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Matemática Curso Anglo n2 aulas7a9

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AULA 7 
1. (XXVI OBM) Na figura, quanto vale x? 
a) 6°
b) 12°
c) 18°
d) 20°
e) 24°
2. (XXII OBM) No triângulo ABC representado abaixo, a medida do ângulo Cˆ é 60° e a bissetriz do ângulo Bˆ forma
70° com a altura relativa ao vértice A.
A medida do ângulo  é:
a) 50° d) 80°
b) 30° e) 70°
c) 40°
3. (XXIII OBM) O hexágono ABCDEF é circunscritível. Se AB = 1,
BC = 2, CD = 3, DE = 4 e EF = 5, quanto mede FA?
a) 1
b) 3
c) 15/8
d) 6
e) 9
4. (XXV OBM) No triângulo ABC, AB = 20, AC = 21 e BC = 29. Os pontos D e E sobre o lado BC são tais que 
BD = 8 e EC = 9. A medida do ângulo DÂE, em graus, é igual a:
a) 30 d) 60
b) 40 e) 75
c) 45
B A
C
3x
4x
5x
2x
6x
ClasseEm
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
www.cursoanglo.com.br
2008
N • Í • V • E • L 2
Treinamento para
Olimpíadas de
Matemática
A
F
E
D
C
B
1
?
54
3
2
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
Triângulos são polígonos de 3 lados. Se dois desses três lados tiverem a mesma medida, o triângulo é isósceles e os
ângulos opostos a esses lados também terão a mesma medida.
A soma dos ângulos num triângulo é 180°. Todo polígono convexo pode ser dividido em triângulos, e esse procedi-
mento facilita consideralvemente alguns exercícios.
• Um quadrilátero pode ser dividido em, pelo menos, 2 triângulos; a soma dos ângulos internos de um quadrilá-
tero é 2 ⋅ 180° = 360°.
• Um pentágono pode ser dividido em, pelo menos, 3 triângulos; a soma dos ângulos internos de um pentágono é
3 ⋅ 180° = 540°.
• Um polígono de n lados pode ser dividido em, pelo menos, n – 2 triângulos; a soma dos ângulos internos de um
polígono é S = (n – 2) ⋅⋅ 180°. 
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono é 360°.
Dado um ponto externo a uma circunferência, dizemos que os segmentos PA e PB são tangentes a circunferência e
os triângulos PAO e PBO são congruentes.
Exemplo Resolvido
(XXIII OBM) Dado um triângulo ABC onde Aˆ= 80° e Cˆ = 40°, a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes
dos ângulos Aˆ e Bˆ é:
a) 40° d) 80°
b) 60° e) 110°
c) 70°
Uma solução possível
Sendo B a medida do ângulo do vértice B do triângulo ABC, temos B = 180° – 80° – 40° = 60° e I o ponto de en-
contro das bissetrizes dos ângulos Aˆ e Bˆ, temos, no triângulo ABI, que os ângulos ABˆI e BAˆI medem, 30° e 40°, res-
pectivamente. Assim, o ângulo AIˆB mede 180° – 30° – 40° = 110° e o ângulo externo, 180° – 110° = 70°. Logo, o
ângulo agudo formado pelas bissetrizes mede 70°. (Alternativa C)
1. (XXIII OBM) ABCDE é um pentágono regular e ABF é um triângulo equilátero interior. O ângulo FCD mede:
