ENEM Matemática - Curso Anglo - 4 Resoluções

Prévia do material em texto

AULAS 16 a 18
1. Decomponha n em primos = 2a23a3…
Dobro de um cubo quer dizer que todos os ai são múltiplos de 3 exceto a2 que deixa resto 1 na divisão por 3.
Quíntuplo de um quadrado quer dizer que todos são pares exceto a5.
Os menores expoentes possíveis são então a2 = 4; a5 = 3 e os outros a3 = a7 = … = 0.
Resposta: n = 2453 = 2000.
2. Os algarismos das unidades dos quadrados dos números de 1 a 10 são, respectivamente, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 e 0.
Ora, a soma dos números formados por esses algarismos é 45.
Portanto, a soma 12 + 22 + 32 + 42 + … + 102 tem como algarismo das unidades o número 5. De 11 a 20, os alga-
rismos das unidades dos números se repetem na mesma ordem; portanto, o algarismo das unidades da soma de
seus quadrados também é 5. Conseqüentemente, a soma dos quadrados dos números de 1 a 20 tem 0 como
algarismo das unidades. 
Logo a soma 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 tem zero como algarismo das unidades se n é múltiplo de 20. 
Como n = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 1968832 = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1968802 + 1968812 + 1968822 + 1968832,
concluímos que o algarismo das unidades de n é o mesmo do número 0 + 1 + 4 + 9 = 14, ou seja, 4.
3. A área pedida é a metade da área de PBQO
mais da área de APOS, isto é:
Área = 
4. a) A menor distância ocorre quando os satélites tomam as posições A’ e B’ ou
qualquer outros dois pontos alinhados com o centro das órbitas, representado
por T. Nesse caso, a distância entre eles é
TB’ – TA’= 49400 – 37500 = 11900km.
b) A maior distância ocorre quando os satélites tomam as posições A”e B” ou
qualquer outros dois pontos diametralmente opostos. Nesse caso, a distância
entre eles é:
TB”+ TA” = 37500 + 49400 = 86900km.
5. A distância entre a primeira e a última barreira é dada por: 110 – 13,72 – 14,02 = 82,26. Há os espaços iguais entre uma
barreira e a seguinte (pois são 10 barreiras no total): 82,26 : 9 = 9,14.
Portanto, entre uma barreira e a seguinte há 9,14m.
6. Ao furar após a primeira dobra, Carlinhos faz 2 furos; após a segunda dobra, faz 4 furos, após a terceira dobra, faz
8 furos, etc. Assim, ao desdobrar a folha, ele irá contar 1 + 2 + 4 + 8 + … furos. Notando que:
1 + 2 = 22 – 1 (após a primeira dobra)
1 + 2 + 4 = 23 – 1 (após a segunda dobra)
1 + 2 + 4 + 8 = 24 – 1 (após a terceira dobra), etc
Basta encontrar o menor k tal que 2k – 1 é maior ou igual a 100 ⇒ 2k – 1 � 100 ⇔ k � 7
Assim, o menor k vale 7. Isso corresponde a 6 dobras.
 
3 4
2
3 4
4
9 2
× ×
+ = cm
1
4
ClasseEm
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
Resoluções
NÍVEL 1
www.cursoanglo.com.br
Treinamento para
Olimpíadas de
Matemática2008
A B
D C
S
O
M
P
Q
R
A’
B’
A’’ B’’T
7. a) se n = –1 substituindo temos: (positiva)
b) se n = –6 (negativa)
Por tentativas, chega-se a n = –3, pois
Para e para 
8. As figuras possuem um total de 12 × 5 + 20 × 6 = 180 lados. As costuras são 90.
Os alunos deverão identificar os polígonos como faces e as costuras como arestas dessa forma geométrica
que provavelmente tratarão como Poliedro. Será necessário discutir e lembrar que, como nosso material do
Sistema Anglo aponta nas diferentes séries, trata-se de uma superfície poliédrica, e que se parece com uma
esfera. Cabe a você, colega, dosar o quanto deve se aprofundar no assunto.
9. Conseguimos construir 6 paralelepípedos.
1. h representa a medida da altura e 3h medida da base.
Perímetro: 3h + h + 3h + h = 16 ⇒ 8h = 16 ⇒ h = 2m
A base é b = 3 ⋅ 2 = 6m
A área do triângulo sombreado é a metade da área do retângulo, logo
A = (2 × 6) : 2 = 6m2 = 60000cm2
2. PABC = 132cm ⇒ AB = BC = AC = 42cm ⇒ AC = EC = 21cm e BD = DC = 21cm
a) PABDGFEA = 2 ⋅ 44 + 3 ⋅ 11 = 121cm
b) Sendo S a área do triângulo ABC, 
3. a) Não. Pois 25 bombons custam R$2,50.
Qualquer que seja a quantidade de caixas ou de barras, o custo dessas quantidades é um número inteiro. A so-
ma de R$2,50 com esses números não pode dar R$100,00.
b) É necessário ter 10, 20 ou 30, etc., bombons.
O valor das caixas é sempre múltiplo de 5, podendo assim serem feitas várias tentativas: 
4. É preciso saber que: “se um triângulo retângulo estiver inscrito numa circunferência, então sua hipotenusa será um
diâmetro”.
Seja AB um diâmetro da circunferência. Com uma das cores pintamos A e uma das semi-circunferências de
diâmetro AB. Com a outra cor pintamos B e a outra circunferência. Assim, todas as extremidades de diâmetros
terão vértices de cores distintas.
caixas Bombons Barras Total de produtos conclusão(em reais) (em reais) (em reais)
95,00 1,00 4,00 19 + 10 + 4 = 33 não
90,00 8,00 2,00 18 + 80 + 2 = 100 sim
…… …… …… …… ……
45,00 4,00 51,00 9 + 41 + 51 = 100 sim
 
S S S S’ = + =⋅
3
4
1
4
1
4
13
16
CasaEm
n = −
− −
+ −
=
−
⋅
⋅
4
5 3 4
7 2 4
17
1
:
( )
( )
n = −
− −
+ −
=
⋅
⋅
3
5 3 3
7 2 3
14
1
:
( )
( )
5 3 1
7 2 1
8
5
− −
+ −
=
⋅
⋅
( )
( )
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
hh
3h
3h