝑀𝑠)] = −𝐼𝑎2𝑍2 
 
Onde 𝑍𝑔0, 𝑍1 e 𝑍2 são as impedâncias de sequência zero, positiva e negativa do 
gerador. Os circuitos de sequência mostrados nas figuras 62 são os circuitos 
equivalentes monofásicos da máquina trifásica balanceada através dos quais se 
considera que fluem as correntes simétricas das correntes desbalanceadas. As 
componentes de sequência das correntes estão fluindo através de impedâncias da 
sua mesma sequência, como se indica nos subíndices apropriados das impedâncias 
mostradas na figura. Isto é devido a simetria da máquina com respeito as fases a, b e 
c. O circuito de sequência positiva é composto de uma fem em série com a impedância 
de sequência positiva do gerador. Os circuitos de sequência negativa e zero não 
contém fems, mas incluem as impedâncias do gerador e as correntes de sequência 
negativa e zero, respectivamente. 
 
a) Trajetórias da corrente de sequência positiva; b) Rede de sequência positiva; 
 
 
c) Trajetórias da corrente de sequência negativa; d) Rede de sequência negativa; 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 22 
 
 
e) Trajetórias da corrente de sequência zero; f) Rede de sequência zero; 
 
Figura 62 – Trajetórias para a corrente em cada sequência em um gerador e suas 
respectivas redes de sequência. 
 
O nó de referência para os circuitos de sequência positiva e negativa é o neutro do 
gerador. No que se refere as componentes de sequência positiva e negativa, o neutro 
do gerador está no potencial de terra se há uma conexão entre o neutro e a terra que 
tenha uma impedância finita ou zero, porque a conexão não levará correntes de 
sequência positiva e negativa. 
A corrente que flui na impedância 𝑍𝑛 que está entre o neutro e a terra é 3𝐼𝑎0. Observa-
se na figura 62e que a queda de tensão de sequência zero desde o ponto a até o 
ponto terra é −3𝐼𝑎0𝑍𝑛 − 𝐼𝑎0𝑍𝑔0, onde 𝑍𝑔0 é a impedância de sequência zero 
monofásica do gerador. Portanto, o circuito de sequência zero (que é um circuito 
monofásico que se supõe, leva somente corrente de sequência zero de uma fase) 
deve ter uma impedância de 3𝑍𝑛 + 𝑍𝑔0, como pode-se ver na figura 62f. A impedância 
total de sequência zero através da qual flui 𝐼𝑎0 é: 
 
𝑍0 = 3𝑍𝑛 + 𝑍𝑔0 (25) 
 
Geralmente, as componentes de corrente e tensão para a fase a se encontram 
utilizando equações determinadas pelos circuitos de sequência. As componentes para 
as componentes das quedas de tensão desde o ponto a da fase a ao nó de referência 
(o da terra) se escrevem, utilizando a figura 62, da seguinte maneira: 
 
𝑉𝑎0 = −𝐼𝑎0𝑍0 
𝑉𝑎1 = 𝐸𝑎𝑛 − 𝐼𝑎1𝑍1 (26) 
𝑉𝑎2 = −𝐼𝑎2𝑍2 
E 
𝑉𝑎𝑛 = −3𝐼𝑎0𝑍𝑛 
 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 23 
 
Onde 𝑉𝑎𝑛 é a tensão de sequência positiva ao neutro (tensão fase-neutro), 𝑍1 e 𝑍2 são 
as impedâncias de sequência positiva e negativa do gerador, respectivamente, e 𝑍0 é 
a impedância de sequência zero definida pela equação (25). 
As equações desenvolvidas até aqui se baseiam em um modelo simples da máquina, 
em que se supõe somente a existência de componentes fundamentais das correntes; 
desta maneira, as impedâncias de sequências positiva e negativa são iguais entre si, 
mas diferentes da impedância de sequência zero. As reatâncias nos circuitos de 
sequência positiva e negativa são, frequentemente iguais a reatância subtransitória 
ou transitória, dependendo das condições do estudo. 
 
Em geral, as impedâncias para correntes de seqüência positiva, negativa e zero em 
máquinas síncronas (assim como outras máquinas rotativas) têm valores diferentes. 
A impedância de sequência positiva da máquina síncrona pode ser selecionada entre 
subtransitória (𝑋𝑑
′′), transitória (𝑋𝑑
′ ) ou síncrona (𝑋𝑑 = 𝑋𝑠), dependendo do tempo que 
se supõe decorrer do instante do início da falta ao instante em que os valores são 
desejados (por exemplo, para resposta de relé, abertura de disjuntor ou condições de 
falha sustentadas). No entanto, em estudos de faltas, a reatância subtransitória é 
tomada como a reatância de seqüência positiva da máquina síncrona. A impedância 
de sequência negativa de uma máquina síncrona de polos salientes é geralmente 
determinada a partir de: 
𝑍2 = 𝑗𝑋2 = 𝑗 (
𝑋𝑑
′′ + 𝑋𝑞
′′
2
) 
 
Em uma máquina síncrona de rotor cilíndrico, as reatânciasde seqüência 
subtransitória e de seqüência negativa são as mesmas (𝑋𝑑
′′ = 𝑋2 = 𝑋1). 
A impedância de sequência zero de uma máquina síncrona varia amplamente e 
depende do passo dos enrolamentos da armadura. É muito menor do que as 
reatâncias de sequência positiva e negativa correspondentes. 
 
1.9.6 Circuitos de Sequência de Transformadores 
 
Como o transformador é um elemento passivo e estático, qualquer sequência de fase 
será encarada como sequência positiva, sendo a energização em sequência de fase 
contrária a de sequência negativa. Portanto, a priori, não fica definida a sequência 
positiva do transformador. O ensaio de curto-circuito, em qualquer sequência de fase, 
dará o mesmo resultado, ou seja, o valor da impedância de sequência negativa será 
o mesmo da sequência positiva: 
𝑍1 = 𝑍2 
 
A impedância de sequência zero 𝑍0 vai depender do tipo de transformador, da forma 
do seu núcleo magnético (envolvido ou envolvente) e do tipo de conexão das bobinas 
do primário e secundário. 
 
