Ondas_Eletromagneticasl

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Ondas Eletromagnéticas
Professor: Dr. Oscar Duarte
UFSCAR
Abril 02 de 2014
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 1 / 26
Operador diferencial vetorial ∇
Gradiente ∇φ(x ,y ,z) = iˆ
∂φ(x ,y ,z)
∂x
+ jˆ
∂φ(x ,y ,z)
∂y
+ kˆ
∂φ(x ,y ,z)
∂z
Divergente ∇ ·~A(x ,y ,z) = ∂Ax(x ,y ,z)
∂x
+
∂A
y
(x ,y ,z)
∂y
+
∂A
z
(x ,y ,z)
∂z
Rotacional ∇×~A(x ,y ,z) =
∣∣∣∣∣∣∣
iˆ jˆ kˆ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
A
x
(x ,y ,z) A
y
(x ,y ,z) A
z
(x ,y ,z)
∣∣∣∣∣∣∣
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 2 / 26
Integração vetorial
Integral de linha
Considere o vetor
~
E . A integral de linha é definida como
integral de linha∫
b
a
~
E ·d~s = lim
N→∞
N
∑
i=1
~
E
i
·∆~s
i
integral de superficie∫
S
~
E · nˆda
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 3 / 26
Teorema de Stokes
Theorem
A integral de linha de um vetor segundo uma curva fechada é igual à
integral da componente normal de seu rotacional sobre qualquer superfície
limitada pela curva. Isto é∫
S
∇×~F · nˆda =
∮
c
~
F ·d~l
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 4 / 26
Teorema do divergente
Theorem
A integral do divergente de um vetor sobre um volume V é igual à integral
de superfície da componente normal do vetor sobre a superfície que limita
V. Isto é ∫
V
∇ ·~FdV =
∮
S
~
F · nˆda
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 5 / 26
Outras relações importantes
∫
b
a
∇φ ·d~l = φ
b
−φ
a
∇×∇φ = 0
∇ ·∇×~F = 0
∮
S
∇×~F · nˆda = 0
∇×
(
∇×~F
)
= ∇
(
∇ ·~F
)
−∇2~F
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 6 / 26
Campos eletromagnéticos no vácuo
∮
S
~
E · nˆds = q
ε
0
q é a carga total contida em S .
∮
S
~
B · nˆds = 0 Não existem monopolos magnéticos.
∮
c
~
B ·d~l = µ
0
I
c
I
c
é a corrente que atravessa o circuito c .
Lei de Ampere
∮
c
~
E ·d~l =− d
dt
∫
S
~
B · nˆds
A variação do fluxo magnético
cria um campo elétrico.
Lei de indução de Faraday
~
F = q
(
~
E +~v ×~B
)
Força de Lorentz
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 7 / 26
Campos eletromagnéticos no vácuo
∮
S
~
E · nˆds = q
ε
0
q é a carga total contida em S .
∮
S
~
B · nˆds = 0 Não existem monopolos magnéticos.
∮
c
~
B ·d~l = µ
0
I
c
I
c
é a corrente que atravessa o circuito c .
Lei de Ampere
∮
c
~
E ·d~l =− d
dt
∫
S
~
B · nˆds
A variação do fluxo magnético
cria um campo elétrico.
Lei de indução de Faraday
~
F = q
(
~
E +~v ×~B
)
Força de Lorentz
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 7 / 26
Campos eletromagnéticos no vácuo
∮
S
~
E · nˆds = q
ε
0
q é a carga total contida em S .
∮
S
~
B · nˆds = 0 Não existem monopolos magnéticos.
∮
c
~
B ·d~l = µ
0
I
c
I
c
é a corrente que atravessa o circuito c .
Lei de Ampere
∮
c
~
E ·d~l =− d
dt
∫
S
~
B · nˆds
A variação do fluxo magnético
cria um campo elétrico.
Lei de indução de Faraday
~
F = q
(
~
E +~v ×~B
)
Força de Lorentz
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 7 / 26
Campos eletromagnéticos no vácuo
∮
S
~
E · nˆds = q
ε
0
q é a carga total contida em S .
∮
S
~
B · nˆds = 0 Não existem monopolos magnéticos.
∮
c
~
B ·d~l = µ
0
I
c
I
c
é a corrente que atravessa o circuito c .
