Matemática Curso Anglo n2 aulas10a12

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AULA 10
1. (XXV OBM) Na figura, o número 8 foi obtido somando-se os dois números diretamente abaixo de sua casinha. Os
outros números nas três linhas superiores são obtidos da mesma forma. Qual é o valor de x?
a) 7 d) 4
b) 3 e) 6
c) 5
2. (XXVIII OBM) No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade de sua avó. A soma dos anos de nascimento dos dois
é 3844. Em 2006 Neto fará:
a) 55 anos
b) 56 anos
c) 60 anos
d) 62 anos
e) 108 anos
3. (XXVIII OBM) Samuel possui três irmãos a mais do que irmãs. O número de irmãos de Samila, irmã de Samuel, é igual
ao dobro do número de suas irmãs. O número de filhos (homens e mulheres) que possui o pai de Samuel e Samila é: 
a) 10
b) 13
c) 16
d) 17
e) 20
Trabalhar com problemas que recaem em equações é uma das grandes habilidades dos atletas. Geralmente esses pro-
blemas recaem em comparações ou diretamente em ‘traduções’ de linguagens:
— sucessor de x ⇒ x + 1
— dobro de x ⇒ 2x
— oposto de x ⇒ –x
— inverso de (x não nulo)
— soma dos quadrados ⇒ a2 + b2
— quadrado da soma ⇒ (a + b)2
— pares (ou ímpares) consecutivos ⇒ x, x + 2, x + 4, ...
x
x
⇒
1
RelacionadosConceitos
3 5 x 6
8
42
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SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
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N • Í • V • E • L 2
Treinamento para
Olimpíadas de
Matemática
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
Exercício Resolvido
(XX OBM) Um pai tem 33 anos e seu filho, 7 anos. Depois de quantos anos a idade do pai será o triplo da idade do
filho?
a) 3 d) 9
b) 7 e) 13
c) 6
Uma solução possível:
Se usarmos a letra x para representar uma certa quantidade de anos, podemos ver que o problema pode ser tra-
duzido pela seguinte equação do primeiro grau: 33 + x = 3(7 + x), isto é, a idade do pai depois de x anos (33 + x) é
igual ao triplo da idade do filho depois de x anos (7 + x). Resolvendo a equação do primeiro grau:
33 + x = 3(7 + x)
33 + x = 21 + 3x
33 – 21 = 3x – x
12 = 2x
6 = x. (Alternativa C)
1. (XXV OBM) Os números a, b e c são naturais consecutivos em ordem crescente. Então, o valor de c2 – ab é igual a:
a) 0 d) 2a + c
b) 1 e) 2b + c
c) 2a + b
2. (XXIII OBM) Paulo e Cezar têm algum dinheiro. Paulo dá a Cezar R$5,00 e, em seguida, Cezar dá a Paulo do que
possui. Assim, ambos ficam com R$18,00. A diferença entre as quantias que cada um tinha inicialmente é: 
a) R$7,00 d) R$10,00
b) R$8,00 e) R$11,00
c) R$9,00
3. (XXIII OBM) Um fazendeiro tinha 24 vacas e ração para alimentá-las por 60 dias. Entretanto, 10 dias depois, ele
comprou mais 6 vacas e 10 dias depois dessa compra ele vendeu 20 vacas. Por mais quantos dias após esta última
compra ele pode alimentar o gado com a ração restante?
a) 50 d) 80
b) 60 e) 90
c) 70
4. (XXII OBM) De Itacimirim a Salvador, pela estrada do Coco, são 60km. Às 11 horas, a 15km de Salvador, dá-se um
acidente que provoca um engarrafamento, que cresce à velocidade de 4km/h, no sentido de Itacimirim. A que horas,
aproximadamente, devemos sair de Itacimirim para chegar a Salvador ao meio-dia, sabendo que viajamos a 60 km/h,
exceto na zona de engarrafamento, onde a velocidade é 6km/h?
a) 10h 43min d) 10h 53min
b) 10h 17min e) 11h 01min
c) 10h 48min
5. (XXI OBM) Hoje, 12/6/1999, Pedro e Maria fazem aniversário. No mesmo dia em 1996, a idade de Pedro era 3/4 da
idade de Maria. No mesmo dia em 2002, a idade de Pedro será igual à de Maria quando ele tinha 20 anos. Quantos
anos Maria está fazendo hoje?
