03 funcao degrau

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6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio
Func¸a˜o Degrau Unita´rio
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Caˆmpus Francisco Beltra˜o
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral 4A
Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A
6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio
Definic¸a˜o
A func¸a˜o degrau unita´rio ou func¸a˜o Heaviside u(t − a) e´ 0 para
t < a, apresenta um salto de tamanho 1 em t = a e vale 1 para
t > a, como na fo´rmula
u(t − a) =
{
0 se t < a
1 se t > a
(1)
A transformada de u(t − a) decorre diretamente da definic¸a˜o
L {u(t− a)} =
∫ ∞
0
e−stu(t− a) dt =
∫ ∞
a
e−st ·1 dt = −e
−st
s
∣∣∣∣∞
t=a
Logo,
L {u(t − a)} = e
−as
s
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6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio
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Exemplo
Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
(a) u(t)
(b) u(t − 2)
(c) u(t − 4)
(d) u(t − 2)− u(t − 4)
(e) t[u(t − 2)]
(f) t2[u(t − 1)]
(g) cost[u(t − pi)− u(t − 2pi)]
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6.3 - Func¸a˜o Degrau Unita´rio
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Teorema: Segundo Teorema do Desvio - Desvio no Tempo
Se f (t) tiver a transformada F (s), enta˜o a “func¸a˜o desviada”
f˜ (t) = f (t − a)u(t − a) =
{
0 se t < a
f (t − a) se t > a (2)
possui a transformada e−asF (s). Ou seja, se L {f (t)} = F (s),
enta˜o
L {f (t − a)u(t − a)} = e−asF (s) (3)
Ou, invertendo ambos os lados, podemos escrever
L −1{e−asF (s)} = f (t − a)u(t − a) (4)
Em termos pra´ticos, se conhecermos F (s), podemos obter a
transformada de (2) multiplicando F (s) por e−as .
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Exemplo
Escreva a seguinte func¸a˜o usando func¸o˜es degrau unita´rio e
encontre a sua transformada.
f (t) =

2 se 0 ≤ t ≤ 1
0,5t2 se 1 ≤ t ≤ 0,5pi
cos t se t > 0,5pi
L {f (t)u(t − a)} = e−asL {f (t + a)} (5)
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Exemplo
Encontre a transformada inversa f (t) de
F (s) =
e−s
s2 + pi2
+
e−2s
s2 + pi2
+
e−3s
(s + 2)2
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Exemplo
Calcule o valor da corrente i(t) no circuito RC da figura abaixo
quando e´ aplicada a ele uma onda retangular u´nica de tensa˜o V0.
Supo˜e-se que o circuito estava em repouso antes da onda ser
aplicada.
R i(t) +
1
C
∫ t
0
i(τ) dτ = v(t)
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Exerc´ıcio
Fac¸a um esboc¸o ou gra´fico da func¸a˜o dada (que se supo˜e ser nula
fora do intervalo fornecido). Represente-a usando func¸o˜es degrau
unita´rio. Encontre sua transformada.
2. t (0 < t < 1)
3. et (0 < t < 2)
4. sen 3t (0 < t < pi)
5. t2 (1 < t < 2)
6. t2 (t > 3)
7. cospit (1 < t < 4)
8. 1− e−t (0 < t < pi)
9. t (5 < t < 10)
10. senωt (t > 6pi/ω)
11. 20 cospit (3 < t < 6)
12. senh t (0 < t < 2)
13. epit (2 < t < 4)
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Exerc´ıcio
Usando o segundo teorema do desvio, encontre e fac¸a um esboc¸o
ou gra´fico de f (t) se L (f ) for igual a:
14. L (f ) = se−s/(s2 + ω2)
15. L (f ) = e−4s/s2
16. L (f ) = s−2 − (s−2 + s−1)e−s
17. L (f ) = (e−2pis − e−8pis)/(s2 + 1)
18. L (f ) = e−pis/(s2 + 2s + 2)
19. L (f ) = e−2s/s5
20. L (f ) = (1− e−s+k)/(s − k)
21. L (f ) = se−3s/(s2 − 4)
22. L (f ) = 2,5(e−2,6s − e−3,8s)/s
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Exerc´ıcio
Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de
Laplace:
27. y ′′ + 9y = r(t), r(t) = 8 sen t se 0 < t < pi e 0 se t > pi y(0) =
