Notas de aula parte2 espaços vetoriais

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Notas de Aula – 2013/2 
Matemática para Economia III 
Professora: Solimá Pimentel 
 
4. Espaços Vetoriais 
 
Considere um conjunto V no qual estão definidas duas operações: uma adição, 
que a cada para de elementos u e v de V associa um elemento u + v de V , chamado 
soma de u e v, e uma multiplicação por escalar, que a cada número real α e a cada 
elemento v de V associa um elemento vα de V , chamado produto de α por v. 
Dizemos que o conjunto V munido dessas operações é um espaço vetorial real 
se são satisfeitas as seguintes condições, para todos os elementos de V, designados pelas 
letras u, v e w, e os números reais, designados pelas letras α e β : 
1. (u + v) + w = u + (v + w) (associatividade) 
2. u + v = v + u (comutativa) 
3. Existe um elemento em V, designado por e, que satisfaz v + e = v para qualquer v em 
V (existência do elemento neutro para a adição) 
4. Para cada v ∈ V, existe um elemento de V, designado por –v, que satisfaz v + (-v) = e 
(existência do elemento inverso aditivo, também chamado de simétrico ou oposto) 
5. (α β v) = ( )αβ v (associatividade) 
6. ( )v v vα β α β+ = + (distributividade) 
7. ( )u v u vα α α+ = + (distributividade) 
8. 1.v = v (multiplicação por 1) 
 
Os elementos de um espaço vetorial são chamados de vetores. 
 
 
Exemplos. 
1. { }2 ( , ) / ,x y x yℜ = ∈ℜ com as operações de adição e multiplicação por um 
escalar definidas como: 
( , ) ( , ) ( , )x y z w x z y w+ = + + 
( , ) ( , )x y x yα α α= 
 2 
2. Os conjuntos 2 3, ,..., nℜ ℜ ℜ com as operações de adição e multiplicação por 
escalar usuais. 
3. O conjunto das matrizes m x n com as operações adição e multiplicação por 
escalar usuais. 
4. O conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau ≤ n, mais o 
polinômio nulo, em relação às operações usais de adição de polinômios e 
multiplicação por escalar. 
 
Subespaços Vetoriais 
 
 Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não-vazio de V. O subconjunto 
S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à 
multiplicação por escalar definidas em V. 
 
Teorema 
Um subconjunto S, não-vazio, de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se 
estiverem satisfeitas as condições: 
i) ∀ u, v ∈ S tem-se u + v ∈ S. 
ii) ∀α ∈ IR, u ∈ S tem-se α u ∈ S. 
 
Exemplo 
1) V= 2ℜ e S= {(x,0) / x ∈ ℜ } é um subespaço vetorial de V com as operações 
usuais. 
2) V= 2ℜ e S= {(x, 4 - 2x) / x ∈ ℜ } não é um subespaço vetorial V com as operações 
usuais. 
 
Combinações Lineares 
 
 Sejam u1, u2,...,un, vetores de um espaço vetorial V. Uma combinação linear 
destes vetores é uma expressão da forma a1u1 + a2u2+ . . . +anun = w, onde a1, a2, . . . ,an 
são escalares. O vetor w é dito uma combinação linear dos vetores u1, u2, . . .,un . 
 
Exemplo. 
 3 
1. O vetor u =(1, 0,-1) do IR3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores 
(1,2,-1) e (1,1,-1), pois (1, 0,-1) = -1(1,2,-1) +2(1,1,-1). 
2. Considerando os vetores e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) ∈ IR3, tem-se que 
qualquer vetor (x, y, z) ∈ IR3 pode ser escrito como combinação linear dos ei, 
especificamente: 
(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1). 
 
Subespaços Gerados 
 
 Seja V um espaço vetorial. Considere A um subconjunto de V diferente do 
conjunto vazio, A={ u1, u2, . . .,un}. O conjunto S de todos os vetores de V que são 
combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V chamado de 
subespaço gerado por A. 
 
Exemplos. 
1. O espaço S = {(x, 2x) / x ∈ ℜ } é o subespaço gerado pelo vetor (1, 2) 2∈ℜ . 
 