Lei de Ampere
∮
c
~
E ·d~l =− d
dt
∫
S
~
B · nˆds
A variação do fluxo magnético
cria um campo elétrico.
Lei de indução de Faraday
~
F = q
(
~
E +~v ×~B
)
Força de Lorentz
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 7 / 26
Campos eletromagnéticos no vácuo
∮
S
~
E · nˆds = q
ε
0
q é a carga total contida em S .
∮
S
~
B · nˆds = 0 Não existem monopolos magnéticos.
∮
c
~
B ·d~l = µ
0
I
c
I
c
é a corrente que atravessa o circuito c .
Lei de Ampere
∮
c
~
E ·d~l =− d
dt
∫
S
~
B · nˆds
A variação do fluxo magnético
cria um campo elétrico.
Lei de indução de Faraday
~
F = q
(
~
E +~v ×~B
)
Força de Lorentz
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 7 / 26
Aplicando os teorema integrais
∮
S
~
E · nˆds = q
ε
0
→ ∇ ·~E = ρ
ε
0∮
S
~
B · nˆds = 0 → ∇ ·~B = 0∮
c
~
B ·d~l = µ
0
I
c
→ ∇×~B = µ
0
~
J∮
c
~
E ·d~l =− d
dt
∫
S
~
B · nˆds ∇×~E =− ∂
∂ t
~
B
Porém, este sistema de equações não é completo e pode levar a algumas
contradições
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 8 / 26
Aplicando os teorema integrais
∮
S
~
E · nˆds = q
ε
0
→ ∇ ·~E = ρ
ε
0∮
S
~
B · nˆds = 0 → ∇ ·~B = 0∮
c
~
B ·d~l = µ
0
I
c
→ ∇×~B = µ
0
~
J∮
c
~
E ·d~l =− d
dt
∫
S
~
B · nˆds ∇×~E =− ∂
∂ t
~
B
Porém, este sistema de equações não é completo e pode levar a algumas
contradições
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 8 / 26
Além disso temos como equações fundamentais
∇ ·~J =−∂ρ
∂ t
que pode também ser escrita em forma integral∫
V
∇ ·~JdV =− d
dt
∫
V
ρdV =−dq
dt
e pelo teorema da divergência∮
S
~
J · nˆda =−dq
dt
o fluxo de carga através da superfície fechada S faz com que a quantidade
total de carga dentro de S diminua
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 9 / 26
Além disso temos como equações fundamentais
∇ ·~J =−∂ρ
∂ t
que pode também ser escrita em forma integral∫
V
∇ ·~JdV =− d
dt
∫
V
ρdV =−dq
dt
e pelo teorema da divergência∮
S
~
J · nˆda =−dq
dt
o fluxo de carga através da superfície fechada S faz com que a quantidade
total de carga dentro de S diminua
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 9 / 26
Além disso temos como equações fundamentais
∇ ·~J =−∂ρ
∂ t
que pode também ser escrita em forma integral∫
V
∇ ·~JdV =− d
dt
∫
V
ρdV =−dq
dt
e pelo teorema da divergência∮
S
~
J · nˆda =−dq
dt
o fluxo de carga através da superfície fechada S faz com que a quantidade
total de carga dentro de S diminua
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 9 / 26
Correção à Lei de Ampere
Usando o contorno c e a superfície S
1∮
c
~
B ·d~l =
∫
S
1
~
J · nˆ
1
da= µ
0
I
c
Usando o contorno c e a superfície S
2∮
c
~
B ·d~l =
∫
S
2
~
J · nˆ
2
da= 0
o que implica que tem alguma coisa errada com
∇×~B = µ
0
~
J
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 10 / 26
Correção à Lei de Ampere
Usando o contorno c e a superfície S
1∮
c
~
B ·d~l =
∫
S
1
~
J · nˆ
1
da= µ
0
I
c
Usando o contorno c e a superfície S
2∮
c
~
B ·d~l =
∫
S
2
~
J · nˆ
2
da= 0
o que implica que tem alguma coisa errada com
∇×~B = µ
0
~
J
