TEORIA DOS JOGOS

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TEORIA DOS JOGOS 
PROF. Me. HAROLDO FONTOURA 
SÃO LUÍS , 2017
1
Teorias de Oligopólio
Cournot, Bertrand, Stackelberg, Produtos Diferenciados
Modelos de Oligopólio
Principal inovação: interação estratégica
Modelos e resultados ficam sensíveis às suposições sobre a interação estratégica no mercado
Modelos são julgados pela qualidade
Das suposições
Quão realistas?
Das estáticas comparativas
Conceito de Equilíbrio: Nash e Perfeito em Subjogos
INTRODUÇÃO
O Modelo de Bertrand: concorrência via preço
Boa suposição quanto à variável estratégica, péssimas estáticas comparativas
Ambiente econômico
Duas firmas, 1 e 2
Produtos homogêneos
Economias constantes de escala
Capacidade ilimitada
Jogo estático
Curva de demanda de mercado:
p(Q)=a-bQ,
Custo de produção: Ci(qi)=cqi, i=1,2, c < a
Ambiente econômico
Produtos homogêneos + custo de procura = 0 → consumidor compra do mais barato
Regra de desempate = repartem igualmente o mercado
Demanda no nível da firma:
Ambiente econômico
Pi
Qi
Dmercado (P)
Di(Pi)
Capmax
Interação estratégica
Função de reação da firma 1
Antes o problema do monopolista
Interação estratégica
c
p1
p2
pmon
Interação estratégica
Único equilíbrio de Nash neste jogo:
p1 = p2 = c
Suponha que
p1 > p2 = c. Firma 2 desvia para p2 – ε
p1 > p2 > c. Firma 1 desvia para p2 – ε
p1 > c > p2. Firma 2 desvia para p1 – ε
c > p1 > p2. Firma 2 desvia para c
p1 > p2 > c. Firma 1 desvia para p2 – ε
p1 = p2 > c. Firma 1 desvia para p2 – ε
Estática comparativa
Duas firmas, preço = custo marginal!
Entrada, a partir da 3 firma não tem nenhum efeito!
O modelo de Cournot: concorrência via quantidade 
Má suposição quanto à variável de decisão, ótimas estáticas comparativas
Ambiente econômico
Igual ao anterior, porém as firmas agora escolhem quantidade
É como se elas se encontrassem no mercado, deixassem as quantidades, e o preço se ajusta pela demanda
Não parece muito razoável para a maioria dos mercados
Interação estratégica
O problema da firma 1
Função de reação da firma 1
Interação estratégica
q1
q2
q1(q2)
Equilíbrio de Nash
Algebricamente, o equilíbrio é um par de quantidades (q*1, q*2) tal que as duas condições de 1ª ordem são satisfeitas
Equilíbrio de Nash: graficamente
q1
q2
q1(q2)
q2(q1)
Estática comparativa do Equilíbrio de Nash
Quantidade de Cournot
Preço de Cournot
Lucro Cournot
N firmas
Agora i = 1,2,...,N firmas
Problema da firma i:
Função de reação da firma i:
Em um equilíbrio simétrico: (N - 1)qi = Q-i. Substituindo em (*):
N firmas
Preço de Cournot
Lucro de Cournot
Propriedades do equilíbrio
Quantidade:
Propriedades do equilíbrio
Preço:
Propriedades do equilíbrio
Lucro:
Relaxando as suposições: dá pra salvar Bertrand?
Capacidade limitadab 
Capacidade limitada
As firmas novamente competem via preço. Por simplicidade, c = 0 para as duas firmas
Mas agora elas têm capacidade limitada, sendo k1 o limite da firma 1 e k2 o limite da firma 2
Quão limitada será importante
P2
q2
Qmercado (P)
q2 (P1)
k2
P1
k1
Capacidade limitada: demanda da firma 2
Equilíbrio
Considere o preço p(k1+k2)
Propomos o seguinte equilíbrio:
p1 = p2 = p(k1+k2)
Sob quais condições isto é equilíbrio?
Considere o problema da firma 2
Dado que p1 = p(k1+k2), ela claramente não tem interesse em desviar para baixo
Vende o mesmo (k2) a um preço menor
Equilíbrio
E colocar p2 > p(k1+k2)?
Note na figura abaixo que:
p2 > p(k1+k2) → receita marginal > 0 = custo marginal
Até k2 isto é verdade, o que faz com que a firma produza o máximo que pode
O que confirma o equilíbrio
Capacidade limitada: demanda da firma 2 se P1 < P2
q1,q2
Dmercado (P)
k1+ k2
P
P(k1 + k2)
k1
k2
k1
Dresidual2(P)
Receita Marginal Residual de 2
Capacidade limitada
O bottom line:
Com alta capacidade, as firmas se tornam mais agressivas
O payoff de cortar as concorrentes é grande pois captura todo o mercado
Com baixa capacidade as firmas são mais acomodativas porque o benefício de cortar é menor
Se a capacidade é facilmente ajustável, Bertrand descreve melhor → longo prazo
Se a capacidade é fixa, Cournot descreve melhor → curto prazo
Imagine o seguinte jogo sequencial: 
1º estágio: firmas escolhem capacidade
2º estágio: firmas concorrem via quantidade
Capacidade limitada: Kreps e Scheinkman
Capacidade limitada: Kreps e Scheinkman
Vamos mostrar que Bertrand é igual a Cournot neste jogo
Por simplicidade, o custo unitário de produção é 0 até a capacidade, e infinito depois
Suponha que cada unidade de capacidade custe c1 para ambas a firma 1 e c2 para ambas a firma 2
Resolvendo o jogo de trás para frente
No 2º estágio, o equilíbrio é:
q1 = k1, q2 = k2, p = p(k1 + k2)
As firmas levam isto em conta no primeiro estágio quando escolhem capacidade
Capacidade limitada: Kreps e Scheinkman
Capacidade limitada: Kreps e Scheinkman
No 1º estágio (problema da firma 1)
Note que este é exatamente o problema de Cournot. Com demanda linear, a função de reação da firma 1 é:
Capacidade limitada: Kreps e Scheinkman
O equilíbrio é:
Note que se trocarmos k por q temos exatamente o equilíbrio de Cournot, com todas as boas estáticas comparativas de Cournot
Produtos diferenciados
Relaxando a suposição de homogeneidade dos produtos
A cidade circular de Salop
Suponha que há N firmas que produzem bens diferenciados no mercado
A diferenciação é modelada pelo custo que cada consumidor tem em consumir o produto de cada uma das firmas
Custo de trasporte unitário t
Interpretação
Localização geográfica
Consumidores mais perto de determinadas firmas
Espaço de produtos (continuar daqui)
Consumidores têm preferências por certos produtos
A cidade circular de Salop
As firmas estão localizadas de formas equi-distantes em um círculo
Os consumidores (de massa 1) estão uniformemente distribuídos no círculo
O custo unitário de produção é c para todas as firmas
A cidade circulas de Salop
Firma 1
Firma 2
Comprimento 1/N
Firma 3
Firma N - 1
A cidade circular de Salop
Uma firma, em equilíbrio, compete somente com seus dois vizinhos
