APOSTILA MATEM TICA FINANCEIRA 4 1

Prévia do material em texto

1 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE – UNICENTRO 
 
 
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
 
 
 
Prof.ª Kamila Gonçalves Celestino 
2014 
2 
 
ÍNDICE 
 
INTRODUÇÃO.................................................................................................................................. 4 
Porcentagem...........................................................................................................................................5 
 
CAPÍTULO I – REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO..................................................................... 7 
Capitalização Simples........................................................................................................................... 7 
Capitalização Composta........................................................................................................................ 8 
Prazo Médio e Taxa Média...................................................................................................................13 
 
CAPÍTULO II – DESCONTOS....................................................................................................... 15 
Desconto Comercial............................................................................................................................. 15 
Desconto Racional............................................................................................................................... 15 
Desconto Composto............................................................................................................................. 16 
Fluxo de Caixa..................................................................................................................................... 20 
Equivalência de Capitais...................................................................................................................... 22 
 
CAPÍTULO III – TAXAS................................................................................................................ 26 
Taxa Proporcional............................................................................................................................... 26 
Taxa Equivalente................................................................................................................................. 26 
Taxa Nominal e Efetiva....................................................................................................................... 27 
Taxa Real............................................................................................................................................. 27 
 
CAPÍTULO IV – RENDAS.............................................................................................................. 32 
Rendas Antecipadas............................................................................................................................. 32 
Rendas Postecipadas............................................................................................................................ 33 
Rendas Diferidas.................................................................................................................................. 33 
 
3 
 
CAPÍTULO V – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO.................................................................... 37 
Sistema de Amortização Francês (PRICE)......................................................................................... 37 
Sistema de Amortização Constante (SAC)......................................................................................... 37 
Sistema de Amortização Americano................................................................................................... 38 
Amortização com Período de Carência............................................................................................... 39 
 
CAPÍTULO VI – DEPRECIAÇÃO................................................................................................ 43 
Método Linear..................................................................................................................................... 43 
Método de Cole................................................................................................................................... 43 
Método da Taxa Constante................................................................................................................. 44 
Método das Taxas Variáveis............................................................................................................... 44 
 
CAPÍTULO VII – ENGENHARIA ECONÔMICA....................................................................... 48 
Método do Pay-Back........................................................................................................................... 48 
Método do Pay-Back Descontado....................................................................................................... 49 
Método do Valor Presente Líquido...................................................................................................... 50 
Método da Taxa Interna de Retorno.................................................................................................... 50 
 
CAPÍTULO VIII – PREVISÕES FINANCEIRAS....................................................................... 55 
Regressão Linear................................................................................................................................. 55 
 
ANEXOS............................................................................................................................................. 58 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS......................................................................... 59 
 
REFERÊNCIAS................................................................................................................................. 62 
 
4 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA: A Matemática Financeira estuda e avalia as alterações ocorridas 
nos Fluxos de Caixa ao longo do tempo, isto é, entradas e saídas de dinheiro. Trata essencialmente do 
estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, fornecendo técnicas para se compararem as quantias 
movimentadas em datas distintas, efetuando análises e comparações através de relações formais. 
Dominar os fundamentos básicos da Matemática Financeira, bem como conhecer e utilizar as 
ferramentas adequadas, capacita os usuários a tomarem decisões quanto a investimentos e a 
empréstimos, otimizando os seus recursos e avaliando as melhores alternativas disponíveis. 
 
O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO: Um dos fundamentos da atividade financeira é a 
variação do valor do dinheiro ao longo do tempo. Por exemplo: é melhor ter R$100,00 hoje, do que 
numa data futura qualquer? Independente da existência de inflação, alguém que disponha de 
R$100,00 hoje pode aplicá-los a certa taxa de juros, por menor que seja e, numa data futura, ter os 
mesmos R$100,00 mais algum valor complementar. Como consequência disso, o dinheiro tem valor 
diferenciado ao longo do tempo, o que significa que somente podem ser comparados valores quando 
estiverem na mesma data. 
 
JUROS: Os juros são o custo do capital ou o custo do dinheiro, sendo estas expressões 
frequentemente utilizadas como sinônimo de juros. Mais especificamente, os juros são o pagamento 
pela oportunidade de poder dispor de um capital durante determinado tempo. 
Na sociedade atual, quase todas as pessoas estão envolvidas em transações de juros. As 
compras a crédito, os cheques especiais, as compras de casas próprias são alguns exemplos deste 
envolvimento. 
Na administração de empresas, a ocorrência dos juros é ainda mais intensa. Alguns exemplos 
são:desconto de duplicatas, compras a prazo, venda a prazo e obtenção de empréstimos. Quando 
situações econômicas são investigadas, as quantias de dinheiro envolvidas são sempre relacionadas 
com um fator indispensável e incontrolável: o tempo. Neste estudo, todas as quantias de dinheiro 
serão referidas a uma data, e somente poderão ser transferidas para outra data considerando os juros 
envolvidos nesta transferência. Será, pois, proibido somar ou subtrair quantias de dinheiro que não se 
referirem à mesma data. 
 
TAXA DE JUROS ( i ): A taxa é, por convenção, a razão entre o juro obtido no fim do primeiro 
período e o capital. A taxa de juro refere-se sempre a um período financeiro: ao dia (a.d.), ao mês 
(a.m.), ao bimestre (a.b.), ao semestre (a.s.), ao ano (a.a.), etc. A taxa de juro (i) costuma apresentar-
se de duas maneiras: 
 
Forma Percentual: Representa o juro de 100 unidades do capital, no período tomado como unidade 
de tempo. 
Exemplo: i = 5% a.m. 
 
Forma Unitária: Representa o juro de 1 unidade do capital, no período tomado como unidade de 
tempo. 
Exemplo: i = 6% a.m. = 0,06 a.m. 
 
5 
 
PORCENTAGEM 
 
 
 Diariamente nos deparamos com anúncios do tipo: “Compre já: descontos de 20% na compra 
a vista”. Este anúncio indica que para cada R$ 100,00 que o comprador gastar ele terá R$ 20,00 de 
desconto, ou seja, pagará somente R$ 80,00. 
 
O SÍMBOLO % (POR CENTO): Este símbolo indica divisão por 100, ou seja, se temos 30% 
podemos escrever 
 
 
. 
 
Exemplo: Calcule 20% de 300. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS – PORCENTAGEM 
 
1 – Calcule: 
a) 5% de 360 
b) 8,5% de 180 
c) 0,4% de 200 
d) 15% de 60 
 
2 – Calcule o número: 
a) Cujos 8% são 10 
b) Cujos 20% são 120 
 
3 – Um corretor de imóveis vende um apartamento por R$ 400.000,00. Sua corretagem é de 4%. 
Quanto ele ganhou com a venda? 
 
4 – Um vendedor tem seus ganhos calculados por meio de comissão na base de 3,5%. Tendo 
vendido, durante um mês, o total de R$ 600.000,00, quanto terá de salário, no referido mês? 
 
5 – Se um trabalhador recebia um salário de R$1.250,00 e teve um aumento de 5,2%, quanto passará 
a receber? 
 
6 – Um imóvel foi adquirido por R$ 500.000,00; de impostos foram pagos R$ 12.000,00; ao corretor 
coube 2% de comissão; foram feitas benfeitorias no valor de R$ 50.000,00. Por quanto deve ser 
vendido, para que haja um lucro de 30% sobre o investimento inicial total? 
 
7 – Um estagiário recebeu este mês R$ 520,00 de salário, sabendo que a empresa onde trabalha 
concedeu um aumento de 20% neste mês, qual era o salário anterior desse estagiário? 
 
8 – Um investimento aumenta de R$ 2.500,00 para R$ 3.375,00. Expresse esse aumento em 
porcentual do valor original. 
 
6 
 
9 – As vendas de uma empresa aumentaram de 50.000 para 55.000 de um ano para outro. Expresse o 
aumento como sendo percentual do original. 
 
10 – O governo impôs um imposto de 15% sobre o preço de um bem. Nesse caso, quanto o 
consumidor paga por um bem que uma empresa precificou em R$ 1.360,00? 
 
11 – Os investimentos caíram 7% durante o período de um ano. Encontre o valor de um investimento 
ao final do ano, o qual valia R$ 9.500,00 no começo do ano. 
 
12 – Em uma liquidação, os preços são reduzidos em 20%. Encontre o preço de liquidação de um 
bem que custava originalmente R$ 580,00. 
 
13 – O custo de um bem é R$ 799,00 incluindo 17,5% de IVA (imposto sobre o valor agregado). 
Qual o custo do bem sem o imposto? 
 
14 – Expresse o aumento de 950 para 1.007 em percentual. 
 
15 – Ao pagar uma conta de luz no valor de R$ 98,00, tive que pagar uma multa de R$ 4,90. De 
quantos por cento (do valor da conta) foi a multa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
CAPÍTULO I – REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
 
 
O processo pelo qual os juros se formam e são incorporados ao capital é chamado de 
capitalização. Nesta disciplina estudaremos dois sistemas de capitalização: Simples e Composto. 
 
CAPITAL E MONTANTE: Capital, ou Valor Presente, é o valor inicial de uma operação 
financeira (empréstimo ou aplicação). Já o Montante, ou Valor Futuro, é o valor final de uma 
operação financeira, ou seja, o Valor Presente acrescido dos juros da operação. 
 
Observação: A partir de agora usaremos as seguintes notações: 
 
Capital = Valor Presente = PV 
Montante = Valor Futuro = FV 
Juros = J 
Taxa = i 
Prazo = Período = n 
 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES: é o regime de capitalização no qual os juros são calculados fazendo 
a taxa incidir sempre sobre o capital inicial (valor presente), qualquer que seja o número n de 
períodos de capitalização. 
 
