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1.1 – Co O coordena sistema sistema. C A partir que será S o ângulo números serão rep Exemplo a) A = S mesmo alguma r polares? de coord coincidir eixo dos portanto N P podem Exemplo a) r = 2 c d) 4 πθ = oordenadas P O sistema d adas retangu de coordena Considere um do ponto O chamada de eja P um po o, em radian s reais r e θ s presentadas p os: Identifica ),4( 4 π Seja P(x, y) ponto no si relação entre A resposta é denadas carte r com a orig s x. Suponha temos: θcos r x= Note que 2x mos encontrar os: Esboce o cos θ 4 π CEN Polares de coordenad ulares. Exis adas polares m plano e so O, em qualqu e eixo polar. nto qualquer nos, orientado serão as coor pelo par orde ar os pontos um ponto qu istema polar e as coorden é afirmativa. esianas (retan gem do plano que r > 0. O corx =⇒ 222 ry =+ e r as suas coo os gráficos. UNIVERSID NTRO DE CIÊ DEPARTA CÁLCULO D APLICA das que con te outro sist s”. A seguir bre ele escol uer direção, r do plano, d o AOP. Se r rdenadas pol enado (r, θ). no plano pol b) (B = ualquer no s r. Poderíamo nadas cartesi . Para mostra ngulares), fa o cartesiano Observe que θos e θsen e que tgθ = ordenadas po b) r = c e) r = 4 B O DADE FEDERA ÊNCIAS EXATA MENTO DE M DIFERENCIAL AÇÕES DA nhecemos pa tema de coo r, veremos c lha um ponto trace uma s distinto de O OPr = , e lares do pont lar. ),5( 2 π istema carte os, então, p ianas de P e armos isto, c azendo a orig e o eixo pol o triângulo x y r y ⇒= (tgy x y =⇒ olares e vice- cos 2θ 4 AL DA PARAÍ AS E DA NAT MATEMÁTIC L E INTEGRAL INTEGRAL ara identifica ordenadas qu como constru o fixo O, cha emirreta, no O. Seja θ então os to P que siano e P(r,θ perguntar se e suas coord considere o s gem do plano lar coincidir xOP é retâng θrsen= . )xgθ . Conh versa. c BA TUREZA A L II L ar pontos no ue pode ser u uir e como amado de ori ormalmente t r θ O c) (C = θ) esse existe enadas istema o polar com o gulo, e, ecidas as coo ) r = 2 (1 + O C o plano é o usado neste identificar p igem ou polo traçada horiz P θ ),3( 2 π− r ordenadas ca cos θ) C O θ y o sistema de sentido: “O pontos neste o do sistema. zontalmente, A artesianas de P x e O e . , e Solução:a) Vamos esboçar o gráfico de r = 2 cosθ. Quando θ = 0, teremos r = 2. A curva passa pelo ponto A(2, 0). Da mesma forma temos que a curva passa pelos pontos: ( )4/,2 πB , ( )2/,0 πC , ( )4/3,2 π−D , ( )π,2−E , ( )4/5,2 π−F , ( )2/3,0 πG , H( )4/7,2 π e I ( )π2,2 . O gráfico da curva será: b) Vamos esboçar o gráfico de r = cos2θ. Quando θ = 0, teremos r = 1. A curva passa pelo ponto A(1, 0). A curva também passa pelos pontos: ( )4/,0 πB , ( )2/,1 π−C , ( )4/3,0 πD , ( )π,1E , ( )4/5,0 πF , ( )2/3, π−G , H ( )4/7,0 π e I ( )π2,1 . O gráfico da curva está ao lado. 1.2 – Área em coordenadas polares Seja r = f(θ) uma função contínua e definida no intervalo [θ1, θ2]. Admita que f(θ) ≥ 0 e que θ2 ≤ θ1 + 2π. Vamos determinar a área limitada pelas retas θ1 e θ2 e pela curva r = f(θ). Subdivida o intervalo [θ1,θ2] em subintervalos [θi , θi+1], i = 1, …, n. Sejam αi e βi os pontos de máximo e de mínimo de f em cada intervalo [θi , θi+1], respectivamente. Note que a área Ai, limitada pelas retas θ1 e θ2 e pela curva r = f(θ) está compreendida entre as áreas dos setores circulares de raios f(αi) e f(βi), ou seja: 2121 )( 2 )( 2 i ii ii ii fAf αππ θθβππ θθ ⋅−≤≤⋅− ++ θi+1 θ2 (αi , f(αi)) Ai θi (βi , f(βi)) θ1 Somando estas áreas, obtemos: ∑∑∑ = + == + −⋅≤≤−⋅ n i iii n i i n i iii fAf 1 1 2 11 1 2 )()( 2 1)()( 2 1 θθαθθβ Passando o limite quando n → ∞, obtemos: ∫= 2 1 2 2 1 )( θ θ θθ dfA Exemplos: 1) Calcule a área limitada pelas curvas: a) r = cos 2θ b) r = 2(1 + cos θ) Solução: a) O esboço da curva está no exemplo anterior. Podemos ver que a área procurada é oito vezes a área da metade de uma pétala. Então: ( ) 164 4 4 14cos1 4 1 2 4cos12cos 4 0 4 0 4 0 2 14 0 2 2 1 1 πθθθθθθθθ π πππ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +=+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +== ∫∫∫ sendddA . Portanto a área procurada é: 216 8 ππ =×=A unidades de área. b) A área da região limitada pelo cardióide será dada por: ( )[ ] ( )∫∫ =++=+= ππ θθθθθ 20 220 2 coscos212cos1221 ddA 1 2 3 −1 1 2 r = 2cos(t) A B C D −1 1 −1 1 2 r = cos2t −1 1 2 3 4 5 −3 −2 −1 1 2 3 x ( )∫∫ =++=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++= ππ θθθθθθ 2 0 2 0 2coscos43 2 2cos1cos212 dd πθθθ π 6 2 243 2 0 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++= sensen unidades de área. 2) Calcule a área entre as curvas r = 2a cos θ e r = 2a sen θ. Solução: Vamos inicialmente determinar a interseção entre as curvas: 4cos2cos2 πθθθθθ =⇒=⇒= senasena . Assim, a área entre as curvas dadas será dada por: ( ) ==×= ∫∫ 40 240 2 42212 ππ θθθθ dsendsenA ( ) [ ] 1 2 1 4 2222cos12 4040 −=−×=−=−= ∫ ππθθθθ ππ send u.a. 3) Calcule a área interior ao círculo r = 6 cos θ e exterior ao cardióide r = 2(1 + cos θ) 4) Calcule a área interior ao círculo r = 4 e exterior ao cardióide r = 4(1 − cos θ). 1.3 – Comprimento de Curvas Seja y = f(x) uma função derivável em [a, b], com f’ contínua. Vamos determinar o comprimento da curva y = f(x) no intervalo dado. A ideia é aproximar a curva por segmentos de reta e somar os comprimentos desses segmentos. Para isto, subdivida o intervalo [a, b] em subintervalos [xi, xi+1], i = 1, …,n. Em cada subintervalo da subdivisão, escolha um ponto, digamos xi, e considere o ponto sobre a curva (xi , f(xi)). Temos que o comprimento de cada segmento de reta que liga os pontos (xi, f(xi)) e (xi, f(xi)) é dado por ( ) ( )2121 )()( iiii xfxfxx −+− ++ (7) y y = f(x) x a b Do Teorema do Valor Médio, temos que: )(),()(')()( 111 iiiiiiii xxcxxcfxfxf −∈−⋅=− +++ Substituindo em (7), obtemos: ( ) ( ) ( ) ( )iii iiiiiiii xxcf cfxxxxcfxx −+= +−=−+− + +++ 1 2 22 1 2 1 2 1 ))('1( ))('1()(' Somando estes comprimentos, temos: ( )∑ = + −+ n i iii xxcf 1 1 2 ))('1( Se tomarmos 2)x('f1)x(g += , temos a soma de Riemann da função g e passando o limite quando n → ∞, podemos definir, quando este limite existir, o comprimento da curva C, y = f(x), como sendo ∫ += ba dxxfC 2)('1 −1 1 2 −1 1 2 r = 2sen t r = 2cos t θ = π/4 Suponhamos que a curva seja dada na sua forma paramétrica x = f(t) e y = g(t), com t ∈ [a, b], f e g deriváveis, com derivadas contínuas. Repetindo o mesmo raciocínio anterior, obteremos que o comprimento C da curva será dado por ∫ += ba 22 dt)t('g)t('fC Observação: Sejam [ ]b,at),t(yy),t(xx ∈== funções deriváveis e )x(tt = a função inversa de ).t(xx = Então )(' )(' )(')(')(').