 
 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 24 
 
1.9.6.1 Defasagem de Bancos de Transformadores 
Os TR’s 𝑌 − ∆ e ∆ − 𝑌 apresentam um deslocamento de fase devido a impedância 
série equivalente dos transformadores, mas este deslocamento na prática traz 
pequenas consequências no cálculo de curto-circuito. O procedimento normal é 
calcular as correntes e tensões sem considerar a defasagem causada pela ligação 
𝑌 − ∆ ou ∆ − 𝑌 dos transformadores. Se for importante a defasagem, ela poderá ser 
levada em consideração, conforme será discutido a seguir. 
A norma brasileira de transformadores para redes de transmissão e distribuição 
permite somente dois grupos de ligação para transformadores trifásicos: 
 
Grupo 1: 
Deslocamento angular de 0𝑜, isto é, que não defasam a corrente e a tensão. 
Enquadram-se neste grupo as ligações: 𝑌 − 𝑌, ∆ − ∆ e ∆ − 𝑍𝑖𝑔𝑍𝑎𝑔. 
 
Grupo 2: 
Deslocamento angular de 30𝑜, isto é, que defasam a corrente e a tensão de tal 
maneira que as correntes e tensões no lado de AT fiquem 30𝑜 em avanço em relação 
a essas grandezas no lado de BT. Enquadram-se neste grupo as ligações: 𝑌 − ∆, 
 ∆ − 𝑌 e 𝑌 − 𝑍𝑖𝑔𝑍𝑎𝑔. 
 
 
 
Vamos analisar, a seguir, os dois tipos de ligações mais utilizadas: 𝑌 − ∆ e ∆ − 𝑌. 
 
Ligação do TR 𝒀 − ∆ 
O diagrama esquemático de ligações do TR trifásico 𝑌 − ∆ está representado na figura 
63. 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 25 
 
 
Figura 63 – Esquema trifásico do TR 𝑌 − ∆, na sequência positiva. 
 
Onde: 
𝑛 - é a relação do número de espiras. 
𝐼𝑎1
′ - é a corrente do secundário referida ao primário (𝐼𝑎1
′ = 𝑛. 𝐼𝑎1). 
 
As correntes internas das bobinas 𝐼𝑎1 e 𝐼𝑎1
′ , 𝐼𝑏1 e 𝐼𝑏1
′ e 𝐼𝑐1 e 𝐼𝑐1
′ estão em fase. As 
correntes internas estão em fase quando entram pela marca de polaridade numa 
bobina e saem pela marca de polaridade na outra bobina, mas as correntes de linha 
sofrem um deslocamento angular que pode ser ±30𝑜. 
Se aplicarmos a lei dos nós de Kirchhoff aos pontos A, B e C, obtemos: 
 
𝐼𝐴1 = 𝐼𝑎1 − 𝐼𝑏1 
𝐼𝐵1 = 𝐼𝑏1 − 𝐼𝑐1 
𝐼𝐶1 = 𝐼𝑐1 − 𝐼𝑎1 
As relações angulares que nos interessam são as entre correntes de linha que entram 
no lado de BT e as correntes de linha que saem no lado de AT. 
Na figura 63 as grandezas 𝑛𝐼𝑎1, 𝑛𝐼𝑏1 e 𝑛𝐼𝑐1 estão na linha da BT, enquanto 𝐼𝐴1, 𝐼𝐵1 e 
𝐼𝐶1 estão na linha de AT. Considerando 𝐼𝑎1
′ como referência, teremos o seguinte 
diagrama fasorial: 
 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 26 
 
Observa-se claramente, no diagrama fasorial, que a corrente na BT está 30𝑜 atrasada 
em relação a corrente na AT. Portanto, para as correntes se sequência positiva, existe 
a seguinte relação analítica entre as correntes de linha na AT e na BT: 
 
𝐼𝑎1
′ = 𝑁. 𝐼𝐴1∠−30
𝑜 
 
Relação similar existe entre as tensões de linha na AT e na BT. 
 
𝑉𝑎𝑐1 =
𝑉𝐴𝐶1
𝑁
∠−30𝑜 
Onde: 
𝑁 – relação de tensões de linha. 
 
As tensões correspondentes aplicadas em cada bobina na AT e na BT são: 
 
 
 
𝑉𝑎𝑛1 está em fase com 𝑉𝐴𝐶1 
𝑉𝑏𝑛1 está em fase com 𝑉𝐵𝐴1 
𝑉𝑐𝑛1 está em fase com 𝑉𝐶𝐵1 
 
 
 
Analisando agora o comportamento do mesmo TR, porém, para as correntes de 
sequência negativa, podemos ver na figura 64 o esquema trifásico. 
 
 
Figura 64 – Esquema trifásico do TR 𝑌 − ∆, na sequência negativa. 
 
Se aplicarmos a lei dos nós de Kirchhoff aos pontos A, B e C, obtemos: 
 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 27 
 
𝐼𝐴2 = 𝐼𝑎2 − 𝐼𝑏2 
𝐼𝐵2 = 𝐼𝑏2 − 𝐼𝑐2 
𝐼𝐶2 = 𝐼𝑐2 − 𝐼𝑎2 
 
Considerando 𝐼𝑎2
′ como referência, teremos o seguinte diagrama fasorial: 
 
Vê-se claramente que a corrente na BT está 30𝑜 avançada em relação a corrente de 
AT. O mesmo ocorre para as tensões de sequência negativa. 
 
𝐼𝑎2
′ = 𝑁. 𝐼𝐴2∠30
𝑜 
𝑉𝑎𝑐2 =
𝑉𝐴𝐶2
𝑁
∠30𝑜 
 
Ligação do TR ∆ − 𝒀 
O diagrama esquemático de ligações do TR trifásico ∆ − 𝑌 está representado na figura 
65. 
 
Figura 65 – Esquema trifásico do TR ∆ − 𝑌, na sequência positiva. 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 28 
 
Aplicando a lei dos nós de Kirchhoff aos pontos A, B e C, obtemos: 
 
𝐼𝑎1
′ = 𝑛𝐼𝐴1 − 𝑛𝐼𝐶1 
𝐼𝑏1
′ = 𝑛𝐼𝐵1 − 𝑛𝐼𝐴1 
𝐼𝑐1
′ = 𝑛𝐼𝐶1 − 𝑛𝐼𝐵1 
 
Considerando 𝑛𝐼𝐴1 = 𝐼𝑎1
′ + 𝑛𝐼𝐶1 como referência, teremos o seguinte diagrama 
fasorial: 
 
Observa-se, nesta figura, que a corrente na BT está atrasada 30𝑜 em relação a 
corrente na AT. Assim: 
𝐼𝑎1
′ = 𝑁. 𝐼𝐴1∠−30
𝑜 
Relação similar existe entre as tensões de linha na BT e na AT. 
 