Vejamos o problema da firma 2
Sejam p1, p2, p3 os preços das firmas 1,2,3
Seja x12 (x23) o consumidor indiferente entre a firma 2 (firma 3) e a firma 1 a estes preços
A cidade circular de Salop
Firma 1
Firma 2
Firma 3
Firma N - 1
x23
x12
A cidade circular de Salop
A demanda pelo produto da firma 2 é dada pela distância entre x12 e x23
Consumidores minimizam gasto
Gasto de x12:
Se compra de 1
Se compra de 2
 =
A cidade circular de Salop
Resolvendo para x12:
Para x23 o problema é análogo:
E a demanda pelo bem da firma 2 é:
A cidade circular de Salop
A firma 2 resolve o seguinte problema de otimização:
CPO:
A cidade circular de Salop
Num equilíbrio simétrico, p1 = p2 = p3 = p
A cidade circular de Salop
Estáticas comparativas
Preço diminui com N (aumento de concorrência)
Preço aumenta com t (grau de diferenciação)
Quando N vai ao infinito, pe vai para custo marginal c
Conluio
Relaxando a suposição de concorrência estática
Conluio tácito
Bertrand: já sabemos que no jogo estático o equilíbrio é com concorrência
Agora as firmas interagem repetidamente
Abre a possibilidade de auto-disciplinação do comportamento
Cenoura: lucros futuros
Porrete: concorrêcia agressiva no futuro
Conluio tácito
Eu coopero enquanto meu concorrente cooperar
Eu puno se observo desvio
Conluio tácito
Quando isto pode ocorrer em equilíbrio?
Conceito de equilíbrio: Perfeição em sub-jogos
Conluio tácito
Repetição finita: Não há possibilidade de sustentar conluio
Suponha o arcabouço de Bertrand mas as firmas jogam repetidamente
N vezes 
Conluio tácito
Na enésima vez:
Único equilíbrio: p = CMg
Logo, não há nada que se possa fazer em penúltima vez que induza com comportamento na última vez
Portanto: p = CMg na penúltima vez
E assim por diante...
Único equilíbrio perfeito em sub-jogos: p = CMg desde o começo!!
Conluio tácito: wonders of infinity
O infinito abre possibilidades
A falta de um último período quebra o raciocínio acima
Não mais um período (final) no qual as coisas estão inexoravemente determinadas
Conluio tácito: wonders of infinity
Suponha que:
Concorrência é via preço (Bertrand)
Regra de desempate: divisão igualitária de mercado
c ≡ custo marginal
β ≡ taxa de desconto inter-temporal
Demanda: p = a – bQ, a > c
Duas firmas, 1 e 2
Conluio tácito: wonders of infinity
Considere que a firma 1 joga a seguinte estratégia
E a firma 2 joga a mesma estratégia
Conluio tácito: wonders of infinity
Sob quais circunstâncias este par de estratégias sustenta p1 = p2 = preço de monopólio em todos os (infinitos) períodos?
De maneira geral se β é suficientemente grande
Conluio tácito: wonders of infinity
Dado que a firma 2 joga a estratégia especificada, considere a decisão da firma 1 em t = 0
Se ela coopera em t = 0 ela recebem metade dos lucros de monopólio:
Conluio tácito: wonders of infinity
Note que
Como o jogo é repetido infinitas vezes (wonders of infinity) amanhã é uma repetição precisa de hoje
Se é ótimo cooperar hoje, será ótimo cooperar amanhã. Logo o payoff de coopoerar para sempre é:
Conluio tácito: wonders of infinity
E se não cooperar?
O devio ótimo, evidentemente, é p1 = pmonopólio – ε, ε muito pequeno
Ela tem um lucro arbitrariamente próximo do lucro de monopólio hoje
E o que ocorre depois?
Conluio tácito: wonders of infinity
Dado que a firma 2 joga a estratégia especificada, amanhã, depois de amanhã, depois de depois de amanhã (deu pra pegar o ponto!):
		LUCRO IGUAL A ZERO!!
Por que é crível (perfeito em sub-jogos?): reversão à Nash
Conluio tácito: wonders of infinity
Valor do crime (ganho imediato)
Valor do castigo (Perda futura)
Já estava tudo em Dostoievsky...
Conluio tácito: wonders of infinity
Não desvia se, e somente se:
Valor do Castigo
>
Valor do Crime
Firmas têm que ser suficientemente pacientes
Conluio tácito: wonders of infinity
Salvamos concorrência via preço?
Possibilidade de lucros futuros ameniza o apetite concorrencial
p > CMg
Conluio tácito: várias firmas
Agora:
Valor do crime (ganho imediato)
Valor do castigo (Perda futura)
Conluio tácito: várias firmas
Não desvia se, e somente se:
Valor do Castigo
>
Valor do Crime
Firmas têm que ser ainda mais pacientes
Conluio tácito: várias firmas
Estática Comparativa:
N ↑ → βmin ↑
Ou seja, quando o número de firmas aumenta, é mais difícil sustentar conluio
Simetria entre as firmas
Voltemos ao caso com 2 firmas
Suponha que, por alguma razão, a firma 1 fique com uma porcentagem α > 0.5 do mercado se os preços são iguais
Conluio tácito, fatores que facilitam: simetria
Para a firma 2
Valor do crime (ganho imediato)
Valor do castigo (Perda futura)
Conluio tácito, fatores que facilitam: simetria
Não desvia se, e somente se:
Valor do Castigo
>
Valor do Crime
A firma de menor parcela determina a sustentabilidade do conluio
Conluio tácito, fatores que facilitam: simetria
Assim quanto maior a assimetria, menos sustentável
A gente ouve: “A empresa x, dominante no mercado disciplinou as outras”
Quase nunca: “As empresas se disciplinaram”
Arábia Saudita na OPEP
Conluio tácito, fatores que facilitam: simetria
Conluio tácitio, fatores que facilitam: juros baixos
Note que poderíamos escrever β como:
Onde r é a taxa de juros real
r ↑ → β ↓
Uma teoria dos movimentos do preço do petróleo? O sucesso do cartel determina sua maldição
Conluio tácito, fatores que facilitam: probabilidade de sobrevivência
Seja γ a probabilidade de sobrevivência
Onde r é a taxa de juros real
γ ↓ → β ↓
Conluio em indústrias novas? Inovação teconológica dificulta
Conluios: petróleo, cimento, aço ...
Flutuações de demanda
Demanda é estocástica
Com probabilidade ½ é baixa, q=D1(p)
Com probabilidade ½ é alta, q=D2(p)
D2(p)>D1(p) para todo p
Choques são i(independentes) e i(identicamente) d(distribuídos)
Flutuações de demanda
Jogo repetido infinitamente
Queremos implementar preço alto
Duas firmas, A e B
Firmas observam estado da demanda antes de escolherem preço a cada período
Flutuações de demanda
Procuramos um par {p1,p2} tal que:
Firmas escolhem p1 se a demanda é baixa, e p2 se a demanda é alta
