AplicacoesdaIntegral

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1.1 – Co
 
 O
coordena
sistema 
sistema. 
 C
A partir 
que será 
 S
o ângulo
números
serão rep
 
Exemplo
a) A =
 
 S
mesmo 
alguma r
polares? 
de coord
coincidir
eixo dos
portanto
N
P podem
 
Exemplo
a) r = 2 c
d) 4
πθ =
 
oordenadas P
O sistema d
adas retangu
de coordena
Considere um
do ponto O
chamada de
eja P um po
o, em radian
s reais r e θ s
presentadas p
os: Identifica
),4( 4
π 
Seja P(x, y) 
ponto no si
relação entre
 A resposta é
denadas carte
r com a orig
s x. Suponha 
 temos: 
θcos
r
x=
Note que 2x
mos encontrar
os: Esboce o
cos θ 
4
π 
CEN
Polares 
de coordenad
ulares. Exis
adas polares
m plano e so
O, em qualqu
e eixo polar. 
nto qualquer
nos, orientado
serão as coor
pelo par orde
ar os pontos 
 
um ponto qu
istema polar
e as coorden
é afirmativa.
esianas (retan
gem do plano
que r > 0. O
corx =⇒
222 ry =+ e
r as suas coo
os gráficos. 
UNIVERSID
NTRO DE CIÊ
DEPARTA
CÁLCULO D
APLICA
das que con
te outro sist
s”. A seguir
bre ele escol
uer direção, 
r do plano, d
o AOP. Se r
rdenadas pol
enado (r, θ).
no plano pol
b) (B =
 
 
ualquer no s
r. Poderíamo
nadas cartesi
. Para mostra
ngulares), fa
o cartesiano 
Observe que 
θos e θsen
e que tgθ =
ordenadas po
b) r = c
e) r = 4
B
O
DADE FEDERA
ÊNCIAS EXATA
MENTO DE M
DIFERENCIAL
AÇÕES DA 
 
nhecemos pa
tema de coo
r, veremos c
lha um ponto
trace uma s
distinto de O
OPr = , e
lares do pont
lar. 
),5( 2
π 
istema carte
os, então, p
ianas de P e
armos isto, c
azendo a orig
e o eixo pol
o triângulo x
y
r
y ⇒=
(tgy
x
y =⇒
olares e vice-
cos 2θ 
4 
AL DA PARAÍ
AS E DA NAT
MATEMÁTIC
L E INTEGRAL
INTEGRAL
ara identifica
ordenadas qu
como constru
o fixo O, cha
emirreta, no
O. Seja θ 
então os 
to P que 
 
 
 
 
siano e P(r,θ
perguntar se 
e suas coord
considere o s
gem do plano
lar coincidir 
xOP é retâng
θrsen= . 
)xgθ . Conh
versa. 
c
BA 
TUREZA 
A 
L II 
L 
ar pontos no
ue pode ser u
uir e como 
amado de ori
ormalmente t
 
 r 
 θ
 O 
c) (C =
 
θ) esse 
existe 
enadas 
istema 
o polar 
com o 
gulo, e, 
 
 
 
 
 
 
 
ecidas as coo
) r = 2 (1 + 
O
C
o plano é o
usado neste 
identificar p
igem ou polo
traçada horiz
 P 
θ 
 
),3( 2
π− 
 r 
ordenadas ca
cos θ) 
C
O
θ
y
o sistema de
sentido: “O
pontos neste
o do sistema.
zontalmente,
 A 
artesianas de
P
x
e 
O 
e 
. 
, 
e 
Solução:a) Vamos esboçar o gráfico de r = 2 cosθ. Quando θ = 0, 
teremos r = 2. A curva passa pelo ponto A(2, 0). Da mesma forma 
temos que a curva passa pelos pontos: ( )4/,2 πB , ( )2/,0 πC , ( )4/3,2 π−D , ( )π,2−E , ( )4/5,2 π−F , ( )2/3,0 πG , H( )4/7,2 π e I ( )π2,2 . O gráfico da curva será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Vamos esboçar o gráfico de r = cos2θ. Quando θ = 0, teremos 
r = 1. A curva passa pelo ponto A(1, 0). A curva também passa 
pelos pontos: ( )4/,0 πB , ( )2/,1 π−C , ( )4/3,0 πD , ( )π,1E , 
( )4/5,0 πF , ( )2/3, π−G , H ( )4/7,0 π e I ( )π2,1 . O gráfico 
da curva está ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 – Área em coordenadas polares 
 