𝑉𝑎𝑏1 =
𝑉𝐴𝐵1
𝑁
∠−30𝑜 
As tensões correspondentes aplicadas em cada bobina na BT e na AT são: 
 
 
𝑉𝑎𝑏1 está em fase com 𝑉𝐴𝑛1 
𝑉𝑏𝑐1 está em fase com 𝑉𝐵𝑛1 
𝑉𝑐𝑎1 está em fase com 𝑉𝐶𝑛1 
 
 
Analisando agora o comportamento do mesmo TR, porém, para as correntes de 
sequência negativa, teremos: 
𝐼𝑎2
′ = 𝑁. 𝐼𝐴2∠30
𝑜 
 
𝑉𝑎𝑏2 =
𝑉𝐴𝐵2
𝑁
∠30𝑜 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 29 
 
1.9.7 Circuitos de Sequência 
Foram desenvolvidos nos itens anteriores circuitos equivalentes monofásicos na 
forma de circuitos de sequência zero, positiva e negativa para impedâncias de carga, 
transformadores, linhas de transmissão e máquinas síncronas, que constituem as 
partes principais da rede trifásica de transmissão de potência. Com exceção das 
máquinas rotativas, todas as partes da rede são estáticas e sem fontes. Com base 
nestas suposições encontramos que: 
 
 Em qualquer parte da rede, a queda de tensão originada pela corrente de uma certa 
sequência só depende da impedância desta parte da rede e ao fluxo de corrente 
desta rede; 
 As impedâncias de sequência positiva e negativa, 𝑍1 e 𝑍2, são iguais em qualquer 
circuito estático e pode-se considerar aproximadamente iguais em máquinas 
síncronas em condições subtransitórias; 
 Em qualquer parte da rede, a impedância de sequência zero, 𝑍0, é em geral, 
diferente de 𝑍1 e 𝑍2; 
 Somente nos circuitos de sequência positiva das máquinas rotativas contém fontes 
que são tensões de sequência positiva; 
 O neutro é a referênciapara as tensões nos circuitos de sequência positiva e 
negativa, e estas tensões em relação ao neutro são iguais as tensões em relação 
a terra, se há uma conexão física de impedância zero ou outra de valor finito entre 
o neutro e a terra do circuito real; 
 Não fluem correntes de sequência positiva ou negativa entre os pontos neutro e 
terra; 
 Não se incluem as impedâncias 𝑍𝑛 nas conexões físicas entre neutro e terra em 
circuitos de sequência positiva e negativa, as quais se representam pelas 
impedâncias 3𝑍𝑛 entre neutro e terra em circuitos de sequência zero; 
 
Estas características dos circuitos de sequência individuais conduzem a construção 
das redes de sequência correspondentes. O objetivo de obter os valores das 
impedâncias de sequência das diferentes partes de um sistema de potência é permitir 
a construção das redes de sequência do sistema completo. A rede de uma sequência 
particular (que se constrói ao unir todos os circuitos de sequência correspondentes 
das partes separadas) mostra todas as trajetórias para o fluxo da corrente desta 
sequência em uma fase do sistema real. 
 
As correntes que fluem nas três fases de um sistema trifásico balanceado, sob 
condições normais de operação, constituem um conjunto simétrico de sequência 
positiva. Estas correntes de sequência positiva somente dão origem a quedas de 
tensão de mesma sequência. 
As análises de uma falta assimétrica em um sistema simétrico consistem em encontrar 
as componentes simétricas das correntes desbalanceadas que fluem pelo sistema. 
Assim, para calcular o efeito de uma falta pelo método das componentes simétricas, 
é essencial determinar as impedâncias de sequência e combiná-las para formar as 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 30 
 
redes de sequência. Então, as redes de sequência que levam as componentes 
simétricas de corrente 𝐼𝑎0, 𝐼𝑎1 e 𝐼𝑎2 se interconectam para representar as diferentes 
condições de falta desbalanceada. Veremos estas conexões no próximo item sobre 
faltas assimétricas. 
 
Circuitos de Sequência Zero de transformadores trifásicos e cargas 
 
Transformadores trifásicos: 
Os circuitos equivalentes de sequência de transformadores trifásicos dependem das 
conexões dos enrolamentos primário e secundário. As diferentes combinações dos 
enrolamentos ∆ e Y determinam as configurações dos circuitos de sequência zero e o 
defasamento nos circuitos de sequência positiva e negativa. 
As conexões se resumem, junto com seus respectivos circuitos de sequência zero, 
nas figuras 66. A ausência das flechas indica que a conexão do transformador é tal 
que não pode fluir uma corrente de sequência zero. As letras P e Q identificam os 
pontos correspondentes no diagrama de conexão e no circuito equivalente. Os 
circuitos equivalentes de sequência zero que se mostram são aproximados porque se 
omitiram a resistência e a trajetória da corrente magnetizante de cada um deles. 
 Símbolo Diagramas de ligação Circ. Equiv. De Seq. Zero 
 
Figura 66 – Circuitos equivalentes de sequência zero de bancos de transformadores 
trifásicos, junto com os diagramas de conexões e os símbolos para diagramas 
unifilares. 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 31 
 
Caso 1: Banco Y-Y. Um neutro aterrado. 
Se qualquer um dos neutros de um banco Y-Y não estiver aterrado, a corrente de 
sequência zero não poderá circular em nenhum dos enrolamentos. A ausência de um 
caminho por um enrolamento impede a passagem da corrente pelo outro. Neste caso, 
existe um circuito aberto para a corrente de sequência zero entre as duas partes do 
sistema ligadas pelo transformador. 
 
Caso 2: Banco Y-Y. Ambos neutros aterrados. 
Quando ambos os neutros de um banco Y-Y estão aterrados, existe um caminho, 
através do transformador, para as correntes de sequência zero em ambos 
enrolamentos. Uma vez que a corrente de sequência zero possa seguir um caminho 
completo por fora do transformador em ambos os lados, ela poderá circular em ambos 
os enrolamentos do transformador. Na rede de sequência zero, os pontos nos dois 
lados do transformador são ligados pela impedância de sequência zero do 
transformador da mesma maneira que nas redes de sequência positiva e negativa. 
 
