1atrabalho referencial

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REFERENCIAL DE RESPOSTA 
1) Determine o domínio da função ( )
2
5
,
2
xyf x y
y x
−
=
−
 
e represente no plano xy . 
( ){ }2 2, /D x y y x= ∈ >ℝ 
 
2) Determine o domínio da função ( ) 1,
1
f x y x y
x y
= + +
− − +
 
e represente no 
plano xy . 
( ){ }2, / e 1D x y y x y x= ∈ ≥ − < − +ℝ 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE ENGENHARIAS 
Trabalho de Cálculo Diferencial e Integral II 
Conteúdo: Funções com mais de uma variável e Derivadas 
parciais 
Professora: Amanda Oliveira Dias Batista 
 2
3) Determine o domínio da função ( ) 2 2, 2f x y y x x y= + − + −
 
e represente no 
plano xy . 
( ){ }2 2 2, / e 2D x y y x y x= ∈ ≥ − ≤ +ℝ 
 
 
4) Considere uma chapa de assar alimentos onde a temperatura em seu centro é 
100ºC . Admita que a temperatura se distribua ao longo da chapa segundo a 
função ( )
2 2
, 100
30 10
x yT x y = − − + . As dimensões da chapa são 50 30cm x cm . 
 
a) Qual a temperatura no ponto ( )15,7 ? (15,7) 87,6T C= � 
b) Qual a temperatura no canto superior direito? (15,7) 56,67T C= � 
c) Desenhe a região da chapa que tem a mesma temperatura do ponto ( )15,7 . 
 
 3
 
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função 
5) ( ) ( )2 2, lnf x y x x y= + 
( )2 2 22 2 2 22 2ln ;x yx xyf x y fx y x y= + + =+ + 
6) ( ) 2 3 4, , 5f x y z xz x y z= − 
3 4 2 2 4 2 2 310 z ; 15 ; 20x y zf z xy f x y z f x x y z= − = − = − 
7) ( ) ( ), ,f x y z xsen y z= − 
( ) ( ) ( ); cos ; cosx y zf sen y z f x y z f x y z= − = − = − − 
8) ( )
2
, , ,
2
xyf x y z t
t z
=
+
 
 
 
 
9) ( ) 3 2 2, 3f x y x y xy y= − + 
2 2 33 3 ; 2 3 2x yf x y y f x y x y= − = − + 
10) ( ),f x y x y= + 
1 1
; 
2 2x y
f f
x y x y
= =
+ +
 
11) ( ) ( )2, cosx yf x y e x y= + + 
( ) ( )2 222 ; x y x yx yf xye sen x y f x e sen x y= − + = − + 
12) Determine ( )3, 4xf = da função ( ) ( )2 2, ln .f x y x x y= + + 
1
5
 
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 2
; ; ;
2 2 2 2x y z t
y xy xy xyf f f f
t z t z t z t z
= = = =
+ + + +
 4
13) Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem da função 
( ) 3 5 4, 2f x y x y x y= + . 
5 2 2 4 3 3 36 24 ; 15 8 ; 20xx xy yx yyf xy x y f x y x f f x y= + = + = = 
14) Determine e xxy yyyf f da função ( ) 4 3 2, 3f x y xy x y= + . 
12 ; 72
xxy yyyf xy f xy= = 
15) A temperatura em um ponto ( ),x y de uma chapa de metal é dada por 
( ) ( )2 2
60
,
1
T x y
x y
=
+ +
, onde T é medido em º C
 
e ,x y em metros. Determine a 
taxa de variação da temperatura no ponto ( )1,2
 
com relação a .x 
10 3,33º /
3
C m− ≅ −
 
16) Determine a equação do plano tangente à superfície z xy= no ponto ( )1,1,1 . 
2 0x y z+ − =
 
Utilize a regra da cadeia para determinar z
s
∂
∂
 e 
z
t
∂
∂
. 
17) 2 3 , cos , z x y x s t y s sent= = = 
3 2 2
3 2 2
2 cos 3
2 3 cos
z
xy t x y sent
s
z
sxy sent sx y t
t
∂
= +
∂
∂
= − +
∂
 
18) 2 2cos , , z sen st s tθ φ θ φ= = = 
2
2
cos cos 2 
2 cos cos
z
t st sen sen
s
z
st s sen sen
t
θ φ θ φ
θ φ φ θ
∂
= −
∂
∂
= −
∂
 
19) 2 , , x y s tz e x y
t s
+
= = =
 
x y x y x y x yz e te z se e
;
s t s t t s
+ + + +∂ ∂ −
= − = +
∂ ∂
2 2 2 2
2 2
2 2
 
20) 2 2 4 3, 2 , z x y xy x s t y s t= + = + = − 
z z
xy y x ; t xy t y t x t xy
s t
∂ ∂
= + + = + − −
∂ ∂
2 2 3 3 2 2 2 26 2 8 4 3 6