a) 38° d) 44°
b) 40° e) 46°
c) 42°
2. (XXIII OBM) O triângulo CDE pode ser obtido pela rotação do triângulo ABC
de 90° no sentido anti-horário ao redor de C, conforme mostrado no desenho
ao lado. Podemos afirmar que α é igual a:
a) 75°
b) 65°
c) 70°
d) 45°
e) 55°
CasaEm
A
O
B
P PA = PB
RelacionadosConceitos
2008
40°
60°
A C
B
D
α
E
3. (XXII OBM) DEFG é um quadrado no exterior do pentágono regular ABCDE. Quanto mede o ângulo EÂF?
a) 9° d) 18°
b) 12° e) 21°
c) 15°
4. Na figura, quanto vale x? 
a) α + β + γ
b) 2α
c) 2α + β
d) α + 2β + γ
e) β + 2γ
5. Na figura abaixo, a soma de Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ + Eˆ, em graus, é igual a:
a) 90 
b) 180
c) 360
d) 270
e) 135
AULA 8
1. Na figura, B é um ponto do segmento de reta AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são retos.
Se AD = y, AB = x, BC = p e EC = m, temos necessariamente:
a)
b)
c) xy = pm
d) x2 + y2 = p2 + m2
e)
2. (XXI OBM) No trapézio abaixo, têm-se: AB paralelo a CD, AD = 10 cm e CD = 15 cm. O ângulo Cˆ mede 75º e o ân-
gulo Dˆ, 30º. Quanto mede o lado AB, em centímetros?
a) 5
b) 7,5
c) 10
d) 12,5
e)
3. (XXVI OBM) No triângulo PQR, a altura PF divide o lado QR em dois segmentos de medidas QF = 9 e RF = 5. 
Se PR = 13, qual é a medida de PQ?
a) 5 d) 20
b) 10 e) 25
c) 15
5 3
1 1 1 1
x y m p
+ = +
x
y
m
p
=
x
y
p
m
=
ClasseEm
E
DA
C
B
x
γ
α β
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 3 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
A CB
D E
m
px
y
A B
D C
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 4 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
Dois triângulos são ditos semelhantes se:
∆ABC ~ ∆DEF 
k : razão de semelhança
Se k = 1, então AB = DE, BC = EF, AC = DF e os triângulos são chamados congruentes.
Se k é uma razão de semelhança entre os segmentos dos triângulos, então k2 será uma razão de semelhança entre
as áreas desses triângulos. Se um triângulo possui lados 50% menores que um outro (k = 0,5), então a área do primeiro
triângulo será 25% da área do triângulo maior (k2 = 0,25).
No triângulo retângulo, temos:
• a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras)
•
•
•
Para os ângulos de 30°, 45° e 60°, temos os valores notáveis:
As relações trigonométricas num triângulo retângulo relacionam os lados do triângulo com os ângulos internos de um
triângulo. Elas são importantes, por exemplo, para se ter idéia de inclinação de uma rampa : se um automóvel comum (com-
primento 4 metros) inclinar 30º, significa que a frente do carro estaria a 2 metros de altura, praticamente impossível!
tg
b
c
α =
cos
c
a
α =
sen
b
a
α =
a b
c
α
 
ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆA D B E e C F
AB
DE
BC
EF
AC
DF
k
= = =
= = =
A
B C E F
D
RelacionadosConceitos
2008
Ângulo Seno Co-seno Tangente
30º
45º 1
60º 3 
1
2 
3
2
 
2
2 
2
2
 
3
3 
3
2 
1
2
1
4
2
4
3
1. (XXVI OBM) Dois espelhos formam um ângulo de 30° no ponto V. Um raio de luz, vindo de uma fonte S, é emi-
tido paralelamente a um dos espelhos e é refletido pelo outro espelho no ponto A, como mostra a figura. Depois
de uma certa quantidade de reflexões, o raio retorna a S. Se AS e AV têm 1 metro de comprimento, a distância
percorrida pelo raio de luz, em metros, é 
a) 2
b)
c)
d)
e)
2. (XXIII OBM) Uma mesa retangular, cujos pés têm rodas, deve ser empurrada por um corredor de largura cons-
tante, que forma um ângulo reto.
Se as dimensões da mesa são a e b (com 2a � b), qual deve ser a largura mínima do corredor para que a mesa
possa ser empurrada através dele? 
a) a + b
b)
c)
d)
e)
3. Na figura ao lado, o valor de x é: 
a) 20
b) 30
c) 25
d) 15
e) 10
AULA 9
1. (XXVI OBM) O perímetro de um retângulo é 100 e a diagonal mede x. Qual é a área do retângulo?
a) 625 – x2 d)
b) e)
c) 1250
2
2
–
x
2500
2
2
–
x
625
2
2
–
x
250
2
2
–
x
ClasseEm
60°
30°
 40 x
( )a b+ 2
2
4
( )2
2
4
a b+
( )a b+
2
4
( )a b+
2
2
a
b
5 3
2 1 3( )+
1 2 3+ +
2 3+
AS
30°
V
CasaEm
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 5 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 6 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2. (XXII OBM) Se a área do retângulo dado é 12, qual é a área da figura sombreada?
a) 3 d) 6
b) 4 e) 8
c) 5
3. (XXVI OBM) No desenho ao lado, o quadrilátero ABCD é um quadrado de
lado 3cm e os triângulos ABF e AED são ambos equiláteros. Qual é a área
da região destacada?
a) 2cm2
b) 1,5cm2
c) 3cm2
d) 4,5cm2
e) 2,5cm2
4. (XXV OBM) A figura a seguir mostra um quadrado ABCD e um triângulo eqüilátero BEF, ambos com lado de me-
dida 1cm . Os pontos A, B e E são colineares, assim como os pontos A, G e F.
A área do triângulo BFG é, em cm2: 
a)
b)
c)
d)
e)
5. (XXVII OBM) Na figura, todas as circunferências menores têm o mesmo raio r e os centros das circunferências
que tocam a circunferência maior são vértices de um quadrado.Sejam a e b as áreas cinzas indicadas na figura.
Então a razão é igual a:
a)
b)
c) 1
d)
e) 2
As áreas são números positivos que medem superfícies. Duas figuras de mesma área são chamadas equiva-
lentes. Às vezes, melhor que determinar a área, também é válido descobrir figuras equivalentes nos exercícios.
RelacionadosConceitos
3
2
2
3
1
2
a
b
a
b
3
10
3
12
3
4
1
3
1
4
A B E
F
G
CD
2008
A
B
C
D
F
E
Exemplos Resolvidos
1. Com dois triângulos eqüiláteros, ambos de área 180cm2, podemos formar um hexagrama regular, como mostrado
na figura.
A área, em cm2, desse hexagrama é:
a) 200 d) 280
b) 180 e) 360
c) 240
Uma solução possível
Prolongando os lados na parte interna do hexagrama, temos que o hexagrama é formado por 12 triângulos de mesma
área S. Ainda, do enunciado, um triângulo eqüilátero é formado por 9 triângulos de área S. Assim:
9 S  180cm2
12 S  X cm2 logo X = 240cm2. (Alternativa C)
2. (OBMEP) A figura é composta de triângulos retângulos isósceles todos iguais. Qual é a área em cm2, da parte som-
breada?
a) 20 d) 45
b) 35 e) 50
c) 40
Uma solução possível
O comprimento da hipotenusa de cada um dos 5 triângulos é 30 ÷ 5 = 6cm. O quadrado formado por 4 desses
triângulos tem lado igual a 6cm, logo sua área é 36cm2. Logo, cada um dos triângulos tem 36 ÷ 4 = 9cm2 de área.
Portanto, a área da parte sombreada é 9 × 5 = 45cm2.
Outra solução
Pelo teorema de Pitágoras, temos 62 = x2 + x2 ∴ x2 = 18. A área da parte sombreada é 
(Alternativa D)
1. (XXVII OBM) O desenho ao lado mostra um pedaço de papelão que será
dobrado e colado nas bordas para formar uma caixa retangular. Os ângulos nos
cantos do papelão são todos retos. Qual será o volume da caixa, em cm3?
a) 1500
b) 3000
c) 4500
d) 6000
e) 12000
CasaEm
xx
6
5
2
5
2
18 452 2x cm= ⋅ = .
30cm
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 7 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
20 cm
15 cm
40 cm
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 8 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2. (XXI OBM) O quadrilátero ABCD é um quadrado de área 4m2. Os pontos
M e N estão no meio dos lados a que pertencem. Podemos afirmar que a
área do triângulo em destaque é, em m2:
a) 2 d) 3
b) 1,5 e) 3,5
c) 2,5
3. (XXII OBM) Na figura, as distâncias entre dois pontos horizontais consecu-
tivos e as distâncias entre dois pontos verticais consecutivos são iguais a 1.
A região comum ao triângulo e ao quadrado tem área:
a) d)
b) e)
c)
4. (XXVII OBM) Seis retângulos idênticos são reunidos para formar um retângulo maior conforme indicado na figura. Qual
é a área deste retângulo maior?
a) 210cm2 d) 504cm2
b) 280cm2 e) 588cm2
c) 430cm2
5. (XXVI OBM) Uma folha quadrada foi cortada em 42 quadrados menores, dos quais um tem área maior do que 1cm2 e
os demais têm área de 1cm2. Qual é a medida do lado da folha?
a) 6cm d) 19cm
b) 12cm e) 20cm
c) 21cm
21 cm
8
9
14
15
15
16
11
12
9
10
2008
A B
N
M CD

Outros materiais