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 10 / 26
Temos a seguinte situação∫
S
2
~
J · nˆ
2
da−
∫
S
1
~
J · nˆ
1
da 6= 0
s
2
e s
1
formam uma superfície fechada. nˆ
2
está dirigida para fora e nˆ
1
está
dirigida para dentro de S = S
1
+S
2
. Então, isto equivale a∮
S
~
J · nˆda 6= 0
Interpretação física: Acarga não sai da superfície S , está sendo acumulada
na placa do capacitor. ∮
~
J · nˆda =−
∫
V
∂ρ
∂ t
dV
no interior de V a densidade de carga ρ na placa do capacitor varia com o
tempo
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 11 / 26
Temos a seguinte situação∫
S
2
~
J · nˆ
2
da−
∫
S
1
~
J · nˆ
1
da 6= 0
s
2
e s
1
formam uma superfície fechada. nˆ
2
está dirigida para fora e nˆ
1
está
dirigida para dentro de S = S
1
+S
2
. Então, isto equivale a∮
S
~
J · nˆda 6= 0
Interpretação física: A carga não sai da superfície S , está sendo acumulada
na placa do capacitor. ∮
~
J · nˆda =−
∫
V
∂ρ
∂ t
dV
no interior de V a densidade de carga ρ na placa do capacitor varia com o
tempo
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 11 / 26
Temos a seguinte situação∫
S
2
~
J · nˆ
2
da−
∫
S
1
~
J · nˆ
1
da 6= 0
s
2
e s
1
formam uma superfície fechada. nˆ
2
está dirigida para fora e nˆ
1
está
dirigida para dentro de S = S
1
+S
2
. Então, isto equivale a∮
S
~
J · nˆda 6= 0
Interpretação física: A carga não sai da superfície S , está sendo acumulada
na placa do capacitor. ∮
~
J · nˆda =−
∫
V
∂ρ
∂ t
dV
no interior de V a densidade de carga ρ na placa do capacitor varia com o
tempo
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 11 / 26
Por outra parte, da equação ∇ ·~E = ρ/ε
0
. Temos
∂ρ
∂ t
= ∇ ·
(
ε
0
∂~E
∂ t
)
o que nos permite escrever a equação de continuidade na forma
∇ ·
(
~
J+ ε
0
∂~E
∂ t
)
= 0
comparando esta equação com a Lei de Ampere, vemos que a expressão correta
deve ser
∇×~B = µ
0
(
~
J+ ε
0
∂~E
∂ t
)
= µ
0
~
J+ ε
0
µ
0
∂~E
∂ t
Considere uma região em que
~
J = 0,
∇×~B = ε
0
µ
0
∂~E
∂ t
um campo elétrico (no vácuo) variável no tempo gera um campo magnético.
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 12 / 26
Por outra parte, da equação ∇ ·~E = ρ/ε
0
. Temos
∂ρ
∂ t
= ∇ ·
(
ε
0
∂~E
∂ t
)
o que nos permite escrever a equação de continuidade na forma
∇ ·
(
~
J+ ε
0
∂~E
∂ t
)
= 0
comparando esta equação com a Lei de Ampere, vemos que a expressão correta
deve ser
∇×~B = µ
0
(
~
J+ ε
0
∂~E
∂ t
)
= µ
0
~
J+ ε
0
µ
0
∂~E
∂ t
Considere uma região em que
~
J = 0,
∇×~B = ε
0
µ
0
∂~E
∂ t
um campo elétrico (no vácuo) variável no tempo gera um campo magnético.
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 12 / 26
Por outra parte, da equação ∇ ·~E = ρ/ε
0
. Temos
∂ρ
∂ t
= ∇ ·
(
ε
0
∂~E
∂ t
)
o que nos permite escrever a equação de continuidade na forma
∇ ·
(
~
J+ ε
0
∂~E
∂ t
)
= 0
comparando esta equação com a Lei de Ampere, vemos que a expressão correta
deve ser
∇×~B = µ
0
(
~
J+ ε
0
∂~E
∂ t
)
= µ
0
~
J+ ε
0
µ
0
∂~E
∂ t
Considere uma região em que
~
J = 0,
∇×~B = ε
0
µ
0
∂~E
∂ t
um campo elétrico (no vácuo) variável no tempo gera um campo magnético.