Exemplo 1: Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 durante 4 meses a uma taxa de juros simples de 5% 
a.m. Calcule o montante desta aplicação ao final do período. 
 
Período (n) Capital (PV) (R$) Juros (J) (R$) Montante (FV) (R$) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
FÓRMULA PARA A CAPITALIZAÇÃO SIMPLES: Considere uma aplicação de um valor 
qualquer PV, durante um período n a uma taxa de juros simples i ao período. Vamos calcular o 
montante FV após se passarem os n períodos. 
 
8 
 
n PV J FV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA: os juros, a partir do 2º período de capitalização, são calculados 
fazendo a taxa incidir sobre o montante (valor futuro) formado no período anterior. 
 
Exemplo 2: Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 durante 4 meses a uma taxa de juros compostos de 5% 
a.m. Calcule o montante desta aplicação ao final do período. 
 
Período (n) Capital (PV) (R$) Juros (J) (R$) Montante (FV) (R$) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
FÓRMULA PARA A CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA: Considere uma aplicação de um valor 
qualquer PV, durante um período n a uma taxa de juros compostos i ao período. Vamos calcular o 
montante FV após se passarem os n períodos. 
 
9 
 
n PV J FV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 – Um empréstimo de R$ 3.000,00 foi quitado com R$ 3.634,64 depois de 6 meses. Qual foi a taxa 
de juros da operação considerando: 
 
a) Capitalização simples. 
b) Capitalização composta. 
 
2 – A 10 anos atrás o cliente de um banco fez um saque de R$ 100,00 da sua conta corrente 
utilizando o limite do seu cheque especial que cobra juros de 8% a.m. No mesmo dia depositou este 
dinheiro na caderneta de poupança que pagava juros mais correção monetária de 0,7% a.m. Hoje, ele 
procurou o banco para retirar o dinheiro da poupança e cobrir sua conta corrente. A quantia retirada 
da poupança será suficiente para cobrir a dívida? Caso não seja, por quanto tempo o dinheiro deveria 
ficar na popança para gerar o montante necessário para pagar a dívida? 
Dica: A caderneta de poupança aplica o conceito de juros compostos e o cheque especial neste caso também, pois ele 
utilizou o dinheiro e só voltou 10 anos depois para pagar. 
 
3 – Um investidor aplicou certo capital por 3 meses, à taxa de juro simples de 7% a.m. Decorridos os 
3 meses, o mesmo capital foi aplicado pormais 2 meses, à taxa de 4% a.m, também de juros simples. 
A soma dos juros obtidos nas duas transações foi de R$ 362.500,00. Qual foi o capital inicial 
aplicado? 
 
4 – Pretendo fazer uma viagem daqui a alguns meses e estimo que irei precisar de aproximadamente 
R$ 10.000,00. Hoje tenho R$ 8.500,00 e consegui uma taxa de juros compostos em uma aplicação de 
0,9% a.m. Daqui quanto tempo poderei viajar? 
 
5 – Uma loja oferece uma TV por R$ 590,00 a vista. Na compra desse aparelho a prazo, pede-se 20% 
do valor a vista como entrada e mais um pagamento de R$ 550,00 no prazo de 2 meses. Se a 
capitalização for simples, qual a taxa mensal de juros cobrado dos clientes? 
 
6 – Um investidor aplicou certo capital por 3 meses, à taxa de juro simples de 4% a.m. Decorrido 
esse período, o montante foi aplicado por mais 2 meses, à taxa de 2% a.m. mas com capitalização 
composta. O montante obtido na segunda parte foi de R$ 3.512,89. Qual foi o capital inicial 
aplicado? 
 
7 – Fiz um empréstimo de R$ 5.000,00 para pagar em 6 meses e com taxa de juros de 3% a.m. com 
capitalização simples. No final dos 6 meses, não podendo pagar o empréstimo, procurei o gerente do 
banco para fazer um acordo. O acordo foi aprovado com as seguintes condições: Entrada de 30% do 
saldo devedor e um pagamento único do restante em 8 meses com juros de 4,5% a.m. e capitalização 
composta. Qual foi o valor total pago pelo empréstimo? 
 
8 – Um cliente fez um empréstimo de R$ 4.000,00 para pagar em 3 meses com taxa de 6% a.m. e 
utilizando juros simples. Mas o funcionário na hora do cálculo, por engano, utilizou juros compostos. 
No final, quantos por cento o cliente pagou a mais por este empréstimo? 
 
11 
 
9 – Na porta de um banco, encontra-se um cartaz onde se lê: “Aplique hoje R$ 2.800,00 e receba R$ 
3.000,00 daqui a 6 meses". Qual é a taxa mensal de juros compostos que o banco está aplicando 
sobre o dinheiro investido? 
 
10 – Se uma pessoa precisa de R$ 10.000,00 para dar entrada em um veículo e, no momento, possui 
uma quantia de R$ 8.638,38 e conseguiu uma aplicação com juros compostos de 5% a.m. Por quanto 
tempo seu dinheiro deverá ficar aplicado para que gere o montante necessário? 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS – CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA 
 
1 – Uma empresa tomou R$ 3.000,00 emprestados para pagar dentro de 5 meses a uma taxa de juros 
simples de 6% a.m. calcule o valor futuro dessa operação. 
 
2 – Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a R$ 750,00 após 5 
meses, a uma taxa de 10% a.m. Qual o capital inicial da operação? 
 
3 – O valor de R$ 200,00 foi aplicado por 5 meses, permitindo a obtenção de R$ 400,00. Sabendo 
que o regime de capitalização era simples, calcule a taxa de juros mensal aplicada. 
 
4 – A quantia de R$ 137,20 foi obtida como montante de uma aplicação de R$ 70,00 feita a taxa 
simples de 2% a.m. Qual a duração da operação? 
 
5 – Uma operação no regime de capitalização composta rendeu um montante igual a R$ 8.400,00 
após 6 meses. Sabendo que a taxa da operação foi igual a 2% a.m., calcule o valor presente. 
 
6 – Um capital inicial de R$ 430,00 rendeu R$ 80,00 de juros após permanecer aplicado por 4 meses. 
Qual foi a taxa mensal de juros compostos? 
 
7 – Um montante de R$ 630,00 foi obtido após a aplicação de R$ 570,00 a uma taxa de juros 
compostos igual a 3% a.m. Qual foi a duração da operação? 
 
8 – Suponha que Mariana aplique R$ 8.000,00 à taxa de juros compostos de 5% a.m. quanto ela terá 
daqui a 14 meses? 
 
9 – Apliquei R$ 15.000,00 em um banco a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto 
receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período? 
 
10 – Planejo emprestar à um amigo R$ 18.000,00 por um período de 18 meses, e pretendo receber, 
como pagamento da dívida, um total de R$ 26.866,57. Qual deve ser a taxa de juros compostos que 
devo cobrar para que eu venha a conseguir este montante? 
 
11 – Apliquei um capital de R$ 4.800,00 a uma taxa de juros simples de 3% a.m. durante 5 meses, 
quanto descobri um novo tipo de aplicação que tem a mesma taxa de juros da anterior, porém com 
capitalização composta, então retirei o montante e reapliquei nas novas condições por mais 2 meses. 
Quanto terei de saldo ao final da segunda aplicação? 
 
12 
 
12 – Eu preciso de R$ 30.000,00 para comprar um carro zero km. Como já estou economizando há 
algum tempo tenho R$ 28.828,27 em uma aplicação a juros compostos de 0,8% a.m. Se a partir de 
agora eu acrescentar ao meu montante somente os juros desta aplicação, daqui quanto tempo poderei 
comprar o carro? 
 
13 – Uma dívida de R$ 2.000,00 foi paga, depois de 8 meses, com R$ 2.320,00. Qual foi a taxa de 
juros aplicada se: 
 
a) a capitalização foi simples? 
b) a capitalização foi composta? 
 
14 – Meu amigo fez um empréstimo de R$ 7.000,00 que deveria ser pago em 5 meses com juros 
compostos de 6% a.m. Porém, por um erro do atendente, na hora de fazer os cálculos foi usado o 
sistema de capitalização simples. Nestas condições quantos por cento meu amigo pagou a menos pelo 
empréstimo? 
 
15 – Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um empréstimo para 
pagá-lo. Ao final do empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa, de 
juros simples, foi de 3% a.m. Qual foi o prazo deste empréstimo? Qual o preço do computador sem 
os juros? 
 
16 – Uma quantia foi aplicada a juros simples de 6% a.m., durante 5 meses e, em seguida, o 
montante foi aplicado durante mais 5 meses, a juros simples de 4% a.m. No final dos 10 meses, o 
novo montante foi de R$ 234,00. Qual foi a quantia aplicada inicialmente? 
 
17 – Antônio investiu R$ 20.000,00 em um banco durante 8 meses. Calcule qual será o montante se: 
a) se a taxa for de juros simples e de 1,2% a.m. 
b) se a taxa for de juros composto e de 1,5 % a.m. 
 
18 – Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.500,00 ou então a prazo com R$ 450,00 de entrada 
mais uma parcela de R$ 1.200,00 após 4 meses. Qual a taxa mensal de juros simples cobrada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
TAXA MÉDIA E PRAZO MÉDIO 
 
TAXA MÉDIA: A taxa média representa a taxa que aplicada ao capital total ofereça a mesma 
rentabilidade das aplicações efetuadas em cotas. A taxa média é a média ponderada das taxas. 
 
 ̅ 
 
 
 
 
Exemplo 1: Um investidor resolveu diversificar seu capital de R$ 100.000,00 aplicando partes dele 
em diversos bancos, obtendo taxas diferentes para cada aplicação, de acordo com a tabela abaixo: 
 
Capital Taxa 
R$ 50.000,00 2% ao mês 
R$ 10.000,00 3% ao mês 
R$ 20.000,00 1,5% ao mês 
R$ 20.000,00 2% ao mês 
Calcule a taxa média de suas aplicações. 
 