{p1,p2} é sustentável em um equilíbrio perfeito em sub-jogos
Não é privadamente ótimo para nenhuma firma desviar 
O fluxo de lucros futuros descontados não é máximo 
Flutuações de demanda
Fluxo de lucros futuros descontados:
Flutuações de demanda
Príncipio da punição máxima (mais sobre isto depois):
Reversão à Nash: como antes, depois de desvio, p = c para sempre, independentemente da demanda
Fully collusive Equilibrium
p1= pm1 p2 = pm2 m =monopólio 
p1 induz Πm1 < Πm2 induzido por p2
Flutuações de demanda
Se o fully collusive equilibrium é sustentável, então:
Flutuações de demanda
Agora, a tentação de cortar depende do estado da demanda
Se a demanda é baixa, a tentação de cortar é baixa
Lucro mais baixo, menos para ganhar
Se a demanda é alta, a tentação de cortar é alta
Lucro mais alto, mais para ganhar
Flutuações de demanda
Não desvia se, e somente se:
Valor do Castigo
>
Valor do Crime
Esta é a condição determinante
Flutuações de demanda
Não desvia se, e somente se:
Valor do Castigo
>
Valor do Crime
Flutuações de demanda
Insights:
Πm1 = Πm2: voltamos ao caso anterior
Quão maior a diferença Πm2 > Πm1 mais difícil é sustentar o conluio
A punição é uma perda da média, o ganho é um ganho no alto, por isto mais difícil de sustentar que demanda alta sempre
Flutuações de demanda
Suponha que:
Conluio não é sustentável na demanda alta mais os seria sem flutuação de demanda
Flutuações de demanda
Fully collusive equilibrium não é sustentável
Pergunta: será que conseguiríamos sustentar algo que fosse menos que uma situação completamente cartelizada?
Flutuações de demanda
O exercício: escolher {p1,p2} tão grandes quanto for possível 
O problema de otimização do cartel:
Flutuações de demanda
Qual restrição é ativa?
(2)!! Deveria ser mais difícil sustentar o cartel com a demanda alta
Se resolvermos o programa, chegamos em um resultado interessante:
p1= pm1 
p2 < pm2 
Flutuações de demanda
Qual é a intuição?
Aumentos em p1 
Aumentam lucro 
Relaxam a restição (2): firmas têm mais a perder em média
Aumentos em p2 
Aumentam lucro 
Porém pioram a restrição (2): firmas têm mais a ganhar no desvio
Flutuações de demanda
Implicações:
Se β está naquele intervalo, alguma cartelização é sustentável, mas não completa
Nos períodos de demanda baixa, firmas cobram preço de monopólio
Nos períodos de demanda alta, firmas cobram preço abaixo de monopólio
P1 pode de maior ou menor que p2, dependendo dos movimentos de demanda
Flutuações de demanda
Implicação empírica 1
Guerras de preço em períodos de boom
Flutuações de demanda
Caso 1
Licitações de antibiótico das Forças Armadas no EUA
Depois de uma compra excepcionalmente grande em 1956 os preços caíram significativamente em vários períodos subsequentes
Flutuações de demanda
Caso 2:
Indústria de cimento nos EUA
Movimentos de preços contra-cíclicos
Em épocas de aceleração econômica, preço baixo
Em épocas de desaceleração econômica, preço baixo
Difícil racionalizar de outra forma
Se não houvesse movimento de oferta, um aumento na demanda induziria aumento nos preços, não diminuição
Frequência de apreçamento
Voltamos ao mundo com demanda determinística
Suponha agora
que o mercado se encontra a cada dois períodos
A taxa de desconto intertemporal é agora β2
Frequência de apreçamento
Não desvia se, e somente se:
Valor do Castigo
>
Valor do Crime
Firmas têm que ser ainda mais pacientes
Contato multi-mercado
Demanda determinística
Agora as firmas interagem em mais de um mercado
Há a possibilidade de punir em vários mercados 
Aumenta o custo do castigo
No entanto, o ganho do desvio é também em vários mercados
Logo não deveria mudar nada
Ou deveria?
Idéia:
Se os mercados forem todos iguais, então de fato não muda nada
Mas se os mercados diferem a respeito da sustentabilidade do conluio, então o contato multi-mercado tranfere capacidade de sustenção de conluio de um mercado para o outro
Contato multi-mercado
Contato multi-mercado
No modelo mais simples a condição para sustenção é
Qualquer b > ½ é desperdício
Contato multi-mercado
Agora suponha que há dois mercados, 1 e 2, idênticos exceto pelo fato de o mercado 1 se encontra mais frequentemente que o mercado 2 (duas vezes mais)
Contato multi-mercado
Já sabemos que, no mercado 2, a taxa relevante de desconto é b 2:
No mercado 1, temos 
Contato multi-mercado
É portanto mais fácil sustentar conluio no mercado 1 que no mercado 2. Suponha a seguinte situação
A pergunta é: há como “transferir” capacidade de conluio de 1 para 2?
Contato multi-mercado
Valor do crime (ganho imediato) nos dois mercados
Valor do castigo (Perda futura) no mercado 1
Valor do castigo (Perda futura) no mercado 2
Contato multi-mercado
Resolvendo essa equação temos:
Sem contato multi-mercado
Contanto multi-mercado
O que aconteceu?
Se a firma desvia ela desvia nos dois mercados porque será punida nos dois mercados
A perda do lucro de conluio no mercado 1 é tão grande que a impede de desviar no mercado 2
A capacidade de sustentar conluio foi transferida de 1 para 2
Conluio tácito: teoria capenga
É uma teoria que o mecanismo de sustentação do cartel - a punição – nunca ocorre em equilíbrio
O que falta? Informação incompleta
O desvio é perfeitamente observado!!
Cortes de preço secretos: Green e Porter
Desvios e punição ocorrem em equilíbrio
 TEORIA DOS JOGOS: CONCEITOS BÁSICOS 
 TEORIA DOS JOGOS: CONCEITOS BÁSICOS 
Nesta aula serão abordados os seguintes assuntos:
- Os conceitos básicos da Teoria dos Jogos; e
- A estrutura de um jogo.
A ORIGEM DOS JOGOS
É preciso compreender a importância dos jogos em uma nova dinâmica, não somente na forma habitual que conhecemos, quando nos reunimos para assistir o nosso time favorito na televisão ou quando jogamos com nossos amigos, praticando o nosso esporte preferido. Na nossa infância tivemos contato com algum tipo de jogo: jogos eletrônicos, jogos de salão, jogos de tabuleiro ou outra modalidade. A grande questão, é que muitos de nós não consideramos os jogos como algo que possa ser estudado de forma mais profunda. 
	