 Seja r = f(θ) uma função contínua e definida no intervalo [θ1, θ2]. Admita que f(θ) ≥ 0 e que 
θ2 ≤ θ1 + 2π. Vamos determinar a área limitada pelas retas θ1 e θ2 e pela curva r = f(θ). 
 Subdivida o intervalo [θ1,θ2] em subintervalos [θi , θi+1], 
i = 1, …, n. Sejam αi e βi os pontos de máximo e de mínimo de f 
em cada intervalo [θi , θi+1], respectivamente. Note que a área Ai, 
limitada pelas retas θ1 e θ2 e pela curva r = f(θ) está compreendida 
entre as áreas dos setores circulares de raios f(αi) e f(βi), ou seja: 
 
2121 )(
2
)(
2 i
ii
ii
ii fAf αππ
θθβππ
θθ ⋅−≤≤⋅− ++ 
 
 θi+1 
 θ2 (αi , f(αi)) 
 Ai 
 θi 
 
 
 (βi , f(βi)) θ1 
 Somando estas áreas, obtemos: 
∑∑∑
=
+
==
+ −⋅≤≤−⋅
n
i
iii
n
i
i
n
i
iii fAf
1
1
2
11
1
2 )()(
2
1)()(
2
1 θθαθθβ 
 Passando o limite quando n → ∞, obtemos: 
∫= 2
1
2
2
1 )(
θ
θ θθ dfA 
 
Exemplos: 1) Calcule a área limitada pelas curvas: 
a) r = cos 2θ b) r = 2(1 + cos θ) 
 
Solução: a) O esboço da curva está no exemplo anterior. Podemos ver que a área procurada é oito vezes a 
área da metade de uma pétala. Então: 
( )
164
4
4
14cos1
4
1
2
4cos12cos
4
0
4
0
4
0 2
14
0
2
2
1
1
πθθθθθθθθ
π
πππ
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +== ∫∫∫ sendddA . 
Portanto a área procurada é: 
216
8 ππ =×=A unidades de área. 
b) A área da região limitada pelo cardióide será dada por: 
( )[ ] ( )∫∫ =++=+= ππ θθθθθ 20 220 2 coscos212cos1221 ddA 
1 2 3
−1
1
2
r = 2cos(t)
A
B
C
D
−1 1
−1
1
2
r = cos2t
−1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
x
( )∫∫ =++=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +++= ππ θθθθθθ 2
0
2
0
2coscos43
2
2cos1cos212 dd 
πθθθ
π
6
2
243
2
0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++= sensen unidades de área. 
 
2) Calcule a área entre as curvas r = 2a cos θ e r = 2a sen θ. 
Solução: Vamos inicialmente determinar a interseção entre as curvas: 
4cos2cos2
πθθθθθ =⇒=⇒= senasena . 
Assim, a área entre as curvas dadas será dada por: 
 
( ) ==×= ∫∫ 40 240 2 42212
ππ
θθθθ dsendsenA 
( ) [ ] 1
2
1
4
2222cos12 4040 −=−×=−=−= ∫ ππθθθθ
ππ
send u.a. 
 
3) Calcule a área interior ao círculo r = 6 cos θ e exterior ao cardióide r = 2(1 + cos θ) 
 
4) Calcule a área interior ao círculo r = 4 e exterior ao cardióide r = 4(1 − cos θ). 
 
 1.3 – Comprimento de Curvas 
 
 Seja y = f(x) uma função derivável em [a, b], com f’ contínua. Vamos determinar o comprimento 
da curva y = f(x) no intervalo dado. A ideia é aproximar a curva por segmentos de reta e somar os 
comprimentos desses segmentos. 
 Para isto, subdivida o intervalo [a, b] em subintervalos 
[xi, xi+1], i = 1, …,n. Em cada subintervalo da subdivisão, 
escolha um ponto, digamos xi, e considere o ponto sobre a 
curva (xi , f(xi)). Temos que o comprimento de cada segmento de 
reta que liga os pontos (xi, f(xi)) e (xi, f(xi)) é dado por ( ) ( )2121 )()( iiii xfxfxx −+− ++ (7) 
 y 
 y = f(x) 
 
 
 
 x 
 a b 
 Do Teorema do Valor Médio, temos que: 
)(),()(')()( 111 iiiiiiii xxcxxcfxfxf −∈−⋅=− +++ 
 
 Substituindo em (7), obtemos: 
( ) ( ) ( )
( )iii
iiiiiiii
xxcf
cfxxxxcfxx
−+=
+−=−+−
+
+++
1
2
22
1
2
1
2
1
))('1(
))('1()('
 
 Somando estes comprimentos, temos: 
 ( )∑
=
+ −+
n
i
iii xxcf
1
1
2 ))('1( 
 Se tomarmos 2)x('f1)x(g += , temos a soma de Riemann da função g e passando o 
limite quando n → ∞, podemos definir, quando este limite existir, o comprimento da curva C, y = f(x), 
como sendo 
∫ += ba dxxfC 2)('1 
−1 1 2
−1
1
2 r = 2sen t
r = 2cos t
θ = π/4 
 Suponhamos que a curva seja dada na sua forma paramétrica x = f(t) e y = g(t), com t ∈ [a, b], f e 
g deriváveis, com derivadas contínuas. Repetindo o mesmo raciocínio anterior, obteremos que o 
comprimento C da curva será dado por 
∫ += ba 22 dt)t('g)t('fC 
 
Observação: Sejam [ ]b,at),t(yy),t(xx ∈== funções deriváveis e )x(tt = a função inversa de 
).t(xx = Então 
)('
)('
)(')(')(').('))((
tx
ty
dx
dy
tx
tyxtty
dx
dyxtyy =⇒==⇒= 
pois dx
tx
dt
tx
xt
dx
dt
)('
1
)('
1)(' =⇒== . Logo 
 
∫ += ba dttytxC 22 )(')(' 
 
 Suponhamos que a curva seja dada na forma polar, isto é, em coordenadas polares r = f(θ), 
θ ∈ [θ1, θ2], com 'f contínua. Sabemos que 
θθθ
θθθ
senfyrseny
fxrx
)(
cos)(cos
==
⇒
==
 
 
 Assim, θθθθθ senffx )(cos)(')(' −= e θθθθθ cos)()(')(' fsenfy += . Logo, 
 
θθθθθθθθθ 22222 )(cos)(')(2cos)(')(' senfsenfffx +−= 
 
θθθθθθθθθ 22222 cos)(cos)(')(2)(')(' fsenffsenfy +−= 
 
e 
2222 )()(')(')(' θθθθ ffyx +=+ . 
 
 Portanto, o comprimento C da curva r = f(θ), θ ∈ [θ1, θ2], será dado por 
 
∫ += 2
1
22 )()('
θ
θ θθθ dffC 
 
Exemplo: 1) Calcule o comprimento das curvas abaixo: 
a) 3x0,)2x(y 2
32
3
1 ≤≤+= b) [ ]3,0,cos2r πθθ ∈= 
c) 2t1,tsene)t(y,tcose)t(x tt ≤≤== 
Solução: a) O comprimento C da curva dada será dado por: 
∫ += ba dxxfC 2)('1 . 
 Temos que: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2'2'22')2()( 222222331231 2123 +=⇒+=⇒×+×=⇒+== xxxfxxxfxxxfxxfy . 
Logo, 
( ) ( ) ( ) 12
3
111221
3
0
3
0
3
23
0
223
0
243
0
22 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=+=+=++=++= ∫∫∫∫ xxdxxdxxdxxxdxxxC u.c. 
b) O comprimento C da curva dada será dado por: 
∫ += 2
1
22 )()('
θ
θ θθθ dffC . 
 Temos que: 
( ) ( ) θθθθθ 2cos2'cos2 senffr =⇒== ⇒ ( )( ) ( )( ) θθθθθθ 44
2
2
22
cos
4
cos
4
cos
4' =+=+= senffr . 
 Logo, 
 
( ) 322sec2
cos
2
cos
4
3333
00
2
0 20 4
===== ∫∫∫ ππππ θθθθθθθ tgdddC u.c. 
 
 
1.9 – Volumes de Revolução 
 
 Quando giramos uma região plana em torno de uma reta, obtemos um sólido, chamado sólido de 
revolução. A reta em torno da qual a região gira é chamada de eixo de revolução ou eixo de rotação. Por 
exemplo, quando giramos a região do plano limitada pelas retas y = 0, y = x e x = 4, em torno do eixo dos 
x, obtemos um sólido de revolução chamado de cone. Se girarmos o retângulo limitado pelas retas y = 3, 
y = 0, x = 0 e x = 1, em torno do eixo OY, obteremos um sólido de revolução, chamado de cilindro. 
 Consideremos o seguinte problema: Seja R uma região do plano limitada pela curva y = f(x) e 
pelas retas x = a, x = b e y = 0. Vamos calcular o volume V do sólido de revolução S, obtido pela rotação 
de R, em torno do eixo OX. 
 Suponhamos que f seja uma função contínua e não 
negativa (f ≥ 0) em [a, b]. Considere uma subdivisão do 
intervalo [a, b], 
a = x0 < x1 < …< xi < xi+1 < …< xn = b 
 Sejam Δxi = xi+1 − xi o comprimento de cada intervalo 
[xi , xi+1], Ri o retângulo de base Δxi, cuja altura é f(ci), onde 
ci é um ponto qualquer do intervalo [xi , xi+1]. Quando 
giramos o retângulo Ri, em torno do eixo OX, obtemos um 
cilindro cujo volume é 
 y 
 y = f(x) 
 
 Ri 
 x 
 a xi xi+1 b 
[ ] i2i x)c(f Δπ 
 A soma dos volumes desses cilindros, 
[ ]∑
=
n
0i
i
2
i x)c(f Δπ 
nos dá uma aproximação do volume do sólido S. Passando o limite quando n → ∞, podemos, se este 
limite existir, definir o volume V do sólido S, como sendo 
 
∫= ba dxxfV 2)(π . 
 
Observações: 1) Suponha que a região R é limitada pelos gráficos das funções f(x), g(x) e pelas retas 
x = a e x = b. Admita que f(x) ≥ g(x), ∀ x ∈ [a, b]. Então o volume do sólido S obtido pela rotação de R 
em torno do eixo OX é [ ]∫ −= ba 22 dx)x(g)x(fV π 
 
2) Se, ao invés de girarmos em torno do eixo OX, girarmos em torno do eixo OY, teremos, neste caso, 
que o volume do sólido S será 
∫= dc 2 dy)y(gV π 
 
3) Suponhamos que a rotação seja feita em torno de uma reta paralela ao eixo OX, de equação y = L. 
Neste caso, o volume do sólido S obtido será 
[ ]∫ −= ba 2 dxL)x(fV π 
 
4) Suponhamos que a rotação seja feita em torno de uma reta paralela ao eixo OY, de equação x = M. 
Neste caso, o volume do sólido S obtido será 
[ ]∫ −= dc 2 dyM)y(gV π 
 
Exemplos: 1) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo OX, da região limitada 
pela curva y = x2 e pelas retas x = 1, x = 2 e y = 0. 
Solução: O volume do sólido obtido pela rotação R em torno do eixo OX, é 
dado por: 
∫= ba dxxfV 2)(π . 
 Observe que neste caso o raio de rotação é x2, conforme mostra 
figura ao lado. Então 
( ) ..
5
31
5
1
5
2
5
552
1
52
1
42
1
22 vuxdxxdxxV πππππ =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=== ∫∫ 
 
2) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo OX, da região limitada pela curva 
xseny = e pelas retas x = 0, x = π e y = 0. 
Solução: O volume do sólido obtido pela rotação R em torno do eixo OX, é 
dado por: 
∫= ba dxxfV 2)(π . 
 Observe que neste caso o raio de rotação é (sen x)2, conforme mostra 
figura ao lado. Então 
( ) ..
2
1
4
2
2
1
2
2cos1 2
0
00
2 vuxsenxdxxdxxsenV ππππ
πππ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −== ∫∫
 
 
3) Determine o volume do sólido S gerado pela rotação da região R, em torno do eixo OX, onde R é 
limitada pelas curvas y = x2 e y = x + 2. 
Solução: 
 
 
 
 
4) Encontre o volume do sólido S obtido pela rotação da região R, em torno do eixo OY, limitada pelas 
curvas y2 = 4x e x = 4. 
 
5) Seja R a região do plano limitada pela curva xy = e pelas retas y = 0 e x = 4. Calcule o volume do 
sólido S obtido pela rotação de R em torno da reta y = -2. 
 
6) Seja R a região do plano limitada pela curva xy = e pelas retas y = 0 e x = 4. Calcule o volume do 
sólido S obtido pela rotação de R em torno da reta x = -2. 
 
7) Seja R a região do plano limitada pela curva 3xy = e pelas retas y = 8 e x = 0. Calcule o volume do 
sólido S obtido pela rotação de R em torno do eixo OX. 
 
8) Seja R a região do plano limitada pela curva x4xy 2 −= e pela reta y = 0. Calcule o volume do 
sólido S obtido pela rotação de R em torno do eixo OX. 
 
1 2 3 4 5
−1
1
2
3
4
x
y
y = x^2
R
x
raio de rotação = x^2
(x, x^2)
1 2 3 4 5
1
2
3
4
x
y
0 pix
raio de rotação = sen x
y = sen x
9) Seja R a região do plano limitada pela curva xy2exy 2 == . Calcule o volume do sólido S obtido 
pela rotação de R em torno do eixo OY. 
 
10) Seja R a região do plano limitada pela curva 2xy = e pela reta y = 4. Calcule o volume do sólido S 
obtido pela rotação de R em torno de: a) y = 4; b) y = 5; c) x = 2. 
 
11) Calcule o volume de um cone de altura H e raio R. 
 
12) Calcule o volume de uma esfera de raio R.