Texto 6 Integral Improprias

Prévia do material em texto

1
TEXTOS DE CÁLCULO – 2004 - INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 
Adelmo R. de Jesus / Ilka R. Freire / Maria Lucia B. Gomes 
 
Quando estudamos integral definida ∫
b
a
f(x)dx trabalhamos com uma função y = f(x) definida 
em um intervalo limitado [a,b] e supomos que esta é contínua por partes, sendo que os pontos 
de descontinuidade são “do tipo finito”, ou seja, os limites laterais nestes pontos existem. Em 
outras palavras, a função y=f(x) é limitada em [a, b ] 
 
Por exemplo, podemos calcular a integral, onde a função é dada pelas sentenças 
 
 7 x 2 se , 2
5 x 2 se , 1-x
2 x 1 se , 
x
1
)x(f







≤<
≤≤
<≤
= 
 
Neste caso, basta dividir a integral em 3 outras integrais, ou 
seja, 
 
∫∫∫∫ ++=
7
5
5
2
2
1
7
1
dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f 
 
 
Vamos agora estender o conceito de integral definida para dois outros casos: 
 
 
1º Caso: O intervalo de definição da função é infinito , tipo [-∞ , b] , [a , +∞] , ou mesmo [-∞ , 
+∞ ] 
 
Neste caso, teremos as integrais ∫
+∞
a
dx )x(f ; ∫
∞
b
-
dx )x(f ; ∫
+∞
∞-
dx )x(f 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) A função f tem uma “descontinuidade infinita” em [a,b] . 
 
 
 
 
 
 
 
-1 1 2 3 4 5 6 7
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1
x
y
1111
−1−1−1−1
1111
2222
3333
4444
5555
1-t
x =1
 2
Em ambos os casos, chamamos as integral ∫
b
a
dx )x(f de Integral Imprópria. 
1º Caso: Definição de integral imprópria em intervalos infinitos: 
 
a) Se ∫
t
a
f(x)dx existe para cada número t > a, então definimos ∫
∞
a
f(x)dx= ∫
∞+→
t
a
 t 
f(x)dx lim , 
desde que o limite exista ( seja um número real) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Se ∫
b
t
f(x)dx existe para cada número t < b, então definimos ∫∫
∞→
∞
=
b
t- t
b
-
f(x)dx limf(x)dx , 
desde que o limite exista (seja um número real) 
 
As integrais impróprias ∫
∞
a
f(x)dx e ∫
∞
b
-
f(x)dx são chamadas convergentes se os limites 
correspondentes existem, e divergentes se os limites não existem. 
 
c) Se ∫
∞
a
-
f(x)dx e ∫
∞
a
f(x)dx e são convergentes, então definimos ∫ ∫+=∫
∞−
∞∞
∞
a
a-
f(x)dxf(x)dxf(x)dx 
 
No item c) qualquer número real a pode ser usado. 
 
Exemplos: 
1) ∫
+∞
−
0
xdxe 
∫
+∞
−
0
xdxe = 1]1e[lim]e[limdxelim t
t
t
0
x
t
t
0
x
t
=+−=−=∫
−
+∞→
−
+∞→
−
+∞→
 
 
Logo, a integral converge a 1. 
Geometricamente temos que a área da região limitada pelas curvas xey −= ; y = 0 e x = 0 tem 
1 unidade de área 
 
2) ∫
+∞
1
xdxln 
+∞=+−=+−=−==∫
+∞→+∞→+∞→+∞→
1)1t(lntlim]1ttlnt[lim]xxlnx[lim (*) xdxlnlim
tt
t
1
t
t
1t
 
 
Neste caso temos que a integral diverge 
 
3 6 9 12 15
1
x
 3
(*) Lembremos que ∫ +−= Cxxlnxxdxln é resolvida usando-se partes ( u= lnx; dv = dx.....) 
 
 
2º Caso: Definição de integral imprópria em funções ilimitadas 
a) Se f é contínua em [a , b ) e ∞=
→
)x(flim
b x
 então ∫=∫
−→
t
abt
b
a
f(x)dxlimf(x)dx desde que o 
limite exista. 
 
A figura ao lado 
→
mostra uma função f: [0, 4) R ilimitada 
Neste caso temos ∫∫
→
=
t
0 4 t
4
0
f(x)dx m i l dx)x(f
-
, desde que o limite 
exista. 
 
 
 
 
b) Analogamente ao caso a), se f é contínua em (a, b] e ∞=
→
)x(flim
a x
, então 
∫∫ +→
=
b
ta t
b
a
f(x)dx m i lf(x)dx 
A integral imprópria ∫
b
a
f(x)dx é chamada convergente se o limite ∫
→
t
ab t
f(x)dxlim
-
correspondente 
existir, e divergente se este limite não existir. 
 
c) Se f tiver uma descontinuidade em a < c < b , e ambas ∫
c
a
f(x)dx e ∫
b
c
f(x)dx ,forem 
convergentes, então definimos 
 f(x)dxf(x)dx f(x)dx
c
a
b
c
b
a
∫ ∫+=∫ 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Determine a área determinada pela curva
x1
1y
−
= , 0 ≤ x ≤1 , e o eixo Ox. 
 