A ORIGEM DOS JOGOS
Para nós a representação do jogo está na situação de competição ou conflito entre dois ou mais oponentes. Estes oponentes são usualmente chamados de jogadores. Um jogador pode ser um time composto de mais de uma pessoa, como num jogo de carta de duplas. Alguns exemplos de jogos são: 
	• Jogos de salão, como cara-e-coroa, jogo da velha, 	damas ou xadrez; 
	• Competição econômica; 
	• Conflitos militares ou guerras. 
	INTRODUÇÃO
	A Teoria dos Jogos é uma teoria matemática sobre conflito e colaboração, de situações nas quais se pode favorecer ou contrariar um a outro, ou ambos ao mesmo tempo. Os homens algumas vezes lutam uns contra os outros e algumas vezes cooperam entre si, dispõem de diferentes graus de informação acerca do próximo, e suas aspirações os conduzem ao conflito ou à colaboração. Para alguns jogos, a teoria pode indicar uma solução para o jogo, isto é, a melhor maneira a proceder para cada pessoa envolvida.
	
INTRODUÇÃO
Para Fiani (2006), sempre que um conjunto de indivíduos, empresas, partidos políticos, etc., estiver envolvido em uma situação de interdependência recíproca, em que as decisões tomadas influenciam-se reciprocamente, pode-se dizer que eles se encontram em um jogo. A teoria dos jogos ajuda a entender teoricamente o processo de decisão de agentes que interagem entre si, a partir da compreensão da lógica da situação em que estão envolvidos. Outro ganho no estudo da Teoria dos Jogos é que ela ajuda a desenvolver a capacidade de raciocinar estrategicamente, explorando as possibilidades de interação dos agentes, possibilidades estas que nem sempre correspondem à intuição. 
	
A ORIGEM DA TEORIA DOS JOGOS
Entre os anos de 1928 a 1942 John von Newmann, publicou artigos em revistas especializadas em matemática a Teoria dos Jogos Estratégicos. Em 1944, von Newmann e Oskar Morgenstern publicaram o livro “Teoria dos Jogos e Desenvolvimento Econômico”, que marca o início da Teoria dos Jogos que também teve a contribuição de outros pesquisadores.
No livro publicado por Newmann e Morgenstern, são analisadas duas abordagens. A primeira abordagem é a dos jogos cooperativos e procura descrever o comportamento ótimo em jogos que envolvem a participação muito grande de jogadores.Na segunda abordagem é analisada a estratégica de jogos não-cooperativos.
	A ORIGEM DA TEORIA DOS JOGOS
	
	Em 1994, os pesquisadores John Nash, o alemão Reinhard Selten e o húngaro naturalizado americano John Harsanyi, foram agraciados com o Nobel de Economia, em reconhecimento aos seus trabalhos no campo da Teoria dos Jogos não-cooperativos que é uma das ferramentas mais utilizadas na economia.
	A Teoria dos Jogos não pretende resolver todos os tipos de conflito, porém dá uma melhor compreensão em situações complicadas, através da sua coleção de técnicas para analisar estes problemas.
 	
	
CONCEITOS BÁSICOS
Segundo Eaton (1999), no caso da teoria dos jogos, os tomadores de decisões são chamados de jogadores: eles são as entidades, como firmas, indivíduos ou governos, que fazem escolhas no jogo. No caso da analise do comportamento econômico, nossos jogadores serão as firmas e o que eles escolhem – quantidade de produção e preço – serão chamadas de estratégias. Se as firmas escolherem a quantidade de produção, por exemplo, então a estratégia de uma firma é sua quantidade de produção. 
	
