Raciocínio Lógico (I) 3

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Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
1º BLOCO ........................................................................................................................................................................................... 2
I. Analise Combinatória ............................................................................................................................................................. 2
Fatorial(!) ........................................................................................................................................................................... 2
2º BLOCO ........................................................................................................................................................................................... 4
I. Arranjo e Combinação............................................................................................................................................................ 4
Arranjo ............................................................................................................................................................................... 4
Combinação....................................................................................................................................................................... 4
Permutação........................................................................................................................................................................ 4
3º BLOCO ........................................................................................................................................................................................... 6
I. Casos Especiais de Analise Combinatórias. .......................................................................................................................... 6
Permutação Com Elementos Repetidos ............................................................................................................................ 6
Permutação Circular .......................................................................................................................................................... 6
Combinação Com Repetição ............................................................................................................................................. 6
4º BLOCO ........................................................................................................................................................................................... 8
I. Probabilidade ......................................................................................................................................................................... 8
Eventos Complementares.................................................................................................................................................. 8
5º BLOCO ......................................................................................................................................................................................... 10
I. Casos Especiais de Probabilidade....................................................................................................................................... 10
Eventos Independentes e Eventos Sucessivos ............................................................................................................... 10
Probabilidade Condicional ............................................................................................................................................... 10
Probabilidade da União de Dois Eventos......................................................................................................................... 10
Probabilidade binomial..................................................................................................................................................... 10
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I. ANALISE COMBINATÓRIA
Disciplina que tem como objetivo descobrir o numero de maneiras possíveis de se realizar determinado
“evento”, sem que seja necessário descrever todas essas maneiras.
Ex.:
a) Quais todos os resultados possíveis para o lançamento de uma moeda 3 vezes seguidas.
Resolução:
1o lançamento
2o lançamento
3º lançamento
Logo temos 8 possibilidades.
Para resolver as questões de analise combinatórias usaremos algumas técnicas que veremos a partir de agora.
FATORIAL(!)
Considerando um numero “n” natural maior que 1, podemos definir como fatorial desse número, o numero n!, tal
que:
n! = n x (n – 1) x (n – 2) x (n – 3) x ... x 3 x 2 x 1
Logo, fatorial de um número nada mais é do que a multiplicação desse número por seus antecessores, em ordem,
ate o número 1.
Obs.:
0! = 1
1! = 1
Ex.:
a) 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
b) 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
c) Observe que 6! = 6 x 5 x 4! = 6 x 5 x 24 = 720
Principio Fundamental da Contagem (PFC)
Estrutura básica da analise combinatória, usada sempre que os elementos envolvidos nos cálculos
puderem ser repetidos.
Principio multiplicativo: associado ao uso do conectivo “e”.
Todas as vezes que os elementos do calculo forem ligados pelo conectivo “e” faremos uma multiplicação desses
elementos.
Principio aditivo: associado ao uso do conectivo “ou”.
Todas as vezes que os elementos do calculo forem ligados pelo conectivo “ou” faremos uma adição desses
elementos.
Ex.:
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a) Quantos números de quatro algarismos podem-se formar com os algarismos 1, 2, 3, 4.
b) Uma garoto tem em seu armário 3 calças, 4 bermudas e 8 camisetas. De quantas maneiras diferentes ele
pode se vestir, considerando que ele não deve usar calça e bermuda ao mesmo tempo?
EXERCÍCIO
1. Das 30 moedas que estão no caixa de uma padaria, sabe-se que todas têm apenas um dos três valores: 5
centavos, 10 centavos e 25 centavos. Se as quantidades de moedas de cada valor são iguais, de quantos
modos poderá ser dado um troco de 1 real a um cliente, usando-se exatamente 12 dessas moedas?
a) Três.
b) Quatro.
c) Cinco.
d) Seis.
e) Sete.
