Prova_3_CIII_20121

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
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Prova 3 de MAT 157 - CA´LCULO III - Turma D - 11/07/2012
Profa. Lucy Tiemi Takahashi
Nome: Matr´ıcula:
Importante
Justifique com argumentos matema´ticos cada resposta dada.
1. (20 pontos) Calcule
∮
C
F · dr, onde F (x, y) = 〈x2 + y, 4x− cos(y)〉; C e´ a fronteira, orientada
no sentido positivo, da regia˜o R que esta´ no interior do quadrado de ve´rtices (0, 0), (5, 0), (5, 5)
e (0, 5), mas esta´ fora do retaˆngulo de ve´rtices (1, 1), (3, 1), (3, 2) e (1, 2).
2. Considere S a parte do cone z2 = x2 + y2 compreendida pelos planos z = 1 e z = 2.
(a) (05 pontos) Fac¸a um esboc¸o de S.
(b) (15 pontos) Calcule a a´rea da superf´ıcie S.
3. Considere S a superf´ıcie do so´lido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 1 e os planos z = 1 e
x + z = 4.
(a) (05 pontos) Fac¸a um esboc¸o de S.
(b) (20 pontos) Calcule
∫∫
S
z dS.
(c) (15 pontos) Determine o fluxo de F , onde F (x, y, z) = 〈y, x, z〉, atrave´s da superf´ıcie S.
4. Verifique se cada uma das afirmac¸o˜es abaixo e´ verdadeira ou falsa. Justifique provando as
verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
(a) ( ) (10 pontos) Se S e´ uma esfera e F um campo vetorial constante, enta˜o
∫∫
S
F ·dS = 0.
(b) ( ) (10 pontos) Sendo F (x, y, z) = 〈exsen(y) + x
x2 + y2
, ex cos(y) +
y
x2 + y2
, z2〉 a integral∫
C
F · dr, onde C e´ uma curva, no primeiro octante, fechada, simples, suave que na˜o
intercepta o eixo z e´ zero.