CATEGORIA DOS JOGOS
	
A teoria dos jogos é uma teoria que trata os aspectos gerais de situações competitivas. Ela, a teoria, dá ênfase especial ao processo de tomada de decisão dos competidores. A teoria dos jogos classifica os jogos em muitas categorias que determinam que método pode ser usado para resolvê-los. 
	CATEGORIA DOS JOGOS
	Algumas das categorias mais comuns são: 
	• Jogos de Soma nula: são jogos em que a soma total dos benefícios colhidos por todos os jogadores é sempre igual a zero (ou seja, um jogador só pode ganhar se outro perder). O Xadrez e o Poker são jogos de soma zero porque cada jogador ganha precisamente o que o outro perde. A economia e a política, por exemplo, não são jogos de soma zero porque alguns desfechos podem ser bons (ou maus) para todos os jogadores ao mesmo tempo; 
	CATEGORIA DOS JOGOS
• Jogos de Soma não-nula: São os que não possuem a propriedade anterior (jogos de soma nula), como o Dilema do Prisioneiro, em que o payoff total é 2 anos de prisão se ambos ficam em silêncio e 4 anos se os dois prisioneiros confessam. 
• Jogos Cooperativos: são jogos em que os jogadores podem comunicar e negociar entre si; 
• Jogos Transparentes (de informação perfeita): são jogos em que todos os jogadores têm acesso à mesma informação. O Xadrez é um jogo transparente, mas o Poker não é. 
	ESTRATÉGIA
	Estratégia é algo que um jogador faz para alcançar seu objetivo. Um jogador sempre procura uma estratégia que aumente seus ganhos ou diminua as perdas. Em um jogo de pôquer um jogador pode baixar suas cartas ao começo de cada rodada, diminuindo suas perdas dessa forma. 
	ESTRATÉGIA
	A grande
questão ao se escolher uma estratégia, então, é tentar prever os ganhos e as perdas potenciais que existem em cada alternativa. Grande parte do problema reside no fato de prever-se o que os outros participantes irão fazer ou estão fazendo. O jogador “A” não analisa somente a melhor linha de ação que ele deve tomar, mas também as prováveis linhas de ação do jogador “B”, seu competidor. Isso cria o dilema de que, se “B” sabe que “A” vai tentar prever suas ações, “B” pode optar por uma linha de ação Estratégia alternativa, buscando surpreender seu opositor. Claro que “A” pode prever isso também, entrando numa seqüência interminável de blefes e previsões sobre a estratégia inimiga. 
	RESULTADOS DE UM JOGO
	Jogadores sempre recebem pagamentos, representados por um valor. No entanto, o valor absoluto não é tão importante quanto à proporção entre as opções. Em determinado jogo, por exemplo, pode-se representar a morte de um jogador por -100, enquanto continuar vivo pode ser representado por 0. 
	MATRIZ DE GANHOS DE UM JOGO
	Varian (2006) contextualiza um exemplo de interação estratégica envolvendo dois jogadores com um numero finito de estratégias. Desse modo poderemos representar um jogo facilmente numa matriz de ganhos.
	Suponha-se que duas pessoas estão jogando um jogo simples, em que o jogador A pode fazer duas escolhas (“alto” ou “baixo”), e a pessoa B também pode fazer duas escolhas (“esquerda” ou “direita”). As duas estratégias da pessoa A e da pessoa B podem representar escolhas econômicas como “aumentar preço” ou “diminuir preço”, escolhas políticas como “declarar guerra” ou “não declarar guerra”.
	MATRIZ DE GANHOS DE UM JOGO
	A matriz de ganhos de um jogo representa os ganhos de cada jogador para cada combinação de estratégias escolhida. Indica os ganhos de A e B em cada uma das escolhas possíveis: alto-esquerda, alto-direita, baixo-esquerda, e baixo-direita.
	Deste modo, em um jogo, após as pessoas escreverem suas escolhas em um papel, os papeis serão examinados, e cada um dos jogadores receberá o ganho representado na matriz de ganhos. Se A escreve “alto” e B escreve “esquerda”, então examinamos o quadrado do alto à esquerda da matriz. 
	Decisões 	Jogador B
 ______________________________
	Jogador A Esquerda Direita
	______________________________
	Alto	 1 (A) 2 (B)	0 (A) 1 (B)
	Baixo	 2 (A) 1 (B)	1 (A) 0 (B)
	______________________________
	Fonte: Varian, (2006, p.544)
	MATRIZ DE GANHOS DE UM JOGO
	Tradicionalmente, o primeiro valor é quanto o jogador da esquerda recebe e o segundo, quanto o de cima recebe. 
	O exemplo de jogo representado acima tem uma solução muito simples. Do ponto de vista do jogador A, será sempre melhor escolher baixo, pois se B escolhe esquerda é melhor para A escolher baixo, e se B escolhe direita também é melhor para A escolher baixo. De forma semelhante, será sempre melhor para B escolher esquerda, pois se A escolhe alto é mais vantajoso para B escolher esquerda, e se A escolhe baixo também é mais vantajoso para B escolher esquerda. Portanto, é de se esperar que a estratégia de equilíbrio para A seja jogar baixo e para B seja jogar esquerda.
	ELEMENTOS DE UM JOGO
	Um jogo pode ser definido como uma representação formal que permite a análise das situações em que agentes (jogadores) interagem entre si, agindo de forma racional. Vamos descrever cada um dos seus elementos:
• Um jogo é um modelo formal: a Teoria dos Jogos envolve técnicas de descrição e análise, que exige regras preestabelecidas para apresentar e estudar um jogo.
• Interações: as ações de cada agente devem ser consideradas individualmente, pois afetam os demais. Existe, porém, alguns autores, que consideram que as ações de um agente não chegam a afetar os demais.
	ELEMENTOS DE UM JOGO
• Agentes (jogadores): é considerado qualquer indivíduo ou um grupo de indivíduos com capacidade de decisão para afetar os demais. Agentes (jogadores) tanto podem ser indivíduos como empresas, governos, sindicatos ou partidos políticos.
• Racionalidade : Considerar que os agentes (jogadores) são racionais significa supor que os indivíduos empregam os meios mais adequados aos objetivos que almejam alcançar.
• Comportamento Estratégico: entende-se que cada jogador, ao tomar a sua decisão, leva em consideração o fato de que os jogadores interagem entre si, pois sua decisão terá conseqüências sobre os demais jogadores, e que também as decisões dos outros jogadores terão conseqüências sobre ele.
	ELEMENTOS DE UM JOGO
	Um jogo envolve a interdependência mútua das ações de seus jogadores, e isso leva naturalmente os jogadores a considerarem, em suas decisões, os efeitos sobre os demais jogadores, bem como as reações destes.
	No contexto empresarial, a Teoria dos Jogos provê um conjunto de ferramentas para a análise de problemas de decisão que uma empresa enfrenta quando o seu destino depende tanto de sua estratégia quanto da estratégia de seus concorrentes.
	LEILÃO DE UMA NOTA DE UM DÓLAR
	Considere o seguinte jogo, criado por Martin Shubik. Uma nota de um dólar é leiloada, mas de forma pouco usual. O responsável pelo lance mais alto receberá o dólar em troca do valor do lance. Entretanto, o responsável pelo segundo lance mais alto também deverá pagar o valor do seu lance.
	Se você estivesse participando desse jogo, qual seria o seu lance?
	Nesta aula você aprendeu:
 Os conceitos básicos da Teoria dos Jogos; e
A estrutura de um jogo.
 TEORIA DOS JOGOS: MODELOS DE JOGOS 
TEORIA DOS JOGOS: MODELOS DE JOGOS 
Nesta aula serão abordados os seguintes assuntos:
- Modelagem de um jogo;
- As ações dos jogadores e suas conseqüências;
- Estratégias de um jogo simultâneo;
- Estratégias em um jogo seqüencial;
- Árvore de decisão; e
- Estratégias e conjuntos de informação.
MODELAGEM DE UM JOGO
Segundo Fiani (2006), em diversas circunstâncias, como na economia e no mundo dos negócios, empresas, governo e consumidores se envolvem em processos de interação estratégica. Portanto, é preciso saber como modelar esses processos e como analisá-los, procurando determinar as possíveis conseqüências dessas interações, ou seja, utilizar a linguagem da Teoria dos Jogos, para identificar os possíveis resultados do jogo.
 
