Elementos de Máquinas UNIDADE 5 Molas Helicoidais [24 04]

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Unidade 5 
Molas Helicoidais 
Elementos 
de Máquinas 
Prof. Me. André L. Bosso 
Elementos de Máquinas 
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Definição 
 Molas são elementos de máquinas fundamentais que 
formam a base de muitos sistemas mecânicos 
 
 Uma mola pode ser definida como sendo um 
elemento elástico que exerce uma força resistente 
quando sua forma é modificada. 
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Definição 
 As molas são usadas, principalmente, nos casos de: 
 
 Armazenamento de energia; 
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Definição 
 As molas são usadas, principalmente, nos casos de: 
 
 Preservação de junções 
ou contatos; 
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Definição 
 As molas são usadas, principalmente, nos casos de: 
 
 Amortecimento de choques; 
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Definição 
 As molas são usadas, principalmente, nos casos de: 
 
 Distribuição de cargas; 
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Molas Helicoidais 
 A mola do tipo helicoidal é a mais usada em sistemas 
mecânicos 
 
 Em geral, ela é feita de uma barra de aço enrolada 
em forma de hélice cilíndrica ou cônica 
 
 A barra de aço pode ter seção retangular, circular, 
quadrada, etc. 
 
 Classificação: 
 de compressão 
 de tração 
 de torção 
 
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Mola Helicoidal de Compressão 
 A mola helicoidal de compressão é formada por 
espirais 
 
 Quando esta mola é comprimida por alguma força, 
o espaço entre as espiras diminui, tornando menor o 
comprimento da mola. 
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Mola Helicoidal de Tração 
 As molas helicoidais de tração são similares as molas 
helicoidais de compressão no entanto elas precisam 
de extremidades especiais para que a carga possa 
ser aplicada. 
 
 Estas extremidades são chamadas de ganchos que 
podem ter diversos formatos. 
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Mola Helicoidal de Torção 
 As molas helicoidais de torção possuem 
extremidades em forma de braços de alavanca 
onde é aplicada a força. 
 
 As molas helicoidais de torção quando submetidas 
ao esforço tendem a enrolar ainda mais suas espiras. 
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Tensões em Molas Helicoidais 
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 A tensão máxima de cisalhamento 𝝉𝒎á𝒙 no fio da 
mola pode ser computada pela superposição dos 
efeitos de cisalhamento direto e de torção, 
resultando em: 
 
 
 
 
 
 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜏𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑜 + 𝜏𝑡𝑜𝑟çã𝑜 
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 Sendo: 
 
 Tensão de cisalhamento direto 𝝉𝒅𝒊𝒓𝒆𝒕𝒐 
 
 
 
 
 Tensão de cisalhamento por torção 𝝉𝒅𝒊𝒓𝒆𝒕𝒐 
 
𝜏𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑜 =
𝐹
𝐴
 
𝜏𝑡𝑜𝑟çã𝑜 =
𝑇 ∙ 𝑟
𝐽𝑝
 
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 onde: 
 
𝑭 → força sobre a mola [𝑵] 
 
𝑨 → área do arame [𝒎𝒎𝟐] 
 
𝐴 =
𝜋 ∙ 𝑑2
4
 
 
𝑻 → torque [𝑵.𝒎𝒎] 
 
𝑇 =
𝐹 ∙ 𝐷
2
 
 
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 onde: 
 
𝒓 → raio do arame [𝒎𝒎] 
 
𝑟 =
𝑑
2
 
 
𝑱𝒑 → momento de inércia polar[𝒎𝒎
𝟒] 
 
𝐽𝑝 =
𝜋 ∙ 𝑑4
32
 
 
 
 
 
 
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 Recuperando a equação original... 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
4 ∙ 𝐹
𝜋 ∙ 𝑑2
+
8 ∙ 𝐹 ∙ 𝐷
𝜋 ∙ 𝑑3
 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝐹
𝐴
+
𝑇 ∙ 𝑟
𝐽𝑝
 