2. O subespaço 3ℜ gerado pelos vetores u = (1,2,0), v = (3,0,1) e w = (2,-2,1) é o 
plano de equação 2x – y - 6z = 0. 
 
Independência Linear 
 
Um conjunto de vetores { }1 2, ,..., nv v v em um espaço vetorial V é chamado 
linearmente independente se a equação vetorial 1 1 2 2 ... 0n nc v c v c v+ + + = admite 
apenas a solução trivial 1 2 ... 0nc c c= = = = . 
 O conjunto { }1 2, ,..., nv v v é chamado linearmente dependente quando a equação 
acima admite alguma solução não trivial. 
 É comum usar a abreviação LI para conjuntos linearmente independentes e LD 
para os linearmente dependentes. 
 
 
Exemplos. 
 4 
1. Um conjunto contendo um único vetor é linearmente independente se, e somente 
se, 0.v ≠ 
2. O conjunto { }(1,2,0), (3,0,1), (2, 2,1)− é LI em 3ℜ . 
 
Observações 
1. Os vetores v1,. . .,vn são linearmente dependentes se, e somente se, um deles é 
combinação linear dos outros. 
2. Dois vetores v1 e v2 são LD um vetor é múltiplo escalar do outro. 
3. No espaço real 3ℜ a dependência de vetores pode ser escrita geometricamente como 
segue: dois vetores u e v são dependentes se, e somente se, estão na mesma reta 
passando pela origem; três vetores u, v e w são dependentes se, e somente se, estão 
no mesmo plano passando pela origem. 
 
Base de um subespaço vetorial 
 
Se V é um espaço vetorial qualquer e S = {v1, v2, ..., vn} é um conjunto de 
vetores em V, dizemos que S é uma base de V se: 
(a) S é linearmente independente. 
(b) S gera V. 
 
Exemplo 
O conjunto { }(1,2,0), (12, 6,5)− é uma base do subespaço S: 2x – y – 6z = 0. 
 
Observações 
1. Todo conjunto LI de vetores de um espaço vetorial é uma base do subespaço por 
ele gerado. 
2. Se B = { 1v , 2v ,..., nv } é uma base de um espaço vetorial V, então todo 
subconjunto de V com mais de “n” vetores é LD. 
3. Se { }1 2, ,..., nB v v v= for uma base de um espaço vetorial V, então todo conjunto 
com mais de n elementos será linearmente dependente. 
 5 
4. Se B = { 1v , 2v ,..., nv } é uma base de um espaço vetorial V, qualquer vetor de V 
se escreve de modo único como combinação linear dos vetores de B, isto é, 
existe uma única n-upla ( n21 a,...,a,a ), tal que vva...vava nn2211 =+++ . 
5. Duas bases quaisquer de um espaço vetorial têm o mesmo número de vetores. 
 
Dimensão de um Espaço Vetorial 
 
Seja V um espaço vetorial. 
Se V possui uma base com n vetores, então V tem dimensão n e escreve-se dim 
V = n. 
 
Exemplos. 
1. dim nℜ = n 
2. dim {0} = 0 
3. dim Mmxn = m x n 
Observações 
1. Seja V um espaço vetorial tal que dim V = n. Se S é um subespaço de V, então 
dim S n≤ . 
2. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n. Então: 
(i) Qualquer conjunto de n + 1 ou mais vetores é linearmente dependente 
(ii) Qualquer conjunto linearmente independente é parte de uma base, isto é, 
pode ser estendido a uma base. 
(iii) Um conjunto linearmente independente com n elementos é uma base. 
Exemplo: Qual a dimensão do espaço vetorial S = { }0zyx/)z,y,x( 3 =−+ℜ∈ ? 
 
Solução: Podemos escrever o vetor genérico de S em função de duas variáveis: 
v = ( x , y ,x + y ). 
 
