filtros passivos

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FILTROS 
Como temos visto, quando temos elementos reativos nos 
circuitos, as tensões sobre os elementos de um circuitos em CA são 
dependentes da frequência. Este comportamento em circuitos 
montados como divisores de tensão permite que quando alimentados 
com tensões de diferentes frequências, sobre os elementos do circuito 
possamos ter tensões significativas em algumas frequências e em 
outras não. Esta é a característica destes circuitos que permite a sua 
utilização como filtros de frequência. 
Na terminologia destes circuitos teremos então uma tensão de 
alimentação (Vi) do gerador e uma tensão de saída (Vo), a tensão 
sobre um elemento escolhido do circuito. Estaremos interessados na 
análise do comportamento desta tensão de saída Vo para diferentes 
frequências da fonte de alimentação Vi. 
Esta análise se dá basicamente na identificação de intervalos de 
frequência onde a tensão no elemento escolhido tem valores 
significativos (sinais que “passam”) ou é significativamente atenuados 
(sinais que são “rejeitados”). Como a variação destas tensões com a 
frequência é contínua, é necessário a definição de um valor limite para 
o qual se considera que elas sejam significativas ou não. Por 
convenção, toma-se como referência o valor da potência dissipada 
num elemento resistivo. Se esta potência é superior à metade da 
potencia máxima (circuito resistivo), temos um sinal que “passou”, se 
inferior temos um sinal “rejeitado”. A frequência para o qual temos o 
elemento dissipando metade da potência máxima é chamada de 
frequência de meia potência ou frequência de corte ωc. Esta relação 
entre potência fornecida e potência dissipada é medida em termos de 
Ganho (g), uma grandeza positiva, adimensional definida por: 
 
� = � ������� =
	�
	�
 
 
Assim, para a frequência de corte ωc temos que quando g=1/2 
 
��(
�) = 12���� 
 
	(
�)�
 = 12	(
�)�
 
e quando 
�(
�) = 12 ↔
|	�	|
|	�|��
= 1√2 
 
2 
 2
Filtros passa-baixa 
São utilizados para permitir valores significativos de tensão no 
elemento quando o circuito é alimentado por uma tensão senoidal de 
baixa frequência, enquanto que tensões senoidais de alta frequência 
são atenuadas. A frequência de corte ωc é usada para distinguir a 
banda passante (ωc<ω) da banda rejeitada (ωc> ω). Dois circuitos 
elementares são exemplos de um filtro passa-baixa. São eles o circuito 
RC, na tensão sobre o capacitor e o circuito RL, na tensão sobre o 
resistor, como podemos ver a seguir: 
 
 
 
 
	� = �(� − ���) 
 
 
	� = �(� + �
�) 
 
 
	� = �(− ���) 
 
 
	� = �(�) 
 
 
	�
	� =
(− �
�)
(� − �
�)
= 1(1 + �
��) 
 
(1) 
	�
	� =
�
(� + �
�) =
1
(1 + �
 ��)
 
 
 
 = |	�||	�| = 1!1 + (
��)
"#/
 
 
(2) 
 
 = |	�||	�| = 1%1 + &
 ��'
(
#/
 
 
 
E a defasagem da tensão na saída é: 
 
) = −*+,-� �1
� = −*+,-�	(
��) (3) ) = −*+,-�
�� = −*+,-�	(
 ��) 
 
Na frequência de corte ωc teremos: 
 
3 
 3
 
� = 1�� 
 
(4) 
� = �� 
 
φc = - 45° 
 
 φc = - 45° 
 
A razão |Vo/Vi| é chamada de função de transferência H(ω), e os 
gráficos de ganho versus frequência e ângulo de fase versus 
frequência que vemos abaixo são chamados de resposta em 
frequência do circuito. 
 
 
 
Filtros passa-alta 
São utilizados para permitir valores significativos de tensão no 
elemento quando o circuito é alimentado por uma tensão senoidal de 
alta frequência, enquanto que tensões senoidais de baixa frequência 
são atenuadas. A frequência de corte ωc é usada para distinguir a 
banda passante (ωc>ω) da banda rejeitada (ωc<ω). Dois circuitos 
elementares são exemplos de um filtro passa-baixa. São eles o circuito 
RC, na tensão sobre o resistor e o circuito RL, na tensão sobre o 
indutor, como podemos ver a seguir: 
 
 
 