Caso 3: Banco 𝐘 − ∆. Y aterrado. 
Se o neutro de um banco Y − ∆ estiver aterrado, as correntes de sequência zero terão 
um caminho para terra através da ligação Y porque as correntes induzidas 
correspondentes podem circular no ∆. A corrente de sequência zero, que circula no ∆ 
para equilibrar a corrente de sequência zero no Y, não pode circular nas linhas ligadas 
ao ∆. O circuito equivalente deve oferecer um caminho a partir da linha do lado Y, 
através da resistência e reatância de dispersão equivalentes do transformador, até a 
barra de referência. Deve existir um circuito aberto entre a linha e a barra de referência 
no lado ∆. Se a ligação do neutro para terra apresentar uma impedância 𝑍𝑛, o circuito 
equivalente de sequência zero deve ter uma impedância de 3𝑍𝑛 em série com a 
resistência e reatância de dispersão equivalentes do transformador para ligar a linha 
no lado Y até a terra. 
 
Caso 4: Banco 𝐘 − ∆. Y não-aterrado. 
Um Y não-aterrado é o caso onde a impedância 𝑍𝑛, entre o neutro e a terra, é infinita. 
A impedância 3𝑍𝑛 no circuito equivalente do Caso 3, para a impedância de sequência 
zero, torna-se infinita. A corrente de sequência zero não pode circular nos 
enrolamentos do transformador. 
 
Caso 5: Banco ∆ − ∆. 
Como o circuito ∆ não oferece caminho de retorno para a corrente de sequência zero, 
essa corrente não pode circular para o banco ∆ − ∆, embora ela possa circular nos 
enrolamentos ∆. 
 
Transformadores de 3 enrolamentos: 
Os transformadores de três enrolamentos são providos de um enrolamento chamado 
terciário. Tal qual um transformador de dois enrolamentos, todos os enrolamentos 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 32 
 
deste equipamento são isolados entre si, o que permite a utilização de duas entradas 
ou duas saídas de mesmo nível de tensão eletricamente isoladas. 
Em conexões trifásicas, o terciário é geralmente ligado em ∆ (delta), o que permite 
uma menor flutuação de tensão, já que este tipo de ligação “filtra” o sistema, retendo 
componentes harmônicas. Além disso, o terciário serve como fonte de energia para 
serviços auxiliares em sistemas de alta tensão. Veja as figuras 67. As figuras 68 
apresentam os diagramas de sequência zero dos transformadores de três 
enrolamentos. 
 
Figura 67 – Diagrama de conexões e circuito equivalente de um transformador de 
três enrolamentos. 
 
No ensaio de um autotransformador de três enrolamentos é possível determinar a 
impedância de cada um dos enrolamentos separadamente, o que não é possível em 
transformadores de dois enrolamentos, onde assume-se que 𝑍1 = 𝑍2
′ = 0,5. 𝑍𝑒𝑞.. 
 
A figura 69 apresenta o circuito equivalente de um transformador de três 
enrolamentos, onde os enrolamentos primário, secundário e terciário são 
identificados, respectivamente, pelas letras P, S e T. 
 
Figura 69 – Circuito equivalente para ensaios de curto-circuito em transformadores 
de três enrolamentos. 
 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 33 
 
 
Figura 68 – Circuitos equivalentes de sequência zero de transformadores de três 
enrolamentos, junto com os diagramas de conexões e os símbolos paradiagramas 
unifilares. 
 
Calculando-se a razão entre a tensão aplicada no primário 𝑉1 com o secundário em 
curto-circuito e o terciário aberto, e a corrente de curto-circuito 𝐼2, obtém-se a 
impedância equivalente 𝑍1−2, que é a impedância percebida pelo terminal primário 
com o secundário em curto: 
 
𝑉1
𝐼2
= 𝑍1−2 (27) 
 
O mesmo entendimento pode ser aplicado ao ensaio realizado entre o primário e o 
terciário e entre o secundário e o terciário. Daí: 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 34 
 
 
𝑉1
𝐼3
= 𝑍1−3 (28) 
 
que é a impedância percebida pelo terminal primário com o terminal terciário em curto, 
e: 
𝑉2
𝐼3
= 𝑍2−3 (29) 
 
que é a impedância percebida pelo terminal secundário com o terminal terciário em 
curto. 
 
As impedâncias equivalentes encontradas a partir das equações (27), (28) e (29) 
contemplam, cada uma, impedâncias de dois enrolamentos distintos, ou seja: 
 
𝑍1−2 = 𝑍1 + 𝑍2 (30) 
𝑍1−3 = 𝑍1 + 𝑍3 (31) 
𝑍2−3 = 𝑍2 + 𝑍3 (32) 
 
Manipulando as equações (30), (31) e (32), chega-se às seguintes relações, que 
evidenciam o valor das impedâncias de cada um dos enrolamentos separadamente: 
 
𝑍1 =
1
2
. (𝑍1−2 + 𝑍1−3 − 𝑍2−3) (33) 
𝑍2 =
1
2
. (𝑍1−2 + 𝑍2−3 − 𝑍1−3) (34) 
𝑍3 =
1
2
. (𝑍1−3 + 𝑍2−3 − 𝑍1−2) (35) 
 
Os valores encontrados por meio das equações (33), (34) e (35) podem ser positivos, 
zero, ou mesmo negativos, sendo que apenas um deles poderá ser negativo. 
Assim como no ensaio de curto para o transformador convencional, deve-se atentar, 
em cada um dos ensaios realizados para o autotransformador, para que tensão e 
corrente de curto estejam sempre referidas a um mesmo terminal do equipamento. 
Além disso, para a correta aplicação das equações (33), (34) e (35), todas as 
impedâncias deverão estar em uma base comum. 
 