 E, substituindo os valores, temos: 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
4 ∙ 𝐹 ∙ 𝑑 + 8 ∙ 𝐹 ∙ 𝐷
𝜋 ∙ 𝑑3
 
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜏𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑜 + 𝜏𝑡𝑜𝑟çã𝑜 
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 continuando... 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
4 ∙ 𝐹 ∙ 𝑑 + 8 ∙ 𝐹 ∙ 𝐷
𝜋 ∙ 𝑑3
 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
8 ∙ 𝐹
𝜋 ∙ 𝑑3
∙
1
2
∙ 𝑑 + 𝐷 
 Agora definimos o índice de curvatura da mola (𝑪) 
como: 
𝐶 =
𝐷
𝑑
 5.1 
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 Continuando o desenvolvimento e substituindo os 
valores, obtemos: 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
8 ∙ 𝐹
𝜋 ∙ 𝑑3
∙
1
2
∙ 𝑑 + 𝐷 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
8 ∙ 𝐹
𝜋 ∙ 𝑑3
∙
1
2
∙
𝐷
𝐶
+ 𝐷 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
8 ∙ 𝐹 ∙ 𝐷
𝜋 ∙ 𝑑3
∙
1
2𝐶
+ 1 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
8 ∙ 𝐹 ∙ 𝐷
𝜋 ∙ 𝑑3
∙
2𝐶 + 1
2𝐶
 
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 Reescrevendo de uma forma mais “simpática”, 
temos: 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
8 ∙ 𝐹 ∙ 𝐷
𝜋 ∙ 𝑑3
∙
2𝐶 + 1
2𝐶
 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
8 ∙ 𝐹 ∙ 𝐷
𝜋 ∙ 𝑑3
∙ 𝐾𝑠 
𝐾𝑠 =
2𝐶 + 1
2𝐶
 
 onde o termo 𝑲𝒔 corresponde ao fator de correção 
de cisalhamento e vale: 
5.2 
5.3 
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 Notas 
 
 Para a maioria das molas, 𝐶 variará de cerca de 
4 a 12 
 
 A equação envolvendo 𝑲𝒔 é bastante geral e 
aplica-se a ambas as cargas estática e dinâmica 
 
 O uso de fio quadrado ou retangular não é 
recomendado para molas 
 
 
 
 
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Efeito de Curvatura 
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 A equação (5.2) baseia-se no fio ser reto 
 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
8 ∙ 𝐹 ∙ 𝐷
𝜋 ∙ 𝑑3
∙ 𝐾𝑠 
 
 Contudo, a curvatura do fio aumenta a tensão na 
superfície interna da hélice da mola, mas a diminui 
ligeiramente no lado externo 
 
 Essa tensão de curvatura é importante sobretudo em 
fadiga, pois as cargas são mais baixas e não há 
oportunidade para o escoamento localizado 
 
 
Efeito de Curvatura 
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 Para carregamento estático, normalmente essas 
tensões podem ser ignoradas por causa do 
enrijecimento de deformação com a primeira 
aplicação de carga 
 
 Para corrigir essa tensão causada pelo cisalhamento 
direto e pela curvatura do fio, dois fatores de 
correção são apresentadas, sendo elas: 
 
 
𝐾𝑊 e 𝐾𝐵 
 
 
Efeito de Curvatura 
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 O primeiro fator foi proposto por Wahl, sendo: 
 
 
 O segundo fator foi proposto por Bergsträsser, sendo: 
 
 
𝐾𝑤 =
4𝐶 − 1
4𝐶 − 4
+
0,615
𝐶
 
𝐾𝐵 =
4𝐶 + 2
4𝐶 − 3
 
 Visto que os resultados dessas duas equações 
diferem por menos de 𝟏% , a equação (𝐾𝐵) é 
preferível pois prevê a maior tensão de cisalhamento 
 
