Matemática para Negócios 10

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DISCIPLINA MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
AULA 10
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:
Analisar e resolver as técnicas de derivação para aumentar o conhecimento do aluno.
Olá a todos!
Veremos nesta aula algumas técnicas de derivação como: Derivada da Função Potência, Derivada de uma Constante, Derivada de uma Constante Multiplicada por uma Função, Derivada de uma Soma, Derivada do Produto e Derivada do Quociente. 
Derivada da Função Potência
Em Física, ela é usada para o estudo dos movimentos 
Em Economia, Administração e Logística, é usada na determinação de máximos e mínimos de gráficos e funções e no cálculo de taxas de variações.
*Fonte:  Apostila do Professor Eduardo Matera
Derivada de uma função
Derivadas
Uma função y=f(x) tem como derivada a representação y’.
As regras de derivação são bem simples:
De constante: é sempre igual a zero: y = 5------y’ = 0
De potência: a potência vira multiplicador e subtrai-se 1 da potência.  (Exemplo:y..= x-----y’ = 4x )()  
De soma ou subtração: y = f + g----- y’ = f’--g’
De produto: y = f . g-----y’ = f’ . g + f . g’
De quociente: y =y’ =
Derivada da Função Potência
 Taxa Média de Variação de uma função y = f(x) no intervalo [a, b]
Quando a variável x passa do valor a para o valor b, variando --- x = b – a , os valores da função y = f(x) passam de y = f(a) para  y= f(b), variando---  y = f(b) - f(a).
A divisão da variação (--- y de y) pela variação (--- x de x) é a taxa média de variação (TMV) dessa função no intervalo
[a, b] TMV=
No intervalo [1, 3] a função y = x² + 1 está crescendo, em média, 4 para cada unidade acrescida em x.
EXEMPLO
.y = 2x5------y’ = 5.2x4  = 10x4
.y = 7 Vx-----y’ = (7).(x1/2)’  = 7.(1/2).(x-1/2) = 7/2Vx
.y = 3x5 + 2x4------y’ = (5).(3x4) + (4).(2x3) = 15x4 + 8x3
y = 5x------y’ = 5
y = 5------y’ = 0
.y = 8x4 – 7x3 + 2x2 – 2x + 11------y’ = 32x3 – 21x2 + 4x – 2
Cálculo da Derivada em um Ponto
Calcular o valor da derivada de y = 3x2 + 10x – 50 no ponto p = 0,8 e interprete o resultado obtido.
y = 3x2+ 10x – 50 no ponto p=0,8
Cálculo da função derivada: y’= 6x + 10
Cálculo do valor da função derivada no ponto p=0,8:
y’ (0,8)=6(0,8) + 10 = 14,8
Interpretação: 
no ponto p=0,8 a tendência da função y=3x2+10x–50 é crescer 14,8.
Se o custo de um produto em função da quantidade produzida é dado por: CT = q3 –3q2 + 100q + 1000, deve-se calcular a tendência à variação do custo com a quantidade, relativa ao valor do custo quando a quantidade é de 50 unidades.
Para calcularmos a tendência à variação quando a quantidade for exatamente no ponto de quantidade igual a 50, teremos que calcular primeiro a derivada da função custo em relação à quantidade.
CT’ = q3 –3q2 + 100q + 1000
Para calcularmos a tendência à variação quando a quantidade for exatamente no ponto de quantidade igual a 50, teremos que calcular primeiro a derivada da função custo em relação à quantidade.
CT’ = 3q2 –6q + 100
Derivada do Produto de Duas Funções:  y = f(x) . g(x)
Calcular a derivada da função y = (x + 1).(x – 3x), X e R
f(x) = x + 1 ; g(x) = x² - 3x
(x) = 1;   g’(x) = 2x – 3
Então: y’ = (x + 1)’ . (x² – 3x) + (x + 1) . (x² - 3x)’ = 1 . (x² - 3x) + (x + 1) . (2x – 3) = x² –3x + 2x² + 2x – 3x – 3 = 3x² – 4x – 3,  X e R.
Derivada do Quociente de duas funções
EXEMPLO
Calcular a derivada da função y = x / (x+1) ,-x---- 1
f(x) = x  ;  g(x) = x+1
f’(x) = 1  ;  g’(x) = 1
 Y=f/gy’=(f’.g-f.g’)/g²
y'=[x+1)-x]/(x+1)²=1/(x+1)² para x .....0
EXERCÍCIOS 1
Calcular e interpretar o valor da taxa média de variação da função y = x2– 8x no intervalo [2, 6].
R: Muito bem! 
O resultado do cálculo e da interpretação é 0.