Topografia 9° aula apostila

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Com os valores de coordenadas encontrados procede-se o cálculo da escala e 
desenho da planta. 
 
Topografia I – Nona Aula 
 
2.10 – Área: 
 
O valor da área da poligonal medida é encontrado aplicando-se o método de Gauss. 
 
Método de Gauss: 
 Este método consiste em determinar a área de uma figura (poligonal fechada) 
de coordenadas X e Y conhecidas dos seus pontos, seguindo o seguinte 
procedimento: 
 As coordenadas dos seus pontos de partida e chegada devem ser as mesmas 
X1=Xn e Y1=Yn; 
 Percorrendo a poligonal no sentido horário, somam-se as ordenadas (Σy) dos 
pontos, aos pares, ou seja, de duas em duas; 
 Na sequencia, porém no sentido inverso, subtraem-se as abcissas (Δx) dos 
pontos, também aos pares; 
 Os resultados de cada soma e subtração, para um mesmo ponto, são 
multiplicados entre si (Σy* Δx); 
 Somam-se, algebricamente, todos os produtos encontrados (Σ (Σy* Δx)); 
 A área final é dada pela seguinte relação: 
 
 n 
 S = Σ (Y( i+1) + Yi)(X( i+1) – Xi) 
 1 
 
 
Exercícios: 
 
1 – Dada a tabela de valores abaixo, determine as coordenadas dos pontos e a área 
da poligonal: 
 
Estação Hze DH Az 
1 258
o
 36’00’’ 1317,52m 
2 210
o
 47’00’’ 1253,94m 
3 279
o
 01’30’’ 1208,27m 
4 243
o
 41’ 00’’ 1899,70m 
5 267
o
 55’30’’ 1148,62m 
 
 
 
 
 2 
As coordenadas do ponto 1 são: X(1) = 1000,00m e Y(1) = 1000,00m . 
 
2 – Com as coordenadas do exercício anterior, desenhar o caminhamento da 
poligonal sobre uma folha de papel A4 (deitada), descontando margens de 2 cm 
para cada lado da folha. 
 
 
Resolução: 
 
1
o
. passo: Transformação dos ângulos horizontais externos em internos 
Hzi = 360
o
 - Hze 
 
Estação Hzi DH Az 
1 101
o
 24’ 00” 1317,52m 51o22’ 
2 149
o
 13’ 00” 1253,94m 
3 80
o
 58’30” 1208,27m 
4 116
o
 19’ 00” 1899,70m 
5 92
o
 04’ 30” 1148,62m 
 
 2
o
. Passo: Transporte do Azimute: 
Az(p) = Az (p-1) – Hz (p) 
 
Se Az(p) >180
o
 => subtrai 180
o
 do azimute
 
 
Se Az(p) < 180
o
 => soma 180
o
 ao azimute 
 
Estação Hzi Az 
1 101
o
 24’ 00” 51o22’ = Az1 
2 149
o
 13’ 00” Az2 = 51o22’ +180o - 149o 13’ 00” = 82o09’00” 
3 80
o
 58’30” Az3 = 82o09’00”+180o -80o 58’30” = 181o10’30” 
4 116
o
 19’ 00” Az4 = 181o10’30”-180o–116o19’00”= - 115o08’30” 
5 92
o
 04’ 30” Az5 = -115o08’30” +180o – 92o04’30”= - 27o13’00” 
 
3
o 
Passo: 
Calcular os senos e cossenos dos azimutes: 
Estação Az 
1 Az1=51
o22’ Sen= 0,78116 / Cos= 0,62433 
2 Az2=82
o09’00” Sen= 0,99063 / Cos= 0,13658 
3 Az3=181
o10’30” Sen= -0,02051 / Cos= -0,99979 
4 Az4= -115
o08’30” Sen= -0,90526 / Cos= -0,42486 
5 Az5= -27
o13’00” Sen= -0,45736 / Cos= 0,88928 
 
 
 
 
4
o
 Passo: 
 3 
Calcular as coordenadas: 
 
Estação Coordenadas (m) 
1 X = 1000 
Y = 1000 
2 X2 = 1000 + 1.317,52 * 0,78116 => X2 = 2.029,19 
Y2 = 1000 + 1.317,52*0,62433 => Y2 = 1.822,57 
3 X3 = 2.029,19 + 1253,94*0,99063 => X3 = 3.271,38 
Y3 = 1.822,57 + 1253,94*0,13658 => Y3 = 1.993,83 
4 X4 = 3.271,38 + 1208,27*(-0,02051) => X4 = 3.246,60 
Y4 = 1.993,83 + 1208,27*(-0,99979) => Y4 = 785,81 
5 X5 = 3.246,60 + 1899,70*(-0.90526) => X5 = 1.526,88 
Y5 = 785,81 + 1899,70*(-0,42486) => Y5 = -21,30 
 
Fechando em 1 
X1 = 1526,88 + 1148,62*(-0,45736) = 1001,55 
Y1 = -21,30 + 1148,62*0,88928 = 1000,15 
 
Erro linear: εx = 1,55m 
 εy = 0,15m 
 
Precisão relativa => Є = √ ex² + ey² = √ 1,5 ²+ 0,15² = 1,51m 
 
 
Cálculo da área: 
 
 n 
 2S = Σ (Y( i+1) + Yi)(X( i+1) – Xi) 
 1 
 
 
2S = (Y2+Y1)(X2-X1) + (Y3+Y2)(X3-X2) + (Y4+Y3)(X4-X3)+ (Y5+Y4)(X5-
X4) + (Y1+Y5)(X1-X5) = (1.822,57+1000)(2.029,19-
1000)+(1.993,83+1.822,57)(3.271,38-2.029,19)+(785,81+1.993,83)(3.246,60-
3.271,38)+(-21,30+785,81)(1.526,88-3.246,60)+(1.000,00+(-1,30))(1.000,00-
1.526,88) => 
 
2S = 5.735.837,06m2 = 5,74km2