Solução: Precisamos calcular a integral ∫
−
1
0 x1
dx
 
 
Observemos que a função não está definida em x = 1 
 
-1 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
3
4
5
6
7
reta x = 4
1 2 3
2
4
6
8
10
12
14
x
y
reta x =2
t
1111
−1−1−1−1
1111
2222
3333
4444
5555
1-t
x =1
 4
Vamos portanto integrar no intervalo [0, 1 − t] e depois fazer t tender a zero, pela direita. 
 
 
∫
−
1
0 x1
dx
= 2]2t2[ lim]x12[ lim
x1
dx
 lim
0t
t1
0
0t
t1
00t
=+−=−−=∫
− +→
−
+→
−
+→
. 
 
 
Logo, a integral é convergente e a área é igual a 2. 
 
 
 
 
 
2) Verifique se a integral ∫
1
0 x
dx
 é convergente. 
A função não está definida para x = 0. Vamos integrar no intervalo 
[t,1] e depois fazer tender a zero pela direita 
 
 
∫
1
0 x
dx
= +∞=−==∫
+→+→+→
]tln0[lim]x[lnlim
x
dx
lim
0t
1
t
0t
1
t0t
. A integral é divergente 
 
 
3) Verifique se a integral ∫
−
1
1 3 x
dx
 é convergente 
 
Solução: Observemos que a função não está definida para x = 0 
que é um ponto do interior do intervalo de integração [ −1, 1]. 
 
 
 
Devemos, neste caso, separar em duas integrais. Uma no intervalo [ −1, 0) e outra em (0, 
1]. 
 
∫
−
1
1 3 x
dx
= ∫+∫
−
1
0 3
0
1 3 x
dx
x
dx
 
 
Analisando, separadamente: 
2
3]
2
3
t
2
3[lim]x2
3[limdxxlim
x
dx 3/2
0t
t
1
3/2
0t
t
1
3/1
0t
0
1 3
−=−==∫=∫
+→
−
+→−
−
+→−
 ( 1 ) 
 
y
1t
−2−2−2−2 −1−1−1−1 1111 2222
−3−3−3−3
−2−2−2−2
−1−1−1−1
1111
2222
3333
1111t
 5
2
3]t
2
3
2
3[lim]x2
3[limdxxlim
x
dx 3/2
0t
1
t
3/2
0t
1
t
3/1
0t
1
0 3
=−==∫=∫
+→+→
−
+→
 ( 2 ) 
 
De ( 1 ) e ( 2 ) concluímos que a integral ∫
−
1
1 3 x
dx
 é convergente. 
 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Explique porque cada uma das integrais a seguir é imprópria 
 
a) ∫
∞
−
1
x4 dxex
2
 b) ∫
π/2
0
dxsecx c) dx
65xx
x2
0 2
∫
+−
 d) ∫
+
∞
∞− 5x
1
2 dx 
 
2)Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule as que são convergentes 
 
a) ( )∫ +
∞
1 213x
dx
 b) ∫
∞
1
dx
x
lnx
 c) dx
x
lnx
 
1 2
∫
∞
 d) ∫
+
∞
∞-
2x1
xdx
 e) ∫
++
∞
0 3)2)(x(x
dx
 
 
f) ∫
+∞
∞-
3dx x g) ∫
−
9
1 3 9
dx
 
x
 h) ∫
−
∞
1
-
2t- dte i) ∫
∞
∞-
3dx x j) ∫
−
5
2
dx
2x
1
 
 
3) Esboce a região e encontre a área (se a área for finita) 
a) S = { }xey0 1, xy);(x, ≤≤≤ b) S = { }-x/2ey0 -2, xy);(x, ≤≤≥ 
 
c) S = { }2(lnx)/xy0 1,xy);(x, ≤≤≥ 
4) Determine os valores de p para os quais a integral dx 
x
1
 
1
p∫
∞
 converge, para os quais diverge e 
avalie a integral quando ela convergir . 
 5) a) Mostre que ∫
+∞
∞−
xdx é divergente b) Mostre que ∫ =
−
∞→
t
tt
0xdx Lim , 
Isso mostra que não podemos definir ∫=∫
−
∞→
+∞
∞−
t
tt
f(x)dx Limf(x)dx 
 
Respostas: 
 
1a) intervalo infinito 1b) descontinuidade infinita 1c) descontinuidade infinita 
 
1d) intervalo infinito 
2a) 1/12; 2b) diverge; 2c) 1; 2d) diverge; 2e) 
3
2ln−; 2f) diverge; 2g) 6− ; 
2h) diverge; 2i) diverge; 2j) 2 3 ; 3a) e; 3b) 2e; 3c) 1 
 
4) converge se p 1> e 
1p
1dx 
x
1
 
1
p
−
=∫
∞
 , diverge se p 1≤