 
 
 
 
PRAZO MÉDIO: Entende-se por prazo médio o tempo (prazo), durante o qual o capital deve ficar 
aplicado, de forma que ofereça a mesma rentabilidade das aplicações efetuadas em cotas. 
 
 ̅ 
 
 
 
 
Exemplo 2: Considerando um taxa de 0,2% ao dia para os diferentes prazos de aplicação dos capitais 
fornecidos pela tabela abaixo, calcule o prazo médio das aplicações desses capitais. 
 
Capital Prazo 
R$ 10.000,00 20 dias 
R$ 8.000,00 30 dias 
R$ 27.000,00 40 dias 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 – Calcular a taxa média obtida nas seguintes aplicações, que foram efetuadas pelo mesmo prazo. 
Capital Taxa 
R$ 10.000,00 2,5% ao mês 
R$ 8.000,00 3% ao mês 
R$ 27.000,00 1% ao mês 
 
2 – Um capital de R$ 70.000,00 foi dividido em duas aplicações. A primeira, novalor de R$ 
50.000,00, recebeu uma taxa de 4% ao mês. Calcular qual deverá ser a taxa atribuída à segunda 
aplicação para que a taxa média seja de 3% ao mês. 
 
3 – Uma nota promissória de R$ 50.000,00 vence em 30 dias e outra de R$ 75.000,00 vence em um 
prazo desconhecido. Sabendo-se que o prazo médio delas é de 32 dias, qual é o prazo da segunda 
promissória? 
 
4 – Um capital de R$ 213.800,00 foi dividido em duas aplicações. A primeira recebeu taxa de 3,5% 
ao mês e a segunda 5% ao mês. Calcular o valor de cada parcela, sabendo-se que a taxa média 
resultou em 4% ao mês. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS – TAXA MÉDIA E PRAZO MÉDIO 
 
1 – Determine o prazo médio das letras: R$ 200,00 a 30 dias, R$ 120,00 a 45 dias e R$ 400 a 60 dias, 
numa taxa comum de 5% a.m. 
 
2 – Um cliente de um banco possui três aplicações, uma no valor de R$ 400,00 a 6% a.m., uma de R$ 
300,00 a 5% a.m. e a terceira de R$ 200,00. Sabendo que a taxa média dessas aplicações é de 5,2% 
a.m., calcule o valor da taxa da terceira aplicação. 
 
3 – Calcule o prazo médio das aplicações abaixo: 
PV (R$) n (meses) 
10.000 4 
15.200 3 
38.460 6 
 
4 – Aplicou-se, à mesma taxa de juros simples, R$ 10.000,00 durante 9 meses, R$ 15.000,00 durante 
5 meses e R$ 30.000,00 durante 8 meses. Qual o prazo médio? 
 
5 – Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros 
simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a 
taxa média mensal de aplicação destes capitais. 
 
6 – Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à mesma taxa 
de juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de 
aplicação destes capitais. 
 
15 
 
CAPÍTULO II – DESCONTOS 
 
 
A ideia de desconto está associada com o abatimento dado a um valor monetário em 
determinadas condições. 
 Podemos ter situações de desconto quando há um abatimento no preço de um produto para 
pagamento à vista ou quando se faz o desconto de duplicatas e promissórias antes de seu vencimento. 
Neste último caso o banco cobra uma taxa de juros para descontar um título que ainda não venceu, ou 
seja, o banco fica com uma quantia do valor como forma de pagamento por fazer a operação. 
 
DESCONTO SIMPLES 
 
COMERCIAL OU BANCÁRIO (“POR FORA”): é o tipo de desconto utilizado nas operações de 
desconto de promissórias e duplicatas. Os juros incidem sobre o valor futuro (ou nominal) da 
operação. 
 
 
 PV = 
 PV = 
 
 
Exemplo1: Uma duplicata de R$ 18.000,00 foi descontada em um banco dois meses antes do 
vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. Determine de quanto foi o desconto e o 
valor recebido pela duplicata. 
 
 
 
 
 
 
 
RACIONAL (“POR DENTRO”): é a aplicação direta da fórmula de capitalização simples, porém 
com o objetivo de encontrar o valor presente (ou atual). Os juros incidem sobre o valor presente da 
operação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
Exemplo 2: Um título com valor nominal de R$ 500,00, com vencimento programado para daqui a 
três meses, foi descontado hoje. Sabendo que foi aplicado o desconto racional, a uma taxa de 4,5% 
a.m., calcule o desconto e o valor líquido recebido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESCONTO COMPOSTO: Representa a aplicação direta da fórmula de capitalização composta 
para encontrar o valor presente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 D = 
 
 
Exemplo 3: Calcule o desconto de um título de valor nominal igual a R$ 600,00, descontado 5 meses 
antes de seu vencimento a uma taxa de desconto composto de 4% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 – Um banco oferece empréstimos pessoais mediante o preenchimento de uma promissória pelo 
cliente com prazo de vencimento igual ao prazo pedido para pagamento. Em seguida, o banco 
desconta a promissória a uma taxa de desconto comercial de 4% a.m. e entrega ao cliente o valor 
líquido. Se uma pessoa precisar hoje de R$ 7.000,00, para pagamento daqui a 3 meses, qual é o valor 
da promissória que deverá assinar? 
 
2 – Uma corporação possui um título com valor nominal de R$ 55.000,00 e vencimento em 3 anos. 
Se a taxa atual, de juros compostos, corrente é igual a 18% a.a., qual é o valor atual deste título hoje? 
 
17 
 
3 – Fiz uma compra parcelada em uma loja e tenho uma prestação para pagar no valor de R$ 400,00 
com vencimento para daqui a 10 dias, mas resolvi fazer o pagamento hoje. Como farei um 
pagamento antecipado tenho direito a um desconto. Sabendo que a loja que opera com uma taxa de 
4% a.m., quanto deverei pagar se: 
a) O desconto utilizado for “por fora”; 
b) O desconto utilizado for “por dentro”. 
 
4 – Devo a um amigo R$ 3.800,00 que irá vencer daqui a 2 meses. Ele me procurou e disse que se eu 
o pagar hoje ele reduzirá minha dívida para R$ 3.550,00. Sabendo que a operação envolveu uma taxa 
composta de 3% a.m., responda: Devo aceitar a proposta? 
 
5 – Uma duplicata de R$ 8.000,00 foi descontada em um banco, proporcionando um valor líquido de 
R$ 7.500,00. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial utilizada foi de 2,2% a.m., obtenha o 
prazo de vencimento deste título. 
 
6 – Financiei um carro em 36 parcelas mensais de R$ 480,00 com taxa de juros compostos de R$ 
2,2% a.m. No pagamento da primeira parcela o banco me informou que, caso queira, eu poderia 
pagar a primeira e a última parcela com desconto dos juros embutidos. Como estou com uma folga 
no orçamento aceitei a proposta. Que valor tenho que pagar referente as duas parcelas? 
 
7 – Uma nota promissória com valor nominal igual a R$ 7.200,00 e vencimento para daqui 8 meses e 
meio foi descontada hoje no banco. Sabendo que o desconto racional sofrido foi igual a R$ 480,00, 
calcule a taxa da operação. 
 
8 – Uma pessoa possui um título com valor nominal de R$ 2.000,00 e vai resgatá-lo para pagar uma 
dívida. Este título deveria ter sido resgatado pelo critério do desconto simples “por fora”. No entanto, 
na hora de efetuar os cálculos, o critério usado, por engano, foi o do desconto simples “por dentro”. 
Quem levou vantagem, o devedor ou o credor? Qual o valor da vantagem financeira, se isso ocorreu 
2 meses antes do vencimento, a 4% a.m.? 
 
9 – Resgatei, em 16 de abril, uma nota promissória cujo vencimento estava marcado para o dia 10 de 
junho do mesmo ano. Obtive um desconto de R$ 4.400,00, calculado com uma taxa mensal de 6%. 
Qual era o valor nominal da promissória, sabendo que o desconto foi comercial? Dica: utilize a tabela do 
anexo I para a contagem dos dias. 
 
10 – Por um título de R$ 1.000.000,00, paguei R$ 887.971,00. Qual o prazo de antecipação desse 
título, se o desconto composto deu-se a 2% a.m.? 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS – DESCONTOS 
 
1 – Uma duplicata de valor nominal R$ 9.000,00 foi descontada em um banco dois meses antes de 
seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. Calcule o desconto comercial. 
 
2 – Uma promissória de R$ 20.000,00 foi descontada em um banco 3 meses antes de seu vencimento, 
a uma taxa de 1,8% a.m. Calcule o valor atual da promissória. 
18 
 
3 – Uma empresa descontouuma duplicata de R$ 12.000,00 45 dias antes do vencimento. Sabendo-
se que ela recebeu um valor líquido de R$ 11.720,00, calcule a taxa de desconto comercial mensal da 
operação. 
 
4 – Um título de valor nominal R$ 5.300,00 foi descontado à taxa de 1,5% a.m. Sabendo-se que o 
desconto comercial foi de R$ 397,50, quanto tempo antes do vencimento efetuou-se o resgate? 
 
5 – Calcular o valor do desconto por dentro de um título de R$ 2.000,00 com vencimento para 90 
dias, à taxa de 2,5% a.m. 
 
6 – Determine o valor atual produzido por uma letra que, descontada por dentro, 60 dias antes do seu 
vencimento, à taxa de 9% a.m., produziu R$ 140,00 de desconto. 
 
7 – Um título no valor de R$ 1.200,00 pago 5 meses antes do vencimento, ficou reduzido a R$ 
900,00. Qual foi a taxa mensal considerando o desconto racional? 
 