 
0 2 4 6 8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω , rad/s
|V
o
/V
i|
ω
c
0.707
0 2 4 6 8
-80
-60
-40
-20
0
ω , rad/s
θ°
ω
c
-45
4 
 4
	� = �(� − ���) 
 
	� = �(� + �
�) 
 
 	� = �(�) 
 
 
	� = �(�
�) 
 
 	�	� = �(� − �
�) =
��(
�� − �) 
 
 
	�	� = �
�(� + �
�) =
 ��(
 �� − �) 
 
 
 = |	�||	�| = 
��!1 + (
��)
"#/
 
 
 
 
 = |	�||	�| =
 ��
%1 + &
 ��'
(
#/
 
 
 
E a defasagem da tensão na saída é: 
 
) = *+,-� 1
�� = *+,-�	( 1
��) ) = *+,-�
�
� = *+,-�	( �
�) 
 
Na frequência de corte ωc teremos: 
 
 
� = 1�� 
 
 
� = �� 
 
φc = 45° 
 
 φc = 45° 
 
E a resposta em frequência para ao ganho e o ângulo de fase é 
mostrado abaixo: 
 
 
5 
 5
Filtro passa-banda 
(a) RLC paralelo na ressonância 
 
Um circuito está em ressonância 
quando a voltagem e a corrente 
estão nos terminais de entrada 
estão em fase (circuito resistivo). 
Nos circuitos com associações em 
paralelo, é mais confortável 
trabalharmos com admintâncias e 
condutâncias em vez de reatâncias e 
resistências. Assim temos que a admitância do circuito é: 
 
. = 1/ = 1� + �(
� − 1
�) 
 
Na ressonância Y(ωo) é puramente resistiva e ωC=1/ωL ,então 
ωo=(1/LC)1/2. A admitância do circuito é mínima, ou a impedância é 
Z(ωo)=R é máxima. Então, a tensão de saída é máxima e dada por 
Vo(ωo)=RIi. 
 
 
 
As frequências ω1 e ω2 para as quais a potência de saída cai pela 
metade são as frequência de corte. Nestas frequências 
|Vo(ωc)|=0.707|Vo(ωo)|.Como podemos ver no gráfico acima, este 
circuito deixa passar todas as frequências dentro de um intervalo 
limitado pelas frequências de corte (ω1<ω<ω2) e por isso é chamado 
de filtro passa faixa Este intervalo de frequências é conhecido como 
largura de banda 
 
β=ω2-ω1 
 
As frequências de corte são obtidas de: 
0 100 200 300 400 500
0
20
40
60
80
100
|V
o
| =
 
I i/
|Y
|, 
V
V0(ω0) = RIi
ω1 ωo ω2 ω , R/s
70.71
6 
 6
 
|	�(
�)| = ��%&1�'
 + &
� − 1
�'
(
#/
 = 1√2��� 
 
Cujas soluções são: 
 
# = − 12�� + 01 12��2
 + 1�� 
e 
 = 12�� + 01 12��2
 + 1�� 
 
De onde obtemos que a largura de banda do circuito é: 
 
 −
 = 1�� = 3 
 
As frequências de corte ser escritas em função de ωo e β como: 
 
# = −32 + 01322
 + 
4
 
e 
 = 32 + 01322
 +
4
 
 
De onde vemos que a frequência de ressonância 
 
� = 5
#
 
 
É a média geométrica das frequências de corte. 
Note que a largura de banda β é inversamente proporcional a R, 
ou seja, menores valores de R resultam em maiores largura de 
bandas. A frequência de ressonância ωo é uma função de L e C e 
portanto, ajustando seus valores obtemos a frequência de ressonância 
desejada, enquanto que ajustando o valor de R a largura de banda e a 
intensidade da resposta são ajustadas. 
A largura da curva de ressonância é quantitativamente 
determinada pelo Fator de Qualidade Q, definido como a razão entre a 
frequência de ressonância e a largura de banda. 
7 
 7
 
6 = 
43 =
1 √��71 ��7 = 
4�� =
�
4� = �0�� 
 
Na frequência de ressonância as correntes reativas são: 
 
�8 = 	��
4� = −� 	�� 67 = −�6�� 
e 
�� = �
4�	� = � 6� 	� = �6�� 
 
 
Como pode ser visto, dependendo do 
fator de qualidade Q, IL e IC podem ser 
muitas vezes superior à corrente fornecida 
pela fonte (amplificação de corrente). 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) RLC série na ressonância. 
 
