Prova_1_CIII

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Prova 1 - de MAT 157 - CA´LCULO III - Turma D - 13/04/2012
Profa. Lucy Tiemi Takahashi
Nome: Matr´ıcula:
Justifique cada resposta dada.
1. a) (10 pontos) Esboce o so´lido cujo volume e´ dado pela integral∫ 1
−1
∫ √1−x2
−√1−x2
∫ 4−3y2
4x2+y2
dzdydx.
b) (15 pontos) Esboce a imagem do conjunto Q, ilustrado abaixo, no plano xy
sob a transformac¸a˜o dada por x = 3u+ 4v e y = 4u.
2. (40 pontos) Calcule:
a)
∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ 16
(x2+y2)2
x2 dzdydx, usando coordenadas polares.
b)
∫ pi
2
0
∫ 2a senθ
0
rsen(2θ) drdθ, usando coordenadas retangulares.
3. (20 pontos) Considere o so´lido, S, no primeiro octante limitado pelas superf´ıcies
z =
√
x2 + y2 e x2 + y2 = 2x. Determine o volume de S.
4. (20 pontos) Determine o volume do so´lido dentro da esfera de raio 9, fora da
superf´ıcie z2 − 3x2 − 3y2 = 0 e acima do plano z = 0.