8 – Sabendo-se que o desconto de um título no valor de R$ 6.768,00 resultou em um crédito de R$ 
6.000,00 na conta do cliente, e que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% a.m., calcular o prazo do 
título, com desconto por dentro. 
 
9 – Uma pessoa tem uma dívida de R$ 10.000,00 vencível daqui a 3 meses. Se ela pagar a dívida 
hoje, qual será o valor pago, considerando um desconto composto de 1,5% a.m.? 
 
10 – A que taxa composta foi descontada uma dívida de R$ 50.000,00 que sendo paga 5 anos antes 
do vencimento se reduziu a R$ 37.362,96? 
 
11 – A companhia das Águas Prateadas possui uma nota promissória em seu “contas a receber” com 
vencimento programado para 90 dias e valor nominal igual a R$ 34.000,00. Se a empresa 
descontasse esse título hoje a uma taxa de 5% a.m. (composta), qual seria o valor recebido? 
 
12 – Resgatei, em 16 de março, uma nota promissória cujo vencimento estava marcado para o dia 10 
de junho do mesmo ano. Obtive um desconto de R$ 4.400,00, calculado com uma taxa mensal de 
6%. Qual era o valor nominal da promissória, sabendo que o desconto foi comercial? 
 
13 – Devo a um amigo R$ 11.000,00. Desejo liquidar a dívida endossando-lhe um título que possuo 
de R$ 9.000,00, que vence em 2 meses. Se o desconto racional for feito a 0,7% a.m., qual a quantia 
em dinheiro que devo dar? 
 
14 – O cliente de um banco fez um empréstimo de R$ 15.000,00 para liquidar com um único 
pagamento em 8 meses. A taxa de juros compostos acertada foi de 3,2% a.m. Mas faltando 3 meses 
para o vencimento ele juntou algumas economias e procurou o banco para fazer o pagamento da 
dívida. O banco concedeu um desconto comercial de 2,5% a.m. Qual o valor pago pelo cliente? 
 
15 – Ao fazer o resgate de um título recebi um desconto simples de R$ 48,37. A taxa usada para este 
desconto é de 3% a.m., e o valor do título é de R$ 1.200,00. Qual o prazo de antecipação do título em 
dias se o desconto for racional? 
19 
 
16 – Pedro possui um título de R$ 5.000,00 que vence daqui 8 meses. Hoje Pedro está precisando de 
R$ 4.000,00 para quitar uma dívida, então ele vai descontar esse título em um banco que cobra uma 
taxa de 3,1% a.m. Se o método de desconto utilizado pelo banco for o comercial, a dívida poderá ser 
paga? E se o desconto for racional? 
17 – Uma dívida de R$ 1.800,00 foi paga 4 meses antes de seu vencimento com um valor de R$ 
1.611,76. Qual foi a taxa de desconto composto aplicada nesta situação? 
 
18 – Encontrar o desconto composto, concedido no resgate de um título de R$ 50.000,00, recebido 2 
meses antes de seu vencimento, à taxa de 3% a.m. 
 
19 – Um banco opera no desconto de título à taxa comercial de 9% a.m. O sacador de uma duplicata 
de R$ 3.000,00 deseja “vendê-la” a este banco 12 meses antes de sua data de vencimento. Vale a 
pena realizar essa operação? 
 
20 – Ao resgatar um título, um comerciante recebeu um desconto racional de R$ 30,00. Sabendo-se 
que a taxa usada pelo banco é de 72% a.a., e que valor do título é de R$ 530,00, encontre o prazo de 
antecipação do título. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
FLUXO DE CAIXA 
 
 
Uma das ferramentas mais importantes nas análises do valor do dinheiro no tempo é o 
diagrama de fluxo de caixa, que nos ajuda a visualizar o que está ocorrendo em um problema 
específico e então a organizá-lo para ser resolvido. 
O fluxo de caixa é o movimento de entrada e saída de dinheiro de uma empresa ou pessoa 
física, previsto de ocorrer em determinado intervalo de tempo. Ele pode ser representado por um 
diagrama em que, numa reta horizontal orientada da esquerda para a direita, se encontra assinalado a 
linha do tempo subdividida em períodos unitários (dia, mês, ano). 
O ponto 0 (zero) representa a data hoje ou de formalização da operação financeira. O ponto 1, 
o final do primeiro dia, mês ou ano conforme o período unitário considerado. 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA 
 
 
 
 
Observações: 
1. As entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos. Têm sempre sinal positivo e são 
representadas por setas apontadas para cima. 
2. As saídas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Têm sempre sinal negativo e são 
representadas por setas apontadas para baixo. 
 
 A figura abaixo ilustra diferentes diagramas de fluxo de caixa para operações de empréstimo 
e aplicação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
Exemplo: O diagrama de fluxo de caixa de um empréstimo contraído por alguém no valor de R$ 
300,00, que será quitado mediante o pagamento de R$ 340,00, daqui a seis meses é o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 – Represente o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicação no valor de R$ 500,00 que será 
resgatado em três parcelas iguais mensais de R$ 200,00. 
 
2 – Emprestei R$ 500,00 para um amigo e ele ficou de me pagar com parcelas mensais, 
respectivamente, de R$ 250,00, R$ 200,00, R$ 150,00, R$ 100,00. Faça o fluxo de caixa. 
 
3 – Fiz um empréstimo no valor de R$ 1.000,00 para ser pago em 4 parcelas: R$ 500,00 no primeiro 
mês, R$ 300,00 no segundo, R$ 200,00 no terceiro e R$ 150,00 no último. Desenhe o fluxo de caixa 
para este empréstimo. 
 
4 – Um cliente do banco Bom Negócio gostaria de descontar uma nota promissória, no valor de R$ 
3.000,00, com vencimento para 30 dias. O gerente, além de cobrar-lhe juros antecipados de R$ 
600,00, faz com que ele mantenha um Certificado de Depósito Bancário no valor de R$ 400,00 e 
remunerado a 10% durante o prazo da operação. Qual o diagrama de fluxo de caixa correspondente? 
 
5 – Uma empresa pensa em abrir uma nova instalação industrial com investimento inicial igual a R$ 
300,00. Os gastos anuais associados aos cinco anos de vida do negócio são estimados em R$ 80,00, e 
as receitas, em R$ 200,00. Represente o diagrama de fluxo de caixa dessa operação. 
 
6 – Um amigo nosso resolveu aplicar hoje R$ 400,00 por quatro meses. Sabendo que ele recebeu R$ 
80,00 de juros, calcule o valor do resgate e desenhe o diagrama de fluxo de caixa da operação. 
 
7 – Manoel tomou $ 200,00 emprestados, assumindo o compromisso de pagar $250,00 após 45 dias. 
Desenhe o diagrama de fluxo de caixa da operação. 
 
8 – Um amigo me emprestou hoje R$ 800,00. Eu me comprometi em pagá-lo com duas parcelas, 
uma de R$ 500,00 após 30 dias e outra de R$ 600,00 após 120 dias. Desenhe o diagrama de fluxo de 
caixa para este empréstimo. 
 
9 – Uma loja anuncia a venda de uma geladeira à vista por $ 800,00 ou em duas parcelas mensais e 
sem entrada de $ 500,00. Desenhe o diagrama de fluxo de caixa da operação de compra financiada. 
 
10 – Um comerciante anuncia a venda de um conjunto de estofados à vista por $ 600,00 ou em 1 +4 
parcelas mensais de $ 150,00. Desenhe o diagrama de fluxo de caixa da operação de compra 
financiada. 
22 
 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 
 
Dois ou mais capitais, com datas de vencimento diferentes são ditos capitais equivalentes 
quando, “transportados” para uma mesma data, à mesma taxa de juros, produzem valores iguais. 
A data para a qual os capitais serão “transportados” é chamada data focal. 
 
Obs.: Nas operações envolvendo desconto simples será usado sempre o desconto simples racional. 
 
Exemplo 1: Certa pessoa deve efetuar os seguintes pagamentos: R$ 1.000,00 na data de hoje; R$ 
2.000,00 no fim de seis meses e R$ 3.000,00 no fim de dezoito meses. Se a taxa acertada foi de 1% 
a.m. (juros simples) e supondo que o devedor deseje reformular seus compromissos originais, de 
maneira a efetuar somente dois pagamentos iguais, o primeiro em doze meses e o segundo em 
dezoito meses, determinar o valor desses pagamentos, considerando como data focal: 
 
a) a data 18 meses; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) a data de hoje. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
Exemplo 2: Uma pessoa tem uma dívida de R$ 3.000,00 com vencimento em dois anos e uma dívida 
de R$ 4.500,00 com vencimento em seis anos. Pretende quitar seus débitos por meio de um único 
pagamento a ser realizado ao final de quatro anos. Considerando uma taxa de juros composta de 10% 
a.a., determine o valor do pagamento que liquida a dívida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 – O fluxo de caixa de uma indústria apresenta os pagamentos de R$ 120.000,00 e R$ 80.000,00, 
respectivamente, de hoje a 1 e 3 meses. Antevendo dificuldades, o gerente tenta negociar junto à 
instituição credora essa dívida, na forma de dois pagamentos iguais vencíveis de hoje a 4 e 5 meses. 
Supondo que essa negociação se faça a 5% a.m. (juros simples) e data focal no dia de hoje, qual o 
valor dos novos pagamentos? 
 
2 – Considerando juros compostos de 5% a.m., daqui a quantos dias deve ser feito um pagamento 
único de R$ 160.000,00, para liquidar uma dívida pela qual o devedor pagaria três parcelas, a saber: 
R$ 50.000,00 no fim de seis meses, R$ 40.000,00 no fim de dez meses e R$ 80.000,00 no fim de 
doze meses? 
 
