Raciocínio Lógico (II) 6

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1º BLOCO ......................................................................................................................................................................................2
I. Trigonometria.....................................................................................................................................................................2
Triângulo Retângulo.......................................................................................................................................................2
Teorema de Pitágoras....................................................................................................................................................2
Triângulo Pitagórico.......................................................................................................................................................2
Trigonometria no Triângulo Retângulo ...........................................................................................................................3
2º BLOCO ......................................................................................................................................................................................6
I. Continuação de Trigonometria ...........................................................................................................................................6
Triângulo Qualquer ........................................................................................................................................................6
Lei dos Cossenos ..........................................................................................................................................................6
3º BLOCO ......................................................................................................................................................................................9
I. Continuação de Trigonometria ...........................................................................................................................................9
Lei dos Senos................................................................................................................................................................9
4º BLOCO ....................................................................................................................................................................................13
I. Continuação de Trigonometria .........................................................................................................................................13
Área de Triângulo Usando Seno ..................................................................................................................................13
Ciclo Trigonométrico ....................................................................................................................................................13
Relação Fundamental da Trigonometria.......................................................................................................................14
Soma de Arcos ............................................................................................................................................................15
Arco duplo ...................................................................................................................................................................15
5º BLOCO ....................................................................................................................................................................................16
I. Exercícios Relativos ao Encontro .....................................................................................................................................16
I. TRIGONOMETRIA
TRIÂNGULO RETÂNGULO
É o triângulo que tem um ângulo de 90º:
TEOREMA DE PITÁGORAS
Hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos:
222 cba
Exemplos:
222
TRIÂNGULO PITAGÓRICO
Exemplo 1:
2
222
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do Alfa Concursos Públicos Online.
Exemplo 2:
2
2
222
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
hip
oc
sen
..
hip
ac ..
cos
..
..
ac
oc
tg
Obs.: Os nomes dos catetos dependem do ângulo:
Exemplo:
5
4
cos x
5
3
cos y
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do Alfa Concursos Públicos Online.
Dado o triângulo abaixo qual o valor de x e de y sabendo que e .
12
20
6,0
20
x
x
x
sen
16
20
8,0
20
cos
y
y
y
Ângulos Mais Usados são 30º, 45º e 60º:
TABELA
Qual o valor de x e y no triângulo abaixo:
80
40
2
1
40º30
x
x
x
sen
340
3
3
.
3
120
1203
40
2
3
40º30
y
y
y
y
y
tg
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do Alfa Concursos Públicos Online.
20
2
40
402
2202
2202
2
220
º45cos
x
x
x
x
x
x
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
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I. CONTINUAÇÃO DE TRIGONOMETRIA
TRIÂNGULO QUALQUER
Não valem as regras já vistas com catetos e hipotenusa, pois eles não existem no triângulo retângulo.
LEI DOS COSSENOS
Cabbac
Bbccab
Abccba
ˆcos.2
ˆcos.2
ˆcos.2
222
222
222
Lembrar que o comprimento antes da igualdade deve ser do lado oposto ao ângulo utilizado.
Exemplo:
36
108
108
72180
2
1
.14414436
º60cos.12.6.2126
2
2
2
222
x
x
x
x
x
x
Quando o ângulo utilizado é maior que 90º, ou seja, um valor entre 90º e 180º a regra muda, pois cossenos entre
esses graus são negativos.
Logo, se temos um - cos (180°-
222
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
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Exemplo:
792
316
316
144172
2
3
.39610864
º30cos.39610864
)º150º180cos(.36.8.2)36(8
2
2
2
2
2
222
x
x
x
x
x
x
x
Como verificar se um triângulo é acutângulo ou obtusângulo.
Acutângulo: todos os ângulos menores que 90º
Obtusângulo: tem um ângulo maior que 90º
Exemplo:
Conhecendo a medida dos três lados de um triângulo classifique-os em relação aos ângulos.
a) 5cm, 6cm e 7cm Acutângulo
6149
362549
657 222
b) 7cm, 20cm e 24cm Obtusângulo
449576
40049576
20724 222
Exemplo 1:
Um triângulo tem lados medindo 4cm, 5cm e 6cm. Qual o cosseno do ângulo oposto ao maior lado?
4136
162536
456 222
8
1
cos
40
5
cos
5cos40
3641cos40
cos404136
cos40251636
.cos5.4.2546 222
x
x
x
x
x
x
x
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
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Exemplo 2:
Um triângulo tem lados 294 , e 12. Qualo cosseno do ângulo oposto ao maior lado e qual é esse ângulo?
Obtuso
272464
144128464
1228294 2
22
2
2
cos
2
2)180cos(
2
2
.
2
1)180cos(
)180cos(
2192
192
)180cos(.2192272464
)180cos(.2192144128464
)180cos(.12.28.21228294 222
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
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I. CONTINUAÇÃO DE TRIGONOMETRIA
LEI DOS SENOS
Na lei dos senos usamos no máximo dois lados de cada vez, já na lei dos cossenos usávamos o comprimento dos
três em cada exercício.
Exemplo:
A lei dos senos também serve para cálculo do raio da circunferência que circunscreve o triângulo.
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do Alfa Concursos Públicos Online.
Usando o exemplo anterior
5
2
3
.235
2
2
3
35
2
60
35
R
R
R
R
sen
5
2
2
2
25
2
45
25
R
R
R
sen
Dada a figura abaixo calcule a medida do segmento .
3
610
3
3
.
3
210
2103
2
3
10
2
2
º60
10
º45
a
x
x
x
sensen
x
Na lei dos senos também podemos ter triângulos obtusângulos, mas ao contrário do cosseno, o seno não muda de
(180º -
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do Alfa Concursos Públicos Online.
Qual a medida do maior lado do triângulo abaixo?
65
2
1
35
2
2
º30
35
º45
º30
35
º135
x
x
sensen
x
sensen
x
No triângulo que segue calcule:
a) o valor de x.
b) a medida do raio da circunferência que circunscreve o triângulo.
Resolução:
a) 45º + 105º = 150º falta 30º para 180º
o terceiro ângulo é 30º
22
3
26
242103
210243
2
1
10
2
2
243
º30
10
º45
243
x
x
x
x
x
sensen
x
usando o lado de 10cm e o ângulo de 30º
cmR
R
R
sen
10
2
2
1
10
2º30
10
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
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A respeito da figura a seguir responda:
a) Qual o valor de x?
b) Qual o comprimento do menor lado? Considere
c) Qual o raio da circunferência que circunscreve o triângulo?
Resolução:
a) b) c)
cmx
x
x
x
sensen
x
sensen
x
2
65
2
2
.
2
35
352
2
2
5
2
3
º45
5
º60
º45
5
º120
cmy
y
y
y
sensen
y
27
50
5027
27
225
2
2
2
2
5
27
25
º45
5
º15
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
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I. CONTINUAÇÃO DE TRIGONOMETRIA
ÁREA DE TRIÂNGULO USANDO SENO
224
º30.12.8.
2
1
...
2
1
mS
senS
senbaS
CICLO TRIGONOMÉTRICO
0º360
1º270
0º180
1º90
0º0
sen
sen
sen
sen
sen
1º360cos
0º270cos
1º180cos
0º90cos
1º0cos
0º360
º270
0º180
º90
0º0
tg
tg
tg
tg
tg
Segundo Quadrante:
2
3º30cos
)º150º180(cos
º150cos
3
3º30
)º150º180(
º150
tg
tg
tg
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
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Terceiro Quadrante:
2
3º210cos
3
3º210tg
Quarto Quadrante:
2
3º300sen
Exemplo 1:
540º dividimos por 360º e usamos o resto.
540 dividido por 360 da 1 com resto 180.
Assim sen540º = sen180º=0
Exemplo 2:
2160º dividido por 360º é 6 exato logo sem resto
sen2160º = sen0º=0
Exemplo 3:
3720º dividido por 360º é 10 com resto 120º assim
sen3720º = sen120º
2
3º3720sen
RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA
1cos 22 xxsen
Exemplo:
Seja com . Calcule cosx?
5
4
cos
25
16
cos
25
925
cos
25
91cos
1cos
5
3
1cos
2
2
2
2
2
22
x
x
x
x
x
xxsen
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
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SOMA DE ARCOS
)º30º45(º75 sensen
tgbtga
tgbtgabatg
tgbtga
tgbtgabatg
senbsenababa
senbsenababa
asenbbsenabasen
asenbbsenabasen
.1
)(
.1
)(
.cos.cos)(cos
.cos.cos)(cos
cos.cos.)(
cos.cos.)(
Exemplo:
4
62º75
4
6
4
2º75
2
3
.
2
2
2
2
.
2
1º75
º30cosº.45º45cosº.30)º45º30(º75
sen
sen
sen
sensensensen
ARCO DUPLO
xsexxsen
xsenxxsenxxxsen
asenbbsenabasen
xxsenxsen
cos.22
coscos)(
cos.cos.)(
)(2
xsenxx
senxsenxxxxx
senbsenababa
xxx
22cos2cos
.cos.cos)(cos
.cos.cos)(cos
)(cos2cos
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
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I. EXERCÍCIOS RELATIVOS AO ENCONTRO
1. Qual é a área do triângulo que tem lados adjacentes ao ângulo de 45º valendo 5 cm e 8 cm:
a) 7 2 cm2
b) 8 2 cm2
c) 10 2 cm2
d) 14 2 cm2
2. tem 5 soluções.
3. Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale:
a)
24
11
b)
c)
d)
e)
10
3
4. Na figura abaixo, além das medidas dos ângulos indicados, sabe-se que B é ponto médio do segmento AC e
AC= 2cm. A medida do segmento DE, em centímetros é maior que 1,5.
5. Do alto de um farol, cuja altura é de 20 metros, avista-se um navio sob um ângulo de depressão de 30º. A que
distância aproximadamente, o navio se acha do farol? Use
a) 28,75 m
b) 30,20 m
c) 33,50 m
d) 34,67 m
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins
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6. Um topógrafo pretende medir a distância entre dois pontos (A e B) situados em margens opostas de um rio. Para
isso, ele escolheu um ponto C na margem em que está e mediu os ângulos ACB e CAB, encontrando,
respectivamente, 45º e 60º e que o lado AC mede 16 metros. Respeitando essas condições, podemos afirmar
que o lado AB tem medida aproximadamente de: Use se necessário sen75º = 0,96, cos75º = 0,25 e tg75º = 3,73.
a)
b)
c)
d)
7. A figura mostra um artista pintando um quadro, o modelo é uma árvore, a altura da árvore é igual a 50 m?
GABARITO
1 - C
2 - CORRETO
3 - B
4 - CORRETO
5 - D
6 - A
7 - ERRADO