Matemática Curso Anglo n2 aulas16a18 Resoluções

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AULA 16
1. Pela desigualdade triangular, os números reais a, b e c são medidas dos lados de um triângulo se, e somente se,
[Alternativa B]
∆DAB ∼ ∆GAF, com razão de semelhança 2.
Portanto [Alternativa D]
3.
Como o triângulo é isósceles, concluímos que
∠CBM = ∠ABM e ∠ACB = 90° – α. Com isso,
∠CAQ = α, pois AQ é uma altura. Como AI é
bissetriz, então ∠CAI = ∠IAB = 2α.
Finalmente no
∆AMB: α + α + 2α + α = 90° ⇒α = 18°.
CRITÉRIO DE CORREÇÃO:
• Perceber que ∠CBM = ∠ABM e ∠ACB = 90° – α: [2 pontos]
• Perceber que ∠CAQ = α: [2 pontos]
• Perceber que ∠CAI = ∠IAB = 2α: [2 pontos]
• Concluir o problema: [4 pontos]
• Apresentar alguma outra solução correta: [10 pontos]
BD
FG
= 2 .
⇔
LAL
AG
AD
AF
AB
DAB GAB GAF
=
=
= ° + =∠ ∠ ∠
1
2
1
2
60
a b c
b c a
c a b
c c
a a
b b
c
a
b
+
+
+
⇔ ⇔
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
1
2
1
2
1
2
–
–
–
ClasseEm
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
Resoluções
NÍVEL 2
www.cursoanglo.com.br
Treinamento para
Olimpíadas de
Matemática2008
2.
A CM
H
I Q
B
1. A soma dos outros lados tem que ser maior que . Logo, o perímetro deve ser maior que , o que
mostra que o menor perímetro inteiro possível é 9. [Alternativa B]
2. Sejam a, b e c as medidas dos três lados tais que a � b � c � 11. Então 6 � b � 11 e c – b � a � b. À medida
que o valor de b decresce de 1, o conjunto dos valores possíveis de a diminui 2 unidades. Quando b = 11, temos
1 � a � 11. Daí o número total de triângulos é 11 + 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 36. [Alternativa E]
3. Traçando-se retas paralelas aos lados, verificamos que o perímetro da figura é o mesmo que o de um quadrado de
lado 20cm, ou seja, 80cm. [Alternativa C]
4. Das paralelas traçadas aos bastões pelos pontos A, B, C, D e E (ver figura) e da propriedade dos ângulos alternos
e internos, resulta dos dados do enunciado a figura:
Donde obtém-se x = 39°. [Alternativa A]
5. Note que os triângulos PTA, ABD, BCE e PQC são todos isósceles. Como ∠STP = 108°, ∠PTA = ∠PAT = 72°. Assim,
temos que ∠TPA = 36° e ∠BAD = ∠BDA = 18°. Além disso, ∠ABD = 144° e ∠CBE = 66°. Como ∠QPC = 126°,
temos que ∠QCP = 27° e ∠ECB = 57°. Logo, ∠QCE = 174°.
AULA 17
1. Sendo x, y e z as áreas das partes brancas, a área pedida é:
(121 – x) + (49 – y – z) – (81 – x – y) – (25 – z) = 121 + 49 – 81 – 25 = 64cm2. [Alternativa D]
2. Como os quadrados, trapézios e triângulos são congruentes entre si, devemos ter o lado do quadrado igual à altura do
trapézio, igual a cada cateto do triângulo, igual à terça parte do lado do quadrado maior. Foram eliminados dois
triângulos e um quadrado, cuja soma das áreas equivale à área de dois quadrados de lado igual à terça parte do original,
ou seja, , da área do quadrado original. [Alternativa B]
3. O polígono consiste na reunião de dois retângulos: um deles tem largura 10 e altura 2 e o outro tem largura 5 e altura
x + 2; o triângulo tem catetos de medidas 15 e x + 2. Como a área do polígono é igual à área do triângulo, temos
10 2 5 2
15 2
2
40 10 20 15 30 5 30 6⋅ + +( ) = + + + = + = =⇔ ⇔ ⇔x x x x x x( )
2
1
3
2
9
2
×



 =
ClasseEm
CRITÉRIO DE CORREÇÃO: PARTE A
Na parte A serão atribuídos 4 pontos para cada resposta correta e a pontuação máxima para essa parte
será 20. NENHUM PONTO deverá ser atribuído para respostas que não coincidirem com o gabarito oficial.
x
24°
30°
30°
60° 60°
66°
66° 24°
51° 51°39°
E
r
D
A
B
C
5 3 8 66= …,
5 3
2
CasaEm
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
CRITÉRIOS DE PONTUAÇÃO:
• Calcula a área do polígono como 20 + 5(x + 2) ou 5x + 30 [4 pontos]
• Calcula a área do triângulo como 15(x + 2)/2 [3 pontos]
• Resolve a equação e conclui que x = 6 [3 pontos]
1. A área do jardim é 5a2, onde a é o lado do quadrado. Pelo Teorema de Pitágoras, AB2 = a2 + (2a)2 = 5a2 . Daí, 
5a2 = 100, que é a área do jardim.