	
AS AÇÕES DOS JOGADORES E SUAS CONSEQUÊNCIAS
Jogos são modelos que tratam de interações estratégicas e que as interações estratégicas são o resultado do reconhecimento por parte de cada um dos jogadores, de que suas ações afetam os demais e vice-versa.
Reforçando um conceito visto na aula anterior, de que jogador é qualquer indivíduo ou organização envolvido no processo de interação estratégica que tenha autonomia para tomar decisões. Todo jogador tem como objetivo obter o melhor resultado possível do processo de interação estratégica, dada as suas preferências. Portanto, cada jogador é obrigado a interagir com os demais.
 
	AS AÇÕES DOS JOGADORES E SUAS CONSEQUÊNCIAS
	Para entender o processo de interação, é preciso primeiro conceituar o que se entende por ação ou movimento de um jogador: “é uma escolha que ele pode fazer em um dado momento do jogo”. Num jogo, cada jogador, tem um certo número de ações disponíveis, e essas ações formam seu conjunto de ações.
	
EMPREGO DE ESTRATÉGIA EM JOGO SIMULTÂNEO
Para apresentar um jogo simultâneo, a forma mais adequada é por meio da forma estratégica. Para facilitar o seu entendimento vamos utilizar o seguinte exemplo dado por Fiani (2006):
Uma empresa para iniciar as suas atividades, tomou empréstimos de 5 milhões de reais em dois bancos: Alfa e Beta, totalizando 10 milhões de reais em empréstimos. A empresa não possui capital próprio, somente de terceiros. Após um ano de funcionamento, em virtude dos seus maus resultados, seus ativos depreciaram e hoje só valem 6 milhões, o que é insuficiente para cobrir o total de empréstimos que é de 10 milhões. Para complicar mais a situação, a perspectiva é que a empresa continue funcionando por apenas mais um ano.
EMPREGO DE ESTRATÉGIA EM JOGO SIMULTÂNEO
No exemplo em questão, os dois bancos têm que decidir se renovam ou não o empréstimo. A decisão se torna mais difícil a ser tomada, se cada banco tem de escolher o que fazer em relação ao seu empréstimo sem conhecer a decisão do outro banco, do que se um deles tem a chance de decidir conhecendo a escolha do outro.
	EMPREGO DE ESTRATÉGIA EM JOGO SIMULTÂNEO
	Para analisar a forma estratégica, é necessário que os bancos possuam mais informações: precisam saber quais são as ações que cada banco pode adotar e quais seriam as conseqüências das várias combinações de ações. Com relação às ações, vamos considerar apenas duas possibilidades: renovar ou não renovar os empréstimos. Caso o banco decida renovar, ele continuará recebendo os juros do empréstimo. No caso de não renovar o empréstimo, a empresa é obrigada a reembolsar o principal do empréstimo.
 	
	
EMPREGO DE ESTRATÉGIA EM JOGO SIMULTÂNEO
	
Se a decisão dos bancos for pela renovação de seus empréstimos, a perspectiva é de que a empresa consiga se manter operando por mais um ano, pagando os juros a partir de sua receita corrente, no valor de 1 milhão de reais para cada banco.
Caso a empresa seja obrigada a decretar a falência, pela não renovação dos empréstimos, os bancos dividiriam os ativos de 6 milhões, resultando em 3 milhões para cada banco, além de 1 milhão de juros, totalizando 4 milhões para cada banco.
 
	
EMPREGO DE ESTRATÉGIA EM JOGO SIMULTÂNEO
A outra possibilidade é de que um dos bancos não venha renovar o seu crédito, ele receberia integralmente o seu empréstimo de 5 milhões, porém precipitava a falência da empresa. O banco que renovou o empréstimo só teria condições de receber 1 milhão, correspondente ao que sobrou dos ativos da empresa.
Existe ainda uma última possibilidade é a de que os dois bancos decidam, simultaneamente, não renovar seus empréstimos. A empresa será obrigada a decretar a sua falência, o que leva os dois bancos a dividirem seus ativos, cabendo a cada banco 3 milhões de reais.
 