3 – Uma pessoa deve R$ 50.000,00 para daqui a 2 meses, R$ 100.000,00 para daqui a 3 meses e R$ 
20.000,00 para daqui a 4 meses. Desejando liquidar esses débitos com um único pagamento daqui a 1 
mês, qual deverá ser o valor do mesmo, considerando uma taxa de juros simples de 10% a.a. e data 
focal no dia de hoje? 
 
4 – Você foi comprar uma geladeira e a loja lhe ofereceu 4 opções de pagamento: i. R$ 1.800,00 à 
vista; ii. R$ 300,00 à vista mais 3 prestações mensais de R$ 600,00; iii. R$ 500,00 à vista mais 3 
prestações mensais de R$ 500,00; iv. 8 prestações mensais de R$ 275,00 com 3 meses de carência. 
Qual é a melhor opção pra você, considerando uma taxa de juros simples de 4% a.m. e data focal na 
data da compra? 
 
5 – Uma pessoa tem uma dívida de R$ 1.000,00 que vence em dez meses e propõe pagá-la em três 
parcelas: R$ 350,00 daqui a três meses, R$ 300,00 daqui a sete meses e uma parcela final no 
vencimento da dívida. A juros compostos de 4% a.m., determinar o valor da parcela final que liquida 
a dívida. 
24 
 
6 – Uma compra pode ser paga à vista por R$ 1.400,00 ou financiada por meio de uma entrada de 
30% e mais dois pagamentos mensais, o segundo 50% maior que o primeiro. Sabendo-se que o início 
dos pagamentos será ao término de um período de carência de quatro meses e que a taxa de juros 
compostos aplicada é de 5% a.m., calcular o valor dos pagamentos mensais. 
 
7 – Uma pessoa trocou um título de R$ 159.500,00, com vencimento para 45 dias, por outro 
equivalente, a uma determinada taxa, com vencimento para 10 dias e valor nominal R$ 121.000,00. 
Qual o valor dessa taxa, considerando-se juros simples e a data focal zero? 
 
8 – Um bem vale R$ 2.000,00 à vista. A prazo, paga-se uma entrada de 20% mais três mensalidades 
iguais e consecutivas. A juros compostos de 4% a.m., calcular o valor das mensalidades. 
 
9 – Um título no valor nominal de R$ 8.500,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro, 
com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros simples é de 3,5% a.m. encontre o 
valor do novo título, considerando a data focal zero? 
 
10 – Uma pessoa dispõe de duas formas de pagamento na compra de um bem. Na primeira forma, 
pagam-se à vista R$ 4.800,00 e na segunda pagam-se 20% de entrada e duas prestações mensais 
iguais consecutivas, sendo a primeira para 1 mês. Considerando juros compostos de 20% a.m., 
calcular o valor das prestações mensais da segunda forma de pagamento. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 
1 – Uma pessoa deve pagar uma dívida em duas prestações, sendo a primeira no valor de R$ 
50.000,00, vencível daqui a 3 anos, e a segunda no valor de R$ 60.000,00, a pagar daqui a 5 anos. 
Ela deseja trocar esse débito por dois outros iguais, pagáveis daqui a 1 e 2 anos, respectivamente. 
Qual é o valor de cada pagamento considerando-se a taxa de desconto simples de 10% a.a. e a data 
focal zero? 
 
2 – Uma pessoa tem duas dívidas a pagar: a primeira, de R$ 1.000,00, vence daqui a 45 dias, e a 
segunda, de R$ 3.500,00 vence daqui a 120 dias. Se a pessoa pretende liquidar as dívidas por meio de 
dois pagamentos iguais, com vencimento daqui a 90 e 180 dias, respectivamente, calcular o valor de 
cada pagamento se ambas as dívidas foram contratadas a juros simples de 2% a.m. (Data focal: 180º 
dia) 
 
3 – Duas dividas de R$ 20.000,00 e R$ 30.000,00 com vencimentos em 2 e 4 meses, 
respectivamente, serão liquidadas por meio de um único pagamento a ser efetuado em 3 meses. 
Considerando juros compostos de 5% a.m., calcular o valor desse pagamento. 
 
4 – Três dívidas, a primeira de R$ 2.000,00 vencendo em 30 dias, a segunda de R$ 1.000,00 
vencendo em 60 dias e a terceira de R$ 3.000,00 vencendo em 90 dias, serão liquidadas por meio de 
um pagamento único dentro de 60 dias. Se a taxa de juros compostos for de 3% a.m., calcule o valor 
do pagamento. 
 
25 
 
5 – Uma pessoa possui três títulos aplicados no mercado financeiro, sendo seus valores nominais: R$ 
10.000,00, R$ 15.000,00 e R$ 20.000,00. As datas de vencimento são, respectivamente, 2 meses, 8 
meses e 2 anos (contando a partir da data zero). Qual é a soma destes títulos na data focal zero, 
considerando uma taxa de juros simples de 2,25% a.m.? 
 
6 – Um investidor possui R$ 1.000,00 em dinheiro e um título de valor nominal de R$ 2.800,00, com 
vencimento em 18 meses. Qual deve ser a taxa de juros simples adotada para que o investidor tenha 
um capital de R$ 3.740,00 na data focal 12? 
 
7 – Uma pessoa deve pagar três prestações mensais iguais e consecutivas de R$ 3.500,00 cada, sendo 
a primeira para 30 dias. Se resolve quitar a dívida por meio de um pagamento único daqui a três 
meses, qual seria o valor desse pagamento, considerando uma taxa de juros compostos de 5% a.m.? 
 
8 – Na compra de um bem cujo valor à vista é R$ 140,00, deve-se pagar uma entrada mais duas 
prestações de R$ 80,00 no fim dos próximos dois meses. Considerando uma taxa de juros compostos 
de 20% a.m., qual é o valor da entrada? 
 
9 – Uma pessoa possui as seguintes dívidas: R$ 500,00 a pagar hoje; R$ 1.524,00 a vencer em 9 
meses e R$ 3.080,00 a vencer em 18 meses. Sabendo que só terá condições de pagar as dívidas daqui 
a 6 meses, o devedor se propõe a resgatar sua dívida total com três pagamentos iguais, sendo o 
primeiro em 6 meses, o segundo em 12 meses eo último em 18 meses. Se a taxa de juros simples 
corrente for de 3% a.m., qual será o valor de cada pagamento? (considere a data focal zero) 
 
10 – Por um equipamento de R$ 360.000,00 pagam-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos 
mensais consecutivos. Se o primeiro pagamento for de R$ 180.000,00 e a taxa de juros compostos 
aplicada for de 10% a.m., calcular o valor do segundo pagamento. 
 
11 – A soma de dois títulos em certa data focal, considerando juros simples de 2% a.m., é de R$ 
1.076,00. Em seus vencimentos sequenciais, eles são, respectivamente, de R$ 300,00 e de R$ 700,00. 
Qual será o prazo entre a data focal e o vencimento do título de R$ 300,00 se o vencimento do título 
de R$ 700,00 anteceder a data focal em 2 meses? 
 
12 – Uma pessoa devendo R$ 8.000,00 hoje e R$ 10.000,00 em um ano propõe a substituição destes 
títulos por um de R$ 11.000,00 em 6 meses e outro com vencimento em 1 ano e meio. Sabendo-se 
que a taxa de juros simples é 1,55% a.m., qual será o valor do segundo pagamento, considerando a 
data focal 6? 
 
13 – Um título com valor nominal de R$ 8.500,00 e vencimento para 5 meses foi trocado por outro 
de R$ 7.934,84, com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros compostos corrente 
de mercado é de 3,5% a.m., pergunta-se se a substituição foi vantajosa? 
 
14 – Um carro está a venda por R$ 20.000,00 de entrada e R$ 20.000,00 após 6 meses. Um 
comprador propõe pagar R$ 25.000,00 como segunda parcela, o que só será feito, entretanto, após 8 
meses. Neste caso, quanto deverá dar de entrada, se a taxa de juros compostos de mercado for de 2% 
a.m.? 
 
26 
 
CAPÍTULO III – TAXAS DE JUROS 
 
 
TAXA PROPORCIONAL: no regime de capitalização simples duas taxas e , referentes a 
períodos diferentes, são ditas proporcionais quando aplicadas em capitais iguais resultam em 
montantes iguais. 
 
Exemplo 1: Verifique se as taxas de juros simples de 2% a.m e 24% a.a são proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
TAXA EQUIVALENTE: no regime de capitalização composta duas taxas e , referentes a 
períodos diferentes, são ditas equivalentes quando aplicadas em capitais iguais resultam em 
montantes iguais. 
 
Exemplo 2: A taxa de 2% ao mês é equivalente à taxa de 26,82% ao ano, pois um capital colocado a 
2% ao mês produz o mesmo montante que produz quando colocado a 26,82% ao ano. (Verifique!) 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DA TAXA EQUIVALENTE: A operação que transforma uma taxa de um período 
menor (mês) para um período maior (ano) é chamada de capitalização da taxa, e a operação que 
transforma uma taxa de um período maior (mês) para um período menor (dia) é chamada de 
descapitalização da taxa. 
 Seja: 
 taxa do período maior 
 número de períodos 
 taxa equivalente a (período menor) 
 
Fórmula para Capitalização: [( 
 
 
)
 
 ] 
Fórmula para Descapitalização: [( 
 
 
)
 
 
 ] 
 
Exemplo 3: Calcule a taxa diária equivalente a 8% a.m. 
 
 
 
 
 
27 
 
TAXAS NOMINAL E EFETIVA: taxa nominal é a taxa que aparece nos documentos de operações 
financeiras. Taxas nominais se referem a um período que não coincide com o de capitalização dos 
juros. Não corresponde, portanto, ao ganho ou custo financeiro efetivo da operação. Logo, seu valor 
nunca é utilizado nos cálculos. Para poder empregá-la nas operações, é necessário convertê-la para a 
unidade a ser trabalhada, encontrando a taxa efetiva. 
 