a) 30 d) 33
b) 31 e) 34
c) 32
6. (XXVIII OBM) Se um número de dois dígitos é 5 vezes a soma de seus dígitos, então o número formado pela troca dos
dígitos é a soma dos dígitos multiplicada por:
a) 3 d) 4
b) 5 e) 7
c) 6
1
3
CasaEm
2008
7. (XXVIII OBM) A soma de três números naturais consecutivos é igual ao produto desses três números. A soma dos
quadrados desses números é:
a) 14 d) 24
b) 15 e) 36
c) 18
AULA 11
1. (XXVIII OBM) Efetuando as operações indicadas na expressão 
obtemos um número de quatro algarismos. Qual é a soma dos algarismos desse número?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
2. (XXVIII OBM) Simplificando a expressão:
obtemos:
a) d)
b) e)
c) 1
3. (XXVIII OBM) Sejam x, y, z números reais não nulos tais que x + y + z = 0. O valor de é:
a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
Manipular expressões é uma das ferramentas mais importantes para as provas de Olimpíadas. Para isso, desenvol-
vem-se técnicas, algumas baseadas na transformação em produto (fatoração). Alguns casos mais recorrentes são:
• ab + ac = a(b + c)
• a2 – b2 = (a + b)(a – b)
• a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 e a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
• a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) e a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
• a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 e a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
Além disso, é importante perceber como a criatividade pode ajudar a recair em algo conhecido:
Fatorar a4 + a2 + 1 [desconhecido].
a4 + 2a2 + 1 = (a2 + 1)2 [conhecido]
a4 + a2 + 1 = a4 + 2a2 + 1 – a2 = (a2 + 1)2 – a2 = (a2 + a + 1)(a2 – a + 1)
RelacionadosConceitos
x y z
x y x z y z
2 2 2
3 3 3 3 3 3
1 1 1  + +






2 3+3
2 2+2
2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3+ + + + + + − + +⋅ ⋅ ⋅
 
2 2
2 2
2006
2007 2005
2006 2004
+
+





 ×
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Exercício Resolvido
(XXIX OPM – Nível Beta – 1ª- fase)
a) Resolva a equação 2x2 – x = 1999000.
b) Fatore a expressão 12x2 – x – 1, isto é, escreva este polinômio como um produto de polinômios do primeiro grau.
c) Utilizando os itens anteriores, verifique que o número 1999000 + 9999999 é composto.
Uma solução possível:
a) 2x2 – x = x (2x – 1). Para x = 1000, temos 1000 ⋅ (2000 – 1) = 1999000, logo x = 1000 é uma solução. A outra
solução é x = –999,5.
b) 12x2 – x – 1 = (4x + 1)(3x – 1)
c) 1999000 + 9999999 = 107 + 1999 ⋅ 103 – 1 = 103(104 + 1999) – 1 = 11999 ⋅ 103 – 1 =
= 12 ⋅ 10002 – 1000 – 1 = (4000 + 1)(3000 – 1)
1. (XXVI OBM) O perímetro de um retângulo é 100 e a diagonal mede x. Qual é a área do retângulo?
a) 625 – x2
b)
c)
d)
e)
2. (XXVI OBM) Se x + y = 8 e xy = 15, qual é o valor de x2 + 6xy + y2?
a) 64 d) 124
b) 109 e) 154
c) 120
3. (XXVI OBM) Uma folha quadrada foi cortada em 42 quadrados menores, dos quais um tem área maior do que
1cm2 e os demais têm área de 1cm2. Qual é a medida do lado da folha?
a) 6cm d) 19cm
b) 12cm e) 20cm
c) 21cm
4. (XXIV OBM) Se xy = 2 e x2 + y2 = 5, então vale:
a) d)
b) e) 1
c)
5. (XXIV OBM) O resto da divisão por 9 de é:
a) 0 d) 6
b) 1 e) 8
c) 3
1111111111 22222−
5
4
25
4
1
2
5
2
x
y
y
x
2
2
2
2
2+ +
2500
2
2
−
x
250
2
2
−
x
1250
2
2
−
x
625
2
2
−
x
CasaEm
2008
6. (XXII OBM) Se x e y são números reais positivos, qual dos números a seguir é o maior?
a) xy d) x2 + y(x + y)
b) x2 + y2 e)
c) (x + y)2
7. (XXII OBM) Sejam a e b números reais positivos tais que . Então 
a) é igual a d) é maior que mas menor que 1.
b) é igual a . e) pode ser maior que 1.
c) é menor que .
AULA 12
1. (XXVIII OBM) João escreveu todos os números com menos de 4 dígitos usando apenas os algarismos 1 e 2 numa
folha de papel e depois somou todos eles. O valor obtido foi:
a) 2314 d) 2316
b) 3000 e) 1716
c) 1401
2. (XXVIII OBM) Um número com dois dígitos distintos e não nulos é chamado de bonito se o dígito das dezenas é
maior do que o dígito das unidades. A quantidade de números bonitos é: 
a) 72 d) 64
b) 36 e) 56
c) 35
3. (XXVIII OBM) Ludmilson percebeu que para numerar as páginas de um livro, consecutivamente, a partir da página
2, foram usados 2006 algarismos. O número de páginas do livro de Ludmilson é:
a)701 d) 704
b) 702 e) 705
c) 703
Exercício Resolvido
(OBMEP 2006 — 2ª- fase) O quadrado da figura I é chamado especial porque 
1. ele está dividido em 16 quadrados iguais;
2. em cada linha e em cada coluna aparecem os algarismos 1, 2, 3 e 4:
3. em cada um dos quadrados A, B, C e D (como na figura II) aparecem os alga-
rismos 1, 2, 3 e 4.
a) Complete o quadrado abaixo de modo que ele se torne especial.