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 12 / 26
Equações de Maxwell no vácuo
∇ ·~E = ρ
ε
0
∇ ·~B = 0
∇×~B = µ
0
~
J+ ε
0
µ
0
∂~E
∂ t
∇×~E =−∂
~
B
∂ t
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 13 / 26
Equação de onda eletromagnética
Consideremos uma região livre de cargas e de correntes. Calculamos o
rotacional de ∇×~E =− ∂~B∂ t
∇×
(
∇×~E
)
=−∇× ∂
~
B
∂ t
=− ∂
∂ t
(
∇×~B
)
=−ε
0
µ
0
∂ 2~E
∂ t2
usamos a identidade vetorial
∇×
(
∇×~E
)
= ∇
(
∇ ·~E
)
−∇2~E
com ρ = 0, ∇ ·~E = 0, temos
∇2~E = ε
0
µ
0
∂ 2~E
∂ t2
ou
∇2~E − 1
c
2
∂ 2~E
∂ t2
= 0 ε
0
µ
0
=
1
c
2
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 14 / 26
Equação de onda eletromagnética
Consideremos uma região livre de cargas e de correntes. Calculamos o
rotacional de ∇×~E =− ∂~B∂ t
∇×
(
∇×~E
)
=−∇× ∂
~
B
∂ t
=− ∂
∂ t
(
∇×~B
)
=−ε
0
µ
0
∂ 2~E
∂ t2
usamos a identidade vetorial
∇×
(
∇×~E
)
= ∇
(
∇ ·~E
)
−∇2~E
com ρ = 0, ∇ ·~E = 0, temos
∇2~E = ε
0
µ
0
∂ 2~E
∂ t2
ou
∇2~E − 1
c
2
∂ 2~E
∂ t2
= 0 ε
0
µ
0
=
1
c
2
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 14 / 26
Equação de onda eletromagnética
Consideremos uma região livre de cargas e de correntes. Calculamos o
rotacional de ∇×~E =− ∂~B∂ t
∇×
(
∇×~E
)
=−∇× ∂
~
B
∂ t
=− ∂
∂ t
(
∇×~B
)
=−ε
0
µ
0
∂ 2~E
∂ t2
usamos a identidade vetorial
∇×
(
∇×~E
)
= ∇
(
∇ ·~E
)
−∇2~E
com ρ = 0, ∇ ·~E = 0, temos
∇2~E = ε
0
µ
0
∂ 2~E
∂ t2
ou
∇2~E − 1
c
2
∂ 2~E
∂ t2
= 0 ε
0
µ
0
=
1
c
2
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 14 / 26
Da mesma forma
∇×
(
∇×~B
)
= ε
0
µ
0
∂
∂ t
(
∇×~E
)
=−ε
0
µ
0
∂ 2~B
∂ t2
novamente aplicando a identidade vetorial e o fato de ∇ ·~B = 0
∇2~B− 1
c
2
∂ 2~B
∂ t2
= 0 ε
0
µ
0
=
1
c
2
as constantes tem o valor
ε
0
= 8.854187817×10−12C 2/(N ·m2) permissividade elétrica
µ
0
= 4pi×10−7N/A2 permeabilidade magnética
e
c =
1√ε
0
µ
0
≈ 3×108m/s
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 15 / 26
Da mesma forma
∇×
(
∇×~B
)
= ε
0
µ
0
∂
∂ t
(
∇×~E
)
=−ε
0
µ
0
∂ 2~B
∂ t2
novamente aplicando a identidade vetorial e o fato de ∇ ·~B = 0
∇2~B− 1
c
2
∂ 2~B
∂ t2
= 0 ε
0
µ
0
=
1
c
2
as constantes tem o valor
ε
0
= 8.854187817×10−12C 2/(N ·m2) permissividade elétrica
µ
0
= 4pi×10−7N/A2 permeabilidade magnética