Exemplos de redes de sequência zero: 
As figuras 69 mostram o diagrama unifilar de um sistema de potência pequeno e suas 
correspondentes redes de sequência zero, simplificada ao omitir as resistências e as 
admitâncias em paralelo. 
 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 35 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 69 – Exemplos de diagramas unifilares e redes de sequência zero de 
sistemas de potência. 
 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 36 
 
Cargas: 
Cargas ligadas em Y, sem conexão do neutro para a terra ou para outro ponto neutro 
do circuito, a soma das correntes que circulam para o neutro nas três fases é nula. 
Como as correntes cuja soma é nula não apresentam componentes de sequência 
zero, a impedância para a corrente de sequência zero é infinita além do ponto neutro; 
este fato é indicado por um circuito aberto na rede de sequência zero entre o neutro 
do circuito ligado em Y e a barra de referência, como mostra a figura 70a. 
Se o neutro do circuito ligado em Y estiver aterrado através de uma impedância nula, 
uma conexão de impedância zero será inserida para ligar o ponto neutro e a barra de 
referência da rede de sequência zero, como mostra a figura 70b. 
Se a impedância 𝑍𝑛 for inserida entre o neutro e a terra de um circuito ligado em Y, 
deverá ser colocada uma impedância de 3𝑍𝑛 entre o neutro e a barra de referência da 
rede de sequência zero, como mostra a figura 70c. A impedância, consistindo em um 
resistor ou reator, geralmente é ligada entre o neutro de um gerador e a terra para 
limitar a corrente de sequência zero durante a falta. 
Um circuito ligado em ∆, que não pode oferecer um caminho de retorno, apresenta 
impedância infinita para as correntes de linha de sequência zero. A rede de sequência 
zero está aberta no circuito ligado em ∆. As correntes de sequência zero podem 
circular dentro do circuito ∆, uma vez que este é um circuito em série fechado para a 
circulação de correntes monofásicas. Porém, tais correntes teriam de ser produzidas 
no ∆, por indução de uma fonte externa, ou por tensões geradas de sequência zero. 
Um circuito ∆ e sua rede de sequência zero são mostrados na figura 70d. Mesmo 
quando forem geradas tensões de sequência zero nas fases do triângulo, não existirá 
tensão de sequência zero nos seus terminais porque o aumento de tensão em cada 
fase do gerador é igual à queda de tensão na impedância de sequência zero de cada 
fase. 
(a) 
 
 
(b) 
 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 37 
 
(c) 
 
(d) 
Figura 70 – Circuitos equivalentes de sequência zero de cargas trifásicas, junto com 
os diagramas de conexões e os símbolos para diagramas unifilares. 
 
Conclusões: 
As tensões e correntes desequilibradas podem ser decompostas em seus 
componentes simétricos. Os problemas são resolvidos tratando separadamente cada 
conjunto de componentes e superpondo os resultados. 
Em redes equilibradas sem acoplamento entre as fases, as correntes de uma 
sequência de fase induzem quedas de tensão somente da mesma sequência. As 
impedâncias de elementos do circuito para correntes de sequência diferentes não são 
necessariamente iguais. 
No estudo de fluxos de carga, nos cálculos de faltas e no estudo de estabilidade de 
sistemas de potência, é necessário conhecer a rede de sequência positiva. Se os 
cálculos de falta ou os estudos de estabilidade envolvem faltas assimétricas em 
sistemas simétricos, também é necessário conhecer as redes de sequência negativa 
e sequência zero. A síntese da rede de sequência zero exige especial cuidado, porque 
esta rede de sequência pode diferir consideravelmente das outras. 
 
A tabela 1, apresenta características das resistências e reatâncias de sequência de 
alguns equipamentos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 38 
 
Tabela 1 – Impedâncias de sequência de equipamentos. 
 
 
 
1.9.8 FALTAS ASSIMÉTRICAS 
A maioria das faltas que ocorrem nos sistemas de potência são assimétricas e podem 
consistir de curtos-circuitos assimétricos, de faltas assimétricas através de 
impedâncias ou de condutores abertos. As faltas assimétricas chamadas shunt, são 
as que ocorrem entre linhas, entre linha e terra, ou podem ser entre duas linhas e 
terra. O caminho da corrente de falta de linha a linha ou de linha a terra, pode ou não 
conter impedância. As faltas assimétricas chamadas série são aquelas que resultam 
de um ou dois condutores abertos, seja pelo rompimento de um ou de dois condutores, 
seja pela ação de fusíveis ou outros dispositivos que podem não abrir as três fases 
simultaneamente. 
 
1.9.8.1 Faltas Shunt 
Como mostrado na figura 71, 10 tipos diferentes de faltas chamadas “shunt” podem 
ocorrer em um sistema de energia: Uma falta equilibrada: falta trifásica, e nove faltas 
desequilibradas: três faltas fase-terra, três faltas fase-fase e três faltas fase-fase-terra. 
As proteções contra as faltas podem ser agrupadas como proteção de fase e proteção 
Análise de Sistemas Elétricosde Potência 39 
 
de terra. Tradicionalmente, seis relés (três para conexão de fase e três para a conexão 
de terra) são requeridos para fornecer a proteção completa contra as 10 faltas. 
 
Figura 71 – Faltas Shunt em Sistemas de Potência. 
 
As faltas shunt são mais severas do que as faltas série. Faltas equilibradas são mais 
simples de calcular que as faltas desequilibradas. Falhas simultâneas, envolvendo 
duas ou mais falhas que ocorrem simultaneamente, geralmente são consideradas 
como o problema de análise de falhas mais difícil. Nesta apostila, apenas falhas 
equilibradas, desequilibradas e falhas em série são vistas. A probabilidade de ter uma 
falha simultânea é muito menor do que a falha shunt. Portanto, as discussões de 
falhas simultâneas não serão tratadas neste curso. 
 
Falta Trifásica 
A figura 72 mostra um registro para uma falta trifásica, a qual é normalmente 
acompanhada das seguintes variações de parâmetros: 
1. Um aumento da corrente (isto é, sobrecorrente) nas fases A, B, e C; 
2. Na ausência de componente DC ou após a componente DC decair, as correntes 
trifásicas são equilibradas e defasadas de 120 graus uma da outra; 
3. Uma diminuição da tensão (isto é, subtensão) nas fases A, B, e C (as tensões 
afundam para zero); 
4. Nenhuma corrente residual a menos que existam correntes assimétricos no início 
da falha ou o TC satura em algumas fases devido à alta corrente de falha, ou durante 
o processo de interrupção da corrente quando as interrupções atuais da primeira fase 
no ponto de passagem pelo zero; 
5. Tensões trifásicas balanceadas e defasadas de 120 graus. 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 40 
 
 
Figura 72 – Oscilografia de uma falta trifásica para terra em um sistema de potência. 
 