Exemplo 4: Taxas nominais: 15% a.a capitalizados mensalmente; 
 4% a.m capitalizados diariamente. 
 
 Taxas efetivas: 0,02% a.d, capitalizados diariamente; 
 5% a.m, capitalizados mensalmente. 
 
 Essa forma de expressar a taxa, largamente utilizada no mercado financeiro, também é 
responsável por divergências entre as taxas nominal e efetiva. Convencionou-se, então, que, quando 
o período mencionado na taxa não corresponde ao período de capitalização, prevalece o período de 
capitalização, devendo-se tomar a taxa proporcional correspondente como taxa efetiva e considerar a 
taxa dada como nominal. 
 
Exemplo 5: A Caderneta de Poupança, além da atualização monetária, paga juros de 6% a.a 
capitalizados mensalmente. 
 
a) Qual a taxa nominal de juros pagos pela Caderneta de Poupança? 
 
b) Qual a taxa efetiva mensal? 
 
 
c) Qual a taxa efetiva anual? 
 
 
 
 
 
 
 
TAXA REAL: é a taxa é calculada a partir da taxa efetiva depois de eliminados todos os efeitos 
inflacionários, pois não podemos esquecer que o ganho e pagamento também são corroídos pela 
inflação. 
Para encontrarmos a taxa real, devemos dividir a taxa efetiva pela taxa de inflação. Em uma 
aplicação, se o resultado for positivo, existiu um ganho acima da inflação e se o resultado for 
negativo é porque houve uma perda. 
 
 [(
 
 
 ) (
 
 
 ) ] 
28 
 
Exemplo 6: Um capital foi aplicado, por um ano, à taxa de juros de 22% a.a. no mesmo período, a 
taxa de inflação foi de 12%. Qual foi a taxa real de juros? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
(Obs.: utilize juros compostos na resolução dos exercícios, exceto quando pedido o contrário.) 
 
1 – Determinar as seguintes taxas proporcionais: 
a) 2,5% a.m. é proporcional a qual taxa anual? 
b) 3% a.s. é proporcional a qual taxa anual? 
c) 4% a.t. é proporcional a qual taxa anual? 
d) 9% a.s. é proporcional a qual taxa trimestral? 
e) 8% a.a. é proporcional a qual taxa trimestral? 
f) 18% a.a. é proporcional a qual taxa mensal? 
 
2 – Determinar as seguintes taxas equivalentes: 
a) 3% a.m. é equivalente a qual taxa anual? 
b) 48% a.a. é equivalente a qual taxa mensal? 
c) 60% a.a. é equivalente a qual taxa trimestral? 
d) 10% a.m. é equivalente a qual taxa anual? 
e) 15% a.m. é equivalente a qual taxa trimestral? 
f) 108% a.a. é equivalente a qual taxa mensal? 
 
3 – Uma pessoa vai a um banco com a intenção de depositar suas economias por um ano e, 
conversando com o gerente, ela é informada de que existem dois tipos de aplicação uma com taxa de 
26% a.a e a outra com taxa de 2,1% a.m. Qual aplicação é mais vantajosa, sabendo que ambas 
envolvem juros compostos? 
 
4 – Apliquei um capital à uma taxa de juros compostos de 48% a.a e resgatei, após 2 meses o valor 
de R$ 4.600,00. Qual foi o capital aplicado? 
 
5 – Pretendo comprar um carro daqui a dois anos que, suponho, custará R$ 50.000,00. Para ter 
dinheiro necessário, quanto devo aplicar hoje, considerando que a taxa, de juros compostos, da 
aplicação é de 30% a.a., com capitalização trimestral? 
 
6 – Qual é o montante resultante de um investimento de R$ 1.200,00 aplicado por 3 anos a juros 
nominais de 16% a.a., capitalizados mensalmente? 
 
29 
 
7 – Qual é o valor de resgate para um capital de R$ 200,00 aplicado por 27 dias a 9% a.m., 
capitalizados diariamente? 
 
8 – Uma pessoa aplicou R$ 4.000,00 por 2 anos a juros nominais de 12% a.a, capitalizados 
semestralmente. Ao término desse prazo, reaplicou o montante por 3 anos à taxa de juros de 16% 
a.a., capitalizados trimestralmente. Calcular o valor de resgate da aplicação. 
 
9 – Calcular as taxas efetivas anuais para as seguintes taxas nominais: 
a) 24% a.a., capitalizada mensalmente; 
b) 48% a.s., capitalizada mensalmente; 
c) 60% a.t., capitalizada diariamente. 
 
10 – Fiz um empréstimo no valor de R$ 11.000,00 para ser pago dentro de 1 ano à taxa de 32% a.a., 
capitalizados trimestralmente. Qual valor pagarei pelo empréstimoem seu vencimento e qual será o 
seu custo efetivo anual? 
 
11 – A taxa nominal de juros de uma aplicação financeira é de 12% a.a, capitalizados mensalmente. 
Determine: 
a) o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 depois de 5 meses; 
b) a taxa efetiva mensal da aplicação; 
c) a taxa efetiva anual da aplicação. 
 
12 – Um investidor dispõe das seguintes alternativas de investimento: aplicar à taxa nominal de 48% 
a.a., com capitalizações mensais, ou à taxa de 50% a.a., com capitalizações semestrais. Qual 
alternativa representa melhor aplicação? 
 
13 – Um capital foi aplicado, por seis meses, à taxa de juros de 7% a.s. No mesmo período, a taxa de 
inflação foi de 9%. Qual é a taxa real da aplicação? Qual o seu significado? 
 
14 – Uma empresa levanta um empréstimo para capital de giro por dois meses à taxa de 4% a.b. Qual 
deverá ser a taxa de inflação no período para resultar em uma taxa real de 2,2% a.b.? 
 
15 – Uma pessoa adquiriu um imóvel por R$60.000,00 e o vendeu, um ano após, por R$ 85.320,00. 
Sendo de 15% a inflação no ano, encontre a rentabilidade efetiva e real anual produzidas por esta 
operação. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS – TAXAS DE JUROS 
 
1 – Determine as taxas semestral e anual proporcionais à taxa de 3% a.m. 
 
2 – Calcule a taxa mensal proporcional às taxas de 90% a.s.; 220,8% a.a. e 96% ao biênio. 
 
3 – Determine a taxa diária equivalente à taxa de juros de 40% a.a., assumindo o ano com 360 dias. 
 
4 – Em inflaciolândia, uma operação de empréstimo foi feita a uma taxa igual a 6.000% a.a., 
considerando o ano comercial. Determine a taxa equivalente: 
30 
 
a) semestral; 
b) quadrimestral; 
c) trimestral; 
d) mensal; 
e) diária. 
 
5 – Qual é a taxa efetiva anual para uma taxa de nominal de 5% a.a. com capitalização bimestral? 
 
6 – Qual é a taxa efetiva semestral para uma taxa nominal de 52% a.s. com capitalização mensal? 
 
7 – Calcule o montante acumulado no final de 3 anos, ao se aplicar um capital inicial no valor de R$ 
28.500,00 com uma taxa nominal de 36% a.a. (capitalização quadrimestral). 
 
8 – Uma aplicação rendeu um montante de R$ 1.392,40 ao final de dois anos. Sabendo que a taxa foi 
de 1,5% a.m. capitalizada anualmente, determine o capital aplicado. 
 
9 – A taxa de inflação de um determinado ano foi de 20,1%. Um investidor afirma ter auferido, em 
uma aplicação financeira, um rendimento real de 12% ao longo do mesmo ano. Qual foi a taxa 
efetiva de juros auferida pelo investidor? 
 
10 – Um capital foi aplicado por 6 meses à taxa efetiva de 14% a.s. Nestes 6 meses a inflação foi de 
1,2% a.m. Qual a taxa de juros real semestral? 
 
11 – Qual é a taxa trimestral proporcional à taxa de 18% a.b.? 
 
12 – Qual é a taxa bimestral equivalente à taxa de 30% a.s.? 
 
13 – Um investidor pode aplicar seu capital a juros compostos à taxa de 33% a.a. ou à taxa de 2,5% 
a.m. Qual é a melhor alternativa para este investimento? 
 
14 – Meu tio aplicou R$ 5.200,00 por 76 dias a juros de 38% a.a. Qual foi o montante resultante ao 
final da aplicação se o juro for simples? E se o juro for composto? 
 
15 – Rosemary fez uma aplicação a 48% a.a., capitalizados mensalmente, pelo prazo de um ano e, 
posteriormente, reaplicou o montante a 60% a.a., capitalizados trimestralmente, por mais um ano. 
Determine o valor aplicado sabendo-se que, no final dos dois anos, o montante acumulado dessa 
aplicação foi de R$ 67.895,08. 
 
16 – Determine o montante acumulado durante 3 anos, ao se aplicar um capital de R$ 28.000,00 com 
uma taxa nominal de juros de 36% a.a., capitalizados trimestralmente. 
 
17 – Uma das taxas, de juros compostos, cobradas por um banco em um empréstimo é de 3% a.a, 
capitalizados diariamente. Qual é a taxa efetiva anual paga pelos clientes? 
 
18 – Uma pessoa adquiriu um imóvel por R$ 80.500,00 e o vendeu, um ano após, por R$ 108.675,00. 
Sendo de 12% a inflação no ano, encontre: 
31 
 
a) a rentabilidade efetiva anual; 
b) a rentabilidade real anual; 
c) a rentabilidade efetiva mensal. 
 
19 – Apliquei um capital durante um ano com taxa de juros de 0,055% a.d, porém nesse mesmo 
período a taxa de inflação foi de 12%. Qual foi a taxa real anual de juros do meu investimento? 
 