e
c =
1√ε
0
µ
0
≈ 3×108m/s
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 15 / 26
Da mesma forma
∇×
(
∇×~B
)
= ε
0
µ
0
∂
∂ t
(
∇×~E
)
=−ε
0
µ
0
∂ 2~B
∂ t2
novamente aplicando a identidade vetorial e o fato de ∇ ·~B = 0
∇2~B− 1
c
2
∂ 2~B
∂ t2
= 0 ε
0
µ
0
=
1
c
2
as constantes tem o valor
ε
0
= 8.854187817×10−12C 2/(N ·m2) permissividade elétrica
µ
0
= 4pi×10−7N/A2 permeabilidade magnética
e
c =
1√ε
0
µ
0
≈ 3×108m/s
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 15 / 26
Soluções simples
Consideremos
~
E = ~E (z , t) ~B = ~B(z , t)
as equações de Maxwell ficam
∇ ·~E = ∂Ez
∂z
= 0 ∇×~E =−iˆ ∂Ey
∂z
+ jˆ
∂E
x
∂z
=−∂
~
B
∂ t
∇ ·~B = ∂Bz
∂z
= 0 ∇×~B =−iˆ ∂By
∂z
+ jˆ
∂B
x
∂z
= ε
0
µ
0
∂~E
∂ t
temos
∂E
z
∂z
=
∂E
z
∂ t
= 0
∂B
z
∂z
=
∂B
z
∂ t
= 0
podemos assumir E
z
= B
z
= 0
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As outras componentes satisfazem
∂B
y
∂z
=−ε
0
µ
0
∂E
x
∂ t
∂E
x
∂z
=−∂By
∂ t
∂B
x
∂z
= ε
0
µ
0
∂E
y
∂ t
∂E
y
∂z
=
∂B
x
∂ t
Derivando em z e t a primeira linha
∂ 2B
y
∂z2
=−ε
0
µ
0
∂ 2E
x
∂z∂ t
∂ 2E
x
∂ t∂z
=−∂
2
B
y
∂ t2
→ ∂
2
B
y
∂z2
= ε
0
µ
0
∂ 2B
y
∂ t2
∂ 2B
y
∂ t∂z
=−ε
0
µ
0
∂ 2E
x
∂ t2
∂ 2E
x
∂z2
=−∂
2
B
y
∂z∂ t
→ ∂
2
E
x
∂z2
= ε
0
µ
0
∂ 2E
x
∂ t2
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR)Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 17 / 26
As outras componentes satisfazem
∂B
y
∂z
=−ε
0
µ
0
∂E
x
∂ t
∂E
x
∂z
=−∂By
∂ t
∂B
x
∂z
= ε
0
µ
0
∂E
y
∂ t
∂E
y
∂z
=
∂B
x
∂ t
Derivando em z e t a primeira linha
∂ 2B
y
∂z2
=−ε
0
µ
0
∂ 2E
x
∂z∂ t
∂ 2E
x
∂ t∂z
=−∂
2
B
y
∂ t2
→ ∂
2
B
y
∂z2
= ε
0
µ
0
∂ 2B
y
∂ t2
∂ 2B
y
∂ t∂z
=−ε
0
µ
0
∂ 2E
x
∂ t2
∂ 2E
x
∂z2
=−∂
2
B
y
∂z∂ t
→ ∂
2
E
x
∂z2
= ε
0
µ
0
∂ 2E
x
∂ t2
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 17 / 26
Consideremos uma solução que se propaga num único sentido
E
x
(z , t) = E
x
(z− ct) c = 1√µ
0
ε
0
sbstituindo nas equações
∂B
y
∂z
=−ε
0
µ
0
∂E
x
∂ t
= ε
0
µ
0
cE
′
x
(z− ct) = E
′
x
(z− ct)
c
∂E
x
∂z
= E ′
x
(z− ct) =−∂By
∂ t
como B
y
(z , t) = B
y
(z− ct)
B
′
y
(z− ct) = E
′
x
(z− ct)
c
→ B
y
(z− ct) = 1
c
E
x
(z− ct)
temos portanto,
~
E = E
x
(z− ct)xˆ ~B = 1
c
E
x
(z− ct)yˆ = 1
c
zˆ×~E
os campos são transversais à direção de propagação.