No TRT da 1ª Região, o andamento de processo pode ser consultado no sítio www.trtrio.gov.br/Sistemas,
seguindo as orientações abaixo:
Consulta processual pelo sistema de numeração única - processos autuados a partir de 2002: nesse tipo de
consulta, a parte interessada, advogado ou reclamante/reclamada, poderá pesquisar, todo trâmite processual. Para
efetuar a consulta, é necessário preencher todos os campos, de acordo com os seguintes procedimentos (os dígitos
são sempre algarismos arábicos):
Campo 1: digite o número do processo — com 5 dígitos;
Campo 2: digite o ano do processo - com 4 dígitos;
Campo 3: digite o número da Vara do Trabalho onde a ação se originou - com 3 dígitos. Os números das Varas
do Trabalho são codificados conforme tabela anexa do sítio e, nas ações de competência dos TRTs, esse campo
receberá três zeros;
Campo 4: digite o número do TRT onde a ação se originou - com 2 dígitos. No caso do TRT da 1 .* Região,
"01que virá digitado;
Campo 5: digite o número sequencial do processo — com 2 dígitos. Na 1 .*autuação do processo,
independentemente da instância em que for ajuizada, este campo deverá ser preenchido com DO".
Após o preenchimento de todos os campos, clique o botão "consultar" e será apresentada a tela relacionada aos
tipos de processos. Clique o tipo de processo desejado, por exemplo: RT, RO, AP, e será apresentada a tela de
Consulta Processual, com todo o trâmite do processo.
Exemplo de Número Novo: RT: 01100-2002-010-01-00
2. Se for estabelecida a restrição de que no campo 1, referente ao número do processo, até 4 dos 5 dígitos
poderão ser iguais, então a quantidade de possibilidades para esse número é igual a:
a) 32.805.
b) 59.049.
c) 65.610.
d) 69.760.
e) 99.990.
3. O item a seguir apresenta uma informação seguida de uma assertiva a ser julgada a respeito de contagem.
No Brasil, as placas dos automóveis possuem três letras do alfabeto, seguidas de quatro algarismos. Então, com as
letras A, B e C e com os algarismos 1, 2, 3 e 4 é possível formar mais de 140 placas distintas de automóveis.
4. Acerca do princípio da contagem, julgue o item a seguir.
Se os números das matrículas dos empregados de uma fábrica têm 4 dígitos e o primeiro dígito não é zero e se todos
os números de matrícula são números ímpares, então há, no máximo, 450 números de matrícula diferentes.
GABARITO
1 - A
2 - E
3 - CERTA
4 - ERRADO
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I. ARRANJO E COMBINAÇÃO
Duas técnicas usadas para resolução de problemas de analise combinatória, sendo importante saber quando usa
cada uma delas.
Essas técnicas são usadas para resolver questões em que os elementos dos grupos formados não podem ser
repetidos.
A diferença entre quando usar os Arranjos ou as Combinações esta na ordem dos elementos no grupo.
Caso a ordem dos elementos no grupo faça diferença no resultado, resolveremos a questão por Arranjo, caso a
ordem não faca diferença, resolveremos então por Combinação.
ARRANJO
A fórmula de arranjo é a seguinte:
Cujo:
n é o número total de elementos do conjunto; e
p é o número de elementos utilizados.
Ex.:
a) Numa corrida com 15 carros, quantas são as formas de se ter o 1º, 2º e 3º colocados, ao final da corrida?
COMBINAÇÃO
A fórmula de combinação é a seguinte:
Cujo:
n é o número total de elementos do conjunto; e
p é o número de elementos utilizados.
Ex.:
a) Quantas saladas diferentes podemos fazer usando 4 de um total de 7 frutas?
PERMUTAÇÃO
Trata-se de um caso especial de ARRANJO, onde “p” é igual a “n”.
A fórmula de permutação é a seguinte:
Pn = n!
Cujo:
n é o número total de elementos do conjunto.
Ex.:
a) Quantos anagramas têm a palavra PROVA.
Anagrama: agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem
comum.
EXERCÍCIO
1. Com relação aos princípios e técnicas de contagem, julgue o item subsequente.
Caso o chefe de um órgão de inteligência tenha de escolher 3 agentes entre os 7 disponíveis para viagens - um
deles para coordenar a equipe, um para redigir o relatório de missão e um para fazer os levantamentos de
informações -, o número de maneiras de que esse chefe dispõe para fazer suas escolhas é inferior a 200.
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2. O gerente de um projeto quer dividir sua equipe, que é composta de 12 pessoas, em três grupos de quatro
pessoas cada um. Entretanto, duas dessas pessoas, João e Maria, por questões de perfil profissional, serão
colocadas em grupos diferentes. O número de maneiras distintas que esse gerente tem para dividir sua equipe
segundo a forma descrita é:
a) 930
b) 3.720
c) 4.200
d) 8.640
e) 12.661
3. Julgue o item que se segue, a respeito de contagem.
O total de anagramas da palavra TROCAS é mais de 800.