20 – Um banco deseja auferir 1% a.m. de taxa real de juros para empréstimos por seis meses. Qual 
deverá ser a taxa de juros semestral, se a inflação esperada no período for de 8%? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
CAPÍTULO IV – RENDAS 
 
 
 Chamamos de renda um conjunto de pagamentos, realizáveis em épocas distintas, destinados 
a constituir um capital ou amortizar uma dívida. 
Os pagamentos, que podem ser prestações ou depósitos, constituem os termos (PMT) da 
renda. Denomina-se n o número de termos e i a taxa de juros. 
Se o objetivo da renda for pagar uma dívida, o valor dessa dívida será o valor presente (PV) 
da renda e teremos um caso de amortização. Agora, se o objetivo for constituir um capital, esse 
capital será o montante (FV) da renda e teremos um caso de capitalização. 
 
Obs.: No estudo de rendas sempre utilizaremos juros compostos. 
 
ANTECIPADAS: primeira prestação paga no ato, ou seja, com entrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: A compra de um apartamento no valor de R$ 185.000,00 é financiada em dezoito 
prestações semestrais, iguais e sucessivas. Determine o valor dessas prestações para uma taxa de 
1,2% a.m. Considere que o primeiro pagamento é feito no ato do financiamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Quanto é preciso aplicar mensalmente, num total de 48 prestações, numa poupança, para 
que possa resgatar R$ 52.800,00 no final do período, à taxa de 4% a.m., começando a aplicação 
agora? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
POSTECIPADAS: primeira prestação paga no fim do primeiro período, ou seja, sem entrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Nos exercícios, quando não for mencionado o tipo de renda, consideramos a renda como 
postecipada. 
 
Exemplo 3: Um empréstimo de R$ 50.000,00 é realizado à taxa de 4,8% a.m. para ser liquidado em 
seis prestações mensais, iguais e sucessivas. Qual o valor da prestação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Quanto uma pessoa acumularia no fim de 15 meses se depositasse a cada final de mês 
R$ 350,00 em uma aplicação que paga juros de 5% a.m.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIFERIDAS: As rendas diferidas são aquelas em que há um período de carência, isto é, a primeira 
parcela vence após certo período (maior que 1) a contar da ocasião do contrato. 
Neste caso devemos corrigir o valor a ser financiado (PV) pelo período de carência usando a 
fórmula: 
 
 
 
e depois usamos as fórmulas das rendas postecipada ou rendas antecipadas. 
 
34 
 
Exemplo 5: Um terreno é vendido à vista por R$ 50.000,00 ou a prazo em seis prestações mensais 
iguais, vencendo a primeira três meses após a compra. Se a taxa de juros do financiamento for de 2% 
a.m., qual o valor de cada prestação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: Um computador é vendido por R$ 2.300,00 à vista. A prazo é vendido em seis 
prestações mensais e iguais, sendo dados ao cliente dois meses de carência. A taxa de juros cobrada 
pela loja é de 6% a.m. Obtenha o valor de cada prestação.EXERCÍCIOS 
 
1 – Uma betoneira cujo valor a vista é de R$ 30.000,00 será financiada em 20 prestações mensais e 
sucessivas, além de uma entrada de R$ 7.500,00, por ocasião da compra. Determine o valor das 20 
prestações, sabendo que o financiamento será realizado a juros compostos de 15% a.a., capitalizados 
mensalmente e considerando que a primeira prestação vencerá 30 dias após a compra. 
 
2 – Um dormitório é vendido por R$ 5.000,00 à vista. A prazo, a loja exige uma entrada de R$ 
1.500,00 e o restante em seis prestações, sendo dados ao cliente dois meses de carência. Determine o 
valor de cada prestação considerando uma taxa de 4,85% a.m. 
3 – Uma pessoa ao comprar um carro cujo preço à vista é de R$ 14.000,00, teve o seu usado avaliado 
em R$ 6.000,00 e aceito como entrada. O saldo será pago em 20 parcelas mensais iguais, a juros de 
35 
 
6% a.m. Calcular o valor da prestação mensal considerando que primeira parcela será paga na data da 
compra. 
 
4 – A venda de uma moto é anunciada em dez prestações mensais e iguais de R$ 2.000,00 cada, 
vencendo a primeira dois meses após a compra. Qual o preço à vista se a taxa de financiamento for 
de 3,5% a.m.? 
 
5 – Em quantos meses uma pessoa acumula um montante de R$ 12.000,00 depositando R$ 560,43 
todo final de mês em uma aplicação financeira que rende juros de 2% a.m.? 
 
6 – A aquisição de um bem industrial deve ser financiada em 16 prestações mensais de R$ 40.000,00, 
que incluem juros calculados com uma taxa de 2,48% a.m. Determine o valor do financiamento, 
sabendo que a primeira prestação é paga como entrada. 
 
7 – Um conjunto de sofás é vendido à vista por R$ 6.000,00 ou a prazo em quatro prestações mensais 
e iguais, vencendo a primeira três meses após a compra. Qual o valor de cada prestação se a taxa de 
juros do financiamento for de 5,8% a.m.? 
 
8 – Uma aparelhagem de som está anunciada nas seguintes condições: R$ 1.500,00 de entrada e 3 
prestações mensais iguais de R$1.225,48. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2,5% a.m., calcular o 
preço à vista? 
 
9 – Juliana gostaria de trocar de carro daqui a um ano e meio. Estima que gastará na troca do veículo 
cerca de R$ 18.000,00. Quanto ela deve depositar mensalmente a partir de hoje em uma caderneta de 
poupança que rende 1,5% a.m. para poder dispor da quantia desejada? 
 
10 – O preço à vista de um carro é R$ 80.000,00. A revendedora exige 30% como entrada, 
financiando o saldo em 36 prestações, com seis meses de carência. Sabendo-se que a taxa de juros da 
agência é de 3,5% a.m., qual é o valor das prestações? 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS – RENDAS 
 
1 – Um eletrodoméstico é vendido a prazo, em quatro pagamentos mensais e iguais de R$ 550,00 
cada, vencendo o primeiro um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 5% a.m., 
qual seu preço à vista? 
 
2 – Um automóvel usado é vendido à vista por R$ 30.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 12 
prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de 
juros do financiamento é de 2% a.m., obtenha o valor de cada prestação. 
 
3 – Uma motocicleta é vendida em 5 prestações mensais de R$ 800,00 cada uma, sendo a primeira de 
entrada. Qual o preço à vista se a taxa de juros do financiamento for de 4,5% a.m.? 
 
4 – Um investidor aplica mensalmente R$ 2.000,00 em um fundo de investimentos que remunera as 
aplicações à taxa de juros de 2% a.m. Se o investidor fizer 7 aplicações, qual o montante no instante 
do último depósito? 
36 
 
5 – Um terreno é vendido à vista por R$ 50.000,00 ou a prazo em 6 prestações mensais e iguais, 
vencendo a primeira 3 meses após a compra. Se a taxa de juros do financiamento for de 2% a.m., 
qual o valor de cada prestação? 
 
6 – Um automóvel no valor de R$ 20.000,00 é financiado em 13 prestações trimestrais, iguais e 
sucessivas, sendo que a primeira deve ser paga 90 dias após a liberação do financiamento. Determine 
o valor dessas prestações para uma taxa de 3% a.t. 
 
7 – O preço à vista de um carro é de R$ 36.000,00. No entanto, há um plano de venda a prazo em que 
se exige 30% de entrada, financiando o saldo em 24 parcelas mensais iguais, com três meses de 
carência. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 5% a.m., qual o valor de cada 
prestação? 
 
8 – Por uma compra no valor de R$ 375,00 pagam-se 12 prestações mensais, sendo a primeira de 
entrada. Qual é o valor das prestações se os juros são se 8% a.m.? 
 
9 – Calcular o montante formado daqui a cinco meses mediante cinco aplicações mensais e 
consecutivas de R$ 100,00 cada. Considere que o primeiro depósitos será realizado daqui 30 dias e 
que a taxa de juros é de 10% a.m. 
 
10 – Um terreno é vendido em quatro prestações mensais e iguais de R$ 150.000,00, sendo a 
primeira de entrada. Se a taxa do financiamento for 4% a.m., qual o preço à vista? 
 
11 – Um fundo de renda fixa paga juros nominais de 60% a.a., capitalizados mensalmente. Um 
investidor fez um depósito inicial de R$ 8.000,00 mais 22 depósitos mensais iguais e consecutivos, o 
primeiro iniciando um mês após o depósito de abertura. Considerando que no fim do período o fundo 
acusa um saldo de R$ 90.000,00, calcular o valor das aplicações mensais. 
 
12 – Um clube vende títulos de sócio mediante uma entrada de R$ 500,00 e 36 prestações de R$ 
200,00. Para facilitar a venda, permite uma carência de 4 meses para o pagamento da primeira 
prestação. Qual é o valor do título, uma vez que a taxa de juros de mercado é de 2,5% a.m.? 
 
13 – Uma poupança que paga juros de 1% a.m. foi aberta com um depósito de R$ 6.500,00. 
Efetuando depósitos mensais de R$ 442,37, o primeiro para 30 dias depois de aberta a poupança, em 
quantos meses acumula-se um montante de R$ 80.000,00? 
 
14 – Uma loja oferece, em uma promoção, um televisor por 24 prestações de R$ 300,00, ocorrendo o 
primeiro pagamento após 4 meses da compra. Qual seria o preço à vista deste televisor, uma vez que 
a taxa de mercado é de 2,5% a.m.? 
 
15 – Qual deve ser o valor de cada prestação mensal de um financiamento de R$ 3.000,00 a ser pago 
em 30 prestações mensais se a taxa de juro efetiva é igual a 38% a.a.? Assuma a renda como 
postecipada. 
 