 ∈∀ )z,y,x( S =)z,y,x( ( x , y , x + y.) ⇔ )y,y,0()x,0,x()z,y,x( += 
 )1,1,0.(y)1,0,1.(x)z,y,x( += 
 Logo, qualquer vetor (x,y,z) de S é CL dos vetores v1=(1,0,1) e v2 =(0,1,1), isto é, o 
gerado pelos vetores v1 e v2 é o conjunto S . Além disso, como B = {v1,v2}é LI , B é 
uma base de S. Portanto, dim S = 2 ( B tem dois vetores). 
 6 
Observa-se que o número de vetores é igual ao número de variáveis. Então, podemos 
dizer que: 
 A dimensão de um espaço vetorial V é igual ao número de variáveis livres do vetor 
genérico de V. 
 
Coordenadas de um vetor 
 
Sejam V um espaço vetorial, v ∈V e B= {v1, v2,..., vn} uma base qualquer de V. 
Podemos expressar v como uma combinação linear dos vetores desta base B, ou seja, 
existem números reais naaa ,...,, 21 tais que nnvavavav +++= ..., 2211 . 
 
Os reais naaa ,...,, 21 são as coordenadas do vetor v na base B e se representa por 
Bv =[ ] ( )
1
2
1 2, ,..., nB
n
a
av a a a
a
 
 
 
= =
 
 
 
M
. 
Exemplo. No 2ℜ , considere as bases A = {(1,0),(0,1)}, B={(2,0),(1,3) e C={(1,-
3),(2,4)}. Dado o vetor v = (8,6), tem-se: [v]A=(8,6); [v]B=(3,2); [v]C=(2,3). 
 
Matriz mudança de Base 
Sejam V um espaço vetorial, A={ nvvv ,...,, 21 } e B={ nuuu ,...,,1 } bases para V. Podemos 
escrever os vetores de A como combinação linear dos vetores de B: 







+++=
+++=
+++=
nnnnnn
nn
nn
vavavau
vavavau
vavavau
S
...
..................................
...
...
:
2211
22221122
12211111
 
[ ] [ ] [ ] AABBAABB
nnnnn
n
n
n
vIvvIv
v
v
v
aaa
aaa
aaa
u
u
u
][.2
1
21
22221
11211
2
1
=⇒=⇒
























=












M
L
MLMM
L
L
M 
A matriz [ ]ABI é chamada matriz mudança de base de A para B. 
 
 7 
Observe que as coordenadas de v na base B podem ser obtidas conhecendo-se a matriz 
[ ]ABI e as coordenadas de v na base A. 
O papel desta matriz é transformar as coordenadas de um vetor v na base A em 
coordenadas do mesmo vetor v na base B. 
Exemplo. 1)Sendo A = {(1,1), (2,1)} e B = {(1,0),(0,1)} bases de 2ℜ , determine a 
matriz de mudança de base A para a base B. 
Solução. [(1,1)]B = 





1
1
 e [(2,1)]B = 





1
2
. Logo, [ ]ABI 





11
21
= . 
2) Sejam A = {v1= (-1,2),v2= (3,-1)} e B = {u1= (1,-1),u2= (2,0)} bases do 2ℜ . 
Calcule Bv , sabendo que )3,4(vA = . 
(1) Se vA = (a1,a2) ⇔ ⇔+= 2211 vavav )1,3.(3)2,1.(4v −+−= ⇔ v = ⇔











−
−
3
4
12
31
 
 v = AvA onde v representa as coordenadas de v na base canônica do 2ℜ e A a matriz 
mudança de base da base A para a base canônica. 
Esta representação para a matriz mudança de base de A para a base canônica,vem do 
fato que as colunas da matriz [ ]ACI são os vetores da base A, por abuso de linguagem, 
costuma-se escrever [ ]ACI =A 
(2)Se vB = (b1,b2) ⇔ ⇔+= 2211 ububv ⇔+−= )0,2.(b)1,1.(bv 21 v = 











− 2
1
b
b
01
21
⇔ 
v = BvB onde v representa as coordenadas de v na base canônica do 2ℜ e B a matriz 
mudança de base da base B para a base canônica.
 
Assim , de (1) e (2) , AvA. = BvB que é a relação entre vetores nas bases A e B. 
 