4. Em uma reunião todas as pessoas se cumprimentaram, havendo ao todo 120 apertos de mão. O número de
pessoas presentes nessa reunião foi:
a) 14.
b) 15.
c) 16.
d) 18.
e) 20.
GABARITO
1 - ERRADO
2 - C
3 - ERRADO
4 - C
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I. CASOS ESPECIAIS DE ANALISE COMBINATÓRIAS.
PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS
Se entre os “x” elementos de um conjunto, existem “y” elementos repetidos, “z” elementos repetidos e assim
sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por:
Cujo:
x é o total de elementos do conjunto; e
y, z, w são as quantidades de elementos repetidos.
Ex.:
a) Quantos anagramas têm a palavra ALFACON?
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
Quando na questão for falado que as pessoas ou os objetos serão distribuídos “ao redor” de algo, usaremos essa
técnica.
Cujo:
n é o número total de elementos do conjunto.
Pc = permutação circular.
Ex.:
a) De quantas maneiras 4 pessoas podem sentar-se numa mesa quadrada com 4 lugares.
COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO
Usada quando p > n ou quando a questão falar que pode haver repetição. Lembrando que como se trata de
uma combinação a ordem dos elementos não faz diferença no resultado.
Onde:
n é o número total de elementos do conjunto;
p é o número de elementos utilizados.
Cr = combinação com repetição.
Ex.:
1. Uma loja vende barras de chocolate de diversos sabores. Em uma promoção, era possível comprar três barras
de chocolate com desconto, desde que estas fossem dos sabores ao leite, amargo, branco ou com amêndoas,
repetidos ou não. Assim, um cliente que comprar as três barras na promoção poderá escolher os sabores de “n”
modos distintos, sendo “n” igual a:
a) 20
b) 16
c) 12
d) 10
e) 4
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EXERCÍCIO
1. Uma mesa redonda apresenta lugares para 7 computadores. De quantos modos podemos arrumar os 7
computadores na mesa de modo que dois deles, previamente determinados, não fiquem juntos, considerando
equivalentes disposições que possam coincidir por rotação?
a) 120
b) 240
c) 480
d) 720
e) 840
2. Um posto de combustível comprou 6 bombas (idênticas) de abastecimento, que serão pintadas, antes de sua
instalação, com uma única cor, de acordo com o combustível a ser vendido em cada uma. O posto poderá
vender etanol (cor verde), gasolina (cor amarela) e diesel (cor preta). De quantas maneiras as bombas podem
ser pintadas, considerando a não obrigatoriedade de venda de qualquer tipo de combustível?
a) 20
b) 28
c) 56
d) 216
e) 729
3. Considerando que o anagrama da palavra ALARME seja uma permutação de letras dessa palavra, tendo ou não
significado na linguagem comum, a quantidade de anagramas distintos dessa palavra que começam por vogal é
360.
GABARITO
1 - C
2 - B
3 - ERRADO
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I. PROBABILIDADE
Disciplina que tem como objetivo quantificar as chances de determinado evento ocorrer.
OBS.: chance de determinado acontecimento ocorrer maneiras possíveis de se realizar determinado evento.
CONCEITOS IMPORTANTESExperimento aleatório: é um experimento que não tem como garantir seu resultado, mesmo que ele seja realizado
varias vezes, nas mesmas condições.
Ex.: retirar uma carta do baralho.
Espaço amostral:
possíveis para um experimento aleatório.
Ex.: as cartas do baralho.
Evento: é o acontecimento do qual queremos descobrir qual a probabilidade dele ocorrer. Logo se trata de um
subconjunto do espaço amostral. Representamos evento por qualquer letra do alfabeto.
FORMULA DE PROBABILIDADE
P(A): nº de casos favoráveis/ nº de casos possíveis
Os valores da probabilidade variam de 0 (0%) a 1 (100%).
Quando a probabilidade é de 0 (0%), diz-se que o evento é impossível.
Quando a probabilidade é de 1 (100%), diz-se que o evento é certo.
Qualquer outro valor entre 0 e 1, caracteriza-se como a probabilidade de um evento.
Ex.:
a) Qual a probabilidade de, ao retirar uma carta do baralho, essa ser do naipe de copas?
b) No lançamento de uma moeda três vezes seguidas, qual a probabilidade de sair exatamente 2 caras?