Análise dos defeitos: 
 
1. Curto 3∅, do ponto de vista da estabilidade, é o mais crítico; 
2. Curto 2∅ tem sempre intensidade inferior à do 3∅; 
3. Curto 1∅𝑡 e 2∅𝑡 tendem a ser mais severos a medida que 𝑍0 diminui; 
4. Geralmente, em sistemas industriais (2,4 -34,5 kV) a 𝐼𝑐𝑐1∅𝑡 < 𝐼𝑐𝑐3∅; 
5. Na alta tensão a relação entre 𝐼𝑐𝑐1∅𝑡 e 𝐼𝑐𝑐3∅ varia. 
 
TRATAMENTO DAS FALTAS ASSIMÉTRICAS ATRAVÉS DE COMPONENTES 
SIMÉTRICAS 
Como qualquer falta assimétrica provoca a circulação de correntes desequilibradas 
no sistema, o método dos componentes simétricos é muito útil numa análise que vise 
a determinação das correntes e das tensões em todas as partes do sistema após a 
ocorrência da falta. 
Inicialmente, analisaremos as faltas nos terminais de um gerador em vazio. Depois, 
as faltas num sistema de potência pela aplicação do Teorema de Thèvenin, o que nos 
permitirá determinar a corrente na falta substituindo o sistema inteiro por um único 
gerador e uma impedância em série. 
As equações (26), deduzidas anteriormente são aplicáveis a um gerador, 
independentemente do tipo de falta em seus terminais. Sob a forma matricial as 
equações (26), repetidas agora como equações (27), tornam-se: 
 
[
𝑉𝑎𝑜
𝑉𝑎1
𝑉𝑎2
] = [
0
𝐸𝑎𝑛
0
] − [
𝑍𝑜 0 0
0 𝑍1 0
0 0 𝑍2
] . [
𝐼𝑎𝑜
𝐼𝑎1
𝐼𝑎2
] (27) 
 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 41 
 
Para cada tipo de falta, usaremos as equações (27) juntamente com as equações que 
descrevem as condições da falta, para deduzirmos 𝐼𝑎1 em termos de 𝐸𝑎, 𝑍1, 𝑍2 e 𝑍𝑜. 
 
Faltas através de impedâncias 
Inicialmente vamos considerar curtos-circuitos diretos entre linhas ou entre uma ou 
duas linhas e a terra e, na sequência, levar em consideração uma impedância de falta 
(𝑍𝑓). Muito embora os curtos-circuitos diretos resultem em valores superestimados, os 
valores mais apropriados para a determinação dos efeitos de faltas previsíveis devem 
levar em consideração a impedância de falta que raramente é nula. A maior parte das 
faltas são resultantes de arcos em isoladores; a impedância entre a linha e a terra 
depende da resistência do arco, da torre e até da base da torre, caso não sejam 
usados cabos para aterramento. As resistências da base da torre constituem a maior 
parte da resistência entre a linha e a terra e dependem das condições do solo. As 
ligações dos fios hipotéticos para faltas através de uma impedância serão 
apresentadas em cada caso analisado. 
 
Faltas assimétricas em gerador em vazio 
 
Falta entre uma fase e terra em um gerador em vazio 
 
Falta sem 𝑍𝑓: 
O circuito esquemático para uma falta fase-terra direta em um gerador ligado em Y 
em vazio, com seu neutro aterrado através de uma reatância, é mostrado na figura 
73, onde a falta ocorre na fase a. 
As condições na falta são indicadas pelas seguintes equações: 
 
𝐼𝑏 = 0; 𝐼𝑐 = 0; 𝑉𝑎𝑛 = 0 
 
e 𝐼𝑎 = 𝐼𝑐𝑐 (a corrente 𝐼𝑎 é a corrente de curto-circuito monofásica). 
 
Figura 73 – Diagrama do circuito para uma falta fase-terra simples na fase a dos 
terminais em vazio de um gerador cujo neutro está aterrado através de uma 
reatância. 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 42 
 
Como 𝐼𝑏 = 0 e 𝐼𝑐 = 0, as componentes simétricas de corrente são dadas por: 
 
[
𝐼𝑎0
𝐼𝑎1
𝐼𝑎2
] =
1
3
[
1 1 1
1 𝑎 𝑎2
1 𝑎2 𝑎
] [
𝐼𝑎
0
0
] (28) 
 
De modo que 𝐼𝑎0, 𝐼𝑎1 e 𝐼𝑎2 são todos iguais a 𝐼𝑎 3⁄ e 
 
𝐼𝑎0 = 𝐼𝑎1 = 𝐼𝑎2 = 𝐼𝑎 3⁄ = 𝐼𝑐𝑐/3 (29) 
 
Substituindo 𝐼𝑎0 e 𝐼𝑎2 por 𝐼𝑎1 na equação (27), obtemos: 
 
[
𝑉𝑎0
𝑉𝑎1
𝑉𝑎2
] = [
0
𝐸𝑎𝑛
0
] − [
𝑍𝑜 0 0
0 𝑍1 0
0 0 𝑍2
] [
𝐼𝑎1
𝐼𝑎1
𝐼𝑎1
] (30) 
 
Efetuando a multiplicação e a subtração matriciais indicadas, obtemos uma igualdade 
de duas matrizes-coluna. Pré-multiplicando ambas as matrizes-coluna pela matriz 
linha [1 1 1], obtemos: 
 
𝑉𝑎0 + 𝑉𝑎1 + 𝑉𝑎2 = −𝐼𝑎1𝑍𝑜 + 𝐸𝑎𝑛 − 𝐼𝑎1𝑍1 − 𝐼𝑎1𝑍2 (31) 
 
 
Como 𝑉𝑎𝑛 = 𝑉𝑎0 + 𝑉𝑎1 + 𝑉𝑎2 = 0, resolvemos a equação (31) obtendo 𝐼𝑎1: 
 
𝐼𝑎1 =
𝐸𝑎𝑛
𝑍0+𝑍1+𝑍2
 (32) 
 
𝐼𝑐𝑐 1∅𝑡 = 𝐼𝑎 = 3. 𝐼𝑎1 =
3.𝑉𝑝𝑓
𝑍0+𝑍1+𝑍2
 (33) 
ou 
𝐼𝑐𝑐 1∅𝑡 = 𝐼𝑎 = 3. 𝐼𝑎1 =
√3.𝐸𝐿
𝑍0+𝑍1+𝑍2
 (33) 
 
Onde: 
 𝐸𝑎𝑛 é a tensão de fase; 
 𝐸𝐿 é a tensão de linha: 𝐸𝐿 = √3. 𝐸𝑎𝑛. 
 