Observação: também é possível resolver o problema sem usar o Teorema de Pitágoras, formando o quadrado
de lado AB e observando que sua área é equivalente a de 5 quadrados menores. [Alternativa C]
2. Os triângulos isósceles junto à base têm área igual a do quadrado. Os dois juntos aos vértices superiores têm área
igual a da área do quadrado. Finalmente, o triângulo central no topo tem área igual à metade da área do quadrado.
Logo, a área total é 3 + 2 + + = 6. [Alternativa C]
3. Colocando o Tangram sobre uma malha quadriculada, a região
sombreada ocupa 3 quadradinhos da malha e sua área é, por-
tanto, da área do Tangram, ou seja, 
[Alternativa D]
4. Completando a figura com quadradinhos de lado 1, vemos 3 quadra-
dos de área 1, 1 quadrado de área 9, 2 quadrados de área 4 e 1
quadrado de área 25. Logo a área do retângulo é
3 + 9 + 2 × 4 + 25 = 45. [Alternativa C]
5. O triângulo retirado tem um quarto da área do triângulo isósceles. Abrindo a folha, vemos essa situação reprodu-
zida, logo o buraco em forma de quadrado tem um quarto da área do quadrado original. [Alternativa E]
AULA 18
1. , pois o lado do hexágono é metade do lado do triângulo.
Existe uma maneira bem geométrica de resolver, basta observar a figura! [Alternativa C]
2. A partir da figura, vemos que o comprimento a dos retângulos menores é o dobro da sua largura b. Temos então
que a + b = b + 2b = 3b = 21, ou seja, b = 7cm e a = 14cm.
Portanto, o comprimento do retângulo maior é 4b = 28 e a sua área é 21 × 28 = 588cm2. [Alternativa E]
R
a
a
= =
2
2
3
4
6 3
16
2
3
ClasseEm
3
16
64 12 2⋅ = cm .
3
16
1
2
1
2
1
4
CasaEm
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 3 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
3. Primeira Solução: Unindo os pontos médios de lados consecutivos do quadrilátero, obtemos segmentos paralelos
às suas diagonais e iguais à metade delas. Portanto, o quadrilátero assim obtido é um paralelogramo. Os segmentos
traçados dividem cada um dos quatro lotes em duas partes. Todas as partes internas têm a mesma área s, igual a da
área do paralelogramo. Cada uma das partes externas tem área igual a do triângulo determinado pela diagonal cor-
respondente. Assim, a + c é igual à metade da área do quadrilátero, o mesmo ocorrendo com b + c.
Daí, a + s + c + s = b + s + d + s. Portanto, a área S desconhecida satisfaz S + 210 = 200 + 250, ou seja, S = 240.
Segunda Solução: Ligando o ponto de intersecção das retas que representam as duas cercas aos vértices,
obtemos:
Observemos que, como AQ = QD e as alturas de OAQ e OQD que passam por O são iguais, as áreas de OAQ e OQD
são iguais.
Analogamente, as áreas de OAM e OMB; OBN e ONC; OCP e OPD são iguais.
Logo área OAQ + área OAM + área OCP + área ONC = área OQD + área OMB + área OPD + área OBN ⇔
área AMOQ + área CNOP = área DPOQ + área BMON ⇔ área AMOQ = 200 + 250 – 210 = 240.
1. Inicialmente, sejam x o lado da folha e y o lado quadrado menor de lado maior que 1cm. Como os demais 41 quadra-
dos têm lado 1cm, x e y são inteiros positivos. Assim:
x2 = y2 + 41 ⋅ 1 ⇔ (x – y)(x + y) = 41 ⇔ x – y = 1 e x + y = 41 ⇔ x = 21 e y = 20
Portanto o lado da folha mede 21cm. [Alternativa C]
2. Seja x o lado quadrado. Sua área é x2. Com 10% a menos de cerca, o lado quadrado passará a ser 0,9x e terá área
(0,9x)2 = 0,81x2, que é 0,19 = 19% menor. [Alternativa C]
3. Nas figuras, basta ver se nos retângulos menores a linha tracejada é me-
tade do perímetro. Isto não ocorre na figura onde a linha tracejada é me-
nor que a metade. [Alternativa C]
CasaEm
CRITÉRIO DE CORREÇÃO:
Cada questão vale 4 pontos se, e somente se, para cada uma o resultado
escrito pelo aluno coincidir com o gabarito. Cada questão vale 0 ou 4, isto é,
não tem notas parciais. A nota máxima para esta parte é 20.
AQ
D P C
N
O
M B
250
210200
b
ss
s s
c
d
a
1
4
1
4
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 4 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
4.
∆DHC ∼ ∆DEF ⇒
⇒ BC = 15cm
∆ABC ∼ ∆DEF ⇒
Logo área 
[Alternativa C]
5. Se dois retângulos possuem mesma altura, então a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas bases. Se dois
retângulos possuem mesma base, então a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas alturas. Isto permite
concluir que o retângulo grande tem base 4 + 9 = 13, e altura 3 + 4 = 7. Sua área é, portanto, 13 × 7 = 91.
[Alternativa E]
ABC cm= =
×10 15
2
75 2
AB
BC
DE
EF
AB cm= = =⇒
2
3
10
HC
EF
DH
DE
HC cm= = =⇒
1
2
45
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 5 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
A
B
C
D H E
FG