EVENTOS COMPLEMENTARES
A probabilidade de um evento ocorrer somado a dele não ocorrer será sempre igual a 1. Representados pelas
não acontece o evento A.
Calcula-se da seguinte forma:
Ex.:
a) No lançamento de uma moeda três vezes seguidas, qual a probabilidade de sair pelo menos 1 cara?
EXERCÍCIO
1. Considere que 9 rapazes e 6 moças, sendo 3 delas adolescentes, se envolvam em um tumulto e sejam detidos
para interrogatório. Se a primeira pessoa chamada para ser interrogada for escolhida aleatoriamente, então a
probabilidades de essa pessoa ser uma moça adolescente é igual a 0,2.
2. Em um escritório trabalham 10 funcionários: 5 do sexo feminino e 5 do sexo masculino. Dispõe-se de 10 fichas
numeradas de 1 a 10, que será usada para sortear dois prêmios entre esses funcionários e, para tal, cada
mulher receberá uma ficha numerada de 1 a 5, enquanto que cada homem receberá uma numerada de 6 a 10.
Se, para o sorteio, as fichas das mulheres forem colocadas em uma urna M e as dos homens em uma urna H,
então, ao sortear-se uma ficha de cada urna, a probabilidade de que em pelo menos uma delas esteja marcado
um número ímpar é de:
a) 24%
b) 38%.
c) 52%.
d) 68%.
e) 76%.
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3. De 100 processos guardados em um armário, verificou-se que 10 correspondiam a processos com sentenças
anuladas, 20 estavam solucionados sem mérito e 30 estavam pendentes, aguardando a decisão de juiz, mas
dentro do prazo vigente. Nessa situação, a probabilidade de se retirar desse armário um processo que esteja
com sentença anulada, ou que seja um processo solucionado sem mérito, ou que seja um processo pendente,
aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente, é igual a 3/5.
4. Dois dados comuns, "honestos", são lançados simultaneamente. A probabilidade de que a soma dos resultados
seja igual ou maior que 11 é:
a) 11/12
b) 1/6
c) 1/12
d) 2/36
e) 1/36
GABARITO
1 - CERTA
2 - E
3 - CERTA
4 - C
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I. CASOS ESPECIAIS DE PROBABILIDADE
Devemos estar atentos nesses casos às princípios de contagem, tanto o principio multiplicativo quanto o principio
aditivo.
EVENTOS INDEPENDENTES E EVENTOS SUCESSIVOS
Para calcular a probabilidade de dois ou mais eventos independentes e/ou sucessivos bastas multiplicar a
probabilidade de cada um deles.
Ex.:
a) Uma urna tem 50 fichas, sendo 20 vermelhas e 30 azuis. Se sortearmos 2 fichas, 1 de cada vez e repondo a
sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
b) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o outro é todo vermelho e o terceiro é
vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e
mostra, também ao acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz vê
ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a?
PROBABILIDADE CONDICIONAL
É a probabilidade de ocorrer um evento, sabendo que já ocorreu outro relacionado a ele.
A formula para o calculo dessa probabilidade é: 	 = 	 	 	 		 	 	
Ex.:
a) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro
onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas
essas – em sua pequena caixa de joias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com
João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela vê, então, que retirou uma
pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria
retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a?
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS
Sempre que nas questões aparecer a partícula ou para o calculo de 2 probabilidades trata-se de uma questão do
tipo união de dois eventos.
A formula para o calculo dessa probabilidade é: 	( 	 	 ) = 	 	( ) + 	 	( ) 	( 	 	 ).
Ex.:
a) Em uma urna há 100 bolas numeradas de 1 a 100. Nesse caso, qual a probabilidade de se retirar uma bola
cuja numeração seja um múltiplo de 10 ou de 25?
PROBABILIDADE BINOMIAL
Caso especial de probabilidade, no qual temos que ter bastante cuidado na hora de resolver uma questão desse
tipo.
A formula para o calculo dessa probabilidade é: 	 = 	 , 	 	
Onde:
C = combinação
n = numero de repetições do evento
s = números de “sucessos” desejados
f = numero de “fracassos”
Ex.:
a) A probabilidade de serem encontrados defeitos em uma casa popular construída em certo local é igual a 0,1.
Retirando-se amostra aleatória de 5 casas desse local, a probabilidade de que em exatamente duas dessas
casas sejam encontrados defeitos na construção é: