Números Complexos

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l
-
Nuimeeos Complexes
In
^
Z = a t i b
,
i = ,/I ⇒ i2= - I
b - - - - - - ; z
Re Z 
I
 0 .
I
1
Imz I b a
>
Re
. Adige
Inn
0
< 7
^bznp
- - - - - z ,
 -
-
⇒
Z=Z
,
+ Zz
b ?7 £ ' z = C a.tib , ) + ( aztibz )b. FE' " ;zifbz
v . !
>÷
,
Re ⇒ 2=(0-1+0-2) + il b. tbz )
< > < >
Qz Q ,
• Complexes comjugado
z*= a . its
⇒ Re Z = { ( Zt Z* ) ; Imz
 =
zlq.
( z - z* )
. Peoduto
2 ,Zz= ( a , tib , )× 1 aztibz ) = Qiazt ilqbztazb , ) - bibz
⇒ Zizz = a ,Qz - b.bz t i ( a , bztazb , )
2
. Mddeelo Z
-
12.12 = z Z * = ( at ; b) ( a - ib ) = 0.2
tb2⇒
12-1=1127 = lot tb '
o Divisao
a
,
tib
,
=
( a. tib , ) ( az - ibz )
=
a .az - iaibztiazb, + b.bz
azti.bz ( Qztibzllaz - ibz ) al
the⇒ Qi + ibi = On Qztb .bz Qzb , - Qibz+ i =
Qztibz
Otztbz
at + by
A fsemula de Eulee
oglzf = Xfcx
) ⇒ fcx ) = All
"
;
A → Constante neo mule
.
Feamos A =L
, sem pecda de gemecelidade .
xx
f ( xl= l ⇒ f C 07=1 e tamblm :
g. ( x. + x ,
)=e×" " + " " = I " # " = fcx , ) fcxy
Poe onto lado : gcxtcosxtisimx ; gCo)=l
gdzcosx =
- simx
; glzsimx = cosx
3-
⇒ d- glx ) =. .dz lcosxtisimx ) = . simxticosx = i ( cosxtisimx )
= igcx )
dx
Ale 'm disso :
( Cosx , + isimxi ) ( Coskztisimsk ) = ( Cosx , cosxz - simxisimxz
)
+ i ( simxicosxztsimxzcosx , )
⇒ ( Cosx , + isimxi ) ( Coskztisimxz ) = Cos be , txz ) tisimlx , txz )
Assim
,
vemos que
se ×=i
, gcx ) possui todas 
as
pcopsit
dado de fcx ) , de modo que
:
li " = cosx + is imx
Note que l
did I =Ios2xtsim== I
Cosx = Relei
' '
) = } ( eixteix )
simx = Imlei "l= # ( ei
"
.
ii " )
In
^
y - - - - - - . . ?
x= ccoso
c i
,
y = C sine
) 0
!
>
x Re z=x + iy = eccosotisimo ) = clit
c = lZl= dx4y=
.
, tgo=÷
o=tg' lblx )
4
Z
,
= q lid ' ;Zz : gilt
Z ,zz= qqeild ' +0 " = ceil
;
[ = cicz
,
0=9+02
2.1 zz= c , eid ' lqeict = ¥ ido
'
' 9)
= ( d
'd
.
,
[ = 91 e z
;
0=0
, 
- dz
De um modo geeal :
eat
its
= f- eib = it leosbtisimb )
Se ×
, eh Soi cedis e Z , e Zz Seo complexes :
Re ( x
, Zit XZZL ) = X , REZ , + Xzrezz
se zcti = xctitiyctl ⇒ ownagent iggbnn⇒ read# =¥164
De Volta ao osciladoe harms mico
0¥! + W
'
2- =o
,
omde Z agoea I complexes
Pt
Z = e
.
, p →
Constante complete
⇒ p2Z + W2z =o ⇒ p=± iw
5
tiwt -iwt⇒ z ( t ) = At e + A . l
On
,
de modo equivalent ,
2- Ct 1 = Acid just = a eicwttol
)
pois em ambos os coos temos deeds Constants independents
e nma solugai Poole see esceite me forma da 
oeetraoglft
= 
iwaeilwtt 6 ) ⇒
day = Redo,¥= . wasimlwtto )
Supeeposigao de MHS
• Mesma diageo e fceqiiemcia
X.lt ) = A , Cos lwt + $ , )
Xzct ) = Azcoscwtt 0/2 )
In
^
÷
At = AT + A ' + 2A
, Arcos ( $2 - $
,
1
Az
9
A
s
⇒
 a
r.ee:# . A ATP > 2 =
T 01 ,
Al Simp sins
>
Re
s =T - 110
,
. $
,
) => sins = Simco -01,7
⇒
simp = ? simloz - $ , ) =) xct ) = A coslwttqtp )
6
Utilizamdo miimecos completes :
z ,+z , = a. eicwttla
)
+ aiewttloz ) = icwttt . ) [ A , + aiehho, )]
-
lat=[a. + aziehkot
' ' ][ A. + azjiclrlas ]
aeits
⇒ A
'
= At + As + a. a [ ilk #
' +5424 ' ' ] = AT + AT + zaiazeosldzit , )
⇒ Zct )= Aeicwttlqtp
)
. Mesma dice ,6=o e fcequimcias difecemtes
x. C t )= A , coscw ,t+$ , )
Xzct ) = Azcoscwzt +0/2 )
Poe simplicidade , vamos fazee $ , = 0/2=0
In
^
,
siamp = seams = simfiwrw,st]
Az
'
A
wit ⇒ Simp = # simllwz . wilt ]S ( werwztTP f. I- - - - - '
) ,
yw
.