EMPREGO DE ESTRATÉGIA EM JOGO SIMULTÂNEO
A representação do hipotético jogo dos bancos em forma estratégica, é a seguinte:
	EMPREGO DE ESTRATÉGIA EM JOGO SEQUENCIAL
	Jogos simultâneos não nos fornecem informações sobre eventuais desdobramentos futuros das escolhas dos jogadores. Porém, muitas vezes, o processo de interação estratégica se desenvolve em etapas sucessivas.
	Muitas vezes os jogadores fazem escolhas a partir do que os outros jogadores decidiram no passado e, portanto, nem sempre as decisões são tomadas ignorando as decisões dos demais jogadores.
. 
	ÁRVORE DE DECISÃO
	Uma árvore de decisão, também chamada de árvore de jogos, é composta de ramos e nós. Cada nó representa uma etapa do jogo em que um dos jogadores tem de tomar uma decisão. Já um ramo representa uma escolha possível para o jogador, a partir do seu nó, isto é, um ramo é uma ação do conjunto de ações do jogador, em um determinado nó.
	 ÁRVORE DE DECISÃO
	Para ilustrarmos o uso da árvore de decisão, vejamos o seguinte exemplo:
	A direção da empresa Beta concluiu que a situação delicada que ela se encontra, é decorrente dos elevados custos do seu processo produtivo. A empresa vem enfrentando a perda de R$ 200 mil por período. A direção da empresa tem que decidir se troca todo o equipamento de produção. Se esta decisão obtiver êxito, a empresa lucrará o dobro do que perderia se nada fizesse; se por outro, a decisão não obtiver êxito, a empresa perde o triplo do que perderia se não substituísse o equipamento.
	Construa a árvore de decisão.
	ESTRATÉGIAS E CONJUNTOS DE INFORMAÇÃO
	
	Em função dos conceitos já apresentados, temos condições de discutir as escolhas que os jogadores podem fazer em um jogo. A hipótese de que os jogadores são racionais, também deve ser levada em consideração. Sendo racionais, os jogadores envolvidos no processo de interação estratégica não decidem considerando apenas a etapa em que se encontram, mas também todo o desenvolvimento do processo de interação até ali e suas conseqüências futuras. Como os jogadores podem, ou devem, interagir estrategicamente exige, uma análise das estratégias de cada jogador. 
	ESTRATÉGIAS E CONJUNTOS DE INFORMAÇÃO
	O conjunto de estratégias de cada jogador é chamado de conjunto de estratégias ou espaço de estratégias.
	Em jogos seqüenciais os jogadores são capazes de, em algum momento, fazer suas escolhas conhecendo as ações dos demais em etapas anteriores.
 
	APLICAÇÃO
	As empresas Alpha e Beta são concorrentes e produzem o mesmo produto e têm custos fixos de R$ 50.000,00 por mês. Ambas competem pelo mesmo mercado e devem escolher entre um preço alto de R$ 20,00 e um preço baixo R$ 10,00. As regras do jogo são as seguintes:
	- Com o preço de R$ 20,00, o mercado consome 5.000 unidades;
	- Com o preço de R$ 10,00, o mercado consome 10.000 unidades.
	- Se as empresas adotarem o mesmo preço, as vendas serão divididas entre as duas empresas. Se aplicarem preços diferentes, aquela com menor preço vende toda a quantidade e a outra nada.
	Construa a matriz de ganhos.
TEORIA DOS JOGOS: JOGO SIMULTÂNEO – O EQUILÍBRIO DE NASH 
TEORIA DOS JOGOS: JOGO SIMULTÂNEO – O EQUILÍBRIO DE NASH 
 
Nesta aula serão abordados os seguintes assuntos:
- O conceito do equilíbrio de Nash; e
- O equilíbrio em estratégias estritamente dominantes e equilíbrio de Nash.
ESTRATÉGIAS DOMINANTES
Um equilíbrio de estratégias dominantes é o resultado de um jogo em que cada empresa faz o melhor que pode independentemente das escolhas feitas por seus concorrentes.
Varian (2006) afirma que teremos uma estratégia dominante se houver uma escolha ótima de estratégia para cada um dos dois jogadores, não importando o que o outro faça. Se houver uma estratégia dominante para cada jogador em algum jogo, então poderemos prever qual será o resultado de equilíbrio desse jogo, pois a estratégia dominante é a melhor, não importando o que faça o outro jogador.
 
	
ESTRATÉGIAS DOMINANTES
Pindyck & Rubinfeld (2005) nos mostra que as estratégias dominantes são aquelas que poderão ser bem-sucedidas quaisquer que sejam as atitudes dos participantes. Para ilustrar este caso os autores utilizam o seguinte exemplo em um cenário oligopolista.
Suponha-se que as empresas A e B vendam produtos concorrentes e estejam decidindo se empreenderão ou não campanhas de propaganda. Cada empresa, contudo, será afetada pela decisão de sua concorrente. Os possíveis resultados encontram-se ilustrados pela matriz de ganhos apresentada na tabela a seguir. Qual é a estratégia que cada empresa deve escolher?
 
ESTRATÉGIAS DOMINANTES
	
ESTRATÉGIAS DOMINANTES
Para a empresa A é sempre mais vantajoso investir em propaganda, independentemente do que possa fazer a empresa B. Se a empresa B fizer propaganda, a empresa A lucrará 10 se fizer propaganda e 6 se não fizer propaganda. Se a empresa B não investir em propaganda, a empresa A lucrará 15 caso faça propaganda e 10 se não fizer. Portanto, investir em propaganda é uma estratégia dominante para a empresa A. 
	