('))(( tx ty dx dy tx tyxtty dx dyxtyy =⇒==⇒= pois dx tx dt tx xt dx dt )(' 1 )(' 1)(' =⇒== . Logo ∫ += ba dttytxC 22 )(')(' Suponhamos que a curva seja dada na forma polar, isto é, em coordenadas polares r = f(θ), θ ∈ [θ1, θ2], com 'f contínua. Sabemos que θθθ θθθ senfyrseny fxrx )( cos)(cos == ⇒ == Assim, θθθθθ senffx )(cos)(')(' −= e θθθθθ cos)()(')(' fsenfy += . Logo, θθθθθθθθθ 22222 )(cos)(')(2cos)(')(' senfsenfffx +−= θθθθθθθθθ 22222 cos)(cos)(')(2)(')(' fsenffsenfy +−= e 2222 )()(')(')(' θθθθ ffyx +=+ . Portanto, o comprimento C da curva r = f(θ), θ ∈ [θ1, θ2], será dado por ∫ += 2 1 22 )()(' θ θ θθθ dffC Exemplo: 1) Calcule o comprimento das curvas abaixo: a) 3x0,)2x(y 2 32 3 1 ≤≤+= b) [ ]3,0,cos2r πθθ ∈= c) 2t1,tsene)t(y,tcose)t(x tt ≤≤== Solução: a) O comprimento C da curva dada será dado por: ∫ += ba dxxfC 2)('1 . Temos que: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2'2'22')2()( 222222331231 2123 +=⇒+=⇒×+×=⇒+== xxxfxxxfxxxfxxfy . Logo, ( ) ( ) ( ) 12 3 111221 3 0 3 0 3 23 0 223 0 243 0 22 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=+=+=++=++= ∫∫∫∫ xxdxxdxxdxxxdxxxC u.c. b) O comprimento C da curva dada será dado por: ∫ += 2 1 22 )()(' θ θ θθθ dffC . Temos que: ( ) ( ) θθθθθ 2cos2'cos2 senffr =⇒== ⇒ ( )( ) ( )( ) θθθθθθ 44 2 2 22 cos 4 cos 4 cos 4' =+=+= senffr . Logo, ( ) 322sec2 cos 2 cos 4 3333 00 2 0 20 4 ===== ∫∫∫ ππππ θθθθθθθ tgdddC u.c. 1.9 – Volumes de Revolução Quando giramos uma região plana em torno de uma reta, obtemos um sólido, chamado sólido de revolução. A reta em torno da qual a região gira é chamada de eixo de revolução ou eixo de rotação. Por exemplo, quando giramos a região do plano limitada pelas retas y = 0, y = x e x = 4, em torno do eixo dos x, obtemos um sólido de revolução chamado de cone. Se girarmos o retângulo limitado pelas retas y = 3, y = 0, x = 0 e x = 1, em torno do eixo OY, obteremos um sólido de revolução, chamado de cilindro. Consideremos o seguinte problema: Seja R uma região do plano limitada pela curva y = f(x) e pelas retas x = a, x = b e y = 0. Vamos calcular o volume V do sólido de revolução S, obtido pela rotação de R, em torno do eixo OX. Suponhamos que f seja uma função contínua e não negativa (f ≥ 0) em [a, b]. Considere uma subdivisão do intervalo [a, b], a = x0 < x1 < …< xi < xi+1 < …< xn = b Sejam Δxi = xi+1 − xi o comprimento de cada intervalo [xi , xi+1], Ri o retângulo de base Δxi, cuja altura é f(ci), onde ci é um ponto qualquer do intervalo [xi , xi+1]. Quando giramos o retângulo Ri, em torno do eixo OX, obtemos um cilindro cujo volume é y y = f(x) Ri x a xi xi+1 b [ ] i2i x)c(f Δπ A soma dos volumes desses cilindros, [ ]∑ = n 0i i 2 i x)c(f Δπ nos dá uma aproximação do volume do sólido S. Passando o limite quando n → ∞, podemos, se este limite existir, definir o volume V do sólido S, como sendo ∫= ba dxxfV 2)(π . Observações: 1) Suponha que a região