 
 
37 
 
CAPÍTULO V – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
 
Amortizar significa liquidar uma dívida mediante pagamentos periódicos sucessivos. Existem 
várias maneiras de se amortizar um empréstimo, as principais serão estudadas a seguir (em todos os 
sistemas de amortização admitiremos juros compostos). 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (PRICE): Nesta modalidade, a dívida é resgatada 
mediante uma série de n pagamentos periódicos iguais. Quando as prestações são mensais e a taxa 
apresentada é anual com capitalização mensal, o sistema francês recebe o nome de Tabela Price 
(embora genericamente o sistema francês seja chamado de Tabela Price, independentemente de 
apresentar taxa nominal). Corresponde às rendas postecipadas já estudadas anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prestação: 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Construa a planilha de amortização, pelo PRICE, de um empréstimo de R$ 10.000,00, à 
taxa de 4% a.m. que deve ser pago em 5 prestações. 
 
Período (n) Amortização (q) Juros (J) Prestação (P) Saldo Devedor (Sd) 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC): A dívida (PV) assumida é quitada em n 
parcelas mensais, em que o valor de cada amortização é igual a 
 
 
. Os juros incidentes sobre o saldo 
devedor são quitados juntamente com a amortização do principal. Assim, como o saldo devedor e opagamento de juros decrescem, as parcelas pagas são decrescentes. 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Amortização (ou quota de amortização): 
 
 
 
Prestação: 
 
Exemplo 2: Construa a planilha de amortização, pelo SAC, de um empréstimo de R$ 10.000,00, à 
taxa de 4% a.m. que deve ser pago em 5 prestações. 
 
Período (n) Amortização (q) Juros (J) Prestação (P) Saldo Devedor (Sd) 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMA AMERICANO: Consiste no pagamento do capital inicial no final do período que 
caracteriza o prazo do empréstimo, enquanto os juros são pagos periodicamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
Exemplo 3: Construa a planilha de amortização, pelo sistema americano, de um empréstimo de R$ 
10.000,00, à taxa de 4% a.m. que deve ser pago em 5 prestações. 
 
Período (n) Amortização (q) Juros (J) Prestação (P) Saldo Devedor (Sd) 
 
 
 
 
 
 
 
AMORTIZAÇÃO COM PERÍODO DE CARÊNCIA: os sistemas de amortização podem ter um 
período de carência para o início dos pagamentos. Há dois casos a considerar: (a) os juros são pagos 
durante a carência; (b) os juros não são pagos durante a carência. Nesse último caso os juros são 
calculados e somados ao saldo devedor. 
 
Exemplo 4: Construa a planilha de amortização, pelo SAC, de um empréstimo de R$ 10.000,00, à 
taxa de 4% a.m. que deve ser pago em 5 prestações, com 3 meses de carência, e com pagamento de 
juros durante a carência. 
 
Período (n) Amortização (q) Juros (J) Prestação (P) Saldo Devedor (Sd) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: Construa a planilha de amortização, pelo PRICE, de um empréstimo de R$ 10.000,00, à 
taxa de 4% a.m. que deve ser pago em 5 prestações, com 3 meses de carência, e sem pagamento de 
juros durante a carência. 
 
Período (n) Amortização (q) Juros (J) Prestação (P) Saldo Devedor (Sd) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 – Um empréstimo de R$ 16.000,00 deve ser quitado em 4 parcelas mensais mediante o emprego do 
SAC. A taxa de juros mensal da operação é igual a 2%. Descreva o plano de amortização do 
empréstimo. 
 
2 – Uma loja de informática está anunciando a venda de impressoras a laser por R$ 1.200,00 a vista 
ou em 5 parcelas com taxa de juros de 4% a.m. Monte as tabelas de amortização pelos sistemas SAC 
e Francês. 
 
3 – O valor de R$ 1.500.000,00 é financiado à taxa de 10% a.a., para ser amortizado pelo Sistema 
Americano, depois de três anos. Sabendo-se que os juros são pagos anualmente, construa a planilha. 
 
4 – Um banco empresta R$ 100.000,00 a uma empresa cobrando juros de 12% a.a. Monte o plano de 
amortização sabendo que o empréstimo será pago em 4 parcelas pelo Sistema Americano. 
 
5 – Na compra de um carro zero km, o cliente financiou R$ 11.000,00 em seis meses à uma taxa de 3 
% a.m, pelo sistema Price. Porém no dia da compra a loja estava com uma promoção que dava quatro 
meses de carência para o pagamento da primeira prestação. Monte a planilha de amortização do 
financiamento, sabendo que os juros foram pagos durante o período de carência. 
 
6 – Construa o quadro de amortização, pelo sistema SAC, de um empréstimo de R$ 14.400,00, para 
pagamento em quatro prestações mensais, à taxa de 4% a.m, com dois meses de carência e sem 
pagamento de juros durante a carência. 
 
7 – Uma indústria tomou emprestados R$ 2.000.000,00, concordando em saldar o débito em 8 
pagamentos anuais a juros de 36% a.a. pela Tabela Price. Calcular: a) a prestação anual; b) o saldo 
devedor logo após o sexto pagamento. 
 
8 – Em um empréstimo de R$ 100.000,00 a ser pago pelo sistema Francês, em 40 meses e à taxa de 
3% a.m., qual o saldo devedor imediatamente após o pagamento da 25ª parcela? 
 
9 – Um empréstimo no valor de R$ 2.000.000,00 é concedido, à taxa de juros compostos de 10% a.a., 
para ser reembolsado em 5 anos, por meio de prestações anuais, a primeira vencível ao final do 
primeiro ano, pelo sistema SAC. A respeito, pede-se indicar o valor da amortização contido na 
prestação paga ao final do 3º ano. 
 
10 – Qual é parcela de juros contida na 6ª prestação de um financiamento, pelo SAC, de R$ 
45.000,00 a ser pago em 9 meses à uma taxa de 3% a.m.? 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
1 – Um consultório médico foi financiado em 18 prestações mensais, pelo sistema Price, a juros de 
3% a.m., sendo R$ 200.000,00 seu preço à vista. 
a) Calcule o valor da prestação mensal; 
b) Calcule o valor da parcela de juros referente à primeira prestação; 
41 
 
c) Calcule o valor da parcela de amortização referente à primeira prestação; 
d) Calcule o saldo devedor ao final do 8º mês. 
 
2 – Um empréstimo de R$ 2.000.000,00 será saldado pela Tabela Price em 10 prestações semestrais a 
juros de 9% a.s. Calcular o valor do saldo devedor logo após a 3ª prestação. 
 
3 – Um financiamento de R$ 500.000,00 será pago pela Tabela Price em 5 prestações mensais a juros 
efetivos de 4% a.m. Calcule o saldo devedor logo após o pagamento da 3ª prestação. 
 
4 – Um financiamento de R$ 500.000,00 será pago pelo sistema SAC em 5 prestações mensais a 
juros efetivos de 4% a.m. Calcular: 
a) A amortização do 4º mês; 
b) O saldo devedor logo após o pagamento da 3ª prestação. 
 
5 – Uma empréstimo de R$ 200.000,00, será pago pelo sistema Francês em 4 prestações mensais 
com juros de 10% a.m. Nessas condições, de quanto será a cota de amortização da primeira 
prestação? 
 
6 – Na compra de um imóvel no valor de R$ 150.000,00, paguei R$ 30.000,00 de entrada e financiei 
o restante em 120 vezes, a uma taxa de 1,4% a.m., pelo SAC. Com base nisso responda: 
a) Qual o valor da 1ª prestação? 
b) Qual o valor da 38ª prestação? 
c) Qual o saldo devedor após o pagamento da 60ª prestação? 
 
7 – Qual o valor da 12ª prestação mensal que deverei pagar, se tomei um empréstimo de R$ 
95.000,00 pelo SAC, a uma taxa 1,12% a.m., pelo prazo de 156 meses? 
 
8 – Qual o valor do saldo devedor após o pagamento da 23ª prestação, se o financiamento de R$ 
88.000,00 foi realizado pelo SAC, a uma taxa de 1,27% a.m., em 180 meses? 
 
9 – Um empréstimo de R$ 250.000,00 deve ser devolvido pelo SAC em 50 prestações mensais, 
sendo de 2% a.m. a taxa de juros cobrada. Pede-se: 
a) O valor da primeira prestação. 
b) O valor da segunda prestação. 
c) O valor da 37ª prestação. 
 
10 – Uma empresa comprou um equipamento no valor de R$ 90.000,00, pelo Sistema Francês, 
financiado em 32 prestações mensais à uma taxa de 1,2% a.m. Qual o saldo devedor após o 
pagamento da 17ª parcela? 
 
11 – Um empréstimo no valor de R$ 90.000,00 deverá ser pago em 15 prestações mensais. Se o 
financiamento foi feito pelo SAC a uma taxa de juros de 6% a.m., qual será o saldo devedor após o 
pagamento da 14ª prestação? 
 
42 
 
12 – Um empréstimo de R$ 40.000,00 deve ser devolvido pelo SAC em 40 prestações mensais. 
Sabendo-se que a taxa de juros é de 2% a.m., obtenha a amortização, os juros, a prestação e o saldo 
devedor correspondentes ao 21º mês. 
 
13 – Um financiamento no valor de R$ 19.908,00, deve ser amortizado em 12 prestações mensais 
iguais, com uma taxa de 3% a.m. Calcule o valor do saldo devedor do financiamento imediatamente 
após o pagamento da 6ª prestação. 
 
14 – Uma dívida, no valor de R$ 5.417,20, vai ser amortizada pelo sistema Francês com pagamento 
de 6 prestações mensais e taxa de 3% a.m.. Nessas condições, de quanto