Observação: Veja que, se 𝑉𝑝𝑓 = 𝐸𝑎𝑛, então a tensão é fase-neutro. Quando 
utilizamos pu e usamos 1pu para a tensão de pré-falta nominal, não esqueça que este 
valor corresponde a tensão fase-neutro no local da falta. 
 
Se o neutro do gerador está aterrado, então 𝐼𝑛 = 𝐼𝑎 e 𝑉𝑛 = −𝑍𝑛. 𝐼𝑎 = −3𝑍𝑛. 𝐼𝑎0. 
 
Se o neutro do gerador não estiver aterrado, a rede de sequência zero estará em 
aberto e 𝑍0 será infinito. Como a equação (32) mostra que 𝐼𝑎1 é zero quando 𝑍0 é 
infinito, 𝐼𝑎0 e 𝐼𝑎2 também devem ser nulos. Então, nenhuma corrente passará pela fase 
a porque 𝐼𝑎 é a soma das três componentes, todas iguais a zero. O mesmo resultado 
pode ser obtido sem o uso de componentes simétricas, pois uma inspeção do circuito 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 43 
 
mostra que não existe caminho para a corrente na falta, a menos que o neutro do 
gerador esteja aterrado. 
 
As tensões de fasena falta, serão: 
 
𝑉𝑎𝑛 = 𝑉𝑎0 + 𝑉𝑎1 + 𝑉𝑎2 = 0 
𝑉𝑏𝑛 = 𝑉𝑎0 + 𝑎
2𝑉𝑎1 + 𝑎𝑉𝑎2 
𝑉𝑐𝑛 = 𝑉𝑎0 + 𝑎𝑉𝑎1 + 𝑎
2𝑉𝑎2 
 
E as tensões de linha na falta serão: 
 
𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎𝑛 − 𝑉𝑏𝑛 = −𝑉𝑏𝑛 
𝑉𝑏𝑐 = 𝑉𝑏𝑛 − 𝑉𝑐𝑛 
𝑉𝑐𝑎 = 𝑉𝑐𝑛 − 𝑉𝑎𝑛 = 𝑉𝑐𝑛 
 
Agora podemos encontrar a impedância de sequência zero do sistema no PAC, com 
os dados de curto-circuito fornecidos pela Concessionária. Como já vimos, a 
impedância de sequência positiva do sistema no PAC é dada por: 
 
𝑍1 = 𝑍𝑒𝑠,3∅,𝑝𝑢 =
𝑆𝑏,3∅
𝑆𝑐𝑐,3∅
=
1
𝑆𝑐𝑐,3∅,𝑝𝑢
=
1
𝐼𝑐𝑐,3∅,𝑝𝑢
𝑝𝑢 
 
Considerando 𝑍1 = 𝑍2, a impedância equivalente do sistema de sequência zero pode 
ser encontrada através de: 
 
𝑍𝑒𝑠,1∅,𝑝𝑢 =
𝑆𝑏
𝑆𝑐𝑐1∅𝑡
=
1
𝑆𝑐𝑐1∅𝑡 𝑆𝑏⁄
=
1
𝑆𝑐𝑐1∅𝑡,𝑝𝑢
=
1
𝐼𝑐𝑐1∅𝑡,𝑝𝑢
=
1
3.1
2𝑍1 + 𝑍0
=
2𝑍1 + 𝑍0
3
𝑝𝑢 
 
 
 𝑍0,𝑝𝑢 =
3
𝑆𝑐𝑐1∅𝑡,𝑝𝑢
− 2𝑍1,𝑝𝑢 e 𝑍1,𝑝𝑢 = 𝑍2,𝑝𝑢 =
1
𝑆𝑐𝑐3∅,𝑝𝑢
 
 
𝑆𝑐𝑐1∅𝑡 – potência de curto-circuito fase-terra fornecida pela Concessionária em MVA. 
𝑆𝑐𝑐3∅ – potência de curto-circuito trifásica fornecida pela Concessionária em MVA. 
 
Exemplo 1: 
Sejam as potências de curto-circuito fornecidas pela concessionária no PAC: 
𝑆𝑐𝑐3∅ = 100 − 𝑗1500𝑀𝑉𝐴 = 1503,33∠ − 86,20
𝑜 
𝑆𝑐𝑐1∅ = 100 − 𝑗800𝑀𝑉𝐴 = 806,23∠ − 82,87
𝑜 
 
Assuma uma potência de base 𝑆𝑏 = 15𝑀𝑉𝐴. Determine 𝑍1, 𝑍2 e 𝑍0 no PAC. 
 
Solução: 
 𝑍1 = 𝑍2 =
1
𝑆𝑐𝑐3∅
=
1
(100−𝑗1500)
15
= 0,00066 + 𝑗0,00996 = 0,01∠86,2𝑜𝑝𝑢 
 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 44 
 
𝑍0 =
3
𝑆𝑐𝑐1∅
− 2𝑍1 =
1
(100 − 𝑗800)
15
− 2. (0,00066 + 𝑗0,00996) = 0,0056 + 𝑗0,0355
= 0,036∠81𝑜𝑝𝑢 
Exemplo 2: 
Um sistema elétrico alimenta uma indústria em 230kV. Desconectando a indústria 
foram determinadas as reatâncias de sequência positiva e negativa equivalentes do 
sistema:, encontrando o valor de 0,05pu na base de 100MVA para ambas. Sendo a 
potência de curto-circuito monofásica igual a 1500MVA, assumindo que a impedância 
seja puramente reativa, com a tensão pré-falta igual à nominal, o valor da reatância 
de sequência zero é igual a: 
 