R é limitada pelos gráficos das funções f(x), g(x) e pelas retas x = a e x = b. Admita que f(x) ≥ g(x), ∀ x ∈ [a, b]. Então o volume do sólido S obtido pela rotação de R em torno do eixo OX é [ ]∫ −= ba 22 dx)x(g)x(fV π 2) Se, ao invés de girarmos em torno do eixo OX, girarmos em torno do eixo OY, teremos, neste caso, que o volume do sólido S será ∫= dc 2 dy)y(gV π 3) Suponhamos que a rotação seja feita em torno de uma reta paralela ao eixo OX, de equação y = L. Neste caso, o volume do sólido S obtido será [ ]∫ −= ba 2 dxL)x(fV π 4) Suponhamos que a rotação seja feita em torno de uma reta paralela ao eixo OY, de equação x = M. Neste caso, o volume do sólido S obtido será [ ]∫ −= dc 2 dyM)y(gV π Exemplos: 1) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo OX, da região limitada pela curva y = x2 e pelas retas x = 1, x = 2 e y = 0. Solução: O volume do sólido obtido pela rotação R em torno do eixo OX, é dado por: ∫= ba dxxfV 2)(π . Observe que neste caso o raio de rotação é x2, conforme mostra figura ao lado. Então ( ) .. 5 31 5 1 5 2 5 552 1 52 1 42 1 22 vuxdxxdxxV πππππ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=== ∫∫ 2) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo OX, da região limitada pela curva xseny = e pelas retas x = 0, x = π e y = 0. Solução: O volume do sólido obtido pela rotação R em torno do eixo OX, é dado por: ∫= ba dxxfV 2)(π . Observe que neste caso o raio de rotação é (sen x)2, conforme mostra figura ao lado. Então ( ) .. 2 1 4 2 2 1 2 2cos1 2 0 00 2 vuxsenxdxxdxxsenV ππππ πππ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −== ∫∫ 3) Determine o volume do sólido S gerado pela rotação da região R, em torno do eixo OX, onde R é limitada pelas curvas y = x2 e y = x + 2. Solução: 4) Encontre o volume do sólido S obtido pela rotação da região R, em torno do eixo OY, limitada pelas curvas y2 = 4x e x = 4. 5) Seja R a região do plano limitada pela curva xy = e pelas retas y = 0 e x = 4. Calcule o volume do sólido S obtido pela rotação de R em torno da reta y = -2. 6) Seja R a região do plano limitada pela curva xy = e pelas retas y = 0 e x = 4. Calcule o volume do sólido S obtido pela rotação de R em torno da reta x = -2. 7) Seja R a região do plano limitada pela curva 3xy = e pelas retas y = 8 e x = 0. Calcule o volume do sólido S obtido pela rotação de R em torno do eixo OX. 8) Seja R a região do plano limitada pela curva x4xy 2 −= e pela reta y = 0. Calcule o volume do sólido S obtido pela rotação de R em torno do eixo OX. 1 2 3 4 5 −1 1 2 3 4 x y y = x^2 R x raio de rotação = x^2 (x, x^2) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 x y 0 pix raio de rotação = sen x y = sen x 9) Seja R a região do plano limitada pela curva xy2exy 2 == . Calcule o volume do sólido S obtido pela rotação de R em torno do eixo OY. 10) Seja R a região do plano limitada pela curva 2xy = e pela reta y = 4. Calcule o volume do sólido S obtido pela rotação de R em torno de: a) y = 4; b) y = 5; c) x = 2. 11) Calcule o volume de um cone de altura H e raio R. 12) Calcule o volume de uma esfera de raio R.
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