0, y ′(0) = 4
28. y ′′ + 3y ′ + 2y = r(t), r(t) = 1 se 0 < t < 1 e 0 se t > 1 y(0) =
0, y ′(0) = 0
29. y ′′ + y = r(t), r(t) = t se 0 < t < 1 e 0 se t > 1, y(0) = 0, y ′(0) =
0
30. y ′′ − 16y = r(t), r(t) = 48e2t se 0 < t < 4 e 0 se t > 4 y(0) =
3, y ′(0) = −4
31. y ′′ + y ′ − 2y = r(t), r(t) = 3 sen t − cos t se 0 < t <
2pi e 3 sen 2t − cos 2t se t > 2pi y(0) = 1, y ′(0) = 0
32. y ′′ + 8y ′ + 15y = r(t), r(t) = 35e2t se 0 < t < 2 e 0 se t > 2 y(0) =
3, y ′(0) = −8
33. y ′′ + 4y = r(t), r(t) = 8t2 se 0 < t < 5 e 0 se t > 5 y(1) =
1, y ′(1) = 4− 2 sen 2
34. y ′′ + 2y ′ + 5y = r(t), r(t) = 10 sen t se 0 < t < 2pi e 0 se t >
2pi y(pi) = 1, y ′(pi) = 2e−pi − 2
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Exerc´ıcio
Usando a transformada de Laplace, encontre a corrente i(t) no
circuito RC mostrado na figura abaixo, com R = 10Ω e
C = 10−2F , onde se supo˜e que, em t = 0, a corrente seja nula e:
36. v(t) = 100 V se 0,5 < t < 0,6 e 0 nos demais instantes
37. v = 0 se t < 2 e 100(t − 2) V se t > 2
38. v = 0 se t < 4 e 14 · 106e−3t V se t > 4
R i(t) +
1
C
∫ t
0
i(τ) dτ = v(t)
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Exerc´ıcio
Usando a transformada de Laplace, encontre a corrente i(t) no
circuito RL da figura abaixo, supondo que i(0) = 0 e que:
39. R = 10 Ω, L = 0,5 H, v = 200t V se 0 < t < 2 e 0 se t > 2
40. R = 1 kΩ, L = 1 H, v = 0 se 0 < t < pi e 40 sen t V e 0 se
t > pi
41. R = 25 Ω, L = 0,1 H, v = 490e−5t V se 0 < t < 1 e 0 se
t > 1
L i ′(t) + Ri(t) = v(t)
???
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Exerc´ıcio
Usando a transformada de Laplace, encontre a corrente i(t) no
circuito LC da figura abaixo, supondo que inicialmente, a carga no
capacitor e a corrente sejam nulas e que:
42. L = 1 H, C = 0,25 F , v = 200(t − t3/3) V se 0 < t < 1 e 0
se t > 1
43. L = 1 H, C = 10−2 F , v = −9900 cot t V se pi < t < 3pi e 0
em outros instantes
44. L = 0,5 H, C = 0,05 F , v = 78 sen t V se 0 < t < pi e 0 se
t > pi
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Exerc´ıcio
Usando a transformada de Laplace, encontre a corrente i(t) no
circuito RLC da figura abaixo, supondo que a corrente e a carga
iniciais sejam nulas e que:
45. R = 2 Ω, L = 1 H, C = 0,5 F , v(t) = 1 kV se 0 < t < 2 e 0
de t > 2
46. R = 4 Ω, L = 1 H, C = 0,05 F , v(t) = 34e−t V se 0 < t < 4
e 0 de t > 4
47. R = 2 Ω, L = 1 H, C = 0,1 F , v(t) = 255 sen t V se
0 < t < 2pi e 0 de t > 2pi
L i ′(t)+R i(t)+
1
C
∫ t
0
i(τ) dτ = v(t)
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Respostas:
2.
3.
1− e2−2s
s − 1
4.
5.
(
2
s3
+
2
s2
+
1
s
)
e−s −
(
2
s3
+
4
s2
+
4
s
)
e−2s
6.
7.
s
s2 + pi2
(−e−s − e−4s)
8.
9.
(
1
s2
+
5
s
)
e−5s −
(
1
s2
+
10
s
)
e−10s
10.
11.
−20s
s2 + pi2
(e−3s + e−6s)
12.
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Respostas:
13.
1
s − pi (e
−2s+2pi − e−4s+4pi)
14.
15. (t − 4)u(t − 4)
16.
17. sen t[u(t − 2pi)− u(t − 8pi)]
18.
19.
(t − 2)4
24
u(t − 2)
20.
21. cosh(2t − 6)u(t − 3)
22.27. sen (3t) + sen t +
1
3
sen (3t)u(t − pi)
28.
29. t − sen t + [cos(t − 1) + sen (t − 1)− t]u(t − 1)
30. Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A
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Respostas:
31. et − sen t + [ sen t − 0,5 sen (2t)]u(t − 2pi)
32.
33. cos(2t)+2t2−1+[49 cos(2t−10)+10 sen (2t−10)−2t2+1]u(t−5)
34.
36.
37. [1− e−10(t−2)]u(t − 2)
38.
39. i = e−20t + 20t − 1 + [−20t + 1 + 39e−20(t−2)]u(t − 2)
40.
41. i = 20(e−5t − e−250t) + 20[e−5t + e−250t+245]u(t − 1)
42.
43. i = [10 sen 10t + 100 sen t][u(t − pi)− u(t − 3pi)]
44.
45.
46.
47.
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	6.3 - Função Degrau Unitário