Prova_2_DCIII

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
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5
T
2a Prova de MAT 157 - CA´LCULO III - Turma D - 08/03/2013
Profa. Lucy Tiemi Takahashi
Nome: Matr´ıcula:
Importante
Justifique com argumentos matema´ticos cada resposta dada.
1. (20 pontos) Determine, caso exista, o ponto de intersec¸a˜o das retas tangentes a` curva
−→r (t) = sen(pit)−→i + 2sen(pit)−→j + cos(pit)−→k
nos pontos t = 0 e t =
1
2
.
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2. (15 pontos) Obtenha a curvatura e o raio de curvatura, em func¸a˜o de t, de
r(t) = 〈sen(1 + t
2
), cos(1 +
t
2
),
√
3(1 +
t
2
)〉.
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3. (15 pontos) Mostre que r(t) = 〈t, t2〉 (−1 ≤ t ≤ 1) e´ uma func¸a˜o vetorial suave (lisa), mas a
mudanc¸a de paraˆmetro t = τ 3 produz uma func¸a˜o vetorial que na˜o e´ suave. Fac¸a esboc¸os das
duas curvas. Como pode ser explicada a causa do problema?
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4. Considere a curva, C, de intersec¸a˜o das superf´ıcies 9x2 + y2 + 9z2 = 81, y = x2 (z > 0).
(a)(05 pontos) Fac¸a um esboc¸o da curva C.
(b)(10 pontos) Obtenha uma parametrizac¸a˜o para a curva C.
(c)(15 pontos) Calcule I =
∫
D
(2xyz + senx)dx+ x2zdy + x2ydz, onde D ⊂ C e 0 ≤ x ≤ 1.
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5. Considere C a fronteira da regia˜o, R, compreendida por y = x2 e x = y2.
(a)(20 pontos) Determine
∮
C
x2ydx+ (y + xy2)dy, por caminhos.
(b)(20 pontos) Determine
∮
C
x2ydx+ (y + xy2)dy, pelo Teorema de Green.