Solução: 
𝑍1,𝑝𝑢 = 𝑍2,𝑝𝑢 = 𝑗0,05𝑝𝑢 
 
𝑍0,𝑝𝑢 =
3
𝑆𝑐𝑐1∅𝑡,𝑝𝑢
− 2𝑍1,𝑝𝑢 
 
𝑆𝑐𝑐1∅𝑡,𝑝𝑢 =
1500𝑀𝑉𝐴
100𝑀𝑉𝐴
= 15𝑝𝑢 
 
Portanto: 
𝑍0,𝑝𝑢 =
3
𝑆𝑐𝑐1∅𝑡,𝑝𝑢
− 2𝑍1,𝑝𝑢 =
3
15
− 2.0,05 = 𝑗0,1𝑝𝑢 
 
As equações (29) e (32) são especiais para uma falta fase-terra direta. Elas são 
usadas juntamente com a equação (27) e as relações de componentes simétricas para 
determinar todas as tensões e correntes na falta. Se as três redes de sequência do 
gerador são conectadas em série, como é mostrado na figura 74, vê-se que as 
correntes e tensões assim resultantes satisfazem as equações acima, pois as três 
impedâncias de sequência estarão em série com a tensão 𝐸𝑎𝑛. Com as redes de 
sequência assim conectadas, a tensão em cada rede de sequência será a 
componente simétrica de 𝑉𝑎 daquela sequência. As conexões das redes de sequência 
na forma apresentada na figura 74 são um modo conveniente de memorizar as 
equações para a solução de faltas fase-terra direta, pois todas as equações 
necessárias podem ser determinadas a partir da conexão das redes de sequência. 
 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 45 
 
 
Figura 74 – Conexão das redes de sequência de um gerador em vazio para uma 
falta fase-terra simples na fase a nos terminais do gerador. 
 
Falta com 𝑍𝑓: 
Considere um gerador com todos os terminais em aberto e com seu neutro aterrado. 
Nesse gerador, uma falta à terra em uma ou duas linhas através de 𝑍𝑓, não é diferente, 
no que diz respeito ao valor da corrente de falta ao mesmo tipo de falta sem 
impedância, porém com 𝑍𝑓 colocada na ligação entre o neutro do gerador e a terra. 
Para levar em conta uma impedância 𝑍𝑓 no neutro do gerador, acrescenta-se 3𝑍𝑓 ao 
circuito de sequência zero. O teorema de Thèvenin nos permite aplicar o mesmo 
raciocínio a esses tipos de falta em um sistema de potência. Dessa maneira as 
ligações do circuito de sequência para uma falta entre linha e terra é apresentada na 
figura 75. 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 46 
 
 
Figura 75 – Ligações dos circuitos de sequência para simular uma falta fase-terra 
através de uma impedância no ponto P. 
 
A partir da figura, para uma falta entre linha e terra através de 𝑍𝑓: 
 
𝐼𝑎0 = 𝐼𝑎1 = 𝐼𝑎2 
E 
𝐼𝑎1 =
𝐸𝑎𝑛
𝑍0+𝑍1+𝑍2+3𝑍𝑓
 (54) 
 
𝐼𝑐𝑐 1∅𝑡 = 𝐼𝑎 = 3. 𝐼𝑎1 =
3.𝑉𝑝𝑓
𝑍0+𝑍1+𝑍2
=
3.𝑉𝑝𝑓
𝑍0+𝑍1+𝑍2+3𝑍𝑓
 (33) 
 
Conforme podemos ver na figura 76, a tensão da fase a será: 
 
𝑉𝑎𝑛 = 𝑉𝑎0 + 𝑉𝑎1 + 𝑉𝑎2 = 𝑍𝑓 . 𝐼𝑎 
 
 
Figura 76 – Falta fase-terra com impedância de falta. 
 
Como 𝐼𝑎 = 3𝐼𝑎1, então as tensões de fase serão: 
 
𝑉𝑎𝑛 = 3𝑍𝑓. 𝐼𝑎1 
𝑉𝑏𝑛 = 𝑉𝑎0 + 𝑎
2𝑉𝑎1 + 𝑎𝑉𝑎2 
𝑉𝑐𝑛 = 𝑉𝑎0 + 𝑎𝑉𝑎1 + 𝑎
2𝑉𝑎2 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 47 
 
E as tensões de linha serão: 
𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎𝑛 − 𝑉𝑏𝑛 
𝑉𝑏𝑐 = 𝑉𝑏𝑛 − 𝑉𝑐𝑛 
𝑉𝑐𝑎 = 𝑉𝑐𝑛 − 𝑉𝑎𝑛 
Falta fase-terra mínima: 
No cálculo da corrente de curto-circuito fase-terra mínima, a impedância 𝑍𝑓 é de 
fundamental importância e é composta de três impedâncias, são elas: 
• Impedância de contato (𝑅𝑐𝑡); 
• Impedância da malha de terra (𝑅𝑚𝑡); 
• Impedância de aterramento (𝑅𝑎𝑡). 
 
 Impedância de contato: 
É a resistência oferecida pela superfície de contato do cabo com o solo. Tem-se 
atribuído normalmente o valor conservativo de 𝑅𝑐𝑡 =
40
3
𝛺. 
 
 Impedância da malha de terra: 
Obtida através de medição ou calculada através de metodologia apropriada. Tem-se 
atribuído normalmente o valor conservativo de 𝑅𝑚𝑡 = 10𝛺. 
 
 Impedância de aterramento: 
Quando a corrente de curto-circuito fase-terra é muito elevada, costuma-se introduzir 
entre o neutro do TR e a malha de terra uma determinada impedância que pode ser 
um reator ou um resistor (𝑅𝑎𝑡). 
 
Finalmente a corrente de curto-circuito fase-terra mínima, é dada pela seguinte 
equação: 
𝐼𝑐𝑐1𝜙𝑡,𝑚í𝑛. =
3. 𝐸𝑎𝑛
𝑍0 + 𝑍1 + 𝑍2 + 3(𝑅𝑐𝑡 + 𝑅𝑚𝑡 + 𝑅𝑎𝑡)
 
 
O diagrama da figura 77 mostra o percurso da corrente de falta fase-terra mínima 
pelas diversas impedâncias. 
 
Figura 77 – Circulação da corrente de curto fase-terra em circuitos considerando 𝑍𝑓. 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 48 
 
A figura 78 apresenta a oscilografia de um curto fase-terra. 
 
Figura 78 – Oscilografia de uma falta fase-terra em um sistema de potência. 
 
Falta entre duas fases em um gerador em vazio 
 
Falta sem 𝑍𝑓: 
O circuito esquemático para uma falta fase-fase em um gerador ligado em Y, sem 
aterramento, sem carga é mostrado na figura 79 com a falta nas fases b e c. 
 
Figura 79 – Diagrama do circuito para uma falta entre linhas, nas fases b e c dos 
terminais de um gerador em vazio, cujo neutro está aterrado através de uma 
reatância. 
 
 
Análise de Sistemas Elétricos de Potência 49 
 
As