Propriedades: 
1) A matriz mudança de base é invertível. 
2) [ ]( ) [ ]BAAB II =−1 
 
OBS: A matriz mudança de base é construída colocando na j-ésima coluna, as 
coordenadas do vetor vj na base B, [vj]B. 
A cada base, corresponde um sistema de coordenadas, realizar uma mudança de 
base, é substituir o sistema de coordenadas por outro, isto é, é substituir as componentes 
 8 
de um vetor do espaço em relação ao primeiro sistema pelas componentes do mesmo 
vetor do espaço em relação ao outro. 
 
 
4ª Lista de Exercícios 
1. Expresse o vetor u = (-1, 4, -4, 6) ∈ 4ℜ como combinação linear dos vetores 
v1 = (3, -3, 1, 0), v2 = (0, 1, -1, 2) e v3 = (1, -1, 0, 0). 
2. Determine os subespaços do 3ℜ gerados pelos seguintes conjuntos: 
(a) A = {(2, -1, 3)} 
(b) A = {(-1, 3, 2), (2, -2, 1)} 
(c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (-1, 1, 0)} 
3. Determine o valor de k para que o conjunto {(1, 0, -1), (1, 1,0), (k, 1, -1)} seja 
LI. 
4. Determine uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais: 
(a) S = {(x, y, z) 3ℜ∈ / y = 2x} 
(b) S = {(x, y) 3ℜ∈ / x + y = 0} 
(c) S = {(x, y, z) 3ℜ∈ / 2x – y + 3z = 0} 
(d) S = {(x, y, x); x, y ∈ ℜ } 
(e) S = {(x, y, z, w); x - 3y + z = 0} 
(f) S = {(x, y, z) ∈ ℜ 3/ x = 3y e z = -y} 
5. Encontre a dimensão e o espaço gerado por: 
(i) (1, -2, 3, -1) e (1, 1, -2, 3) 
(ii) 3 e -3 
(iii) t3 -2t2 + 5 e t2 + 3t - 4 
6. Seja o conjunto { }21 , wwA = , sendo )1,3,1(1 −−=w )4,2,1(2 −=w . Determine: 
(a) O subespaço S gerado pelo conjunto A. 
(b) O valor de k para que o vetor )11,,5( kw = pertença à S. 
7. Considere S = [(2,1,0), (1,-1,2), (0,3,-4)], o subespaço do 3ℜ gerado pelos 
vetores (2,1,0), (1,-1,2) e (0,3,-4). Determine sua equação. 
8. Para qual valor de k será o vetor u = (1, -2, k) em 3ℜ uma combinação linear dos 
vetores v = (3, 0, -2) e w = (2, -1, -5)? 
9. Determine m para que o conjunto {(2, -3, 2m), (1, 0, m + 4), (-1, 3, m – 2)} seja 
 9 
L.I. 
10. Sejam B = {(1,1),(1,0)} e C = {(1,2),(−4,−3)} duas bases do ℜ². Determine a 
matriz de mudança da base B para a base C e a matriz mudança de base de C para B. 
Verifique que uma é a inversa da outra. 
11. Sejam B={(1,-1),(-1,-1)} e C ={(1,0).(0,1)} bases do ℜ². Encontre [ ]BCI e 
[ ]CBI . Verifique que uma é a inversa da outra. 
12. Seja C={(2,0),(2,1)} uma base para o ℜ²e M= 





10
22
 a matriz mudança de base 
de B para C. Determine a base B para o ℜ². 
 
5. Autovetores e Autovalores 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n e V um espaçoo vetorial de dimensão n. 
Um vetor 0, ≠∈ vVv é autovetor (vetor próprio ou vetor característico) da matriz A se 
existe λ ∈ ℜ tal que A[v] = v.λ 
 O número real λ é denominado autovalor (valor próprio ou valor característico) 
de A associado ao autovetor v. 
 
Exemplo. 
O vetor v = (5,2) é autovetor da matriz A= 





12
54
 λ = 6 , é o autovalor associado, pois: 






=





=











2
5
6
12
30
2
5
12
54
 
 
Determinação dos Autovalores e Autovetores 
 
Determinação dos Autovalores 
Se v e λ são respectivamente, autovetor e o correspondente autovalor de uma 
matriz quadrada A, tem-se: 
 Av = λ v, ou, Av - λ v = 0. 
Pode-se escrever Av - λ Iv = 0, ou, (A - λ I)v = 0. 
Para que esse sistema homogêneo admita soluções não-nulas, deve-se ter 
 10 
det(A - λ I) = 0. 
A equação det(A - λ I) = 0 é denominada equação característica da matriz A, e 
suas raízes são os autovalores de A. 
O determinante det(A- λ I) é um polinômio em λ denominado polinômio 
característico. 
 