ESTRATÉGIAS DOMINANTES
	
O mesmo é verdadeiro para a empresa B; isto é, independentemente do que possa fazer a empresa A, a empresa B realizará um melhor negocio se investir em propaganda. Portanto, supondo que ambas as empresas sejam racionais, sabem que o resultado dos jogos será ambas as empresas investirem em propaganda. Esse resultado é fácil de ser determinado, porque as duas possuem estratégias dominantes. 
	ESTRATÉGIAS DOMINANTES
	Quando cada jogador tem uma estratégia dominante, o resultado deste jogo é chamado de equilíbrio de estratégia dominante. Esses jogos podem ser analisados objetivamente, pois a estratégia ótima para cada jogador pode ser determinada sem a preocupação com as ações dos outros.
	Nem todos os jogos apresentam estratégias dominantes para cada um dos jogadores.
 	
	
EQUILÍBRIO DE NASH
No equilíbrio de Nash, nenhum jogador
se arrepende de sua estratégia, dadas as posições de todos os outros. Ou seja, um jogador não está necessariamente feliz com as estratégias dos outros jogadores, apenas está feliz com a estratégia que escolheu em face das escolhas dos outros.
	
EQUILÍBRIO DE NASH
	
Segundo Fiani (2006), a idéia do equilíbrio de Nash é a de que cada jogador está adotando a melhor resposta ao que os demais jogadores estão fazendo, e isso é valido para todos os jogadores ao mesmo tempo. A identificação de um equilíbrio de Nash pode ser facilitada pelo método de indicar, dada a estratégia adotada pelo outro jogador, qual a melhor resposta para o jogador em questão. Em seguida, repete-se o processo para o outro jogador, até que fosse possível identificar uma combinação de estratégias em que cada uma delas fosse melhor resposta à outra e vice-versa.
 
	EQUILÍBRIO DE NASH
	Pindyck & Rubinfeld (2005) comparam o equilíbrio de estratégias dominantes e o equilíbrio de Nash: 
No equilíbrio de estratégia dominante: Eu estou fazendo o melhor que posso independentemente do que você esteja fazendo. Você está fazendo o melhor que pode, independentemente do que eu esteja fazendo.
Equilíbrio de Nash: Eu estou fazendo o melhor que posso em função daquilo que você está fazendo. Você está fazendo o melhor que pode em função daquilo que eu estou fazendo.
 
	EQUILÍBRIO DE NASH
	Pindyck & Rubinfeld (2005) apresentam um exemplo de um jogo que pode ocorrer em uma indústria. Eles nos apresentam esse jogo com o nome de “O problema da escolha do produto”. Vejamos o seguinte exemplo:
	Duas empresas produtoras de cereais matinais defrontam-se com o mercado na qual duas novas variedades de cereais poderão ser lançadas com sucesso, desde que cada variedade seja promovida apenas por uma empresa. Há mercado para um novo cereal “crocante” e para um novo cereal “açucarado”, mas cada uma das empresas dispõe de recursos para lançar apenas um produto novo. Portanto, a matriz de payoff para as duas empresas pode ser a seguinte: 
EQUILÍBRIO DE NASH
	EQUILÍBRIO DE NASH
	Duas empresas produtoras de cereais matinais defrontam-se com o mercado na qual duas novas variedades de cereais poderão ser lançadas com sucesso, desde que cada variedade seja promovida apenas por uma empresa. Há mercado para um novo cereal “crocante” e para um novo cereal “açucarado”, mas cada uma das empresas dispõe de recursos para lançar apenas um produto novo. Portanto, a matriz de payoff para as duas empresas pode ser semelhante a da tabela acima. 
	EQUILÍBRIO DE NASH
	Nesse jogo, para ambas as empresas é indiferente qual o produto que fabricará desde que não lance o mesmo que sua concorrente. Se fosse possível fazer uma coordenação, as empresas provavelmente concordariam em dividir o mercado. Mas o que poderá ocorrer se precisarem se comportar de forma não-cooperativa? 
	O conjunto de estratégia contido no canto inferior esquerdo e no canto superior direito da matriz de payoff é estável e se constitui em um equilíbrio de Nash.
 
	EQUILÍBRIO DE NASH – EXEMPLO DA PRAIA
	Colocando um pouco mais o Equilíbrio de Nash em pratica no que acontece na vida real, observa-se agora mais um exemplo de Pindyck & Rubinfeld (2005) com o jogo de localização na praia:
	Suponha que você (V) e um concorrente (C) estejam planejando vender refrigerantes em uma praia neste verão. A praia tem duzentos metros de comprimento e os banhistas estão espalhados igualmente ao longo dela. Você e seu concorrente vendem os mesmos refrigerantes ao mesmo preço, de modo que os clientes vão optar pelo vendedor que estiver mais perto. Onde você se posicionará na praia e onde você supõe que seu concorrente se posicionará?
 
	EQUILÍBRIO DE NASH – EXEMPLO DA PRAIA
PRAIA
______________________________________
0 200 				(V, C) 
	O DILEMA DOS PRISIONEIROS
	Dois prisioneiros são acusados de terem cooperado durante um crime. Estão incomunicáveis em celas diferentes. Foi solicitada a confissão do crime a cada um. Se confessarem, ambos serão condenados a cinco anos de prisão. Se um deles confessar e o outro não, aquele que confessou terá a pena reduzida para um ano e o outro será condenado a dez. Se nenhum confessar, ambos poderão apelar e reduzir as penas de cinco para dois anos de prisão. Se você fosse um dos prisioneiros, qual seria sua opção: confessar ou não confessar? (PINDYCK & RUBINFELD, 2005, p. 414)
O DILEMA DO PRISIONEIRO
BANCO ALFA
 BANCO BETA
 Renova
Não Renova
Renova
 
4, 4
1, 5
Não Renova
5, 1
3, 3
	
	
	
	 Empresa B
	 
Empresa A
	Faz propaganda Não faz propaganda
	
	Faz propaganda
Não faz propaganda
	10, 5
	15, 0
	
	
	6, 8
	10, 2
	Decisões 
	 Empresa 2
	 
Empresa 1
	 Crocante Açucarado
	
	Crocante
Açucarado
	 -5, -5
	 10, 10
	
	
	 10, 10
	 -5, -5
	Decisões 
	Prisioneiro B
	 
Prisioneiro A
	 Confessa Não Confessa
	
	Confessa
Não Confessa
	- 5, - 5 
	- 1, - 10
	
	
	- 10, - 1 
	- 2, - 2