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 18 / 26
Ondas planas monocromáticas
A forma mais simples é
~
E = Acos(kz−ωt+δ ) xˆ ~B = A
c
cos(kz−ωt+δ ) yˆ
caraterísticas da onda
T =
2pi
ω
f =
1
T
λ =
2pi
k
ϕ = kz−ωt+δ
As frentes de onda são planos, temos uma onda monocromática plana
O campo elétrico permanece no mesmo plano→ onda polarizada
Para uma onda plana monocromática geral se propagando na direção uˆ
temos
~
E = Re
[
Aεˆ exp
{
i
(
~
k ·~r −ωt+δ
)}]
~
k = kuˆ εˆ · uˆ = 0
~
B =
1
c
uˆ×~E
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 19 / 26
Vetor de Poynting
Densidade de energia eletromagnética no vácuo
U =
1
2
ε
0
E
2+
1
2
B
2
µ
0
= U
E
+U
M
a taxa de variação de U
∂U
∂ t
= ε
0
~
E · ∂
~
E
∂ t
+µ
0
~
B · ∂
~
B
∂ t
das equações de Maxwell temos
∇×~B = µ
0
~
J+ ε
0
µ
0
∂~E
∂ t
→ ε
0
~
E · ∂
~
E
∂ t
=
1
µ
0
~
E ·∇×~B−~J ·~E
e
∇×~E =−∂
~
B
∂ t
→ 1
µ
0
~
B · ∂
~
B
∂ t
=− 1
µ
0
~
B ·∇×~E
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 20 / 26
A taxa de variação de U
−∂U
∂ t
=~J ·~E + 1
µ
0
(
~
B ·
(
∇×~E
)
−~E ·
(
∇×~B
))
usamos a identidade ∇ ·
(
~
E ×~B
)
= ~B ·
(
∇×~E
)
−~E ·
(
∇×~B
)
e podemos
escrever
−∂U
∂ t
=~J ·~E +∇ ·~S ~S = 1
µ
0
(
~
E ×~B
)
~
S é chamado vetor de Poynting.
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 21 / 26
Interpretação Física
−∂U
∂ t
=~J ·~E +∇ ·~S ~S = 1
µ
0
(
~
E ×~B
)
No vácuo,
~
J representa o movimento de cargas livres
~
J = ρ~v ~J ·~E = ρ~v ·~E
Por outro lado a densidade de força
~
f = ρ
(
~
E +~v ×~B
)
= ρ~E +~J×~B
e assim
ρ~E ·~v =~f ·~v Trabalho por unidade
de tempo e de volume
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 22 / 26
−∂U
∂ t
=~J ·~E +∇ ·~S ~S = 1
µ
0
(
~
E ×~B
)
Integrando no volume V limitado por uma superfície σ
− ∂
∂ t
∫
V
UdV =
∫
V
~
f ·~vdV +
∫
V
∇ ·~SdV
Trabalho total por unidade
de tempo realizado pelo
campo sobre as cargas
contidas em V∫
V
~
f ·~vdV
Fluxo de energia
eletromagnética para fora de
V por unidade de tempo∫
V
∇ ·~SdV =
∮
σ
~
S · nˆdσ
~
S é a densidade de corrente de energia eletromagnética
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 23 / 26
−∂U
∂ t
=~J ·~E +∇ ·~S ~S = 1
µ
0
(
~
E ×~B
)
Integrando no volume V limitado por uma superfície σ
− ∂
∂ t
∫
V
UdV =
∫
V
~
f ·~vdV +
∫
V
∇ ·~SdV
Trabalho total por unidade
de tempo realizado pelo
campo sobre as cargas
contidas em V∫
V
~
f ·~vdV
Fluxo de energia
eletromagnética para fora de
V por unidade de tempo∫
V
∇ ·~SdV =
∮
σ
~
S · nˆdσ
~
S é a densidade de corrente de energia eletromagnética
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 23 / 26
−∂U
∂ t
=~J ·~E +∇ ·~S ~S = 1
µ
0
(
~
E ×~B
)
Integrando no volume V limitado por uma superfície σ
− ∂
∂ t
∫
V
UdV =
∫
V
~
f ·~vdV +
∫
V
∇ ·~SdV
Trabalho total por unidade
de tempo realizado pelo
campo sobre as cargas
contidas em V∫
V
~
f ·~vdV
Fluxo de energia
eletromagnética para fora de
V por unidade de tempo∫
V
∇ ·~SdV =
∮
σ
~
S · nˆdσ
~
S é a densidade de corrente de energia eletromagnética
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 23 / 26
−∂U
∂ t
=~J ·~E +∇ ·~S ~S = 1
µ
0
(
~
E ×~B
)
Integrando no volume V limitado por uma superfície σ
− ∂
∂ t
∫
V
UdV =
∫
V
~
f ·~vdV +
∫
V
∇ ·~SdV
Trabalho total por unidade
de tempo realizado pelo
campo sobre as cargas
contidas em V∫
V
~
f ·~vdV
Fluxo de energia
eletromagnética para fora de
V por unidade de tempo∫
V
∇ ·~SdV =
∮
σ
~
S · nˆdσ
~
S é a densidade de corrente de energia eletromagnética
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 23 / 26
Fluxo de energia em ondas planas
Para uma onda eletromagnética plana
~
B = 1
c
uˆ×~E ,
B
2 =
1
c
2
E
2 = ε
0
µ
0
E
2 → 1
2
ε
0
E
2 =
B
2
2µ
0
As densidades de energia elétrica e magnética são iguais.