No caso de uma matriz 3x3 
 Seja A= 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
 
 
 
  
a a a
a a a
a a a
. 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
det 0
λ
λ
λ
− 
 
− = 
 − 
a a a
a a a
a a a
 as raízes desta equação determina os autovalores 
de A. 
 
Determinação dos Autovetores 
 
A substituição de λ pelos seus valores no sistema de equações lineares (A - λ I)v = 0 
permite determinar ao autovetores associados. 
 
Exemplo. Se A = 





− 62
31
, o polinômio característico de A é dado por: 
p(x)=det (x I
 
 – A)=
62
31
−
−−
x
x
=(x – 1) (x – 6) + 6=x2 – 7 x + 12=( x – 4) ( x – 3). 
Logo, as raízes do polinômio característico são 4 e 3, ou seja, os autovalores de A são 4 
e 3. 
Se o autovalor λ = 4, 





−
−−
642
314
. 





y
x
 = 





0
0
 
Daí, 





−
−
22
33
. 





y
x
 = 





0
0
. 
Resolvendo esse sistema temos que x = y. Assim os vetores do tipo (x, x), ≠ 0x são os 
autovetores associados ao autovalor λ = 4. 
 11 
Se o autovalor λ = 3, 





−
−−
632
313
. 





y
x
 = 





0
0
. Daí, 





−
−
32
32
. 





y
x
 = 





0
0
. 
 
Resolvendo esse sistema temos que 2x = 3y. Assim os vetores do tipo ),23( yy , ≠ 0y 
são os autovetores associados ao autovalorλ = 3. 
 
Propriedades 
1. Se v é um autovetor associado ao autovalor λ de uma matriz A, o vetor vα , 
para qualquer real 0α ≠ , é também autovetor de A associado ao mesmo λ . 
2. Se λ é um autovalor de uma matriz A de ordem n, o conjunto Sλ de todos os 
vetores nIRv ∈ , inclusive o vetor nulo, associados ao autovalor λ , é um 
subespaço vetorial do nIR . 
No exemplo acima, para λ = 4, o auto espaço 4S é definido por: 
 }/),{(}/),{( 24 IRxxxxyIRyxS ∈==∈= e B={(1,1)} é uma base para 4S 
Para λ = 3, o auto espaço 3S é definido por: 
 }/),2/3{(}32/),{( 23 IRyyyyxIRyxS ∈==∈= e B={(3,2)} é uma base para 
.3S 
3. Autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes. 
No exemplo acima os autovalores de A são distintos: 1λ = 4 e 2λ = 3. 
Observe que os autovetores )1,1(1 =v e )2,3(2 =v associados respectivamente a 1λ 
e 2λ são linearmente independentes. 
4. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, seus autovetores serão vetores do nIR . 
5. Se A é uma matriz quadrada de ordem n que possui n autovalores distintos, 
então o conjunto C={ }1 2, ,..., nv v v , formado pelos correspondentes autovetores, 
é uma base para o nIR formado por autovetores de A. 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n e nλλλ ,...,, 21 autovalores distintos de A. 
Então se nvvv ,...,, 21 são autovetores associados respectivamente a cada autovalor, 
então M= },...,,{ 21 nvvv é uma base para o nIR formada por autovetores de A 
 12 
Considere C a base canônica do nIR . A matriz mudança de base [ ]MCI é a matriz 
cujas colunas são as coordenados dos vetores nvvv ,...,, 21 . 
Exemplo: No exemplo acima considerando M={(1,1),(3,2)} a base do 2IR formada por 
autovetores da matriz A= 





− 62
31
 
A matriz [ ]MCI =M= 





21
31
 
Note que como M é uma matriz mudança de base, tem-se que M é invertível. 
 