2
3 4
1
2
4 2 1 3
1 3 2 4
3 1 4 2
2 4 3 1
A B
C D
III
RelacionadosConceitos
ClasseEm
a
b
a
b
a
b
a
b
+ 1.
a
b
+
+
1
1
a
b
� 1
x y
x y
3 3+
+
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 5 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
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b) É possível completar o quadrado abaixo de modo a obter um quadrado especial? Por quê?
c) Exiba todas as maneiras de completar o quadrado abaixo de modo a obter um quadrado especial.
d) Quantos quadrados especiais existem?
Solução Oficial
a) A solução é feita em seis passos:
b) Não. No quadradinho assinalado com X não podemos colocar nem o 3 nem o 4 porque a 2ª- linha já contém esses nú-
meros. Por outro lado também não podemos colocar nem 1 nem 2 porque a última coluna já contém esses números.
c) De acordo com o item (b), temos quatro opções para preencher o quadrado D, que são
Como no item (b), vemos que opção sombreada não é possível, uma vez que não teremos como preencher o
quadradinho assinalado com X.
Logo, para preencher o quadrado D só restam as 3 opções
3
4 1
2 4
2 1
3 3
2 1
4
2
3 4
1
13x
4
2 1
3 3
2 1
4 3
4 1
2 4
3 1
2
2
3 4
1
1
2
x
2
3 4
1
2
13
1º- passo
2
3 4
1
2
2
13
1
2º- passo
2
3 4
1
2 1
4
2
13
1
3º- passo
2
3 4
1 3
2 1
4
2
132
4º- passo
2
3 4
1 3
2 1
4
4
2
13
4 1
2
5º- passo
2
3 4
1 3
2 1
4
4
3 2
13
4 1
2
6º- passo
2
3 4
1
1
2
3 4
2
1
1
2008
Uma vez preenchido o quadrado D, os quadrados B e C podem ser preenchidos de modo único. Logo, temos 3
maneiras para completar o quadrado original, que são
d) Para preencher o quadrado A, na ordem crescente 1, 2, 3 e 4 temos a seguinte situação:
• podemos colocar o 1 em qualquer das 4 posições;
• colocado o 1, temos 3 posições para o 2;
• colocados o 1 e o 2, temos 2 posições para o 3;
• colocados o 1, o 2 e o 3 temos apenas uma posição para o 4.
Logo, o quadrado A pode ser preenchido de 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneiras.
Preenchido o quadrado A, vamos agora preencher o quadrado D:
• podemos colocar o 1 em qualquer das 4 casas;
• uma vez colocando o 1, usando o mesmo argumento que no item (c), vemos que existem 3 maneiras de com-
pletar o quadrado D.
Logo, temos 24 × 4 × 3 = 288 modos de preencher os quadrado A e D. Sabemos que, estando esses dois qua-
drados preenchidos, só temos uma maneira de preencher os quadrados B e C. Logo, o número total de quadrados
especiais é 288.
1. (XXIII OBM) Escrevem-se, em ordem crescente, os números inteiros e positivos que sejam múltiplos de 7 ou de 8
(ou de ambos), obtendo-se 7, 8, 14, 16, …. O 100º- número escrito é:
a) 406 d) 384
b) 376 e) 400
c) 392
2. (XXIII OBM) Quantos são os retângulos que têm os pontos A e B como vértices, e cujos vértices estão entre os
pontos de intersecção das 9 retas horizontais com as 9 retas verticais da figura abaixo?
a) 3
b) 4
c) 7
d) 2
e) 5
3. (XXIII OBM) Colocamos em ordem crescente os números escritos nas casas brancas do tabuleiro a seguir (esta-
mos mostrando apenas as suas quatro primeiras linhas). Assim, por exemplo, o nono número da nossa lista é 14.
Qual é o 2000º- número da nossa lista?
a) 3931 
b) 3933
c) 3935
d) 3937
e) 3939
1
3
7
13
4
8
14
9
15 16
2
6
12
5
1110
… … … ………… ……
B
A
CasaEm
2
3 4
1
1
3
2
4
2
3
1
2
4
3
1
4 2
3 4
1
1
4
2
2
3
3
1
4
2
4
1
3 2
3 4
1
1
3
2
2
4
3
1
4
2
3
1
4
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 7 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
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SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 8 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
4. (XXIV OBM) A linha poligonal AB é desenhada mantendo-se sempre o mesmo padrão mostrado na figura. Seu
comprimento total é igual a:
a) 31 d) 97
b) 88 e) 105
c) 90
5. (XXVIII OBM) Num relógio digital, as horas são exibidas por meio de quatro algarismos. Por exemplo, ao mostrar
00:00 sabemos que é meia-noite e ao mostrar 23:59 sabemos que falta um minuto para meia-noite. Quantas vezes por
dia os quatro algarismos mostrados são todos pares?
a) 60 d) 180
b) 90 e) 240
c) 105
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
1
2
30 31
B
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