Vetor de Poynting
~
S = ~E ×
~
B
µ
0
=
√
ε
0
µ
0
~
E ×
(
uˆ×~E
)
=
√
ε
0
µ
0
(
E
2
uˆ− (~E · uˆ)~E
)
=
1√ε
0
µ
0
ε
0
E
2
uˆ
Vetor de Poynting
~
S = cUuˆ
Velocidade de propagação da
energia
~
S
U
= cuˆ
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 24 / 26
Fluxo de energia em ondas planas
Para uma onda eletromagnética plana
~
B = 1
c
uˆ×~E ,
B
2 =
1
c
2
E
2 = ε
0
µ
0
E
2 → 1
2
ε
0
E
2 =
B
2
2µ
0
As densidades de energia elétrica e magnética são iguais.
Vetor de Poynting
~
S = ~E ×
~
B
µ
0
=
√
ε
0
µ
0
~
E ×
(
uˆ×~E
)
=
√
ε
0
µ
0
(
E
2
uˆ− (~E · uˆ)~E
)
=
1√ε
0
µ
0
ε
0
E
2
uˆ
Vetor de Poynting
~
S = cUuˆ
Velocidade de propagação da
energia
~
S
U
= cuˆ
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 24 / 26
Fluxo de energia em ondas planas
Para uma onda eletromagnética plana
~
B = 1
c
uˆ×~E ,
B
2 =
1
c
2
E
2 = ε
0
µ
0
E
2 → 1
2
ε
0
E
2 =
B
2
2µ
0
As densidades de energia elétrica e magnética são iguais.
Vetor de Poynting
~
S = ~E ×
~
B
µ
0
=
√
ε
0
µ
0
~
E ×
(
uˆ×~E
)
=
√
ε
0
µ
0
(
E
2
uˆ− (~E · uˆ)~E
)
=
1√ε
0
µ
0
ε
0
E
2
uˆ
Vetor de Poynting
~
S = cUuˆ
Velocidade de propagação da
energia
~
S
U
= cuˆ
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 24 / 26
Fluxo de energia em ondas planas
Para uma onda eletromagnética plana
~
B = 1
c
uˆ×~E ,
B
2 =
1
c
2
E
2 = ε
0
µ
0
E
2 → 1
2
ε
0
E
2 =
B
2
2µ
0
As densidades de energia elétrica e magnética são iguais.
Vetor de Poynting
~
S = ~E ×
~
B
µ
0
=
√
ε
0
µ
0~
E ×
(
uˆ×~E
)
=
√
ε
0
µ
0
(
E
2
uˆ− (~E · uˆ)~E
)
=
1√ε
0
µ
0
ε
0
E
2
uˆ
Vetor de Poynting
~
S = cUuˆ
Velocidade de propagação da
energia
~
S
U
= cuˆ
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 24 / 26
Onda plana monocromática
~
E = Aεˆ cos
(
~
k ·~r −ωt+δ
)
, ~S = cε
0
A
2
cos
2
(
~
k ·~r −ωt+δ
)
uˆ
a magnitude do vetor de poynting oscila como a onda.
A média temporal de
~
S tomada sobre um período é〈
~
S
〉
=
1
2
cε
0
A
2
uˆ
A intensidade I da onda eletromagnética
I =
〈
~
S
〉
· uˆ = 1
2
cε
0
A
2
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 25 / 26
Onda plana monocromática
~
E = Aεˆ cos
(
~
k ·~r −ωt+δ
)
, ~S = cε
0
A
2
cos
2
(
~
k ·~r −ωt+δ
)
uˆ
a magnitude do vetor de poynting oscila como a onda.
A média temporal de
~
S tomada sobre um período é〈
~
S
〉
=
1
2
cε
0
A
2
uˆ
A intensidade I da onda eletromagnética
I =
〈
~
S
〉
· uˆ = 1
2
cε
0
A
2
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 25 / 26
Equação de onda inomogênea
Professor: Dr. Oscar Duarte (UFSCAR) Ondas Eletromagnéticas Abril 02 de 2014 26 / 26