5ª Lista de Exercícios 
 
1. Sabendo que [ ] 





−
−
=
811
67A
BI e A={(1, 3), (2, -4)} determine a base B. 
2. Verifique, em cada caso, se v é um autovetor da matriz A. Caso seja, determine o 
autovalor correspondente. 
 
a. A = 





−18
03
, v = 





2
1
 b. A = 





31
13
, v = 





1
1
 
 
3. Verifique, em cada caso, se λ é um autovalor de A. Caso seja, determine um 
autovetor associado a este autovalor λ . 
a. A = 





−12
22
, λ = 3 b. A = 










−
−
222
633
217
, λ = 6 
4. Dada a matriz A = 












−− 1212
0311
0010
0001
, determine seus autovalores e uma base 
para o auto espaço associado a cada autovalor. 
 
5. Dada a matriz A = 









−
100
420
531
, calcule os autovalores das matrizes A2 e A3. 
 13 
6. Dada a matriz A = 





20
52
, determine um autovalor e uma base para o auto-
espaço associado a este autovalor. 
7. Seja A matriz de ordem n. Prove que A e sua transposta At têm o mesmo 
polinômio característico. 
 
 
Diagonalização de Matrizes 
 
Matrizes semelhantes 
 
Uma matriz quadrada C é dita semelhante a uma matriz quadrada de mesma ordem D 
se existir uma matriz quadrada M invertível tal que MDMC ..1−= . 
 
Exemplos: 
Propriedade: 1) Se C e D são matrizes semelhantes detC = detD 
De fato, 
DMD
M
MDMMDMC
invertíveléMcomo
detdet.det.
det
1det.det.det).det(det 11 ==== −− 444 3444 21 
 
 2 ) C é invertível se e somente se D também o for. 
3) Se C e D são matrizes semelhantes então elas tem os mesmos valores próprios com a 
mesma multiplicidade. 
4) Se C e D são matrizes semelhantes então possuem o mesmo polinômio característico. 
 
Definição: Dizemos que uma matriz A é diagonalizável, se ela for semelhante a uma 
matriz diagonal. Neste caso dizemos que A pode ser diagonalizada. 
Proposição: Uma matriz quadrada A de ordem n é diagonalizável se e somente 
se tem n autovetores linearmente independentes. Neste caso A é semelhante a uma 
matriz diagonal D, com MDMA ..1−= , cujos elementos diagonais são os autovalores 
 14 
se A, e M é uma matriz cujas colunas são, respectivamente, os n autovetores 
linearmente independentes de A.(1). M é chamada de matriz diagonalizadora. 
Exemplo1. A matriz A = 





21
45
 é diagonalizável. 
 
Primeiramente devemos calcular o polinômio característico de A. Esse polinômio é dado 
por p(x) = det(xI2 – A) = 21
45
−−
−−
x
x
 = (x – 5) ( x – 2)) – 4 = (x – 1) ( x – 6). Ou seja, 
o polinômio característico de A é: p(x) = (x – 1) ( x – 6). 
 
Logo, os autovalores são 1 e 6. 
Agora para que possamos analisar se A é ou não diagonalizável, precisamos verificar se 
os seus autovetores são linearmente independentes, ou seja se os autovetores formam 
uma base de 2ℜ . 
Se λ = 1, temos que: (1I – A) v = 0, ou seja, 





=











−−
−−
0
0
.
11
44
y
x
 
Este sistema é equivalente a: x = - y, logo todas as soluções são da forma: 
(-y, y) = y(-1, 1), para todo y ℜ∈ . Portanto v1 = (-1, 1) é o autovetor associado a λ = 1. 
Se λ = 6, temos que (6I – A) v = 0, ou seja, 





=











−
−
0
0
.
41
41
y
x
. 
Este sistema é equivalente a x = 4y, logo todas as soluções são da forma: (4y, y) = y(4, 
1), para todo y ℜ∈ . Portanto v2 = (4, 1) é o autovetor associado a λ = 6. Logo os 
autovetores associados a autovalores distintos são LI. 
Daí, como A é uma matriz de ordem 2e o conjunto de autovetores {v1, v2} é linearmente 
independente, então, A é diagonalizável. 
Além disso a matriz D semelhante e diagonal a A é dada por: 