5.4 
5.5 
Efeito de Curvatura 
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 Portanto, a equação da tensão de cisalhamento 
máxima para molas helicoidais torna-se: 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
8 ∙ 𝐹 ∙ 𝐷
𝜋 ∙ 𝑑3
∙ 𝐾𝑠 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
8 ∙ 𝐹 ∙ 𝐷
𝜋 ∙ 𝑑3
∙ 𝐾𝐵 
5.2 
5.6 
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Deflexão 
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 Deformação de molas helicoidais 𝒚 
A energia total de deformação de uma mola 
helicoidal vale: 
 
𝑈 =
𝑇2 ∙ 𝐿
2 ∙ 𝐺 ∙ 𝐽𝑝
+
𝐹2 ∙ 𝐿
2 ∙ 𝐺 ∙ 𝐴
 
 
 onde: 
𝑮 → momento de inércia torcional [𝑮𝑷𝒂] 
 
1 𝐺𝑃𝑎 = 103 𝑁 𝑚𝑚2 
 
 Tabela 10.5 (Shigley) 
 
 
 
 
 
 
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DeflexãoElementos de Máquinas 
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 onde: 
 
𝑭 → força sobre a mola [𝑵] 
 
𝑨 → área do arame [𝒎𝒎𝟐] 
 
𝐴 =
𝜋 ∙ 𝑑2
4
 
 
𝑻 → torque [𝑵.𝒎𝒎] 
 
𝑇 =
𝐹 ∙ 𝐷
2
 
 
𝑈 =
𝑇2 ∙ 𝐿
2 ∙ 𝐺 ∙ 𝐽𝑝
+
𝐹2 ∙ 𝐿
2 ∙ 𝐺 ∙ 𝐴
 
Deflexão 
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 onde: 
 
𝑳 → comprimento linear da mola [𝒎𝒎] 
 
𝐿 = 𝜋 ∙ 𝐷 ∙ 𝑁𝑎 
 
𝑵𝒂 → números de espiras ativas [ ] 
 
𝑱𝒑 → momento de inércia polar [𝒎𝒎
𝟒] 
 
𝐽𝑝 =
𝜋 ∙ 𝑑4
32
 
 
 
 
 
 
𝑈 =
𝑇2 ∙ 𝐿
2 ∙ 𝐺 ∙ 𝐽𝑝
+
𝐹2 ∙ 𝐿
2 ∙ 𝐺 ∙ 𝐴
 
Deflexão 
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 Recuperando a equação original da energia total de 
deformação... 
𝑈 =
4𝐹2 ∙ 𝐷3 ∙ 𝑁𝑎
𝐺 ∙ 𝑑4
+
2𝐹2 ∙ 𝐷 ∙ 𝑁𝑎
𝐺 ∙ 𝑑2
 
𝑈 =
𝑇2 ∙ 𝐿
2 ∙ 𝐺 ∙ 𝐽𝑝
+
𝐹2 ∙ 𝐿
2 ∙ 𝐺 ∙ 𝐴
 
 E, substituindo os valores, temos: 
𝑁 ∙ 𝑚𝑚 
5.7 
Deflexão 
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 Deformação de molas helicoidais 𝒚 
Pelo teorema de Castigliano: 
 
𝑦 =
𝜕𝑈
𝜕𝐹
 
 
Portanto, derivando (5.6) em 𝐹, a deformação de 
molas helicoidais, vale: 
 
𝑦 =
8 ∙ 𝐹 ∙ 𝐷3 ∙ 𝑁𝑎
𝐺 ∙ 𝑑4
 
 
𝑚𝑚 
 
 
 
 
5.8 
Deflexão 
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 Constante da mola 𝒌 
A constante da mola ou rigidez, que traduz a 
quantidade de deformação de uma mola (𝒚) 
quando aplicada uma carga (𝑭), é dada por: 
 
𝑘 =
𝐹
𝑦
 
 
ou seja: 
 
𝑘 =
𝐺 ∙ 𝑑4
8 ∙ 𝐷3 ∙ 𝑁𝑎
 
 
𝑁 𝑚𝑚 
 
 
 
 
5.9 
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Molas de Compressão 
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 Notação 
 
