Referencial 2017 2 (1)

Prévia do material em texto

1
REFERENCIAL DE RESPOSTA 
Nos exercícios 1 a 5, determine as derivadas direcionais de f, nos pontos 
dados e nas direções dos vetores indicados. 
1. 
( ) ( ) ( )
( ) = −�
� �
�
3
2
u
3 3
f x, y = 1 + xy no ponto P 3, 1 , na direção do vetor u 
D f 3,
= i - j
2
1
2
4,2426
. 
2. 
( ) ( )
( ) =�
� �
�2xy
u
3 4
f x, y = e no ponto P 4, 0 , na direção do vetor u = -
D f 4,
i + j
5
0
5
6,4
. 
3. 
( ) ( ) ( )
( ) =�
� �
�
u
2 5 15f x, y = ln 1 + x + y no ponto P 0, 0 , na direção do vetor u = - i - j.
10 10
D f 0,0 -0,9486
 
4. 
( ) ( )
( )− = −�
�� �
�5 2 3
u
1 2 2
f x, y, z = 3x y z no ponto P 2, -1, 1 , na direção do vetor u = i + j - k.
D f 2, 1,
3
1
3 3
240
 
5. 
( ) ( )
( ) =�
� � �
�x z 2
u
6 9 18
f x, y = ye + z no ponto P 0, 2, 3 , na direção do vetor u = i - j + j.
7 7 7
D f 0,2,3 6,4285
 
Nos exercícios 6 e 7, determine as derivadas direcionais de f, nos pontos 
dados e nas direções dos vetores indicados 
6. 
( ) ( )
( ) =�
� �
�3 2
u
f x, y = 4x y no ponto P 2, 1 , na direção do vetor u = 4 i 
D f 2
 3 j
,1
-
0
. 
7. 
( ) ( )
( ) = −�
� �
�2
u
f x, y = y lnx no ponto P 1, 4 , na direção do vetor u = - 3 i + 3 j
D f 1,4 11,3137
. 
 
 
 
 
CURSO DE ENGENHARIAS 
2º Trabalho de Cálculo Diferencial e Integral II 
Conteúdo: Derivadas direcionais e Extremos de funções 
Professora: Amanda Oliveira Dias Batista 
VALOR 
5,0 pontos 
 2
Nos exercícios 8 a 10, determine os vetores gradientes de f, nos pontos 
dados: 
8. ( ) ( ) ( ) ( )∇ − − = − −� �32f x, y = x + xy no ponto P -1, - f 1, 1 361 i 12 j . 
9. ( ) ( ) ( ) ( )∇ = − −� �-12 2 2f x, y = x + y no ponto P 3, f 3,4 0,02 4 4i 0,0 32 j 
10. ( ) ( ) ( ) ( )∇ − = + + �� �f x, y, z = y ln x + y + z no ponto f 3,4,0P -3, 4i 44, 0 j 4k
 
11. Certo tipo de ave migra de uma região para outra durante o inverno. Elas voam 
durante dias e noites sem parar. Mas para diminuir a fadiga elas não podem 
voar em direções onde a temperatura sofra uma grande variação, acima de 
±4°C/km. Elas estão passando por uma região onde a temperatura é dada por 
( ) 2 2x yT x, y = 1 + x + y , sendo T dado em °C e x e y dado em km. Se elas 
estão em um ponto da região com coordenadas (1, 2), responda, apresentando 
os cálculos: 
a) Se elas estiverem voando em uma direção dada pelo vetor , as 
mesmas sofrerão com a fadiga? 
( )1,2 0,174º /
 as aves não sofrerão.
uD f C km=
∴
�
 
b) Se elas decidirem voar na direção , será possível continuar nesta 
direção sem que sofram com a fadiga? 
( )1,2 0,2236º /
 as aves não sofrerão.
uD f C km=
∴
�
 
 
Nos exercícios 12 a 14, determine um vetor unitário na direção e sentido 
em que f cresce mais rapidamente e determine a taxa de variação de f em 
P, nesta direção: 
12. 
( ) ( )
( )
−
∇ − ≅
� �
3 2f x, y = 4x y no ponto P -1, 1 0,832i 0,554j;
Taxa: f 1,1 14,422
. 
2= +�a i j
2= −�a i j
 3
13. 
( ) ( )
( )
−
∇ ≅
� �
f x, y = 3x - lny no ponto P 2, 4 0,996i 0,083j;
Taxa: f 2
 
,4
 
3,01 
14. 
( ) ( )
( )
−
∇ − ≅
� �
3 2 3f x, y = x z + y z + z - 1 no ponto P 1, 1, 0,707i 0,707j;
Taxa: f 1,1, 1
-1 
4
 
,242
 
15. A temperatura em °C em um ponto (x,y) de uma placa de metal no plano xy 
é: ( ) 2 2x yT x, y = 1 + x + y . 
a) Encontre a taxa de variação da temperatura em (1,1) na direção e sentido 
de . 
( )1,1 0,0496uD f =� 
b) Uma formiga em (1,1) precisa andar na direção na qual a temperatura 
baixe mais rapidamente. Encontre um vetor unitário nessa direção. 
0,7071 0,7071i j− −� � 
Nos exercícios 16 a 20, determine e classifique os pontos críticos das 
funções: 
16. ( ) ( )1, 2 é um ponto de sela−2f x, y = y + xy + 3y + 2x + 3 
17. ( ) ( )2, 1 é um ponto de mínimo−2 2f x, y = x + xy + y - 3x 
18. 
( ) ( ) ( )
( )
0,0 é um ponto de sela; 4,2 e 
4, 2 são pontos de m
 
ínimo
 −
−
2 4f x, y = 2x + 8xy + y
 
19. ( ) ( )0,0 é um ponto de máximo 2 2f x, y = 4 - x - y 
20. ( ) ( )1,1 é um ponto de mínimo2 2f x, y = x - 2x + y - 2y + 5 
 
21. É necessário encontrar onde se localiza o pico de uma montanha que tem seu 
relevo determinado pela equação 2 23 4z x y= − − + . Encontre este ponto. 
( )0,0,4 é o pico da montanha 
 
jia −= 2