=
60
01
D 
Ma matriz diagonalizadora de A é dada por: 




−
=
11
41
M 
Observe também que MDMA ..1−= . 
De fato, 
 
1
 A demonstração deste resultado se encontra no livro Introdução à Álgebra Linear com Aplicações de 
Bernard Kolman, PHB editora. 
 15 
 






=




−





−
==




−











−
=




−



















−
−
21
45
11
41
.
5/65/1
5/245/1
11
41
.
60
01
.
5/15/1
5/45/1
11
41
.
60
01
.
11
41 1
 
 
Exemplo2: Mostre que a matriz 










−
=
011
310
301
A não é diagonalizável. 
De fato, 
1''
1'
0
0)1(3)1(3)²1(
011
310
301
=
=
=
=−−−+−−=
−−
−
−
=−
λ
λ
λ
λλλλ
λ
λ
λ
λIA
 
Consideremos para 1=λ e resolvendo o sistema 0][ =− vIA λ , encontramos os 
autovetores associados. 
 










=




















−− 0
0
0
111
300
300
z
y
x
 
3z = 0 
-x + y - z=0 
x = z 
z = 0 
Assim o espaço associado ao autovalor 1 é dados por: 
S1={(x,x,0)/x IR∈ } 
Como a dimensão deste subespaço é 1 então uma base dele é B={(1,1,0)}. 
Consideremos agora o autovalor 0=λ e resolvendo o sistema 0][ =− vIA λ , 
encontramos os autovetores associados. 










=




















⇒










=



















⇒










=




















− 0
0
0
000
310
301
0
0
0
310
310
301
0
0
0
011
310
301
z
y
x
z
y
x
z
y
x
 
 16 
x+3z=0 
y+3z=0 
Assim o espaço associado ao autovalor 1 é dados por: 
S1={(-3z,-3z,z)/z IR∈ } 
Como a dimensão deste subespaço é 1 então uma base dele é B={(-3,-3,1)}. 
 
A rodem de A é 3 e não conseguimos obter 3 autovetroes LI, logo A não é 
diagonalizável. 
Exemplo3: Verifique se 










=
201
010
001
A
 é diagonalizável 
Tem-se que 










−
−
−
=−
λ
λ
λ
λ
201
010
001
)det( IA = 0 se 2,1 321 === λλλ . 
Portanto A têm dois autovalores iguais. 
O auto-espaço associado ao autovalor 11 =λ , tem dimensão 2 pois 
 },/),,2{(},02/),,{(1 IRzyzyzIRyzxzyxS ∈−=∈=+= e B={(-2,0,1),(0,1,0)} 
é uma base. 
O auto-espaço associado ao autovalor 23 =λ , tem dimensão 1, pois 
 },0,0/),,{(2 IRzyxzyxS ∈=== e e B={(0,0,1)} é uma base. 
A ordem de A é 3 e podemos exibir um conjunto LI formado por 3 autovetores do 3IR : 
B={(-2,0,1),(0,1,0),(0,0,1)}. 
Assim A é diagonalizável. 










=
200
010
001
D é uma matriz diagonal semelhante a A e M=









−
101
010
002
 é a matriz 
diagonalizadora correspondente. 
Observe que A possui dois autovalores iguais, porém A é diagonalizável. 
 
 
 
 
 17 
6ª Lista de Exercícios 
 
8. Mostre, em cada caso, que as matrizes abaixo são diagonalizáveis. 
 
a. A = 





21
45
 b. A = 










−
−
−−
211
101
112
 c. A = 










110
110
001
 
9. Verifique que a matriz A = 





−
−
11
32
 não é diagonalizável. 
10. Verifique que a matriz A = 










500
041
004
 não é diagonalizável. 
11. Seja A = 





− 31
11
. Mostre que v1= (1,1) é autovetor de A e que A não é 
diagonalizável. 
12. Verifique se as matrizes A dadas abaixo são diagonalizáveis. Caso seja, 
determinar uma matriz M que diagonaliza A. Calcule M 1− A M. 










−
−−
−
=





=










−
−−
−
=





−
=





=
520
262
027
)
12
43)
311
151
113
)
11
11)
31
22)
AeAd
AcAbAa