Prova_2_CIII_20121

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
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Prova 2 de MAT 157 - CA´LCULO III - Turma D - 01/06/2012
Profa. Lucy Tiemi Takahashi
Nome: Matr´ıcula:
Importante
Justifique com argumentos matema´ticos cada resposta dada.
1. Verifique se cada uma das afirmac¸o˜es abaixo e´ verdadeira ou falsa. Justifique provando as
verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
(a) ( ) (10 pontos) Na˜o existem nu´meros reais a, b e c na˜o-nulos tais que o campo F(x, y) =
x5yai+ xbycj seja conservativo.
(b) ( ) (15 pontos) Considerando F(x, y) = (ey+yex)i+(xey+ex)j e C a curva parametrizada
por r(t) = sen(pit/2)i+ ln(t)j, (1 ≤ t ≤ 2) temos
∫
C
F · dr = ln(2)− 1.
2. Considerando S a superf´ıcie que se estende para cima da para´bola y = x2 (0 ≤ x ≤ 2) do plano
xy ao plano z = 3x. Abaixo fac¸a o que se pede.
(a) (05 pontos) Fac¸a um esboc¸o da superf´ıcie S.
(b) (10 pontos) Determine uma parametrizac¸a˜o para cada curva de contorno da superf´ıcie S.
(c) (15 pontos) Determine a a´rea da superf´ıcie S.
3. Considerando C a fronteira da regia˜o delimitada pelas curvas y = −x2+4 , x2+y2 = 4 (onde x ≥
0 e y ≤ 0) e o eixo y. Calcule
(a) (15 pontos) o trabalho realizado por F(x, y) = ln(1 + y) i − xy
1 + y
j para mover uma
part´ıcula no sentido anti-hora´rio ao redor da curva C.
(b) (15 pontos)
∫
C
(3x− y + 1) dx− (x+ 4y + 2) dy.
(c) (15 pontos) a a´rea da regia˜o delimitada por C, usando uma integral de linha.
(d) (15 pontos) o comprimento da curva C no quarto quadrante, usando integral de linha.