.t
A '
z p = Pct ) → Vacio . com o tempo .
Re
A2cH= Aitaitzaiazcosllwrwnt ]
Em gecal , Xct )= x. Lt ) txzct ) may seed harmonica .
I
Paca que o movimemto seja Periodico , I peecir que rxista
um peciddo T , tot que X , CT ) e XZCT ) Apitam Sens 
Nations
.
Isso so
'
awmtecead se :
W
,
T = ZMT
,
Conn m , r mz imtei cos
WZT = 2 met
Poce 'm
,
T
, = ZIW
,
r Tz = 21 =) T = m , -1 , = m~T~
Nz
Batimemtos
A ,=Az= Ao e wamos supoe Wz > Wi ,
xCH=Ao{ coslw . t ) + coscwzh }
To I ÷ ( w , two
)
Zhi + sw = Zwz ⇒ wz= To + { sw
sw = W - W his - sw = 2W , ⇒ W , = Es
- ÷ sw2 l
⇒ xcH=ao{ cos ( Est + ÷ sw ) teoslwt . ; sw ) }
= Ao { coslwit )
cosltswt
) -
simthsttsimltswttaslwhcosctzswt
) +
simlwtlsimkswt
) }
⇒ A
~
xCH= zaocosciut )cos(s÷wt )
8
-
Sr W ,~~wz ⇒ sw < < to ⇒
Vacio celpido
.
QCH = zaocos ( sqwt ) e sect )= act ) cos Crist )
:
aeia lentamente
To = 21
nx
sw
g-
;
alt )=2Ao6s( sqwt )
...
. . - .
⇒
. .
i.
 . . -
- - . - -
- - - - . - - - - - .
\
' I , r
,
( I 1 /
, l
l I r 1 y*:*:BHer:*.HU#iE*nHidiiiaanH.n tn ! ,- . - - . - f- .- . - . .÷÷ . - . .÷
=
IT
xCH= acttcoscwt ) to
.
Mrsmo
. faqiiimcio . e dingoes perpendiculars
middle = - K F ⇒ do,÷f+w2F=o , w2= Klm
F= xp + yj
' ⇒ die + w2x=o e oIy + w2y=o
dt2 dt2
⇒ sect ) = A coslwt t 4
,
)
yet ) = Bsimlwt t %)
Pooumos escolhee t
'
tat que
wt t $ , = Wt
'
.
Pace simplified
a motagao , esceevecemos t to imvees de t!
I
Assim :
sect )= a eoscwt ) e yctl = B cos ( wt to )
^Y/
A teajetseia estate
'
confined o_0
t B Crmtoimgulo .
- A + A
2
x
.
- B
Pace wmhecetle
,
elimimamos 0 tempo ,
IB = cos lwtlcoso - simcwt ) Sino = Ea cosy
t.simdfl.LT
At
⇒ ¥ + It cost . Zbtacoso = ( i -¥
) sin 'd
⇒ ⇒ + big - zones cost =simY
Casas particulars :
01=0 ⇒ 2¥ tgbh - 215 = 0
AB ^ Y
.
Oscile Como
-7
⇒ If t.bz?-2BgIc=o=sbz=Bg , um pimdnlo← x
.
. -
. Plano .
01=5 ⇒ X ? = 0
-az
t ⇒ + 2¥s
÷⇒ Ba÷ + ¥ , + 23 §, ⇒ ⇒ ¥ = - Ba e > x
.
. -
.
10
4=21 on d=÷r ⇒ xa÷t ¥2 = 1
^501 =
I ^5
10 = fit
t B 2
7 g
i
2
<
i
. g s
. A + A x x
. <
-
2 . s
,
>
- B
XCO ) = A
.
, y ( 07=0
Xco ) = A .
, yco )= 0
XCTIY ) = A 6S(2Iwgty
,
6) = 0 XCTIY ) = Acos ( 2Iwlqw ) =0
ylth
) =
Beos
( 2IwglqµtI) ytlh ) =
Bcos(
www.w/t3zt)
=)
Gctly
)
⇒ gctlh ) =
BGS
( at = B=BCost = - BPaco . outcos valour oh $ teams nme ellipse inclined .• Frrqiiimcias difeeemtese diceyoes perpendicularsFigures de LissajousSe TM, = T mz =) :Fidel !IDii :
Se Tim , # Tzmz
,
- - - .
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,
A Tcajntseia munce se fecha .
'
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