𝒅 → diâmetro do arame 
𝑫 → diâmetro médio da 
 espira 
𝒑 → passo da mola 
𝑳𝒐 → comprimento livre da 
 mola 
𝑵𝒂 → número de espiras 
𝑭 → força sobre a mola 
𝑭 
𝑭 
𝑵𝒂 
𝑳
𝒐
 
Molas de Compressão 
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 Os quatro tipos de extremidades geralmente usados 
para molas de compressão estão ilustrados abaixo 
Molas de Compressão 
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 A Tabela 10.1 mostra como o tipo de 
extremidade usado afeta o número de 
espiras e o comprimento de mola. 
Fonte: Shigley 
Molas de Compressão 
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 Nota 
 
 Extremidades: 
 
 plana → simples 
 
 esquadrada → em esquadro 
 
 esmerilhada → retificada 
 
 
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 Nota 
 
 Uma mola de extremidades planas tem um helicoide 
ininterrupto; as extremidades são as mesmas como se uma 
mola longa tivesse sido cortada em seções. 
 
 Uma mola de extremidades planas que são esquadradas 
ou fechadas é obtida ao deformar-se as extremidades a 
um ângulo de hélice de grau zero. 
 
 As molas devem ser sempre ambas esquadradas e 
esmerilhadas para aplicações importantes, porque uma 
melhor transferência de carga é obtida. 
 
 
Molas de Compressão 
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 Nota 
 
 Remoção de deformação (assentamento) ou pré-ajuste é 
um processo usado na manufatura de molas de 
compressão para induzir tensões residuais úteis. 
 
 É feita fazendo a mola mais longa que o necessário e 
então comprimindo-a até sua altura sólida. 
 
 Molas a serem pré-ajustadas devem ser projetadas de 
modo que 10% a 30% do comprimento livre inicial sejam 
removidos durante a operação. 
Molas de Compressão 
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 Nota 
 
 Se a tensão na altura sólida for maior que 1,3 vez a 
resistência torcional ao escoamento, distorção pode 
ocorrer. 
 
 Se essa tensão for muito menor que 1,1 vez, será difícil 
controlar o comprimento livre resultante. 
 
 Remoção de deformação aumenta a resistência da mola 
e, assim, é especialmente útil quando a mola é usada para 
propósitos de armazenagem de energia. 
 
 Contudo, a remoção de deformação não deve ser usada 
quando as molas forem sujeitas a fadiga. 
 
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 A figura abaixo apresenta uma mola de compressão 
sem carga [comprimento livre 𝐿𝑜 ] e totalmente 
comprimida [comprimento sólido 𝐿𝑠 ] 
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𝑳𝒔 
𝑳𝟎 
𝑭 
𝑭 = 𝟎 
Estabilidade 
Estabilidade 
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 Para deflexões elevadas, as molas de compressão 
podem sofrer encurvadura (flambagem). A condição 
de estabilidade é obtida para: 
 
 
 
 
𝐿0 <
𝜋 ∙ 𝐷
𝛼
∙
2 ∙ 𝐸 − 𝐺
2 ∙ 𝐺 + 𝐸
 
 
Para aços: 
 
𝐿0 < 2,63 ∙
𝐷
𝛼
 𝑚𝑚 
𝑬 → módulo de elasticidade do material [𝐺𝑃𝑎] 
*** caso ocorra flambagem, uma barra interna será necessária *** 
5.10 
5.11 
Dimensionamento 
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 Constante de condição de extremidade 𝜶 
 Para extremidades esquadradas e esmerilhadas → 𝜶 = 𝟎, 𝟓 
Tabela 10.2 – Constantes de condição de extremidade 
𝛼 para molas helicoidais de compressão. 
Fonte: Shigley 
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Material de Fabricação 
 As molas são manufaturadas por processos de 
trabalho a quente ou a frio, dependendo do 
tamanho do material, do índice de mola e das 
propriedades desejadas 
 
 Uma grande variedade de materiais de mola está 
disponível ao projetista, incluindo aços comuns de 
carbono, aços liga e aços resistentes à corrosão, 
bem como materiais não-ferrosos, como 
bronze-fósforo, latão de mola, cobre-berílio e várias 
ligas de níquel. 
 