 
 
A impedância do circuito é: 
 
/ = � + �(
� − 1
� 
 
 
 
Na ressonância Z é puramente resistiva e novamente ωC=1/ωL, 
logo ωo=(1/LC)1/2. A impedância do circuito Z(ωo)=R é mínima e a 
corrente é máxima. Então, a tensão de saída é máxima e dada por 
Vo(ωo)=RI(ωo). 
 
8 
 8
 
 
Novamente temos as frequências de corte ω1 e ω2 determinadascomo antes. Como podemos ver no gráfico acima temos um circuito 
passa-faixa no intervalo de frequências (ω1<ω<ω2). 
 
As frequências de corte são obtidas de: 
 
|	�(
�)| = � 	�%(�)
 + &
� − 1
�'
(
#/
 = 1√2	� 
 
Cujas soluções são: 
 
# = − �2� + 01 �2�2
 + 1�� 
e 
 = �2� + 01 �2�2
 + 1�� 
 
De onde obtemos que a largura de banda do circuito é: 
 
 − 
 = �� = 3 
 
As frequências de corte ser escritas em função de ωo e β como: 
 
0 100 200 300 400 500
0
2
4
6
8
10
|V
o
| =
 
R
|I(
ω
)|,
 
 
V
V0(ω0) = RI(ω0)
ω1 ωo ω2 ω , R/s
7.071
9 
 9
# = −32 + 01322
 + 
4
 
e 
 = 32 + 01322
 +
4
 
 
De onde vemos que a frequência de ressonância 
 
� = 5
#
 
 
É a média geométrica das frequências de corte. 
 
Note que β é proporcional a R, ou seja, maiores valores de R 
correspondem a maiores larguras de banda. A frequência de 
ressonância ωo é uma função de L e C e, portanto, ajustando seus 
valores obtemos a frequência de ressonância desejada, enquanto que 
ajustando o valor de R a largura de banda e a intensidade da resposta 
são ajustadas. 
A largura da curva de ressonância é quantitativamente 
determinada pelo fator de Qualidade Q, definido como a razão entre a 
frequência de ressonância e a largura de banda. 
 
6 = 
43 =
1 √��7� �7 = 
4
�� = 1
4�� = 1�0�� 
 
Na frequência de ressonância as tensões reativas são: 
 	8 = �
4��(
4) = �6	� 
e 
	� = −� 1
4� �(
4) = −�6	� 
 
 
Como pode ser visto, na ressonância, 
dependendo do valor do fator de qualidade Q, 
VL e VC podem ser muitas vezes maior do que 
a tensão de alimentação (amplificação de 
voltagem). 
 
 
 
10 
 10 
Para circuitos com fator de qualidade muito alto, as frequências 
de corte podem ser aproximadas para ω1=ω0-β/2 e ω2=ω0+β/2 
 
Filtro corta-faixa. 
 
 
Um filtro corta-faixa é destinado a 
rejeitar todas as frequências dentro de 
uma determinada banda de frequências 
(ω1<ω<ω2) Em um circuito RLC série, 
vamos considerar a saída sobre a 
combinação em série de L e C 
 
 
A função de transferência é: 
 
	�	� =
�(
� − 1
�)� + �(
� − 1
�) 
 
e a magnitude do ganho é: 
 
|	�||	�| =
� − 1
�
9�
 + (
� − 1
�)
 
 
Em ω=0, o indutor se comporta como um curto circuito e o 
capacitor como um circuito aberto, logo I=0, Vo= Vi e o ganho é 
unitário (g=1). 
Em ω=∞, o indutor comporta-se como um circuito aberto e o o 
capacitor como um curto circuito. Da mesma forma temos I=0, Vo= Vi 
e o ganho é unitário (g=1). 
Na ressonância, Z é puramente resistiva e ωC=1/ωL, logo 
ωo=(1/LC)1/2. Uma vez que o numerador do ganho de voltagem é zero, 
o ganho cai para zero na ressonância. 
 
11 
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Como podemos ver na figura acima temos aqui um circuito que rejeita 
as frequências no intervalo (ω1<ω<ω2) deixando passas as 
frequências fora da banda de rejeição. As frequências de corte, largura 
de banda e fator de qualidade são os mesmos para o circuito RCL série 
passa-faixa: 
 
3 = 
 −
 = �� 
 
# = −32 + 01322
 + 
4
 
e 
 = 32 + 01322
 +
4
 
 
0 100 200 300 400 500
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
|V
o
| =
 
(ω
L-
1/
(ω
C
)|I
|, 
V
ω1 ωo ω2 ω , R/s
.7071