 Descrições dos aços mais comumente usados são 
encontradas na Tabela 10-3. 
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Tabela 10.3 – Aços de mola de liga e alto carbono 
Fonte: Shigley 
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Tabela 10.3 – Aços de mola de liga e alto carbono 
Fonte: Shigley 
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Resistência – Tração e Torção 
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 Para molas de compressão: 
 
 a Resistência mínima à tração 𝑺𝒖𝒕 é encontrada 
através da seguinte relação: 
𝑆𝑢𝑡 =
𝐴
𝑑𝑚
 
 a Resistência ao escoamento de torção 𝑺𝒔𝒚 é a 
porcentagem da resistência mínima à tração 𝑆𝑢𝑡 e, 
é dada pela seguinte relação: 
𝑆𝑠𝑦 = % ∙ 𝑆𝑢𝑡 
Tabela 10.4 
Tabela 10.6 
5.12 
5.13 
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Fonte: Shigley 
 Resistência – Tração e Torção 
 
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Fonte: Shigley 
Resistência – Tração e Torção 
𝑆𝑠𝑦 = % ∙ 𝑆𝑢𝑡 
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Diâmetro do Arame 
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 Para molas de compressão, o diâmetro do arame 
𝒅 pode ser estimado através da seguinte relação: 
𝑑 = 2,55 ∙ 𝐹 ∙
𝐷
𝜏
3
 𝑚𝑚 
 onde: 
𝑭 → força sobre a mola [𝑵] 
𝑫 → diâmetro médio da espira [𝒎𝒎] 
𝝉 → tensão de cisalhamento 𝑵 𝒎𝒎𝟐 
5.13 
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 Diâmetro do arame 𝒅 
O diâmetro do arame também pode ser encontrado na 
tabela A-28(Shigley) → medidas em [mm] 
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 Diâmetro do arame 𝒅 
O diâmetro do arame também pode ser encontrado na 
tabela A-28 (Shigley) → medidas em [mm] 
Fonte: Shigley 
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Exercícios – (1) 
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 Uma mola helicoidal de compressão é feita de fio 
musical 𝒏° 𝟏𝟔 . O diâmetro externo da mola é de 
𝟏𝟏 𝒎𝒎, as extremidades são esquadradas e existem 
um total de 𝟏𝟐, 𝟓 voltas. 
 
a) Estime a resistência ao escoamento de torção do fio 
 
b) Estime a carga estática correspondente à resistência 
ao escoamento 
 
c) Estime a constante da mola 
 
d) Estime a deflexão que seria causada pela carga 
calculada em (b) 
Exercícios – (1) 
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 Continuando... 
 
e) Estime o comprimento sólido da mola 
 
f) Que comprimento a mola deve ter para assegurar 
que, quando estiver totalmente comprimida 
(comprimento sólido) e então for solta, não haverá 
mudança permanente no comprimento livre? 
 
g) Dado o comprimento encontrado em (f), 
flambagem é uma possibilidade? 
 
h) Qual é o passo da espira de corpo (passo da 
mola)? 
 
Exercícios – (2) 
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 Duas molas concêntricas e de mesmo comprimento 
serão usadas como suporte para um equipamento 
de massa (𝑀) 
 
 Conhecidas as molas, determine a máxima massa 
que pode ter o equipamento para que não sejam 
ultrapassadas as tensões admissíveis dos materiais das 
molas 
𝑀𝑜𝑙𝑎 𝐷 [𝑚𝑚] 𝑑 [𝑚𝑚] 𝝉𝒂𝒅𝒎 [𝑀𝑃𝑎] 
1 50 5 300 
2 30 4 500 
Exercícios – (2) 
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 Considerando 𝑔 = 10 [𝑚 𝑠2 ] , assinale a alternativa 
que fornece a máxima massa que pode ter o 
equipamento: 
 
a) 600 kg 
b) 60 kg 
c) 28 kg 
d) 39 kg 
e) 74 kg 
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